Alexamar Álvarez

1. República Bolívariana de Venezuela
Minísterio del Poder Popular para
La educación
Universitaria´´UPTAEB´´
Barquisimeto Edo-Lara
[Año]
Estudiante:
ALEXAMAR ALVAREZ
CI: 31929511
MATERIA: MATEMATICAS
SECCION:0232

2. 1
Expresiones algebraicas
Llamamos expresiones algebraicas aquellas expresiones donde
encontramos variables denotados generalmente por letras, esto es, la
parte literal, como también coeficientes (números, aunque también
pueden representarse por letras) y una serie de operaciones
matemáticas combinadas como la suma, resta, multiplicación división,
potenciación y radicación donde se incluyen también signos de
agrupación.
Ejemplos
x2+4y+x√ x2+z3 +x4+y4√ x+y
x2+y2+z2−2x−2y–
x2+y2√ xy+yz+xz+x+y+z√ x3+y3+y3 x+y+z
Monomios
Son aquellas expresiones matemáticas donde solo existe como únicos operadores a la
potenciación, multiplicación entre variables (parte literal) y coeficientes, tal que los exponentes de
las variables sean números naturales, es decir, aquellos números que sirven para contar.
Ejemplos:
2xy2
3x3y3
6x4z6
23w6z623
kx4y5z6k
Donde kk es una constante (no varia).
Como podrán notar, solo existen coeficientes como variables bajo 2 únicas operaciones de
multiplicación y potenciación. Sin embargo, hay que tener en cuenta lo siguiente:
√5x2y3 este es un monomio.
563√x4y2 esto no es un monomio.
6xy−36− esto no es un monomio.
7yx7 este tampoco es un monomio.
34x23y45 peor, ni mencionarlo.
Los exponentes de las variables de los monomios siempre son números
naturales y no fraccionario.
Términos semejantes (definición)

3. 2
Llamamos términos semejantes aquellas expresiones algebraicas que tienen un factor de
multiplicación en común tal que el factor no común es un coeficiente de tales términos.
Por lo general los términos semejantes que usaremos en esta y el resto de las secciones del
capítulo actual serán únicamente monomios (con algunas excepciones). Veamos algunos
ejemplos:
Ejemplos
3xy, 4xy, 4√35xy, xy, en este caso, el termino común es xy.
4x4z64, 74x4z6, √5x4z6, el termino común es x4z6.
23xy2z3w4, 4xy2z3w4, Kxy2z3w4, si KK es una constante, entonces, el termino común es xy2z3w4.
Estos 3 ejemplos muestran términos semejantes con factores en común que representan la parte
literal de los términos aunque lo hemos restringido únicamente para monomios.
Reducción de términos semejantes
La reducción de término semejantes no es más que realizar sumas y restas de aquellos términos
semejantes que posee la parte literal en común. Para el caso de los monomios, los únicos
afectados son los coeficientes y los factores en común, la parte literal, se mantiene intacta.
Antes de ejemplificar este punto, recordemos que cuando realizamos operaciones de sumas y
restas de cantidades definidas debemos tener en cuenta lo siguiente:
Para cantidades de un mismo signo se suman y colocamos el mismo signo al resultado.
Para cantidades de signos diferentes se restan y se coloca el signo de la cantidad mayor al
resultado.
Ejemplos
Reducir −2m−4m−2m−4m=(−2−4)m=−6m.
Reducir −8a+2a−8a+2a=(−8+2)a=−6a
Reducir y2+2y2+4y2−5y2. y2 +2y2+4y2–55y2=(1+2+4−5)y2=2y2
Reducir 2m+5m+m+10m−3m: 2m+5m+m+10m–3m=(2+5+1+10−3)m=15m
Reducir 4a2+2a2+3b3+b3+7c5−5c5: 4a2+2a2+3b3+b3+7c5–5c5: 4a2+2a2+3b3+b3+7c5–5c5=4a2––
––+2a2––––+3b3––––––––+b3––––+7c5–––––––––––––5c5––––––––––––=6a2––––+4b3–––––––
–+2c5––––––––––––
Reducir x+3y+x+2x–y+2z: x+3y+z+2x−y+2z=x––+3y––––––+z–––––+2x––––y–––+2z–––––––––=3x–
––+2y––––––+3z–––––––––
Suma de expresiones algebraicas
Para sumar expresiones algebraicas, hay que tener en cuenta dos cosas, la suma de dos términos
semejantes se pueden reducir a un solo término, si tales términos son diferentes ante una suma,
simplemente el resultado se deja expresada tal cual es sin cambiar los signos de los términos.
Generalmente en álgebra elemental realizamos las operaciones entre polinomios donde se suele
usar signos agrupación y es cierto que el operador suma ++ acompañada de los signos de
agrupación no afecta tanto el resultado final por lo que el lector pensará que es una perdida de

