Grupo 21

1. Expresiones algebraicas básicas,
polinomios, casos de factorización,
expresiones algebraicas racionales.
Algebra, Trigonometria y Geometria Analitica
Grupo: 21
Paso 2: contextualización y profundización de los conocimientos de la unidad 1
Septiembre 2020
Ana Silvia Espinosa Ramírez
Johana Patricia Álzate
Catalina Moreno Alfonso

2. Expresiones algebraicas básicas
Es la unión de términos algebraicos por medio de las operaciones
fundamentales del algebra como la suma y la resta.
Ejemplo: 5𝑥2 + 3𝑦 + 8
El termino se encuentra compuesto de la siguiente forma:

3. Recordemos…
• Para sumar o restar expresiones algebraicas, se deben identificar los términos semejantes
para luego sumar o restar los coeficientes.
Ejemplo: 3𝑥 + 5𝑦 + 1 + 2𝑥 − 3𝑦 + 8 = 5𝑥 + 2𝑦 + 9
• Cuando los términos tienen el mismo signo se suma y se deja el mismo signo.
Ejemplo: −4𝑏 − 9𝑏 = −13𝑏
• Cuando los términos tienen diferente signo se resta y se deja el signo del numero mayor.
Ejemplo: 7𝑎 − 2𝑎 = 5𝑎
• Cuando se suman fraccionarios homogéneos, se suman los numeradores y se deja el mismo
denominador.
Ejemplo:
1
5
𝑐3
+
7
5
𝑐3
−
2
5
𝑐3
=
1+7−2
5
𝑐3
=
6
5
𝑐3

4. Recordemos…
• Cuando se suman fraccionarios no homogéneos se halla el denominador común, el
cual se divide por cada uno de los denominadores y se multiplica por su respectivo
numerador.
Ejemplo:
1
2
𝑏 +
2
3
𝑏 −
7
6
𝑏 +
1
2
𝑏 − 𝑏 =
1
2
+
2
3
−
7
6
+
1
2
𝑏 =
6
2
1 +
6
3
2 −
6
6
7 +
6
2
1
6
𝑏 =
3 + 4 − 7 + 3
6
=
3
6
𝑏 =
1
2
𝑏
• Cuando un paréntesis esta precedido por el signo + se deja el mismo signo.
Ejemplo: 2𝑥 + 5𝑦 − 7𝑥 = 2𝑥 + 5𝑦 − 7𝑥 = −5𝑥 + 5𝑦
• Cuando un paréntesis esta precedido por el signo – se cambia el signo.
Ejemplo: 4𝑥2
-4𝑥2
− 2𝑥 − 6𝑥2
+ 7𝑥 = 4𝑥2
− 2𝑥 + 6𝑥2
− 7𝑥 = 10𝑥2
− 9𝑥

5. Recordemos…
Para realizar una multiplicación:
- Primero se multiplican los signos.
- Luego se multiplican los coeficientes.
- Por ultimo las bases, recordando las propiedades de la potenciación.
Ejemplo: 3𝑎3 −7𝑎2 = −21𝑎5
• Cuando dividimos potencias con la misma base, se deja la misma base y los
exponentes se restan.
- Primero se dividen los signos.
- Luego se dividen los coeficientes.
- Se dividen las bases.
- Por ultimo se restan los exponentes.
Ejemplo: 24𝑎8
÷ 6𝑎3
= 4𝑎5

6. Más divisiones…
Miremos otro caso:
𝑥3 + 𝑥 − 4𝑥2 ÷ 𝑥 =
Se divide cada uno de los términos del dividendo por el divisor:
𝑥3 ÷ 𝑥 = 𝑥3−1 = 𝑥2
𝑥 ÷ 𝑥 = 𝑥1−1 = 𝑥0 = 1
−4𝑥2 ÷ 𝑥 = −4𝑥2−1 = 4𝑥
Finalmente el resultado es:
𝑥2 − 4𝑥 − 1

