El documento define una función como una regla de correspondencia que asocia a cada elemento de un conjunto dominio X un único elemento de un conjunto rango Y. Explica que el dominio de una función es el conjunto más grande de números reales para los cuales la función tiene sentido, y que el rango es el conjunto de todos los valores que toma la función. Además, incluye ejemplos de cálculo de valores de funciones y determinación de dominios.

1. Definici´on de funci´on
Dominio de una funci´on
Gr´afica de un funci´on
Funciones y sus gr´aficas
Lic. Ruth Idalia Oliva
Lic. Ruth Idalia Oliva Funciones

2. Definici´on de funci´on
Dominio de una funci´on
Gr´afica de un funci´on
¿Qu´e es una funci´on?
Lic. Ruth Idalia Oliva Funciones

3. Definici´on de funci´on
Dominio de una funci´on
Gr´afica de un funci´on
Definici´on de funci´on
Sean X y Y dos conjuntos no vac´ıos de n´umeros reales. Una funci´on de X
en Y es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento de X un
´unico elemento de Y . El conjunto de X es el domino de la funci´on. Para
cada elemento x en X, el elemento correspondiente y en Y es el valor de
la funci´on en x, o la imagen de x. El conjunto de todos las im´agenes de
los elementos del dominio es el rango de la funci´on
Lic. Ruth Idalia Oliva Funciones

4. Definici´on de funci´on
Dominio de una funci´on
Gr´afica de un funci´on
Funci´on
Lic. Ruth Idalia Oliva Funciones

5. Definici´on de funci´on
Dominio de una funci´on
Gr´afica de un funci´on
Funci´on
Si f es una funci´on, para cada n´umero x en su dominio la imagen
correspondiente en el rango es designada por el s´ımbolo f(x), el cual se
lee “f de x”. Nos referimos a f(x) como el valor de f en el n´umero x.
Lic. Ruth Idalia Oliva Funciones

6. Definici´on de funci´on
Dominio de una funci´on
Gr´afica de un funci´on
Ejemplo
Determine los siguientes valores de la funci´on
f(0) f(1) f(−1)
1 f(x) = 2x2
+ x − 1 2 f(x) =
2x + 1
3x − 5
3 f(x) =
√
x2 − 5
Lic. Ruth Idalia Oliva Funciones

7. Definici´on de funci´on
Dominio de una funci´on
Gr´afica de un funci´on
Ejemplo
f(x) = 2x2
+ x − 1
f(0) = 2(0)2
+ (0) − 1 = −1
f(1) = 2(1)2
+ (1) − 1 = 2
f(−1) = 2(−1)2
+ (−1) − 1 = 0
f(x) =
2x + 1
3x − 5
f(0) =
2(0) + 1
3(0) − 5
= −
1
5
f(1) =
2(1) + 1
3(1) − 5
= −
3
2
f(−1) =
2(−1) + 1
3(−1) − 5
=
1
8
Lic. Ruth Idalia Oliva Funciones

8. Definici´on de funci´on
Dominio de una funci´on
Gr´afica de un funci´on
Ejemplo
f(x) = 2x2
+ x − 1
f(0) = 2(0)2
+ (0) − 1 = −1
f(1) = 2(1)2
+ (1) − 1 = 2
f(−1) = 2(−1)2
+ (−1) − 1 = 0
f(x) =
2x + 1
3x − 5
f(0) =
2(0) + 1
3(0) − 5
= −
1
5
f(1) =
2(1) + 1
3(1) − 5
= −
3
2
f(−1) =
2(−1) + 1
3(−1) − 5
=
1
8
Lic. Ruth Idalia Oliva Funciones

9. Definici´on de funci´on
Dominio de una funci´on
Gr´afica de un funci´on
Ejemplo
f(x) = 2x2
+ x − 1
f(0) = 2(0)2
+ (0) − 1 = −1
f(1) = 2(1)2
+ (1) − 1 = 2
f(−1) = 2(−1)2
+ (−1) − 1 = 0
f(x) =
2x + 1
3x − 5
f(0) =
2(0) + 1
3(0) − 5
= −
1
5
f(1) =
2(1) + 1
3(1) − 5
= −
3
2
f(−1) =
2(−1) + 1
3(−1) − 5
=
1
8
Lic. Ruth Idalia Oliva Funciones

10. Definici´on de funci´on
Dominio de una funci´on
Gr´afica de un funci´on
Ejemplo
f(x) = 2x2
+ x − 1
f(0) = 2(0)2
+ (0) − 1 = −1
f(1) = 2(1)2
+ (1) − 1 = 2
f(−1) = 2(−1)2
+ (−1) − 1 = 0
f(x) =
2x + 1
3x − 5
f(0) =
2(0) + 1
3(0) − 5
= −
1
5
f(1) =
2(1) + 1
3(1) − 5
= −
3
2
f(−1) =
2(−1) + 1
3(−1) − 5
=
1
8
Lic. Ruth Idalia Oliva Funciones