4. 3
tiempo mencionar este tipo de obviedades, pero la cosa cambia cuando tratemos con el operador
diferencia ––, pero esto lo veremos en la siguiente sección, lo anteriormente explicado solo sirve
para aclarar esta diferencia.
Decíamos, cuando realizamos sumas entre polinomios, donde encontramos signos de agrupación y
el operador suma ++, los signos de agrupación se pueden ignorar sin afectar los signos
operacionales de cada término del polinomio encerrado entre los signos de agrupación, veamos el
siguiente apartado un ejemplo generalizado:
1-Ejercicio:
Cómo resolver el problema
x2+x-9 y 3x2-2x-6
(x2+x-9) + (3x2-2x-6)
=1X2+X-9 + 3X2-2X-6
=4X2-X-15.
2-Ejercicio:
3m2+2mn-5m ; 4mn-2n2 y m2+3mn-n2
=4m2+9mn-8n2.
Resta de expresiones algebraicas.
La resta algebraica es una de estas operaciones. Consiste en establecer la diferencia existente
entre dos elementos: gracias a la resta, se puede saber cuánto le falta a un elemento para resultar
igual al otro.
Se dice que la resta algebraica es el proceso inverso de la suma algebraica. Lo que permite la resta
es encontrar la cantidad desconocida que, cuando se suma al sustraendo (el elemento que indica
cuánto hay que restar), da como resultado el minuendo (el elemento que disminuye en la
operación).
Además de todos los datos ofrecidos hasta el momento sobre la citada resta algebraica que nos
ocupa, se hace necesario conocer otros igualmente interesantes como son los siguientes pues
permitirán entenderla mucho mejor:
veamos como funciona la resta algebraica a través de un ejemplo.
La operación 8 – 2 es una resta algebraica. En este caso, 8 es el minuendo (el número que será
reducido a través de la resta) y 2 es el sustraendo (el número que indica cuánto se debe reducir el
minuendo).
El resultado de esta resta algebraica es 6. Pensando el ejemplo con unidades concretas: si tengo 8
manzanas y me como 2, me quedarán 6 manzanas (8 – 2 = 6).
Decíamos también que la resta algebraica es una operación inversa a la suma, ya que permite
descubrir qué cantidad se necesita sumar al sustraendo para llegar al minuendo. Con esta
incógnita, podemos plantear la operación de la siguiente forma:
2 + x = 8
x = 8 – 2 x = 6.

5. 4
1-Ejercicios:
Restar 20m de 5m
-20m+5m = 15m.
2-Ejercicio:
De -3x restar -3x
-3x+3x = 0.
Valor numérico
El valor numérico de una expresión algebraica es el número que resulta de sustituir las variables
de la de dicha expresión por valores concretos y completar las operaciones. Una misma expresión
algebraica puede tener muchos valores numéricos diferentes, en función del número que se
asigne a cada una de las variables de la misma.
Cuando en una expresión algebraica sustituimos las letras por los valores que nos dan y luego
resolvemos las operaciones, el resultado que se obtiene se llama valor numérico de una expresión
algebraica.
1-Ejercicios:
Calcula el valor el valor numérico de esta expresión algebraica
cuando
En primer lugar, sustituimos las incógnitas (letras) por el valor dado.
Ahora, resolvemos las operaciones indicadas.
Primero hacemos las potencias:
En segundo lugar, las multiplicaciones
Por último, las sumas y restas
2-Ejercicio:
cuando
e
Primero, sustituimos las variables por sus valores indicados:
Resolvemos la potencia:
En segundo lugar, los productos:
Cambiamos la resta por suma

