Factorizacion

NOMBRE: VANESSA PAUCAR
Curso: 1ro CIENCIAS 2f2

FACTORIZACION
CASOS 1:

FACTOR COMÚN :

Se escribe el factor común (F.C.) como un coeficiente de un paréntesis y dentro del
mismo se colocan los coeficientes que son el resultado de dividir cada término del
polinomio por el F.C.

Añadir la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor
exponente y el divisor común de sus coeficientes, y para sacar esto, hay una
regla muy sencilla que dice:
Cuadrado del primer término más o menos cuadrado del segundo por el
primero más cuadrado del segundo, y no hay que olvidar, que los dos que
son positivos iguales funcionan como el primer término, sabiendo esto, será
sumamente sencillo resolver los factores comunes.

2)

 FACTOR COMUN MONOMIO

Factor común por agrupación de términos

ab+ac+ad= a (b + c + d)

ax+bx +ay+ by = a(x + y ) + b (x + y )=(x + y)(a + b)

Y si solo si el polinomio es 0 y el tetranomio nos da x.

Factor común polinomio

Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las
variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor
común no solo cuenta con un término, sino con dos.

Se aprecia claramente que se está repitiendo el polinomio (x-y), entonces ese será
el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio
original, es decir:

=

Ejemplo:


CASO 2:

FACTOR COMUN POR AGRUPACION DE TERMINOS:

Descomponer

Ax+bx + ay + by

Los dos primeros términos tienen el factor común x y los dos últimos el factor
común y

.Agrupamos los dos primeros en un paréntesis y los dos últimos en otro precedido
del signo + porque el tercer término tiene el signo (+):

Caso 3:

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

 Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces
cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del
primero por el segundo.
 Para solucionar un Trinomio Cuadrado Perfecto debemos reordenar los
términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz
cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y
los escribimos en un paréntesis.
 Separándolos por el signo que acompaña al segundo término, al cerrar el
paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.

Un Trinomio Cuadrado Perfecto debemos reordenar los términos dejando de
primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la
raíz cuadrada del primer y


Organizando los términos tenemos

Extrayendo la raíz cuadrada del primer y último término y agrupándolos en un
paréntesis separado por el signo del segundo término y elevando al cuadrado nos
queda:

Al verificar que el doble producto del primero por el segundo término es -20xy
determinamos que es correcta la solución. De no ser así, esta solución no aplicaría.

Caso 4:

Diferencia de cuadrados

 Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el
signo menos.
 Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la
forma (a-b) (a+b), uno negativo y otro positivo.

en una forma más general para exponentes pares:

Y utilizando una productora podemos definir una factorización para
cualquier exponente, el resultado nos da r+1 factores.
Ejemplos.

X2 - 9/25 = (x + 3/5).(x - 3/5)

X= 3/5

R= 9/25 es cuadrado. Porque 9 es cuadrado (de 3), y 25 también (de 5)

La factorización de la diferencia o resta de cuadrados consiste en obtener la
raíz cuadrada de cada término y representar estas como el producto de
binomios conjugados.

CASO 5:

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACCION

 Se identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos,
pero el restante hay que completarlo mediante la suma para que sea el
doble producto de sus raíces, el valor que se suma es el mismo que se resta
para que el ejercicio original no cambie.


 Un trinomio cuadrado perfecto es el desarrollo de un un binomio al
cuadrado.

A2 + 2 a b + b2 = (a + b)2

 Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto

Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando la
primera y tercer letra son cuadrados perfectos (o tienen raíz cuadrada exacta) y
son positivos y el segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas.

X2 + 2x + 1 = (x + 1)2

x = 1

2.1.x = 2x

CASO 6. - TRINOMIO DE LA FORMA

Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y
uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis,
en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que
multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo
ser números negativos) den como resultado el término

Este tipo de trinomio se diferencia del anterior debido a que el termino al
cuadrado ( ) se encuentra precedido por un coeficiente diferente de uno (debe
ser positivo). Este se trabaja de una manera un poco diferente, la cual detallamos a
continuación:


1. Multiplicamos el coeficiente “a” del factor “a” por cada término del trinomio,
dejando esta multiplicación indicada en el término “bx” de la manera “b
(ax)”, y en el término “a” de la manera.
2. Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer término
será la raíz cuadrada del término la que sería “ax”.
3. Al producto resultante lo dividimos entre el factor “a”, con el fin de no
variar el valor del polinomio.
4. El signo del primer binomio será el mismo signo que tenga el término “bx”,
el signo del segundo binomio será igual a la multiplicación de los signos de
“bx” y de “c”.
5. Se buscaran los segundos términos de los binomios según los pasos tres y
cuatro del caso del trinomio anterior.

EJEMPLOS:

 4x2 + 8x + 3

= 4x2 + 6x + 2x + 3

= (4x2 + 6x) + (2x + 3)

= 2x (2x + 3) + (2x + 3)

= (2x + 1) (2x + 3)

 2x2 + 5x + 3

= 2x2 + 3x + 2x + 3


= x (2x+3) + (2x + 3)

= (2x + 3) (x + 1)

CASO 7: TRINOMIO DE LA FORMA

El Trinomio de la forma x2 +bx +c, debe cumplir las siguientes condiciones:

1) El coeficiente del 1° término debe ser 1.

2) El 1° término debe ser una letra cualquiera elevada al cuadrado.

3) El 2° término tiene la misma letra que el 1° con exponente 1 y su coeficiente es
una cantidad cualquiera positiva o negativa.

