trabajo

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Barquisimeto - Edo Lara
Universidad Politécnica territorial “andrés eloy Blanco”
Expresiones
algebraicas
Facilitador: Eduardo Venegas
Alumno: Jesús Farias
c.i: 29.737.548
Sección: IN0103

2. 1) SUMA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS:
Para sumar dos o más expresiones algebraicas con uno o más términos, se deben reunir todos
los términos semejantes que existan, en uno sólo. Se puede aplicar la propiedad distributiva de
la multiplicación con respecto de la suma.
Ejemplo:
Efectúe las operaciones indicadas y simplifique:
Solución:
Luego:
=
• PROPIEDADES DE LA SUMA ALGEBRAICA:
A. PROPIEDAD DE CERRADURA:
La suma de dos o más polinomios dará como resultado otro polinomio.
B. PROPIEDAD CONMUTATIVA:
El orden de los sumandos no altera el resultado de la suma.
Sean A y B dos polinomios, entonces se cumple que A+B=B+A
C. PROPIEDAD ASOCIATIVA:
La suma es una operación binaria, que se realiza tomando dos sumandos, de una serie de ellos,
obteniendo un resultado parcial, y éste sumándolo con el siguiente sumando, y así
sucesivamente, hasta agregar todos los sumandos al resultado final. Esto puede hacerse
comenzando desde la izquierda (lo usual) o desde la derecha (a causa de la propiedad
conmutativa).
Sean A, B, C tres polinomios, entonces se cumple que (A+B)+C=A+(B+C)
D. PROPIEDAD DE NEUTRO ADITIVO:
Existe un polinomio, llamado NEUTRO que al sumarse con cualquier otro polinomio no lo
altera. Este NEUTRO es el 0.
Sean A y 0 dos polinomios entonces se cumple que: A+0=A

3. • Operaciones de Sumas y Restas de Expresiones Algebraicas
E. PROPIEDAD DEL INVERSO ADITIVO:
Para cada polinomio queda definido otro que se llama su INVERSO ADITIVO, al sumarse
ambos dan como resultado el NEUTRO ADITIVO de los polinomios.
Sean A y -A dos polinomios que son inversos aditivos entre sí, entonces se cumple que:
A+(-A)=0
• Ejercicios:
(3x) + (4x) = 7x
(–2x) + (–2x2
) = –2x – 2x2
(–3m) + (4m2
) + (4n) = –3m + 4m2
+ 4n
(–3m) + (4m2
) + (–4n) = –3m – 4m2
– 4n
(2b2
+ 4c + 3a3
) + (5a + 3b + c2
) = 5a + 3a3
+ 3b + 2b2
+ 4c + c2
(–2b2
– 4c – 3a3
) + (–5a – 3b – c2
) = –5a – 3a3
– 3b – 2b2
– 4c – c2
(4x2
+ 6y + 3y2
) + (x + 3 x2
+ y2
) = x + 7x2
+ 6y + 4y2
(–4x2
– 6y – 3y2
) + (–x – 3 x2
– y2
) = – x – 7x2
– 6y – 4y2
(–x + y + 2z2
) + (x + y – z2
) = 2y + z2
(–x – y – 2z2
) + (–x – y – z2
) = – 2x – 2y – 3z2
2) RESTA
La resta, diferencia o sustracción es la operación binaria que tiene por objetivo hallar el
sumando desconocido.
Otra definición dice que la resta es la operación inversa de la suma o también que es una
operación de comparación, en la que se establece la diferencia entre dos polinomios, o bien lo
que le falta a un polinomio para llegar a ser igual al otro. . Y hay quienes van a afirmar que la
resta es el resultado de sumar a un polinomio dado llamado minuendo, el inverso aditivo de otro
polinomio que en tal caso se llamará sustraendo.

