Este documento describe el método de integración mediante fracciones parciales. Explica que una fracción racional puede descomponerse en fracciones parciales cuyos denominadores son los factores del denominador original. Luego, al combinar los términos de la suma mediante un denominador común, se obtiene la integral de la fracción racional original. Además, detalla cuatro casos posibles para la descomposición de fracciones racionales dependiendo de si los factores son lineales o cuadráticos, y si son repetidos o no.

1. Felipe de Jesus Sanchez Hernández.
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2.  Si f(x) y g(x) son polinomios, entonces a la expresión
f(x)/g(x) se le denomina fracción racional.
 Si el grado de f(x) es menor que el grado de g(x),
entonces a la fracción se le llama propia. Es impropia
Cuando el grado del numerador es de igual o mayor
grado que el denominador.
INTEGRACIÓN MEDIANTE FRACCIONES
PARCIALES

3.  Cuando se requiere integrar una fracción racional
propia de la forma:
La fracción pueden expresarse como la suma de
fracciones simples o fracciones parciales cuyos
denominadores son los factores de la fracción dada y
los numeradores no son conocidos y solo bastaría
investigar cual es el numerador de cada una de ellas.
INTEGRACIÓN MEDIANTE FRACCIONES
PARCIALES…
dx
xQ
xP
)(
)(

4.  Cuando los términos de la suma:
se combinan por medio de un denominador común, se
obtiene la expresión racional:
 Así:
INTEGRACIÓN MEDIANTE FRACCIONES
PARCIALES…
2
5
1
2
xx
2
17
)2)(1(
)1(5)2(2
2
xx
x
xx
xx
dx
xx
dx
xx
x
)
2
5
1
2
(
2
17
2
cxx 2ln51ln2

5.  El método de integración mediante el desarrollo de
fracciones parciales consiste en descomponer en
fracciones parciales la fracción racional propia y a partir
de ello, obtener la integral de cada una de dichas
fracciones. De esta manera se obtiene la integral de la
fracción racional.
 Existen cuatro casos a considerar para la
descomposición de la fracción racional.
INTEGRACIÓN MEDIANTE FRACCIONES
PARCIALES…

6.  Si:
en donde todos los factores aix+bi son distintos y el
grado de P(X) es menor que n, entonces existen
constantes reales únicas A1, A2, … , An tales que:
CASO I
Factores lineales no repetidos
))...()((
)(
)(
)(
2211 nn bxabxabxa
xP
xQ
xP
nn
n
bxa
A
bxa
A
bxa
A
xQ
xP

22
2
11
1
)(
)(

7.  Si:
en donde n>1 y el grado de P(X) es menor que n,
entonces existen constantes reales únicas A1, A2, … , An
tales que:
CASO II
Factores lineales repetidos
n
bax
xP
xQ
xP
)(
)(
)(
)(
n
n
bax
A
bax
A
bax
A
xQ
xP
)()()(
)(
2
21


8.  Si:
en donde todos los factores aix2+bix+ci son distintos y
el grado de P(X) es menor que 2n, entonces existen
constantes reales únicas A1, A2, … , An, B1, B2, …, Bn
tales que:
CASO III
Factores cuadráticos no repetidos
)())((
)(
)(
)(
2
22
2
211
2
1 nnn cxbxacxbxacxbxa
xP
xQ
xP

nnn
nn
cxbxa
BxA
cxbxa
BxA
cxbxa
BxA
xQ
xP
2
22
2
2
22
11
2
1
11
)(
)(


9.  Si:
en donde n>1 y el grado de P(X) es menor que 2n,
entonces existen constantes reales únicas A1, A2, … , An,
B1, B2, …, Bn tales que:
CASO IV
Factores cuadráticos repetidos
n
cbxax
xP
xQ
xP
)(
)(
)(
)(
2
n
nn
cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
BxA
xQ
xP
)()()(
)(
222
22
2
11