4) El 3° término es una cantidad cualquiera positiva o negativa, sin letra como el 1°
y el 2° término.

Procedimiento

1°) Se descompone el trinomio en 2 factores binomios, cuyo 1° término en ambos
factores, es la raíz cuadrada del primer término del trinomio. (x )(x )

2°) En el 1° factor después de la letra se escribe el signo del 2° término del
trinomio ( x+ ), y en el 2° factor después de la letra se escribe el signo que resulta
de multiplicar el signo del 2° término del trinomio por el signo del 3° término del
trinomio. (x)(x) = x –> (x+)

3°) Si los factores binomios tienen el mismo signo después de la letra (x+ )(x+ ) se
buscan 2 números cuya suma sea igual al valor absoluto del coeficiente del 2°
término del trinomio; y cuyo producto sea igual al valor absoluto del coeficiente
del 3° término del trinomio. Y estos 2 números se colocan como 2° términos
dentro de los factores binomios.

4°) Si los 2 factores binomios tienen signos distintos después de la letra (x+ )(x- )
ó (x- )(x+ ) se buscan 2 números cuya diferencia sea el valor absoluto del
coeficientes del 2° término del trinomio; y cuyo producto sea igual al valor
absoluto del coeficiente del 3°término del trinomio.

Ejemplo:

Factorar x^2 +5x +6

 Descomponer el trinomio en dos factores binomios:

–> raíz cuadrada de x^2 = x –> (x )(x )

 Signos de los binomios:
 1° binomio: signo del 2° término del trinomio es “+”


 2° binomio: producto de los signos del 2° y 3° términos del trinomio (+)(+)
= “+” --> (x+ )(x+ )
 Como los signos de los binomios son iguales:

Números buscados: 3 y 2 porque:

3+2 = 5 que es igual al 2° término del trinomio.

(3)(2) = 6 que es igual al 3° término del trinomio. = (x+3)(x+2

CASO 8:

CUBO PERFECTO DE BINOMIOS

Para que una expresión sea el cubo perfecto de un binomio debe:

 Tener cuatro términos.
 Que el primer y cuarto término sean cubos perfectos.
 Que el segundo sea el triplo del cuadrado de la raíz cubica del primer
término por la raíz cubica del cuarto termino.
 Que el tercer término sea el triplo de la raíz cubica del primer término por
el cuadrado de la raíz cubica del ultimo termino.
 Si todos los términos son positivos, la expresión dada es el cubo de las
raíces cubicas del primer y últimotérmino.
 Si los términos son alternativamente negativos y positivos, la expresión
dada es la diferencia de las raíces cubicas del primer y últimotérmino.

Ejemplos:

CASO 9:

SUMA O DEFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

Recordamos los cocientes notables:

y como en toda división exacta el dividendo es igual al producto del divisor por el
cociente, tendremos:


En base a lo anterior podemos definir que la suma de dos cubos perfectos se
descompone en dos factores:

Factorar:

La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:

 La diferencia de sus raíces cubicas.
 El cuadrado de la primera raíz más el producto de ambas raíces más el
cuadrado de la segunda. Ejemplo:

CASO 10:

SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES

1. Se abren dos paréntesis
2. En el primer paréntesis se escribe la suma o la diferencia, según el caso, de
las raíces cúbicas de los dos términos
3. En el segundo paréntesis se escribe el cuadrado de la primera raíz, menos
(si es una suma de cubos) o más (si es una diferencia de cubos) el producto
de la primera raíz por la segunda, más el cuadrado de la segunda raíz


CASO 11:

REDUCCION DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Reducir una fracción es cambiar su forma pero no su valor.

Ejemplo

Para reducir o simplificar una fracción algebraica, tome en cuenta lo
siguiente:
Si el numerador y denominador son monomios, efectúe la simplificación
utilizando ley de la división de monomios y cancele los factores comunes.
Si el numerador t denominador son polinomios, factorice ambos tanto como
sea posible y luego cancele los factores comunes.
El resultado está dado por los factores no comunes del numerador y
denominador de la fracción.
Se deben tomar muy en cuenta las reglas de potenciación.

REDUCIR:


Como numerador i denominador son polinomios, debemos factorizar ambos tanto
como sea posible para encontrar los factores comunes y simplificar:

Ahora cancelaremos los factores que se repiten entre el numerador y
denominador:

CASO 12:

FACTORIZAION POR EL METODO DE EVALUACIO O REGLA DE RUFFINI

Se aplica para dividir cualquier polinomio P(x) para un binomio de primer grado
de la forma (ax + b). Nosotros aquí vamos a estudiar para el caso particular en el
que a = 1. Es decir, dividiremos para el binomio (x + b). Para ello utilizaremos el
siguiente ejemplo:

Solución:

Los números de prueba son: Los números fraccionarios tienen como
numerador los divisores del término independiente y como de nominador los divisores del
coeficiente del término de mayor grado.

PARA:

Ejemplo:


Se puede notar que al probar con menos dos, la división salió exacta.

Dos términos

Ahora, nuestra respuesta consta de 2 términos

Primer término

El -2 salió de un x+2 porque si x+2=0, saldría x=-2 .Eso quiere decir que nuestro
primer término es x+2

Nota: Siempre se iguala a cero y siempre los primeros términos son de la
forma x+a.
Segundo término

El segundo término es el coeficiente de nuestra división por Ruffini, es decir, el
segundo término es x2-x-3 .

Nota: En el segundo término, a veces todavía se puede descomponer por
Resultado final

El resultado final es el el siguiente:

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