4. 1. CARACTERÍSTICAS DEL MINUENDO:
El minuendo es el polinomio que va a DISMINUIR.
2. CARACTERÍSTICAS DEL SUSTRAENDO:
El sustraendo es el polinomio que representa CUANTO VA A DISMINUIR el minuendo.
• PROPIEDADES DE LA RESTA ALGEBRAICA
3. PROPIEDAD DE CERRADURA:
La resta o diferencia de dos polinomios dará como resultado otro polinomio.
4. NO HAY PROPIEDAD CONMUTATIVA:
El orden de minuendo y sustraendo si altera el resultado de la resta.
Sean A y B dos polinomios, entonces se cumple que A-B ≠ B-A
5. NO HAY PROPIEDAD ASOCIATIVA:
La resta solo puede hacerse entre dos polinomios.
• Consecuencias de la propiedad de cerradura en la resta
algebraica
Sean tres polinomios m (minuendo), s (sustraendo) y d (la resta o diferencia), es posible
verificar las siguientes situaciones:
M-S = D, la diferencia es el resultado de restar el sustraendo al minuendo.
M = D+S, el minuendo será el resultado de sumar la diferencia con el sustraendo, o bien que el
sustraendo es lo que le falta a la diferencia para ser igual al minuendo.
S = M - D, el sustraendo será el resultado de restar la diferencia al minuendo, o bien que la
diferencia es lo que le falta al sustraendo para ser igual al minuendo.
Ejercicios:
(3x) – (4x) = –x
(–2x) – (–2x2
) = –2x + 2x2
(–3m) – (4m2
) – (4n) = –3m – 4m2
– 4n
(3m) – (4m2
) – (4n) = 3m – 4m2
– 4n
(2b2
+ 4c + 3a3
) – (5a + 3b + c2
) = – 5a + 3a3
– 3b + 2b2
+ 4c – c2
(–2b2
– 4c – 3a3
) – (–5a – 3b – c2
) = 5a – 3a3
+ 3b – 2b2
– 4c + c2
(4x2
+ 6y + 3y2
) – (x + 3 x2
+ y2
) = – x + x2
+ 6y + 2y2
(–4x2
+ 6y + 3y2
) – (x + 3 x2
+ y2
) = – x – 7x2
+ 6y + 2y2
(x + y + 2z2
) – (–x + y + z2
) = 2x + z2
(–x – y – 2z2
) – (–x – y – z2
) = – z2

5. 3) Valor numérico
Para hallar el valor numérico de una expresión algebraica, se reemplaza el valor dado de
la(s) letra(s) y se realizan las operaciones indicadas en la expresión, ahora, entre números,
El valor obtenido, es el valor numérico de la expresión dada.
Ejemplo 1
Evalúe la expresión para x = -1.
Solución:
Luego el valor numérico de la expresión para x = -1 , es 1.
Ejemplo 2
Evalúe la expresión para x = -2.
Solución:
El valor numérico de la expresión dada es -16.
Ejemplo 3
Evalúe la expresión (1 - √x)(1 + √x) para x = 2.
Solución:
El valor numérico de la expresión dada es -1.

6. Ejemplo 4
Evalúe la expresión , para a = -2 .
Solución:
El valor numérico de la expresión dada es 8.
4) Multiplicación
La multiplicación de dos expresiones algebraicas es otra expresión algebraica, en otras
palabras, es una operación matemática que consiste en obtener un resultado
llamado producto a partir de dos factores algebraicos
llamada multiplicando y multiplicador.
• Leyes de exponentes para la multiplicación
Por tratarse de un curso elemental de álgebra, necesitaremos las propiedades de teoría de
exponentes ya anteriormente estudiadas. Por tratarse de multiplicación entre polinomios,
usaremos las 3 principales leyes de la potenciación para la multiplicación y son:
A)Multiplicación de potencias de bases iguales:
an
+am
= an+m
B)Potencia de un producto:
(ab)2
= a2
. b2
C)Potencia de potencia:
(an
)m
=anm
Ejercicios:

7. 1
EXPLICACIÓN:
1) Factorizar y reemplazar:
Factorizo todos los polinomios que se puedan Factorizar (Hay que saber aplicar
los Casos de Factoreo), y los reemplazo en la fracción que corresponda:
x2
- 9 = con el Quinto Caso de Factoreo (Diferencia de Cuadrados)
x 3
(x + 3).(x - 3)
Entonces, reemplazo en la primera fracción a (x2
- 9) por su equivalente:
(x + 3).(x - 3). El ejercicio ahora me queda así:
No hay ningún otro polinomio que se pueda simplificar, así que paso a lo siguiente:
2) Simplificar:
Así, me encuentro con que el polinomio (x + 3) está "repetido": aparece en el

8. denominador ("abajo") de la primera fracción, y en el numerador ("arriba") de la
segunda fracción. Entonces puedo simplificarlos, ya que en la multiplicación de
fracciones se simplifica de esa manera: "uno de arriba con uno de abajo"
1
En la segunda fracción se me hace necesario poner el "1" que queda cuando se
simplifica, porque no quedó nada más en el numerador de esa fracción, y algo hay que
poner para saber luego qué es lo que estamos multiplicando. En cambio en la primera
fracción no necesito poner el "1" (aunque podría ponerse), ya que en ese denominador
también queda otro polinomio.
Y si lo piden, aclaremos para qué valores de x vale esa simplificación:
x + 3 ≠ 0
x ≠ -3
3) Multiplicar:
Luego de simplificar, las dos fracciones ("pasadas en limpio") quedaron así:
(Este paso no es necesario, se puede obviar)
Ahora multiplico lo que quedó: "lo de arriba con lo de arriba y lo de abajo con lo de
abajo". El resultado es una fracción formada por ambos resultados:
(Este paso tampoco es imprescindible)
Las multiplicaciones que hice para llegar a ese resultado, son:
Multipliqué los numeradores que quedaron: (x + 1) por 1 da (x + 1) (Recordemos que
multiplicar por "1" es lo mismo que no multiplicar por nada)
Multipliqué los denominadores que quedaron: (x + 3).(x - 2) da (x + 3).(x - 2). En este
tema no se suele aplicar la propiedad distributiva, sino que se deja expresada la
multiplicación. De esa manera el resultado queda "factorizado".

9. División de expresiones algebraicas.
La división de expresiones algebraicas consta de las mismas partes que la división aritmética,
así que si hay 2 expresiones algebraicas, p(x) dividiendo, y q(y) siendo el divisor , de modo
que el grado de p(x) sea mayor o iguala 0 siempre hallaremos a 2 expresiones algebraicas
dividiéndose. División que podemos representar.
Para la división es necesario considerar también la ley de los signos y una ley de los
exponentes.
La ley de los signos nos dice que.-
1.- +/+ = +
2.- +/- = -
3.- -/+ = -
4.- -/- = +
Y la ley de los exponentes nos dice que si tenemos las mismas bases tanto en el dividendo
como en el divisor sus exponentes se restan.
Nota.- Si el exponente del término es 0 se escribe la unidad.
División de monomios.- Se dividen los coeficientes y las literales se restan junto con sus
exponentes.
Ejemplo.- 5xm+2y4z / -4xm-4y3z = 5/4 x6
y
División de polinomio entre monomio.-Se realiza dividiendo cada uno de los factores del
polinomio entre el factor del monomio.
Ejemplo.- 3ª3-6ª2b+9ab2 / 3ª=a2-2ab+3b2