11. Definici´on de funci´on
Dominio de una funci´on
Gr´afica de un funci´on
Ejemplo
f(x) = 2x2
+ x − 1
f(0) = 2(0)2
+ (0) − 1 = −1
f(1) = 2(1)2
+ (1) − 1 = 2
f(−1) = 2(−1)2
+ (−1) − 1 = 0
f(x) =
2x + 1
3x − 5
f(0) =
2(0) + 1
3(0) − 5
= −
1
5
f(1) =
2(1) + 1
3(1) − 5
= −
3
2
f(−1) =
2(−1) + 1
3(−1) − 5
=
1
8
Lic. Ruth Idalia Oliva Funciones

12. Definici´on de funci´on
Dominio de una funci´on
Gr´afica de un funci´on
Ejemplo
f(x) = 2x2
+ x − 1
f(0) = 2(0)2
+ (0) − 1 = −1
f(1) = 2(1)2
+ (1) − 1 = 2
f(−1) = 2(−1)2
+ (−1) − 1 = 0
f(x) =
2x + 1
3x − 5
f(0) =
2(0) + 1
3(0) − 5
= −
1
5
f(1) =
2(1) + 1
3(1) − 5
= −
3
2
f(−1) =
2(−1) + 1
3(−1) − 5
=
1
8
Lic. Ruth Idalia Oliva Funciones

13. Definici´on de funci´on
Dominio de una funci´on
Gr´afica de un funci´on
Ejemplo
f(x) = 2x2
+ x − 1
f(0) = 2(0)2
+ (0) − 1 = −1
f(1) = 2(1)2
+ (1) − 1 = 2
f(−1) = 2(−1)2
+ (−1) − 1 = 0
f(x) =
2x + 1
3x − 5
f(0) =
2(0) + 1
3(0) − 5
= −
1
5
f(1) =
2(1) + 1
3(1) − 5
= −
3
2
f(−1) =
2(−1) + 1
3(−1) − 5
=
1
8
Lic. Ruth Idalia Oliva Funciones

14. Definici´on de funci´on
Dominio de una funci´on
Gr´afica de un funci´on
Ejemplo
f(x) = 2x2
+ x − 1
f(0) = 2(0)2
+ (0) − 1 = −1
f(1) = 2(1)2
+ (1) − 1 = 2
f(−1) = 2(−1)2
+ (−1) − 1 = 0
f(x) =
2x + 1
3x − 5
f(0) =
2(0) + 1
3(0) − 5
= −
1
5
f(1) =
2(1) + 1
3(1) − 5
= −
3
2
f(−1) =
2(−1) + 1
3(−1) − 5
=
1
8
Lic. Ruth Idalia Oliva Funciones

15. Definici´on de funci´on
Dominio de una funci´on
Gr´afica de un funci´on
Ejemplo
f(x) = 2x2
+ x − 1
f(0) = 2(0)2
+ (0) − 1 = −1
f(1) = 2(1)2
+ (1) − 1 = 2
f(−1) = 2(−1)2
+ (−1) − 1 = 0
f(x) =
2x + 1
3x − 5
f(0) =
2(0) + 1
3(0) − 5
= −
1
5
f(1) =
2(1) + 1
3(1) − 5
= −
3
2
f(−1) =
2(−1) + 1
3(−1) − 5
=
1
8
Lic. Ruth Idalia Oliva Funciones

16. Definici´on de funci´on
Dominio de una funci´on
Gr´afica de un funci´on
Ejemplo
f(x) = 2x2
+ x − 1
f(0) = 2(0)2
+ (0) − 1 = −1
f(1) = 2(1)2
+ (1) − 1 = 2
f(−1) = 2(−1)2
+ (−1) − 1 = 0
f(x) =
2x + 1
3x − 5
f(0) =
2(0) + 1
3(0) − 5
= −
1
5
f(1) =
2(1) + 1
3(1) − 5
= −
3
2
f(−1) =
2(−1) + 1
3(−1) − 5
=
1
8
Lic. Ruth Idalia Oliva Funciones

17. Definici´on de funci´on
Dominio de una funci´on
Gr´afica de un funci´on
Ejemplo
f(x) = 2x2
+ x − 1
f(0) = 2(0)2
+ (0) − 1 = −1
f(1) = 2(1)2
+ (1) − 1 = 2
f(−1) = 2(−1)2
+ (−1) − 1 = 0
f(x) =
2x + 1
3x − 5
f(0) =
2(0) + 1
3(0) − 5
= −
1
5
f(1) =
2(1) + 1
3(1) − 5
= −
3
2
f(−1) =
2(−1) + 1
3(−1) − 5
=
1
8
Lic. Ruth Idalia Oliva Funciones

18. Definici´on de funci´on
Dominio de una funci´on
Gr´afica de un funci´on
Ejemplo
f(x) = 2x2
+ x − 1
f(0) = 2(0)2
+ (0) − 1 = −1
f(1) = 2(1)2
+ (1) − 1 = 2
f(−1) = 2(−1)2
+ (−1) − 1 = 0
f(x) =
2x + 1
3x − 5
f(0) =
2(0) + 1
3(0) − 5
= −
1
5
f(1) =
2(1) + 1
3(1) − 5
= −
3
2
f(−1) =
2(−1) + 1
3(−1) − 5
=
1
8
Lic. Ruth Idalia Oliva Funciones

