Este documento resume las características de diferentes tipos de funciones elementales como polinómicas, racionales, irracionales, logarítmicas, exponenciales y funciones definidas a trozos. Describe las expresiones generales, dominios, comportamientos, así como las transformaciones de estas funciones.

1. FUNCIONES
ELEMENTALES
TEMAS 4 y 5
Polinómicas,racionales, irracionales, logarítmicas,exponenciales,
Transformaciones elementales
Funciones a trozos
Aurora Domenech

2. Polinómicas grado1 :RECTAS
• EXPRESIÓN GENERAL: f(x)=mx+n
• m: pendiente de la recta (relación entre desplazamiento
vertical y horizontal)
• n: ordenada en el origen (pasa por el punto (0,n)

3. CARACTERÍSTICAS:RECTAS
•
•
•
•
•
•
•
DOMINIO: todos los reales
CONTINUIDAD
NO MÁXIMOS NI MÍNIMOS
SIEMPRE CRECIENTE (m>0)
SIEMPRE DECRECIENTE (m<0)
No peridicidad
No simetrías

4. Polinómicas grado 2
PARÁBOLAS
• Forma general:
• Tipo de gráfica:
f ( x) = ax + bx + c
• Elementos importantes:
• Eje x=-b/2a
• Vértice (-b/2a; f(-b/2a))
2

5. PARÁBOLAS:CARACTERÍSTICAS
•
•
•
•
•
•
•
•
DOMINIO: todos los reales
Imagen: tiene una cota o superior o inferior
Continua
Dos ramas: una creciente y otra decreciente
Siempre cóncava (a>0)
Siempre convexa (a<0)
Un solo máximo o un solo mínimo=vértice
Simetría respecto a su propio eje,pero nunca al origen de
coordenadas, y muy pocas veces al de ordenadas
• No periódoca

6. FUNCIONES RACIONALES
• Expresión general:
P( x)
f ( x) =
Q( x)
• Función racional
“patrón”:
k
f ( x) =
x
Si k>0

7. FUNCIONES RACIONALES
• Expresión general:
P( x)
f ( x) =
Q( x)
• Función racional
“patrón”:
k
f ( x) =
x
Si k<0

8. Dominio
imagen
crecimeinto
curvatura
asíntotas
¿qué tendremos en cuenta?

9. Dominio
En verde la
transformación
de la función
“patrón” según:
f(x+a)
Todos los reales excepto los que hacen cero
el denominador.

10. Dominio de funciones racionales
• Todos los valores reales
excepto los que anulan
el denominador.
D = ℜ {x |
Q( x) = 0
}

11. ¿cómo se calcula?
• Igualamos a cero el denominador
• Resolvemos la ecuación (con el método que
proceda)
• El dominio será todo R menos las soluciones
que nos han salido.
Esto significará que en la gráfica, habrá algún tipo de
“rotura”, que será lo que llamaremos discontinuidad

12. Resumiendo :
• Características
– Dominio : todos los reales menos los que anulan
el denominador
– Continuidad: solo en su dominio
– Tendencias: habrá que mirar los extremos y los
puntos donde no hay continuidad
– Rectas especiales asociadas: asíntotas

13. Funciones con raíz cuadrada
Función patrón
f ( x) = x

14. Características
• Dominio: el conjunto de números reales
que hace positivo o cero el radicando
• Continua en su dominio
• Siempre creciente (crecimiento lento)
• No tiene asíntotas

15. ¿Cómo las dibujamos?
• Tenemos en cuenta las transformaciones de
funciones a partir de la función “patrón”
– F(x+k)
– F(x)+k
• Calculamos el dominio
• Hacemos una pequeña tabla de valores

16. Funciones exponenciales
f ( x) = a
0<a<1
x
donde a > 0 a ≠ 1
a>1

17. Características
•
•
•
•
•
•
Dominio: los reales
Imagen: reales positivos
Punto corte con eje vertical (0,1)
Asíntota horizontal y=0
Crece si a>1
Decrece si a<1

18. ¿Cómo se dibuja?
• Construimos una pequeña tabla de valores
• Analizamos la base para saber si será
creciente o decreciente
• Tenemos en cuenta la patrón
• Aplicamos las transformaciones f(x+k) , f(x)+k

19. Funciones logarítmicas
f ( x) = log a x
a>1
a > 0 a ≠1
0<a<1

20. TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES
f(x)+k
Supone un desplazamiento vertical de cada punto de la gráfica, k unidades.
f ( x) = x + 2
f ( x) = x
f ( x) = x − 1

21. TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES
f(x)+k
Supone un desplazamiento vertical de k unidades en cada punto de la gráfica.
x
1
f ( x) =   + 2
2
1
f ( x) =  
2
x
x
1
f ( x) =   − 3
2

22. TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES
f(x)+k
Supone un desplazamiento vertical de k unidades en cada punto de la gráfica.
f ( x) = x 2 + 2
f ( x) = x 2
f ( x) = x 2 − 2

23. TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES
f(x+k)
Supone un desplazamiento horizontal de k unidades en cada punto de la gráfica.
f ( x) = ( x + 2 )
2
f ( x) = x 2
f ( x) = ( x − 2)
2

24. TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES
f(x+k)
Supone un desplazamiento horizontal de k unidades en cada punto de la gráfica.
f ( x) = log( x + 2)
f ( x) = log x
f ( x) = log( x − 2)

25. Transformaciones en funciones de
proporcionalidad inversa
1
f ( x) =
x
D = ℜ { 0}
x=0
Asíntota
vertical
Asíntota
horizontal
y=0

26. Transformaciones en funciones de
proporcionalidad inversa
f(x)+k
1
f ( x) = + 3
x
D = ℜ { 0}
x=0
Asíntota
vertical
Asíntota
horizontal
y=3

27. Transformaciones en funciones de
proporcionalidad inversa
f(x+k)
1
f ( x) =
x+3
D = ℜ { − 3}
x = −3
Asíntota
vertical
Asíntota
horizontal
y=0

28. Transformaciones en funciones de
proporcionalidad inversa
f(x+k)+b
1
f ( x) =
+2
x+3
D = ℜ { − 3}
x = −3
Asíntota
vertical
Asíntota
horizontal
y=2

29. “RELACIÓN ENTRE ASÍNTOTAS Y DOMINIO”

32. Funciones definidas a trozos
• Necesario :
– saber dibujar las funciones elementales
– Interpretar correctamente el plano
cartesiano: donde varía la x y donde la y
– Interpretar correctamente la expresión
algebraica de la definición de la función

34. ¿Cómo aparece su
expresión algebraica?
 g1 ( x) si

f ( x) =  g 2 ( x) si
 g ( x) si
 3
si − ∞ < x ≤ 1
 x

f ( x) =  2 x − 1 si 1 < x ≤ 4
− x + 1 si
x>4

x ∈ (a1 , a2 )
x ∈ (a3 , a4 )
x ∈ (a5 , a6 )
 − 2 x si − ∞ < x ≤ 1

f ( x) =  2 x
si 1 < x ≤ 4
 x − 1 si
x>4


35. Una función definida a trozos tiene distintas expresiones algebraicas
dependiendo del intervalo de su dominio.
La siguiente función está definida a trozos:
Está función tiene dos trozos ,
uno hasta que la x llegue a uno donde tengo que representar la parábola
y otro a partir de que la x valga uno donde tengo que representar la recta: