Factorización de ecuaciones cuadráticas 2

2. Objetivo:
• Que los estudiantes puedan determinar las los factores
que generan una ecuación cuadrática o de segundo
grado.
Indicadores:
• Entiende qué son las ecuaciones cuadráticas o de
segundo grado, los tipos que existen, y cómo resolver
ecuaciones cuadráticas paso a paso.
• Determina los binomios o monomios factores de una
ecuación cuadrática.
• Calcula las raíces de una ecuación cuadrática.
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3. Ecuación cuadrática o de segundo
grado.
• Una ecuación de segundo grado o
ecuación cuadrática de una variable es
una ecuación que tiene la expresión
general:
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 𝒂 ≠ 𝟎
• Donde x es la variable, y a, b y c
constantes; a es el coeficiente
cuadrático (distinto de 0), b el
coeficiente lineal y c es el término
independiente.
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4. 4
Factorización en dos binomios
Ahora estudiaremos cómo realizar la factorización de una ecuación de la
forma :
𝑥2
+ (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏 = 0
Este tipo de ecuaciones, no se trata de un trinomio cuadrado perfecto
(recordemos el tema de trinomio cuadrado perfecto, visto en clase, durante el
primer trimestre), ya que el término independiente no tiene raíz cuadrada
exacta, y el término lineal, no es el doble producto del primer término,
multiplicado por el segundo:
Un ejemplo de trinomio cuadrado perfecto sería la ecuación:
𝑥2
+ 8𝑥 + 16 = 0
La cual se obtiene del binomio al cuadrado:
(𝑥 + 4)2
= 𝑥 + 4 𝑥 + 4 = 𝑥2
+ 8𝑥 + 16

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Factorización en dos binomios
Por ejemplo, se tiene la ecuación
𝑥2
+ 5𝑥 + 6 = 0
Debemos fijarnos tanto en el coeficiente del término lineal (5) como en el
término independiente (6), debemos obtener dos números tales que:
• Al multiplicarlos nos de como resultado el término independiente:
(2)(3) = 6
• Al sumarlos, se tenga el término lineal: 2 + 3 = 5
Por lo tanto, la ecuación se puede factorizar de la siguiente forma:
𝑥 + 2 𝑥 + 3 = 0
Cuyas raíces son:
𝑥1 + 2 = 0
𝒙𝟏 = −𝟐
𝑥2 + 3 = 0
𝒙𝟐 = −𝟑

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Factorización en dos binomios (ejemplo 1):
Factorizar la ecuación: 𝑥2
+ 12𝑥 − 7
Una técnica sencilla para hallar los valores que necesitamos es buscar los
factores del coeficiente del término lineal (12), tanto positivos como
negativos:
Factores positivos: 12 = (1)(12) = (2)(6) = (3)(4)
Factores negativos= (-1)(-12) = (-2)(-6) = (-3)(-4)
Si nos damos cuenta, los únicos que podemos utilizar son (3)(4) y (-3)(-4):
• Probamos los factores positivos:
(3)(4) = 12
3 + 4 = 7 por lo que no cumple con ser igual a -7
• Probamos los factores negativos:
(-3)(-4) = 12
-3 - 4 = -7 si cumple con los dos valores buscados (12 y -7).
La ecuación se puede factorizar como: 𝒙 − 𝟑 𝒙 − 𝟒 = 𝟎
Las raíces son: 𝒙𝟏 = 𝟑; 𝒙𝟐 = 𝟒

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Factorización en dos binomios (ejemplo 2):
Factorizar la ecuación: 𝑥2
− 10𝑥 + 3
En este caso, dado que el signo del coeficiente del término lineal y del
término independiente son contrarios, debemos probar con una combinación
de factores positivos y negativos:
Factores de -10 = (-1)(10) = (-2)(5) = (1)(-10) = (2)(-5)
Si nos damos cuenta, los únicos que podemos utilizar son (-2)(5) y (2)(-5):
• Probamos los factores positivos:
(-2)(5) = -10
-2 + 5 = 3 si cumple con los dos valores buscados (12 y -7).
• No es necesario probar con los otros factores, pero sólo como
demostración:
(2)(-5) = -10
2 - 5 = -3 no cumple con los valores buscados (-10 y 3).
La ecuación se puede factorizar como: (𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟓) = 𝟎
Las raíces son: 𝒙𝟏 = 𝟐; 𝒙𝟐 = −𝟓

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Factorización en dos binomios (ejemplo 3):
Factorizar la ecuación: 𝑥2 + 16𝑥 + 8
Factores positivos de 16 = (1)(16) = (2)(8) = (4)(4)
Factores negativos de 16 = (-1)(-16) = (-2)(-8) = (-4)(-4)
Si nos damos cuenta, los únicos que podemos utilizar son (4)(4) y (-4)(-4):
• Probamos los factores positivos:
(4)(4) = 10
4 + 4 = 8 si cumple con los dos valores buscados (16 y 8).
• No es necesario probar con los otros factores
La ecuación se puede factorizar como: (𝒙 + 𝟒)(𝒙 + 𝟒) = 𝟎
La raíz es: 𝒙 = −𝟒 (se toma únicamente un valor (4) ya que es el mismo para
las dos raíces).

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Factorización en dos binomios (ejemplo 4):
Factorizar la ecuación: 𝑥2
− 15𝑥 − 3
Factores de -15 = (-1)(15) = (-3)(5) = (1)(-15) = (3)(-5)
Si nos damos cuenta, los únicos que podemos utilizar son (3)(-5) y (-3)(5):
• Probamos los factores:
(3)(-5) = -15
3 - 5 = -3 si cumple con los dos valores buscados (-15 y -3).
• No es necesario probar con los otros factores
La ecuación se puede factorizar como: (𝒙 + 𝟑)(𝒙 − 𝟓) = 𝟎
Las raíces son: 𝒙𝟏 = −𝟑; 𝒙𝟐 = 𝟓

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Factorización en dos binomios (ejemplo 5):
Factorizar la ecuación: 𝑥2 + 20𝑥 − 9
Factores positivos de 20 = (1)(20) = (2)(10) = (4)(5)
Factores negativos de 20 = (-1)(-20) = (-2)(-10) = (-4)(-5)
Si nos damos cuenta, los únicos que podemos utilizar son (4)(5) y (-4)(-5):
• Probamos los factores positivos:
(4)(5) = 20
4 + 5 = 9 no cumple con los dos valores buscados (20 y - 9).
• Probamos los factores negativos:
(-4)(-5) = 20
-4 - 5 = -9 si cumple con los dos valores buscados (20 y - 9).
La ecuación se puede factorizar como: (𝒙 − 𝟒)(𝒙 − 𝟓) = 𝟎
Las raíces son: 𝒙𝟏 = 𝟒; 𝒙𝟐 = 𝟓