6. 5
Y resolvemos:
Multiplicación de expresiones algebraicas
. . Para esta operación se debe de aplicar la regla de los signos, los coeficientes se multiplican y las
literales cuando son iguales se escribe la literal y se suman los exponentes, si las literales son
diferentes se pone cada literal con su correspondiente exponente.
Ejemplo:
Multiplicar 3x3
y2
por 7x4
(3x3
y2
)(7x4
)
Se realiza de la siguiente forma: los coeficientes se multiplican, el exponente de x es la suma de los
exponentes que tiene en cada factor y como y solo esta en uno de los factores se escribe y con su
propio exponente.
(3)(7)x3+4
y2
21x7
y2
Multiplicación de un monomio por un polinomio
Para esta operación se debe multiplicar el monomio por cada uno de los monomios que forman al
polinomio, ejemplo:
3 * (2x3
-3x2
+4x-2)
(3 * 2x3
) + (3 * -3x2
) + (3 * 4x) + (3 * -2)
6x3
-9x2
+12x-6
Multiplicación de un polinomio por otro polinomio
En esta operación debe de multiplicar cada uno de los monomios de un polinomio por todos los
monomios del otro polinomio, por ejemplo:
(2x2
-3) * (2x3
-3x2
+4x)
(2x2
*2x3
) + (2x2
*-3x2
) + (2x2
*4x) + (-3*2x3
) + (-3*-3x2
) + (-3*4x)
4x5
-6x4
+8x3
-6x3
+9x2
-12x.
División de expresiones algebraicas
División de dos monomios. En esta operación se vuelve aplicar la regla de los signos, en cuanto a
los demás elementos se aplican las siguientes reglas: se dividen los coeficientes, si esto es posible,
en cuanto a las literales si hay alguna que este tanto en el numerador como en el denominador, si
el exponente del numerador es el mayor se pone la literal en el numerador y al exponente se le
resta el exponente de la literal del denominador, en caso contrario se pone la literal en el
denominador y a su exponente se le resta el del numerador.
Regla de los signos

7. 6
Ejemplo:
Dividir 9x3
y2
entre 3x2
w
9x3
y2
/ 3x2
w
9x3
y2
/ 3x2
w = 3xy2
/ w
División de un polinomio entre un monomio
En esta operación se distribuye el polinomio sobre el monomio, como si fueran una fracción. Por
ejemplo:
32x2
+20x-12x3
entre 4x
Se coloca el monomio como denominador de el polinomio
32x2
+20x-12x3
/ 4x
Se separa el polinomio en diferentes términos separados por el signo y cada uno dividido por el
monomio
(32x2
/ 4x) + (20x / 4x) - (12x3
/ 4x)
Se realizan las divisiones correspondientes entre monomios
8x+5-3x2
División entre polinomios
Es muy parecida a la división algebraica, y se deben de seguir los siguientes pasos:
Se deben de ordenar los polinomios ya sea descendente o ascendente por medio de una misma
letra, en caso de que el polinomio no esté completo se dejan los espacios correspondientes.
El primer término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo entre el
primer miembro del divisor.
Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este
producto debajo de él dividendo y se resta del dividendo.
El segundo término del cociente se obtiene dividiendo el primer término del dividendo parcial o
resto (resultado del paso anterior), entre el primer término del divisor.
Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este
producto debajo de él dividendo parcial y se resta del dividendo parcial.
Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial cuyo primer
término no pueda ser dividido por el primer término del divisor.
Por ejemplo:
Dividir x4
+3+x-9x2
entre x+3