19. Definici´on de funci´on
Dominio de una funci´on
Gr´afica de un funci´on
Dominio de una funci´on
Con frecuencia, el dominio de una funci´on no se especifica, s´olo se da una
regla de asignaci´on o ecuaci´on que define a la funci´on. En esos casos
decimos que el dominio de f es el conjunto m´as grande de n´umeros reales
para los cuales tiene sentido la regla o, m´as precisamente, los valores para
los que f(x) es un n´umero real. As´ı, el dominio de f es igual al de la
variable x en la expresi´on f(x).
Lic. Ruth Idalia Oliva Funciones

20. Definici´on de funci´on
Dominio de una funci´on
Gr´afica de un funci´on
Ejemplo
Determine el dominio
1 f(x) =
6x
x2 − 2x − 3
2 g(x) =
√
2 + 4x
f(x) =
6x
x2 − 2x − 3
La regla f indica que debemos dividir 6x entre x2
− 2x − 3. Como no es
posible la divisi´on entre 0, el denominador x2
− 2x − 3 no puede anularse.
x2
− 2x − 3 = 0.
As´ı x no puede ser 3 ni −1. El dominio de la funci´on x es
{x|x = 3, x = −1}.
Lic. Ruth Idalia Oliva Funciones

21. Definici´on de funci´on
Dominio de una funci´on
Gr´afica de un funci´on
Ejemplo
Determine el dominio
1 f(x) =
6x
x2 − 2x − 3
2 g(x) =
√
2 + 4x
f(x) =
6x
x2 − 2x − 3
La regla f indica que debemos dividir 6x entre x2
− 2x − 3. Como no es
posible la divisi´on entre 0, el denominador x2
− 2x − 3 no puede anularse.
x2
− 2x − 3 = 0.
As´ı x no puede ser 3 ni −1. El dominio de la funci´on x es
{x|x = 3, x = −1}.
Lic. Ruth Idalia Oliva Funciones

22. Definici´on de funci´on
Dominio de una funci´on
Gr´afica de un funci´on
Ejemplo
Determine el dominio
1 f(x) =
6x
x2 − 2x − 3
2 g(x) =
√
2 + 4x
f(x) =
6x
x2 − 2x − 3
La regla f indica que debemos dividir 6x entre x2
− 2x − 3. Como no es
posible la divisi´on entre 0, el denominador x2
− 2x − 3 no puede anularse.
x2
− 2x − 3 = 0.
As´ı x no puede ser 3 ni −1. El dominio de la funci´on x es
{x|x = 3, x = −1}.
Lic. Ruth Idalia Oliva Funciones

23. Definici´on de funci´on
Dominio de una funci´on
Gr´afica de un funci´on
Ejemplo
g(x) =
√
2 + 4x
La regla g indica que debemos calcular la ra´ız cuadrada de 2 + 4x. Pero
s´olo los n´umeros no negativos tienen ra´ıces cuadradas reales. Por lo tanto,
necesitamos que
2 + 4x ≥ 0
4x ≥ −2
x ≥ −
2
4
x ≥ −
1
2
El dominio de g es el intervalo −
1
2
, ∞ .
Lic. Ruth Idalia Oliva Funciones

24. Definici´on de funci´on
Dominio de una funci´on
Gr´afica de un funci´on
Ejemplo
g(x) =
√
2 + 4x
La regla g indica que debemos calcular la ra´ız cuadrada de 2 + 4x. Pero
s´olo los n´umeros no negativos tienen ra´ıces cuadradas reales. Por lo tanto,
necesitamos que
2 + 4x ≥ 0
4x ≥ −2
x ≥ −
2
4
x ≥ −
1
2
El dominio de g es el intervalo −
1
2
, ∞ .
Lic. Ruth Idalia Oliva Funciones

25. Definici´on de funci´on
Dominio de una funci´on
Gr´afica de un funci´on
Gr´afica de un funci´on
Considere una funci´on y = f(x). La variable x se denomina variable
independiente. La variable y es la variable dependiente.
Cuando la regla que de define una funci´on f esta dada mediante una
ecuaci´on en x y y, la gr´afica de la ecuaci´on, es decir, el conjunto de
puntos (x, y) en el plano xy que satisfacen a dicha ecuaci´on.
Podemos considerar una funci´on f como un conjunto de pares ordenados
(x, y) o (x, f(x)).
Lic. Ruth Idalia Oliva Funciones

26. Definici´on de funci´on
Dominio de una funci´on
Gr´afica de un funci´on
Gr´afica de un funci´on
Lic. Ruth Idalia Oliva Funciones

27. Definici´on de funci´on
Dominio de una funci´on
Gr´afica de un funci´on
Criterio de la recta vertical
Lic. Ruth Idalia Oliva Funciones