Este documento presenta varios ejemplos de funciones y pruebas de sus propiedades. Analiza si funciones específicas son inyectivas, sobreyectivas o biyectivas. Explica cómo probar si una función tiene inversa calculando la función inversa explícitamente. Finalmente, muestra un ejemplo donde la composición de dos funciones no es válida porque el dominio de una función no incluye el valor requerido.

1. Universidad “Fermín Toro”
Vice-Rectorado Académico
Escuela de Ingeniera Mecánica
Cabudare

3.  4. De cada una de las siguientes funciones:
𝑓: [−2,1] ⟶ [0,4]
𝑓(𝑥) = 𝑥2

4.  Una particularidad de las funciones inyectiva se
dice que si trazamos una línea y esta se tocan
en mas de un punto esto indica que las y se
repiten por lo tanto f(x) no es inyectiva
Sabiendo esto tenemos que la función
𝑓(𝑥)^2 restringida por 𝑓[−2,1] −> [0,4]

6. 𝑓: [−2,1] ⟶ [0,4]
𝑓(𝑥) = 𝑥2
𝑥1, 𝑥2 ∈ [−2,1]/𝑥1 = −1 𝑦 𝑥2 = 1
𝑥1 = −1 𝑦 𝑥2 = 1
𝐹 −1 = −1 2
= 1
𝐹(1) = 1 2
= 1
𝑓 −1 = 𝑓 1 𝑝𝑒𝑟𝑜 1 ≠ −1 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑛𝑜
𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎

7.  a. 𝑓: ℝ ⟶ ℝ, 𝑓 𝑥 = −
3𝑥
5
–
1
3
 Para probar que tiene inversa se tiene que
probar su inyectividad
𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) = (𝑥1) = (𝑥2)

8.  𝑓 𝑥1 = 𝑓 𝑥2 = ( −
3𝑥1
5
−
1
3
) = (
3𝑥2
5
−
1
3
)
 = −
3𝑥1
5
−
1
3
=
3𝑥2
5
−
1
3
⇒ −
3𝑥1
5
= −
3𝑥2
5
 = 𝑥1 = −
3𝑥2
5
−
5
3
= 𝑥1 = −
3𝑥2
5
−
5
3
=
 𝑥1 = 𝑥2
cumple con la condición de inyectividad

9.  f: X → Y es sobrebreyectiva si
∀𝑦 ∈ 𝑦, ∃𝑥 ∈ 𝑥/𝑓(𝑥) = 𝑦
𝐹 𝑥 = −
3𝑥
5
−
1
3
𝐹 𝑥 = 𝑦

11.  f: X → Y es sobrebreyectiva si
∀𝑦 ∈ 𝑦, ∃𝑥 ∈ 𝑥/𝑓(𝑥) = 𝑦
𝐹 𝑥 = −
3𝑥
5
−
1
3
𝐹 𝑥 = 𝑦
𝑦 = −
3𝑥
5
−
1
3

12.  𝑦 +
1
3
= −
3𝑥
5
⇒ 𝑦 =
3𝑦+1
3
= −
3𝑥
5
𝑥 = −
5
3
3𝑦+1
3
aplicando distributiva será que
𝑥 = −
−15𝑦 − 5
9
𝑓 = −
15𝑦
9
−
5
9
=− −
3𝑥
5
−
1
3
sustituyendo en x será

13. = −
3
5
15𝑦
9
−
5
9
= −
1
3
aplicando distributiva
−
45𝑦
45
+
15
45
−
1
3
⇒ y +
15
45
−
1
3
sacando
quinceava
1
y +
15
45
−
1
3
= 𝑦 +
1
3
−
1
3
3
= 𝑦 +
1
3
−
1
3
⇒ 𝑦

14.  Por lo tanto se ha demostrado que existe un
𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 = −
15𝑦
9
+
5
9
tal que
𝐹(𝑥) = 𝑦 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑓 es sobreyectiva como f es
inyectiva y sobreyectiva entonces es biyectiva y
por lo tanto es invertible
A hora vamos a calcular la función inversa de
𝑓 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑓−1
𝐹 𝑥 =
3𝑥
5
–
1
3
𝐹−1
=
15𝑦
9
−
5
9

15.  6. 𝑆𝑖 𝑓: ℝ ⟶ ℝ, 𝑓 𝑥 =
5𝑥
4
−
𝑥
𝑥2+1
𝑓: ℝ ⟶ ℝ, 𝑔 𝑥 = −
3𝑥−3
√2−3𝑥
A. 𝑔 𝑜 𝑓 0 ⇒ 𝑔(𝑓 0 )
𝐹 0 =
5 ∗ 0
4
−
0
02 + 1
𝐹(0) = 0 − 0
𝐹(0) = 0
𝑃𝑒𝑟𝑜 𝑔 0 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
.·. (𝑔𝑜𝑓)(0) 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