Este documento discute las técnicas de interpolación y aproximación. La interpolación asigna valores intermedios entre puntos de datos usando polinomios, mientras que la aproximación representa funciones demasiado complejas de resolver analíticamente. Explica la interpolación lineal y polinómica, así como el uso de diferencias divididas y diferencias finitas para construir polinomios de interpolación de Newton.

1. TEMA:
INTERPOLACIÓN Y APROXIMACIÓN
Nataly Diaz Meyer

2. INTERPOLACIÓN Y
APROXIMACIÓN
Son técnicas distintas pero relacionados.
INTERPOLACIÓN: Es asignar a una cantidad un valor
intermedio entre dos valores directamente calculados, los
cuales se pueden aproximar mediante polinomios.
Sea en el sistema de coordenadas de la gráfica anterior,
las ecuaciones F(x) y G(x) en cuyo espacio “a”, “b” se
pueden interpolar determinados valores.

3. INTERPOLACIÓN LINEAL
La forma más simple de interpolación es la de conectar dos
puntos con una línea recta.
La notación f1(x) indica que se trata de un
polinomio de interpolación de primer
orden. Nótese que además de representar
la pendiente de la línea que conecta los
dos puntos, el término es
una aproximación de
diferencias divididas fintas a la primera
derivada.
En general , entre más pequeño sea el
intervalo entre los puntos, más exacta
será la aproximación.

4. APROXIMACIÓN: Es una representación inexacta. Ocurre
cuando existen problemas demasiados complejos para
resolverse analíticamente.
APROXIMACIÓN POLINÓMICA
Se realiza cuando la función puede ser conocida en forma
explícita o mediante un conjunto de valores tabulados para
cada uno de los argumentos por donde pasa la función
(valores funcionales).
Normalmente se acepta aproximar a la función tabulada en
puntos coincidentes mediante un polinomio de grado “n”
(condición de aproximación):
f(xi)  Pn(xi) ; para todo xi en [xo,xn]
Donde: Pn(x) = anxn + an-1xn-1+...+a1x+ao, con an0

5. Donde: E(x) = f(x) – Pn(x) ; Para todo x
en [x0,xn]
Para elaborar una interpolación se hace uso de dos
herramientas que a continuación daremos a conocer:
-DIFERENCIAS FINITAS
- DIFERENCIAS DIVIDIDAS

6. INTERPOLACIÓN DE NEWTÓN
Hay ocasiones en las que resulta útil construir varios
polinomios aproximantes P1(x), P2(x),…, PN(x), después
elegir el más adecuado. Si usamos el polinomio interpolante
de Lagrange, uno de los inconvenientes es que no se pueden
utilizar los cálculos realizados en la construcción de PN-1(x)
para la de PN(x); cada polinomio debe construirse
individualmente y para calcular polinomios de grado elevado
es necesario hacer muchas operaciones. Por ello vamos a
recurrir a una construcción muy distinta.

7. FORMA GENERAL DE LOS POLINOMIOS DE
INTERPOLACIÓN DE NEWTON
El polinomio de n-ésimo orden es:
Se requieren n+1 puntos para obtener un polinomio de n-ésimo orden
Evaluando los coeficientes
Las evaluaciones de la función de los corchetes son diferencias
divididas finitas.

8. ANALIZANDO
La PRIMERA DIFERENCIA DIVIDIDA FINITA se
representa
La SEGUNDA DIFERENCIA DIVIDIDA FINITA que representa la
diferencia de las 2 primeras diferencias divididas finitas, se expresa:
De manera similar La N-ÉSIMA DIFERENCIA DIVIDIDA FINITA es:

9. Estas diferencias se usan para evaluar los coeficientes de las ecuaciones los
cuáles se sustituyen en la ecuación
para obtener el polinomio de interpolación:
A la cual se le llama polinomio de interpolación con diferencias divididas
de Newton
Esquema gráfico de la naturaleza recursiva de una diferencia
dividida finita

11. DIFERENCIAS DIVIDIDAS PROGRESIVA
 Diferencia dividida de Primer orden:
f x f x
( ) 
( )
i i
f x x


1
[ , ]
i i x 
x
i 
i

1
1
 Diferencia dividida de segundo orden:
.
f x x f x x
[ , ] 
[ , ]
i i i i
f x x x

  
1 2 1
[ , , ]
i i i x 
x
i 
i
 
2
1 2
o Diferencia dividida de orden “n”:
f x x 
f x x
i i n i i n
   
i i i n i n x x
i n i
f x x x x



   
[ ,..., ] [ ,..., ]
[ , ,..., , ] 1 1
1 1

12. Diferencias Divididas Regresiva

14. EJERCICIO 1:
Determinar el polinomio interpolante para la diferencia dividida de Newton
en los puntos: (1,0);(2,6);(4;12);(5;24)
Xi Yi f[x1,x2] f[x1,x2,x3] F[x1,x2,x3,x4]
1
2
4
5
0
6
12
24
(6-0)/(2-1)=6
(12-6)/(4-2)=3
(24-12)/(5-4)=12
(3-6)/(4-1)=-1
(12-3)/(5-2)=3
(3-(-1))/(5-1)=1
P(x)= 0+6(x-1)+(-1)(x-1)(x-2)+1(x-1)(x-2)(x-4)
P(x)=

15. DIFERENCIA FINITA
PROGRESIVA

16. (5)
(6)
(7)
(8)

18. TABLA DE DIFERENCIAS FINITAS
PROGRESIVA

21. DIFERENCIA FINITA REGRESIVA
Diferencia finita regresiva de 1er Orden
Diferencia finita regresiva de 2do Orden
La de Orden K
Ambas diferencias fintas relacionados

22. TABLA DE DIFERENCIAS FINITAS
REGRESIVA

23. EJERCICIO:
Obtener el polinomio de interpolación usando la fórmula de Newton
en diferencias Progresivas/Regresivas y utilizando la tabla de
valores que sigue. Interpolar en el punto x=9/4
SOLUCIÓN:
PASO1. Calculamos la tabla de diferencias progresivas /regresivas
finita.
PASO 2. Aplicamos la fórmula progresiva
H=3/2
PASO 3. Aplicamos la fórmula Regresiva
PASO 4. Interpolar.

24. 1.
La diagonal de la tabla finita esta en color rojo, sus valores
representan la diferencia progresiva en y0 . En color azul, ultima línea
horizontal, están en diferencia regresiva en yn
2.
La diagonal [17,6,0]

25. 3.
La línea horizontal [29,6,0]

26. 4. Se trata de interpolar en el punto x=9/4 que se encuentra
próximo al primer valor de la tabla. Por lo que utilizaremos la
fórmula progresiva de Newton
Reemplazando:
P(X)=18

30. EJERCICIOS:
1. Determinar el polinomio interpolante para la diferencia dividida de
Newton, teniendo en cuenta la siguiente tabla.
Puntos 0 1 2 3 4 5
X -2 -1 0 2 3 6
F(x) -18 -5 -2 -2 7 142
Rpta.
1. Obtener el polinomio de interpolación usando la fórmula de Newton en
diferencias progresivas/regresivas utilizando la tabla de valores que
sigue. Interpolar en el punto x= -19/6.
Rpta. -77/6

31. Y así de simple se da la interpolación….