7. División de polinomios
Los pasos para dividir polinomios son similares a la división aritmética.
𝑎 − 20 + 𝑎2 ÷ 𝑎 − 4 =
Se ordenan los polinomios en orden descendente de sus exponentes:
𝑎2 + 𝑎 − 20 𝑎 − 4
El primer termino del dividendo se divide por el primer termino del divisor y el
resultado corresponde al primer termino del cociente:
𝑎2 ÷ 𝑎 = 𝑎
Se multiplica el primer termino del cociente por cada uno de los términos del divisor y
el producto se resta a cada uno de los términos del dividendo:
𝑎. 𝑎 = 𝑎2
𝑎. −4 = −4𝑎

8. Continuamos con la división
𝑎2 + 𝑎 − 20
−𝑎2 + 4𝑎
0 + 5𝑎 − 20
Ahora el primer termino del nuevo dividendo se divide por el divisor y se repiten las
operaciones:
5. 𝑎 = 5𝑎
5.4 = 20
Restamos:
0 + 5𝑎 − 20
−5𝑎 + 20
0 0

9. Cuadrado de Polinomios
• El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado del primer termino,
mas dos veces el primero por el segundo, mas el segundo al cuadrado.
Ejemplo:
5 + 𝑚 2
=
52
+ 2.5. 𝑚 + 𝑚2
=
25 + 10𝑚 + 𝑚2

10. Clasificación de polinomios según el número de términos
• BINOMIO: so aquellos que están formados por dos términos.
Ejemplo: 5𝑥 + 4𝑥7
• TRINOMIO: aquellos que están compuestos por tres términos.
Ejemplo: 3𝑥2 + 10𝑥 − 8
• CUATRINOMIO: se componen por cuatro términos.
Ejemplo: 𝑦3 + 5𝑦2 − 𝑦 + 18

11. Clasificación de polinomios según su grado
• POLINOMIO NULO: aquel donde sus coeficientes son todos iguales a cero (0).
• POLINOMIO DE PRIMER GRADO: se presenta cuando el exponente mayor de una
variable coincide o es igual a uno (1).
Ejemplo: 𝑃 𝑥 = 5𝑥 + 4𝑥 + 3
• POLINOMIO DE SEGUNDO GRADO: son aquellos cuyo valor del exponente de su
variable es igual a dos (2), o el mayor valor de la variable es igual a dos.
Ejemplo: 𝑃 𝑥 = 4𝑥 + 3 + 8𝑥2
• POLINOMIO DE TERCER GRADO: aquellos cuyo valor mayor de la variable es
igual o superior a tres (3).
Ejemplo: 𝑃 𝑥 = 8𝑥3
+ 4𝑥 + 5

12. Factorización
Consiste en presentar un polinomio en factores y se usa para simplificar fracciones;
es el paso contrario a los productos notables.
Para llevar a cabo una factorización se selecciona el termino común con el menor
exponente y luego se coloca como coeficiente de un paréntesis; luego se coloca
dentro del paréntesis el resultado de dividir cada uno de los términos dados por el
factor común.
Ejemplo: 𝑚2
+ 5𝑚𝑛 + 3𝑚 = 𝑚 𝑚 + 5𝑛 + 3
Cuando no hay un termino que esté común en todos, se deben agrupar los términos.
Ejemplo: 𝑚2 − 6𝑚𝑛 + 2𝑚 − 12𝑛 = 𝑚2 − 6𝑚𝑛 + 2𝑚 − 12𝑛 = 𝑚 𝑚 − 6𝑛 +
2 𝑚 − 6𝑛

13. Factor común
• En este caso se selecciona el termino común con el menor
exponente, para luego colocarlo como coeficiente de un
paréntesis; dentro del paréntesis se coloca el resultado de dividir
cada uno de los términos dados por el factor común.
Ejemplo: 𝑚2
+ 5𝑚𝑛 + 3𝑚 = 𝑚(𝑚 + 5𝑛 + 3)

