Este documento introduce las funciones vectoriales, que mapean números reales a vectores. Define una función vectorial r(t) como una función con componentes f(t), g(t), h(t) que son funciones del parámetro t. Explica que las funciones vectoriales pueden usarse para describir el movimiento a lo largo de una curva paramétrica o trazar su gráfica. Incluye ejemplos de funciones vectoriales que representan curvas dadas en el plano y el espacio.

1. UNIDAD 3: FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL SUBTEMA 3.1: DEFINICIÓN DE FUNCIÓN VECTORIAL DE UNA VARIABLE REAL DOMINIO Y GRAFICACIÓN SUBTEMA 3.2: LÍMITES Y CONTINUIDAD

2. Curvas en el espacio y funciones vectoriales En la sección de curvas paramétricas definimos una curva C en el plano como un conjunto de pares ordenados ( f (t), g (t)) junto con unas ecuaciones paramétricas x = f (t) e y = g (t); donde f y g son funciones continuas de t en un intervalo I. esta definición admite una extensión natural al espacio tridimensional, como sigue. Una curva C en el espacio es un conjunto de tripletas ordenadas ( f (t), g (t), h (t)) junto con unas ecuaciones paramétricas x = f (t) , y = g (t) y z = h (t) Donde f , g y h denotan funciones continuas de t en un intervalo I . Antes de ver algunos ejemplos de curvas en el espacio, introduciremos un nuevo tipo de funciones, las funciones vectoriales . Aplican los números reales en vectores, es decir, son funciones con valores vectoriales.

3. DEFINICIÓN DE FUNCIONES VECTORIALES Se llama función vectorial a cualquier función de la forma r (t) = f(t) i + g(t) j Plano r (t) = f(t) i + g(t) j + h(t) k Espacio donde las funciones componentes f, g y h son funciones del parámetro t con valores reales. Las funciones vectoriales se denotan con frecuencia por: r (t) = <f(t) , g(t)> r (t) = <f(t) , g(t) , h(t)>

4. Debe quedar clara la distinción entre la función vectorial r y las funciones de variable real f, g y h. Todas son funciones de la variable real t, pero r (t) es un vector mientras que f (t), g (t) y h (t) son números (para cada valor especificado de t ). Las funciones vectoriales juegan un doble papel en la representación de curvas. Tomando como parámetro t el tiempo, las podemos usar para describir el movimiento a lo largo de una curva. Más en general, podemos usar una función vectorial para trazar la gráfica de una curva. En ambos casos, el punto final del vector posición r (t) coincide con el punto (x, y) o (x, y, z) de la curva dada por las ecuaciones paramétricas, como muestra la figura 11.1. La flecha sobre la curva indica el sentido de recorrido, es decir, el sentido de valores crecientes de t . Salvo que se especifique otra cosa, se considera como dominio de una función vectorial r la intersección de los dominios de las funciones f, g y h . Por ejemplo el dominio de: es el intervalo (0, 1]

5. (Trazado de una curva en el plano) EJEMPLO 1: Dibujar la curva representada por la función vectorial Solución:

6. (Tazado de una curva en el espacio) EJEMPLO 2: Dibujar la curva representada por la función vectorial Solución: Esto significa que la curva está en un cilindro circular recto de radio 4, centrado en el eje z . Para localizar la curva en ese cilindro podemos usar la tercera ecuación paramétrica z = t. Obsérvese, en la figura de la pizarra, que cuando t crece de 0 a 4 π el punto (x, y, z) se mueve en espiral hacia arriba, describiendo una hélice

7. EJEMPLO 3: Hallar una función vectorial que represente una gráfica dada por: x = 2 + t, y = 3t y z = 4 - t Claro está que si la gráfica se da en forma paramétrica, la respuesta es inmediata. Así, para representar la recta dada en el espacio basta utilizar la función vectorial r (t) = (2 + t) i + 3t j + (4 – t) k Si no se da un conjunto de ecuaciones paramétricas para la gráfica en cuestión, el problema de representarla mediante una función vectorial se reduce al de hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas

8. EJEMPLO 4: Esbozar la gráfica C representada por la intersección del semielipsoide y el cilindro parabólico y = x 2 . Y hallar una función vectorial que represente esa gráfica EJERCICIO PARA LA CARPETA: Representar la parábola dada por: y = x 2 + 1 mediante una función vectorial y trazar la gráfica.