10. División de polinomios.- Para dividir un polinomio entre otro polinomio es necesario seguir los
siguientes pasos.
1.- Se ordenan los 2 polinomios en orden descendente y alfabético.
2.- Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor.
3.- Se multiplica el primer término del cociente por el divisor y el producto obtenido se resta del
dividendo, obteniendo un nuevo dividendo.
4.- Se repiten los pasos 2 y 3 hasta que el resultado sea 0 o de menor exponente que el
dividendo.
Ejemplo.- -15x2
+22xy-8y2 / -3x+2y = 5x-4y
Ejercicios:
1) 1/3x³ –35/36x²y +2/3xy² -3/8y³ entre 2/3x -3/2y
. 1/2x² -1/3xy +1/4y² → Solución
2/3x -3/2y | 1/3x³ -35/36x²y +2/3xy² -3/8y³
. –1/3x³ 3/4x²y
. – 2/9x²y +2/3xy²
. 2/9x²y – 1/2xy²
. + 1/6xy² –3/8y³
. – 1/6xy² +3/8y³
. 0
2) 1/6a² +5/36ab -1/6b² entre 1/3a +1/2b
. 1/2a –1/3b → Solución
1/3a +1/2b | 1/6a² +5/36ab – 1/6b²
. –1/6a² – 1/4ab
. – 1/9ab – 1/6b²
. 1/9ab +1/6b²
. 0

11. PRODUCTOS NOTABLES. FACTORIZACIÓN.
Productos Notables:
Son polinomios obtenidos de la multiplicación de otros que poseen ciertas características
particulares, que al cumplir ciertas reglas no es necesario realizar la multiplicación.
*Cuadrado de una suma de 2 términos
(a+b)ˆ2=aˆ2+2ab+bˆ2
*Cuadrado de la diferencia de 2 términos
(a-b)ˆ2=aaˆ2-bˆ22-2ab+baˆ2-bˆ2
*Producto de una suma de 2 términos por su diferencia
(a+b)(a-b)=aˆ2-bˆ2
Cuando el polinomio base o binomio ( a+b) está elevado a otra potencia distinta al cuadrado
(xˆ2), se deben emplear otras herramientas, las cuales son: el Binomio de Newton y el Triangulo
de Pascal.
El Producto Notable es una herramienta útil para resolver operaciones de polinomios siempre
que estos sean de 2 términos, para ampliar un poco mas el campo veamos que ocurre cuando se
trata de un trinomio:
Para el cuadrado de un trinomio se siguen unas reglas sencillas:
- Se elevan cada uno de los términos al cuadrado
- Se agregan el doble de las combinaciones entre pares de los términos del trinomio.
- De ser todos los términos positivos el resultado debe tener a cada uno de los términos
positivos, pero si alguno o algunos de los términos es negativo, hay que aplicar la Ley de
multiplicación de Signos cuando se vaya a realizar la combinación par de términos.
Ejemplos:
***Aplicando las reglas antes descritas***
(a+b+c)ˆ2
- Cada uno de los términos al cuadrado
- El doble de las combinaciones en pares, es decir, cada uno de los términos combinado con otro
de los términos hasta acabar las combinaciones.
“a” tan solo puede combinarse con “b” y con “c”; pero “b” tan solo puede con “c” ya que su
combinación con “a” ya fue identificada, dejando a “c” sin combinarse ya que su combinación
con “a” y con “b” también fueron identificadas. Las combinaciones NO se pueden repetir.

12. Al final se obtiene , como tiene que ser dobles: .
- Y por último el signo, como los términos del trinomio original son positivos el resultado debe
tener todos sus términos positivos.
(a+b+c)ˆ2=aˆ2+bˆ2+cˆ2+2ab+2ac+2bc
***verificar el resultado, realizando la operación de manera tradicional***
2)
***Aplicando las reglas antes descritas***
(a-b+c)ˆ2
- Cada uno de los términos al cuadrado aˆ2 bˆ2 cˆ2, el término “b” queda positivo ya que -*-=+.
- El doble de las combinaciones en pares, es decir, cada uno de los términos combinado con otro
de los términos hasta acabar las combinaciones. Teniendo en cuanta que cualquier término
multiplicado por “b” será negativo ya que +*-=-
Al final se obtiene - - .
- Y por último el signo, respetando el resultado de la Ley de Signos aplicada en los pasos
previos.
(a-b+c)ˆ2=aˆ2+bˆ2+cˆ2-2ab+2ac-2bc
PRODUCTOS NOTABLES
Sean y expresiones algebraicas entonces:
PN1:
PN2:
PN3:
Ejemplo 1
Efectúe la operación: 2x(3 - x).
Solución:
Luego

