Este documento trata sobre fracciones algebraicas. Explica cómo simplificar fracciones algebraicas mediante la factorización del numerador y denominador y cómo realizar las cuatro operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división) con fracciones algebraicas. Proporciona ejemplos detallados de cada uno de estos procesos.

1. ExMa-MA0125. Fracciones algebraicas W. Poveda 1
Fracciones Algebraicas
Objetivos
1. Simpli…car fracciones algebraicas racionales aplicando los métodos de
factorización.
2. Efectuar las operaciones suma, resta, multiplicación o división de frac-
ciones algebraicas racionales.
Temas
1. Simpli…cación de fracciones algebraicas.
2. Operaciones con fracciones algebraicas: suma, resta, multiplicación y
división.
3. Operaciones combinadas de fracciones algebraicas.

2. ExMa-MA0125. Fracciones algebraicas W. Poveda 2
De…nición 1 Sean P(x) y Q(x) dos polinomios, Q(x) 6= 0;
P(x)
Q(x)
se llama
fracción algebraica racional.
Para simpli…car fracciones algebraicas se factoriza tanto el numerador como el
denominador y se aplica la ley de cancelación.
Ejemplo 1 Simpli…car la expresión
x2
+ 2xy 3y2
x2 2xy 15y2
Solución
Factorizamos el numerador x2
+ 2xy 3y2
= (x y) (x + 3y)
Factorizamos el denumerador x2
2xy 15y2
= (x 5y) (x + 3y)
)
x2
+ 2xy 3y2
x2 2xy 15y2
=
(x y) (x + 3y)
(x 5y) (x + 3y)
=
x y
x 5y
Ejemplo 2 Simpli…car
ab(a b) 3a + 3b
a2b 3a
:
Solución
ab(a b) 3a + 3b = (a b) (ab 3)
a2
b 3a = a(ab 3)
)
ab(a b) 3a + 3b
a2b 3a
=
(a b) (ab 3)
a(ab 3)
=
a b
a
Ejemplo 3 Simpli…car
(3x 5)2
4x2
4x2 (x + 1)2
Solución
(3x 5)2
4x2
= 5 (x 1) (x 5)
4x2
(x + 1)2
= (3x + 1) (x 1)
)
(3x 5)2
4x2
4x2 (x + 1)2
=
5 (x 1) (x 5)
(3x + 1) (x 1)
=
5x 25
3x + 1
Multiplicación de fracciones
Para multiplicar fracciones algebraicas se utiliza
P(x)
Q(x)
R(x)
T(x)
=
P(x)R(x)
Q(x)T(x)
con Q(x) 6= 0 ^ T(x) 6= 0

3. ExMa-MA0125. Fracciones algebraicas W. Poveda 3
Ejemplo 4 Simpli…car
x2
+ 2xy 3y2
x2 2xy 15y2
x2
+ xy 30y2
x2 + xy 2y2
x 3y
x + 6y
Solución
x2
+ 2xy 3y2
x2 2xy 15y2
x2
+ xy 30y2
x2 + xy 2y2
x 3y
x + 6y
=
(x y) (x + 3y)
(x 5y) (x + 3y)
(x 5y) (x + 6y)
(x y) (x + 2y)
x 3y
x + 6y
=
1
x + 2y
(x 3y)
=
x 3y
x + 2y
Ejemplo 5 Simpli…car
24q2
(2p + 3q)2
5p3
10p5
9q3(4p2 9q2)
(3q 2p)64q4
p4
Solución
24q2
(2p + 3q)2
5p3
10p5
9q3(4p2 9q2)
(3q 2p)64q4
p4
=
24q2
(2p + 3q)2
5p3
10p5
9q3 (2p 3q) (2p + 3q)
(3q 2p)64q4
p4
=
1024q3
(2p + 3q)
3p2
Ejemplo 6 Simpli…car
q2
p2
pq6
pq + q2
p2
p2
pq
q8
Solución
=
q2
p2
pq6
pq + q2
p2
p2
pq
q8
=
(p q) (p + q)
pq6
q (p + q)
p2
p(p q)
q8
=
q2
p2
pq6
p2
pq + q2
q8
p(p q)
= q