8. 7
Productos notables de expreciones algebraicas
Los productos notables son simplemente multiplicaciones especiales entre expresiones
algebraicas las cuales sobresalen de las demás multiplicaciones por su frecuente
aparición en matemáticas. De ahí el nombre producto, que hace referencia a
"multiplicación" y notable, que hace referencia a su "destacada" aparición.
Así bien, una vez aprendido dichos productos notables, no habrá necesidad de comprobar
dicha multiplicación mecánicamente, es decir, solo debemos seguir las reglas aprendidas
con anterioridad que caracterizan a cada producto notable.
Binomio al cuadrado
Un binomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el doble del primero por el
segundo, más el cuadrado del segundo.
Si los dos signos del binomio son iguales, el doble del primero por el segundo es positivo.
Si los signos del binomio son distintos, el doble del primero por el segundo es negativo.
Ejemplos de ejercicios con binomios al cuadrado
1
Para resolver este caso usamos la primer fórmula tomando y , sustituimos y
nos queda
2
Para resolver este caso usamos la segunda fórmula tomando y ,
sustituimos y nos queda

9. 8
3
Para resolver este caso usamos la primer fórmula tomando y ,
sustituimos y nos queda
4
Para resolver este caso usamos la primer fórmula tomando y ,
sustituimos y nos queda
.
Suma por diferencia
Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.
Ejemplos de ejercicios con suma por diferencia
1
Usando la fórmula llamamos a y , entonces sustituimos y nos queda
2
Usando la fórmula llamamos a y , entonces sustituimos y nos queda
Binomio al cubo
Un binomio al cubo es igual al cubo del primero más el triple del cuadrado del primero por
el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del
segundo.
Recomendamos aprenderte esta fórmula.
Ejemplos de ejercicios con binomios al cubo
1

10. 9
Usando la fórmula llamamos a y , entonces sustituimos y nos queda
2
Usando la fórmula llamamos a y , entonces sustituimos y nos queda
Si nos fijamos en los signos obtenidos: +, −, +, −. Podemos dar una variante a la fórmula
anterior:
3
Usando la fórmula de llamamos a y , entonces sustituimos y
nos queda
Los signos obtenidos son: −, +, −, +. Podemos dar otra variante:
4
Usando la fórmula de llamamos a y , entonces
sustituimos y nos queda
Los signos obtenidos son: −, −, −, −. Podemos dar otra variante:

11. 10
Trinomio al cuadrado
Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del segundo,
más el cuadrado del tercero, más el doble producto del primero por el segundo, más el
doble producto del primero por el tercero, más el doble producto del segundo por el
tercero.
Ejemplos de ejercicios con trinomios al cuadrado
1
Para resolver este ejercicio tomamos , y , sustituimos en la fórmula
y nos queda
2
Para resolver este ejercicio tomamos , y , sustituimos en la
fórmula y nos queda
Suma de cubos
Ahora en vez de desarrollar a las expresiones, lo que haremos será factorizarlas, es decir,
las escribiremos como el producto de otras dos expresiones.
La forma en que se factoriza la suma de cubos es la siguiente:
Ejemplo de ejercicio con suma de cubos
Factorizar la expresión siguiente:

12. 11
Primero, miramos como podemos reescribir los términos para usar la fórmula de
factorización de cubos. En este caso, podemos reescribir la expresión de la manera
siguiente:
Utilizando la fórmula de cubos y considerando que y , tenemos:
Desarollando, tenemos:
Diferencia de cubos
La fórmula para diferencia de cubos tiene la siguiente estructura:
Ejemplo de ejercicio con diferencia de cubos
Factorizar la expresión siguiente:
Igual que anteriormente, es importante mirar, en primer lugar, como podemos reescribir
los términos para usar la fórmula de factorización de cubos. En este caso, podemos
reescribir la expresión de la manera siguiente:
Utilizando la fórmula de cubos y considerando que y , tenemos:
Desarollando, tenemos:

