Este documento presenta 11 problemas y ejercicios sobre conceptos topológicos como interior, cerradura, frontera y exterior de conjuntos en la recta real. Los problemas incluyen probar propiedades de estas nociones, encontrar ejemplos de conjuntos sin interior o frontera, y establecer relaciones entre los interiores y exteriores de la unión y intersección de conjuntos.

1. CUARTO MATERIAL PRACTICO DE´
´
ANALISIS REAL I
(Topolog´ en la recta - 1)
ıa
1. Demuestre la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
(a) Existe alg´n conjunto cuya cerradura sea el vac´
u ıo.
(b) Todo abierto el interior de alg´n conjunto.
u
(c) El interior de la uni´n de dos conjuntos con interior vac´ es vac´
o ıo ıo.
(d) Toda vecindad un abierto.
2. Hallar 3 subconjuntos diferentes con infinitos puntos, que no sean inter-
valos, de modo que no sean abiertos ni cerrados.
3. probar que: (A − B)◦ ⊂ A◦ − B ◦ , dar un ejemplo en que no se verifique
la inclusi´n rec´
o ıproca, qu´ condici´n se debe agregar para que se d´ la
e o e
igualdad?
4. Consideremos los subconjuntos U de con la propiedad siguiente: Para
cada x0 ∈ U existe un n´mero real ε > 0 tal que [x0 , x0 + ε) ⊆ U .
u
Probar que la colecci´n Γ de todos los subconjuntos U con dicha propiedad
o
satisface:
(a) ,∅ ∈ Γ
ındices para cada k ∈ I si Ak ∈ Γ ⇒ ∪Ak ∈ Γ
(b) Sea I un conjunto de ´
(c) Si A1 , A2 , . . . , An ∈ τ ⇒ ∩Ai ∈ Γ
5. Pruebe que para todo A ⊆ se verifica que:
∞
A = {x ∈ ∃(an )n=1 ⊆ : lim an = x}
n→∞
6. Probar que cualquier familia de abiertos disjuntos en es numerable.
7. Sea A ⊆ probar que:
(a) A es cerrado ⇔ Fr (A) ⊆ A
(b) A es abierto ⇔ Fr (A) ⊆ Ac
(c) Probar que: Fr (Fr (A)) ⊆ Fr (A)
8. Pruebe que: Fr (A) = {x ∈ x ∈ A◦ , x ∈ (Ac )◦ }
/ /
1

2. 9. Probar que si (A)◦ = A entonces Fr (A) = Fr (A)
10. Probar que el unico subconjunto no vac´ de
´ ıo que es abierto y cerrado
es mismo.
11. Definimos el exterior de A, Ext(A), donde A es un subconjunto de , por
Ext(A) = (Ac )◦ probar que:
(a) Ext(A ∪ B) = Ext(A) ∩ Ext(B)
(b) A ∩ Ext(A) = ∅
(c) Ext(∅) =
(d) Ext((Ext(A))c ) = Ext(A)
Individualmente... nada somos.
Helmuth villavicencio f ern´ndez
a
(28/05/10)
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