Presentación ecuaciones diferenciales

1. Integración
por Facciones
Parciales
Cálculo integral
Mg. Leidy Marcela Gómez Melo

2. ¿Qué es una fracción Racional?
Una fracción racional es una expresión de la forma
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
donde P y Q son polinomios
¿Se puede resolver por sustitución?

3. El Método De Fracciones Parciales
Se busca determinar a partir de una fracción algebraica, de qué fracciones simples provino.
Ejemplos:

5. Descomposición
en Fracciones
Parciales
Para realiza el proceso de descomposición
de una expresión
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
es fracciones simples
se presentas tres casos
Caso 1: cuando 𝑄 𝑥 se puede factorizar
como producto de factores lineales
𝑄 𝑥 = 𝑥 − 𝑎 𝑥 − 𝑏 𝑥 − 𝑐 …
Entonces la fracción
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
se puede escribir
como:
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
=
𝐴
𝑥 − 𝑎
+
𝐵
𝑥 − 𝑏
+
𝐶
𝑥 − 𝑐
+ ⋯

6. Caso 1:
producto de
factores lineales
Ejemplo: calcular la integral de
න
3x − 1
x2 − x − 6
dx

7. Se calcula el valor de las constantes
Forma 1

8. Forma 2

9. Se calcula la integral con las fracciones simples
resultantes

10. Descomposición
en Fracciones
Parciales
Para realiza el proceso de descomposición de una
expresión
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
es fracciones simples se presentas tres
casos
Caso 2: cuando 𝑄 𝑥 se puede factorizar como
producto de factores lineales repetidos
𝑄 𝑥 = 𝑥 − 𝑎 𝑛
Entonces la fracción
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
se puede escribir como:
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
=
𝐴
𝑥 − 𝑎
+
𝐵
(𝑥 − 𝑎)2
+
𝐶
(𝑥 − 𝑎)3
+ ⋯

11. Caso 2: factores
lineales repetidos
Ejemplo: calcular la integral de
න
5𝑥2
+ 20𝑥 + 6
x3 + 2𝑥2 + x
dx

13. Se calcula el valor de las constantes
Forma 2

14. Se calcula la integral con las
fracciones simples resultantes

15. Descomposición en
Fracciones Parciales
Para realiza el proceso de descomposición de una
expresión
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
es fracciones simples se presentas tres
casos
Caso 3: cuando 𝑄 𝑥 se puede factorizar como
producto de factores cuadráticos irreducibles distintos
𝑄 𝑥 = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑑𝑥2
+ 𝑒𝑥 + 𝑓 …
Entonces la fracción
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
se puede escribir como:
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
=
𝐴𝑥 + 𝐵
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
+
𝐶𝑥 + 𝐷
𝑑𝑥2 + 𝑒𝑥 + 𝑓
+ ⋯

16. Caso 3: factores
cuadráticos
irreducibles distintos
Ejemplo: calcular la
integral de
න
−2x − 4
x3 + 𝑥2 + x
dx

20. Integrales que producen Arctang
La forma general de la Arctang es de la siguiente manera
Ejemplo: calcular la integral de

24. Integrales que producen Arctang
La forma general de la Arctang es de la siguiente manera
Ejemplo: calcular la integral de