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Funciones matemáticas
- 1. Esmeralda Calero. Francisco Aguirre. FranciscoSegura. Funciones especiales y transformación en gráficas.
- 2. Función inversa. Determinar lafunción inversa de una función𝒇−𝟏( 𝒙) de 𝒇( 𝒙) = 𝟓𝒙 − 𝟒 𝒚 = 𝟓𝒙 − 𝟒 −𝟓𝒙 = −𝟒 − 𝒚 𝒙 = 𝟒 − 𝒚 −𝟓 𝒙 = −𝟒 + 𝒚 𝟓 𝒇−𝟏( 𝒙) = −𝟒 + 𝒙 𝟓
- 3. Comportamiento en elplano cartesiano. 𝒇(𝒙) = 𝟓𝒙 − 𝟒 Y 𝒇−𝟏 (𝒙) 𝒇−𝟏( 𝒙) Es: 𝒚 = 𝟓𝒙 − 𝟒 𝒙 = (𝒚 + 𝟒) 𝟓 𝒇−𝟏( 𝒙) = 𝒙 𝟓 + 𝟎. 𝟖
- 4. Comprobación: 𝒇( 𝒙) =𝟓𝒙 − 𝟒 𝒇−𝟏( 𝒙) = 𝟒 + 𝒙 𝟓 𝟓 ( 𝟒 + 𝒙 𝟓 ) − 𝟒 = 𝟐𝟎 + 𝟓𝒙 𝟓 − 𝟒 = 𝟐𝟎 + 𝟓𝒙 − 𝟐𝟎 𝟓 = 𝒙 Concepto de la función polinomial. La función polinomial se forma de diversos términos y algebraicamente contiene las siguientes características: 𝒇( 𝒙) = 𝒂 𝒏 𝒙 𝒏 + 𝒂 𝒏−𝟏 𝒙 𝒏−𝟏 + 𝒂 𝒏−𝟐 𝒙 𝒏−𝟐 … + 𝒂 𝟎 Donde 𝒂 𝒏 , 𝒂 𝒏−𝟏 , 𝒂 𝒏−𝟐 y 𝒂 𝟎 son coeficientes de la función.
- 5. 𝒂 𝒏 Esel coeficiente principal. 𝒏 Es un número entero no negativo y representa el grado de la función. 1. Determina el grado, coeficiente principal, nombre de la funcion y su término constante de las siguientes funciones. 𝒇( 𝒙) = 𝟏𝟑𝒙 𝟑 + 𝟏𝟎𝒙 𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟗 funcion Grado de la funcion Coeficiente principal Termino constante Nombre de la funcion 𝒇( 𝒙) = 𝟏𝟑𝒙 𝟑 + 𝟏𝟎𝒙 𝟐 3 13 0 cuadrática 𝒇( 𝒙) = 𝟏𝟎𝒙 𝟓 + 𝟏𝟐 5 10 12 Lineal 𝒇( 𝒙) = 𝟏𝟖 0 0 18 constante 𝒇( 𝒙) = 𝟑𝒙 𝟑 + 𝟐𝒙 𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟑 3 3 3 cubica Dominio de la función polinomial. Las funciones polinomiales no presentan cocientes ni tienen raíces negativas su dominio está dado por: D: { 𝒙є𝑹/-∞ <x<∞ } Ceros y raíces de una función.
- 6. En estos casosf(x)=0 si son números reales se les conoce como raíces de la función o ceros de la función. Dependiendo del número de raíces se harán el mismo número de cortes en las intersecciones que tenga la función con el eje x. 1. Grafica las siguientes funciones: a) 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟓 b) 𝒚 = 𝟐𝒙 𝟖 + 𝟒𝒙 𝟒 − 𝟐 c) 𝒚 = 𝑥3 − 3𝑥2 + 𝑥 + 1
- 7. La función constante. Enla expresión de: 𝒇( 𝒙) = 𝒂 𝒏 𝒙 𝒏 + 𝒂 𝒏−𝟏 𝒙 𝒏−𝟏 + 𝒂 𝒏−𝟐 𝒙 𝒏−𝟐 … + 𝒂 𝟎, todos los coeficientes de la variable x valen cero y por tanto tenemos que: 𝒇( 𝒙) = 𝒂 𝟎
- 8. 1 𝒇( 𝒙)= 𝟕 2 𝒇( 𝒙) = 𝟐. 𝟓 La función lineal. El máximo grado de la función polinomial es igual a 1 (n=1): 𝒇( 𝒙) = 𝒂 𝒏 𝒙 𝒏 + 𝒂 𝒏−𝟏 𝒙 𝒏−𝟏 + 𝒂 𝒏−𝟐 𝒙 𝒏−𝟐 … + 𝒂 𝟎 𝒇( 𝒙) = 𝒂 𝟏 𝒙 + 𝒂 𝟎