14. Diferencia de cuadrados perfectos
En este caso se extrae la raíz cuadrada a cada uno de los términos de la
diferencia de los cuadrados y la suma de las raíces se multiplica por la
diferencia de las raíces.
Ejemplo: 81 − 𝑚2 = 9 + 𝑚 9 − 𝑚
Para dividir fracciones se multiplica el dividendo por el reciproco de divisor.
Ejemplo:
6𝑎𝑏
3𝑧2 ÷
2𝑥𝑧
2𝑦
=
6𝑎𝑏
3𝑧2 .
2𝑦
2𝑥𝑧
=
12𝑎𝑏𝑦
6𝑥𝑧3
Otra forma para dividir fracciones consiste en el producto de extremos sobre
producto de medios.
Ejemplo:
6𝑎𝑏
3𝑧2
2𝑥𝑧
2𝑦
=
6𝑎𝑏.2𝑦
3𝑧2.2𝑥𝑧
=
12𝑎𝑏𝑦
6𝑥𝑧3

15. Trinomio cuadrado perfecto
• Se parte de 𝑎2
+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2
para llegar a 𝑎 𝑎 + 𝑏 2
; para ello se ordena con relación a
una letra, luego se sacan las raíces cuadradas de los extremos, luego las raíces se
multiplican por 2 y si el producto es igual al del segundo termino del trinomio, se trata de
un trinomio cuadrado perfecto y su factorización es igual a la suma o diferencia de las
dos raíces elevadas al cuadrado.
Ejemplo: 𝑏4 + 2𝑏2 + 1
Las raíces de los extremos son: 𝑏2 y 1
El duplo de la multiplicación de estas dos raíces es 2. 𝑏2. 1 = 2𝑏2
Se comprueba que sí es un trinomio cuadrado perfecto y su factorización es
(𝑏2 + 1)2

16. Trinomio de la forma 𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
• Se coloca la raíz del primer termino en dos factores, luego se halla un par
de números que multiplicados den el valor del ultimo termino del trinomio
y sumados tengan un valor igual al coeficiente del segundo termino.
Ejemplo: 𝑚2
+ 5𝑚 + 6 = 𝑚 + 3 𝑚 + 2

17. Trinomio de la forma 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
• Se multiplican todos los términos por el coeficiente del primer termino.
• Se saca la raíz y se distribuye en dos paréntesis.
• Luego se divide por el mismo numero para no cambiar la expresión, para lo cual se
puede factorizar el denominador, de modo tal que pueda dividir exactamente a los
factores del numerador.
Ejemplo: 12𝑎2
+ 7𝑎 − 10
144𝑎2
+ 7 12 𝑎 − 120
12𝑎 − 8 12𝑎 + 15
12𝑎 − 8 12𝑎 + 15
4 . 3
(3𝑎 − 2)(4𝑎 + 5)

18. Suma o diferencia de cubos perfectos
• La suma de dos cubos perfectos es igual a la suma de las
raíces multiplicadas por la primera raíz elevada al cuadrado,
menos la primera por la segunda mas la segunda al cuadrado.
Ejemplo: 64𝑥3
+ 125𝑦3
4𝑥 + 5𝑦
4𝑥 + 5𝑦 ( 4𝑥 2
− 4𝑥 5𝑦 + 5𝑦 2
)
(4𝑥 + 5𝑦)(16𝑥2
− 20𝑥𝑦 + 25𝑦2

19. Carlos, L.(2020).OVI lenguaje algebraico. Universidad Nacional Abierta y a
Distancia. https://repository.unad.edu.co/handle/10596/36117
Elles, L. (2018). OVI Clasificación de las Expresiones algebraicas . https://youtu.be/V-_5W9MxeO4
Moreno Y. (2014). OVI Algebra Simbólica. Universidad Nacional Abierta y a
Distancia. http://hdl.handle.net/10596/11601
Ramírez, V. A. P., & Cárdenas, A. J. C. (2001). Matemática universitaria: conceptos y aplicaciones
generales. Vol. 1. Editorial Cyrano. Páginas 59 - 82. https://elibro-
net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/85383?page=66
Rondón, J. (2017). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Universidad Nacional Abierta y a
Distancia. Páginas 136 – 235. https://repository.unad.edu.co/handle/10596/11583
Rondón, J. (2005) Matemática Básica. Universidad Nacional Abierta y a
Distancia. http://hdl.handle.net/10596/7425
Referencias bibliográficas

20. ¡GRACIAS POR SU ATENCIÓN!