13. 12
Producto de dos binomios que tienen un término común
Cuando se presenta le producto de dos binomios con término común, es más simple el
desarrollo y queda de la siguiente manera:
Ejemplo de ejercicio con producto de dos binomios con término común
Desarollar la expresión siguiente:
No es necesario recordar la fórmula, si, siguiendo los pasos de desarrollo y con atención a
los signos, simplemente operamos paso a paso.
Primero, tomamos los términos dentro del primer paréntesis y los multiplicamos con la
segunda de esta manera:
Recomendamos guardar los paréntesis y deshacerlos posteriormente. Así, nos
aseguramos de no haber olvidado cambiar un + por un - o al revés. En este caso, no hay
ningún cambio de signo.
Ejemplos de ejercicios resueltos de productos notables
Desarrolla los binomios al cuadrado.
1
Usamos la fórmula , donde y , sustituimos y
nos queda
2
Usamos la fórmula , donde y , sustituimos
y nos queda
3

14. 13
Usamos la fórmula , donde y , sustituimos
y nos queda
4
Usamos la fórmula , donde y ,
sustituimos y nos queda
Desarrolla los binomios al cubo.
1
Usamos la fórmula , donde y ,
sustituyendo nos queda
2
Usamos la fórmula , donde y ,
sustituyendo nos queda
3
Usamos la fórmula , donde y ,
sustituyendo nos queda
4
Usamos la fórmula , donde y ,
sustituyendo nos queda
Desarrolla las sumas por diferencias
1

15. 14
Usamos la fórmula , donde y ,
sustituyendo nos queda
2
Usamos la fórmula , donde y , sustituyendo
nos queda
3
Usamos la fórmula , donde y ,
sustituyendo nos queda
4
Usamos la fórmula , donde y ,
sustituyendo nos queda
.
Factorización
Es el proceso de encontrar dos o más expresiones cuyo producto sea igual a una expresión dada;
es decir, consiste en transformar a dicho polinomio como el producto de dos o más factores.
Factorización por factor común: se escribe el factor común (F.C.) como un coeficiente de un
paréntesis y dentro del mismo se colocan los coeficientes que son el resultado de dividir cada
término del polinomio por el F.C
Ejercicios:
1-
Para factorizar , notamos que es factor común de ambos términos
2Sabemos que las raíces, es el valor que toma tal que la ecuación es igual a cero,
entonces, dado , existen 2 casos: cuando y cuando
Así, las raíces son y .
2-

16. 15
Para factorizar , notamos que es factor común de cada uno de los
términos
2En este caso solo existe la raíz , ya que el polinomio no tiene raíces, esto
es, no existe un número real tal que .
Bibliografía
- BALDOR, Aurelio (2010). Algebra (1ra Edición). Lima, Perú: W.Q. EDITORES S.A.C.
- CHAVEZ REYES, Carmen y LEON QUINTANAR, Adriana (2003). La Biblia de las Matemáticas,
Editorial Letrarte S.A, México D.F, impreso por I. Gráficas Mármol S.L España.
- EDITORIAL SEPTIEMBRE S.A.C. (2006). Álgebra (1ra Edición). Lima, Perú: Q.W. EDITORES S.A.C.
- GUARIN AVELLANEDA, Luís (1987). Matemática y Física I, Editorial Printer Colombiana Ltda.,
Bogotá – Colombia.
- QIJANO HIYO, Jorge (1995). Algebra – Teoría y Problemas, Tomo I, Segunda edición, Talleres
gráficos de Editora Kano, Lima – Perú.
- LEXUS EDITORES LIMA-PERU (2006). Algebra, Impreso por Grafos S.A. Arte sobre papel,
Barcelona – España.
La palabra ÁLGEBRA proviene del título de un libro Al-jabr w'al-muqabalah, escrito en Bagdad
alrededor del año 825 por el matemático y astrónomo Mohammed ibn-Musa al-Khwarizm-
POSTIGO, Luis (1983). Matemáticas, Editorial Ramón Sopena S.A., Barcelona – España.

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