- 9. Esta expresión essimilar a la ecuación punto- pendiente 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃 donde el valor de 𝒎 es igual a la pendiente y el valor de b es la ordenada al origen. Su dominio serán todos los números reales. 1. En la siguiente tabla se representa el número de lápices que se producen cada segundo. Encuentra la fórmula que genera la siguiente tabla: Tiempo en segundas Numero de lápices 1 2 2 4 3 6 4 8 5 10 Tenemos que encontrar la pendiente de la tabla. 𝑷 𝟏(𝟏, 𝟐) 𝑷 𝟐(𝟐, 𝟒) 𝒎 = 𝒙 𝟐−𝒙 𝟏 𝒚 𝟐−𝒚 𝟏 𝒎 = 𝟐−𝟏 𝟒−𝟐 𝒎 = 𝟏 𝟐 Punto (1,2) 𝒙 𝟏= 1 𝒚 𝟏= 2 𝒚 − 𝒚 𝟏 = 𝒎( 𝒙 − 𝒙 𝟏) 𝒚 − 𝟐 = 𝟏 𝟐 ( 𝒙 − 𝟏) 𝟏( 𝒚 − 𝟐) = 𝟐( 𝒙 − 𝟏) 𝒚 − 𝟐 = 𝟐𝒙 − 𝟐
- 10. 𝒚 = 𝟐𝒙− 𝟐 + 𝟐 𝒚 = 𝟐𝒙 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝒃 𝟐 = 𝟐( 𝟏) + 𝒃 𝒃 = 𝟐 − 𝟐 𝒃 = 𝟎 𝒚 = 𝟐( 𝟏) = 𝟐 𝒚 = 𝟐( 𝟐) = 𝟒 𝒚 = 𝟐( 𝟑) = 𝟔 𝒚 = 𝟐( 𝟒) = 𝟖 𝒚 = 𝟐( 𝟓) = 𝟏𝟎 Grafica de una línea recta. Para graficar una función lineal solo se necesita encontrar el valor de la abscisa al origen (a) y el valor de la ordenada al origen (b) para las cuales sus coordenadas son (a, 0) y (0, b). 1. Grafica las rectas a) 𝒚 = 𝟒𝒙 − 𝟏𝟐 y b) 𝒚 = 𝟓𝒙 + 𝟏𝟎 a) Cuando 𝒙 = 𝟎 𝒚 = 𝟒( 𝟎) − 𝟏𝟐 𝒚 = −𝟏𝟐 (0, -12) Cuando 𝒚 = 𝟎 𝟎 = 𝟒𝒙 − 𝟏𝟐 𝒙 = 𝟏𝟐 𝟒 = 𝟑 (3, 0) b) Cuando 𝒙 = 𝟎 𝒚 = 𝟓( 𝟎) + 𝟏𝟎 𝒚 = 𝟏𝟎 (0, 10) Cuando 𝒚 = 𝟎 𝟎 = 𝟓𝒙 + 𝟏𝟎 𝒙 = 𝟏𝟎 𝟓 = 𝟐 (-2, 0)
- 11. Función cuadrática Forma generalde la función cuadrática: 𝒇( 𝒙) = 𝒂𝒙 𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 Donde a, b, c son constantes y a ≠ 0.
- 12. La orientación dela parábola dependerá directamente del coeficiente. El signo del parámetro a de una ecuación cuadrática determina hacia donde abre su gráfica, y su magnitud determina su abertura. - Si a es positiva, a > 0, la parábola es cóncava hacia arriba. - Si a es negativa, a < 0, la parábola es cóncava hacia abajo. El punto donde la recta corta la parábola se llama vértice (𝒗), que es el punto donde la parábola cambia de monotonía, es decir decreciente a creciente si abre hacia arriba, o de creciente a decreciente si abre hacia abajo. Cuando la parábola abre hacia arriba, el vértice es el valor mínimo de la parábola; cuando es cóncava hacia abajo, el vértice representa el valor máximo.
- 13. 𝒇( 𝒙) =𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟐𝟒 𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟐𝟒 = 𝟎 ( 𝒙 + 𝟑)( 𝒙 − 𝟖) = 𝟎 𝒙 + 𝟑 = 𝟎 𝒙 − 𝟖 = 𝟎 𝒙 𝟏 = −𝟑 𝒙 𝟐 = 𝟖 𝒗 ( −(−𝟓) 𝟐( 𝟏) , 𝟒( 𝟏)( 𝟐𝟒)−(𝟓) 𝟐 𝟒( 𝟏) ) = ( 𝟓 𝟐 , 𝟗𝟔−𝟐𝟓 𝟒 ) 𝒗( 𝟐. 𝟓, 𝟏𝟕. 𝟓)
- 14. DOMINIO Y RANGODE UNA FINCION CUADRATICA. El dominio de una function cuadrática incluye todos los numeros reales, ya que no hay ningun cociente que pueda derivar en una divicion entre cero ni la posibilidad de que exista una raiz negative. El rango estara determinado por el valor de la coordenada 𝒚 del vertice, asi como por la function, es decir, si esta se trata de una funcion cuadrada convoca hacia arriba o hacia abajo. EJEMPLO: 𝒚 = −𝟑𝒙 𝟐 − 𝒙 + 𝟕 𝒗 ( −(−𝟏) 𝟐(−𝟖) , 𝟒(−𝟑)( 𝟕) − (−𝟏) 𝟐 𝟒(−𝟒) )
- 15. 𝒗( 𝟏 −𝟏𝟔 , −𝟖𝟓 −𝟏𝟔 ) R= { 𝒚є R / 𝒚 ≥ − −𝟖𝟓 𝟏𝟔 }