13. Factorización:
es el proceso de encontrar dos o más expresiones cuyo producto sea igual a una expresión dada; es decir, consiste
en transformar a dicho polinomio como el producto de dos o más factores. Encontrar los polinomios raíz de otros
más complejos.
1. Factor Común.
Consiste en simplificar todos los términos del polinomio por un mismo coeficiente, ya sea una letra o un numero, o
la combinación de ellos.
*6xyˆ3 - 9nxˆ2yˆ3 + 12nxˆ3yˆ3 - 3nˆ2xˆ4yˆ3
- Todos los términos son divisibles entre 3
- En todos los términos hay X y Y, N no está en todos los términos. El menor exponente de X es 1, y el menor
exponente de Y es 3.
- El factor común es 3xyˆ3
6xyˆ3 - 9nxˆ2yˆ3 + 12nxˆ3yˆ3 + 3nˆ2xˆ4yˆ3 /3xyˆ3= 2 - 3nx + 4nxˆ2 - nˆ2xˆ3
El resultado se expresa: 3xyˆ3(2 - 3nx + 4nxˆ2 - nˆ2xˆ3)
1.1 . Factor Común por agrupación de
términos.
*2xa - 2x – ya + y
- No todos los términos tienen el mismo factor común, podemos dividir el polinomio en dos a) 2xa - 2x y b) – ya +
y
- En a) el coeficiente en común es: 2x
2xa - 2x / 2x =a-1. Resultado: 2x(a-1)
- En b) el coeficiente en común es: y
y – ya / y =1-a. Resultado: y(1-a)
- Combinando los resultados de a) y b) queda: 2x(a-1)+y(1-a). Aquí podríamos seguir simplificando pero hay una
diferencia de signos entre los componentes que se encuentran dentro del paréntesis. Se resuelve extrayendo el signo
negativo de uno de ellos respetando la Ley de Signos.
Procedimiento: y(1-a), se divide entre un signo menos y queda:
-y(-1+a), ordenado: -y(a-1).
Reescribiendo el polinomio queda: 2x (a-1) – y(a-1), ahora si identificamos otro nuevo factor (a-1)
2x (a-1) – y(a-1) / (a-1) = 2x – y
Resultado: (2x – y) (a-1)

14. Bibliografía
http://proyectos.javerianacali.edu.co/cursos_virtuales/pregrado/matematicas_fundamentales/Ex
presiones/Cap2/#:~:text=SUMA%20DE%20EXPRESIONES%20ALGEBRAICAS,con%20res
pecto%20de%20la%20suma.
http://grupo5511087.blogspot.com/p/suma-y-resta-de-polinomios.html
https://www.ejemplode.com/5-matematicas/4670-
ejemplo_de_suma_algebraica.html#ixzz6kJU9yb9F
https://www.ejemplode.com/5-matematicas/4671-
ejemplo_de_resta_algebraica.html#ixzz6kJa2gN1N
https://ciencias-basicas.com/matematica/elemental/operaciones-algebraicas/multiplicacion-
algebraica/
http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/expralge/multip1.htm
https://sites.google.com/site/soportymantenec1c/parcial-2/division-de-expresiones-
algebraicas#:~:text=La%20divisi%C3%B3n%20de%20expresiones%20algebraicas,a%202%20
expresiones%20algebraicas%20dividi%C3%A9ndose.
https://ejerciciosalgebra.wordpress.com/category/divisiones-algebraicas/
https://jcastrom.jimdofree.com/matematica/matem%C3%A1tica-general/factorizaci%C3%B3n-
factor-com%C3%BAn/
http://marianpietroniro.blogspot.com/2007/04/producto-notable-y-factorizacin.html