4. ExMa-MA0125. Fracciones algebraicas W. Poveda 4
Ejemplo 7 Simpli…car
u2
2u
v2 v
uv uv2
u2 1
u2
u + 2
Solución
u2
2u
v2 v
uv uv2
u2 1
u2
u + 2
=
u(u 2)
v(v 1)
uv(1 v)
(u + 1)(u 1)
u2
u + 2
=
u(u 2)
v(v 1)
uv(1 v)
(u + 1)(u 1)
u + 2
u2
=
u2
4
u2 1
Ejemplo 8 Simpli…car
h2
+ 5h + 6
k7 9k6
hk 9h
hk + 3k
h3
3h
k8
Solución
h2
+ 5h + 6
k7 9k6
hk 9h
hk + 3k
h3
3h
k8
=
(h + 2)(h + 3)
k6(k 9)
h(k 9)
k(h + 3)
h(h2
3)
k8
=
(h + 2)(h + 3)
k6(k 9)
h(k 9)
k(h + 3)
k8
h(h2 3)
=
kh + 2k
h2 3
=
kh + 2k
3 h2

5. ExMa-MA0125. Fracciones algebraicas W. Poveda 5
Suma de fracciones
Ejemplo 9 Simpli…car
6x
x2 y2
+
2x
xy + y2
+
3
2y 2x
Solución
1. Se factoriza cada denominador
6x
x2 y2
+
2x
xy + y2
+
3
2y 2x
=
6x
(x + y)(x y)
+
2x
y(x + y)
+
3
2(y x)
2. Determinar el mínimo común múltiplo de los denominadores
M.C.M = 2y(x + y)(x y)
3. Se divide M.C.M entre cada denominador y su resultado se multiplica por
cada numerador, antes note el cambio de signos de la tercera fracción
6x
(x + y)(x y)
+
2x
y(x + y)
+
3
2(y x)
=
6x
(x + y)(x y)
+
2x
y(x + y)
3
2(x y)
=
6x 2y + 2x 2 (x y) 3 y (x + y)
2y(x + y)(x y)
4. Se efectúan las operaciones del numerador
4x2
+ 5xy 3y2
2y(x + y)(x y)
como esa fracción no es simpli…cable
6x
x2 y2
+
2x
xy + y2
+
3
2y 2x
=
4x2
+ 5xy 3y2
2y(x + y)(x y)
Ejemplo 10 Simpli…car
2x + 6
x2 + 6x + 9
5x
x2 9
Solución
2x + 6
x2 + 6x + 9
5x
x2 9
=
2(x + 3)
(x + 3)2
5x
(x + 3)(x 3)
=
2
(x + 3)
5x
(x + 3)(x 3)
=
3 (x + 2)
x2 9

6. ExMa-MA0125. Fracciones algebraicas W. Poveda 6
Ejemplo 11 Simpli…car
1
x2 + 2x + 1
+
1
x + 1
2
x + 1
Solución
1
x2 + 2x + 1
+
1
x + 1
2
x + 1
=
1
(x + 1)2
+
1
x + 1
2
x + 1
=
1 + (x + 1) 2 (x + 1)
(x + 1)2
=
x
(x + 1)2
Fracción compleja
Ejemplo 12 Simpli…car
2 +
2
a
a
3a
a + 2
Solución
I. Se realizan las operaciones en el numerador y en el denominador
2 +
2
a
=
2a + 2
a
a
3a
a + 2
=
a(a + 2) 3a
a + 2
=
a2
+ 2a 3a
a + 2
=
a2
a
a + 2
II. Se sustituyen los resultados anteriores y se aplica la propiedad
a
b
c
d
=
ad
bc
; b 6= 0; c 6= 0
2 +
2
a
a
3a
a + 2
=
2a + 2
a
a2
a
a + 2
=
( 2a + 2)(a + 2)
a(a2 a)
III. Se simpli…ca la fracción

7. ExMa-MA0125. Fracciones algebraicas W. Poveda 7
( 2a + 2)(a + 2)
a(a2 a)
=
2(a 1)(a + 2)
a a(a 1)
=
2(a + 2)
a2
Ejemplo 13 Simpli…car la expresión 2
1
x 3
2
2
x 3
Solución
2
1
x 3
2
2
x 3
= 2
1
x 3
2(x 3) 2
x 3
= 2
1
2x 8
=
4x 17
2x 8