Este documento describe las propiedades fundamentales de las funciones logarítmicas y trigonométricas, incluidas sus definiciones, dominios, rangos y propiedades. También introduce las funciones trigonométricas hiperbólicas y explica cómo se relacionan con las funciones trigonométricas circulares convencionales.
El documento trata sobre las series y transformadas de Fourier. Explica que Joseph Fourier descubrió que las funciones periódicas pueden representarse como una suma infinita de términos en senos y cosenos (serie de Fourier), mientras que las funciones no periódicas se representan mediante una integral (transformada de Fourier). Esto dio origen al análisis armónico y tiene aplicaciones en ingeniería, medicina y otros campos para descomponer señales en componentes de frecuencia.
Syllabus procesamiento digital de señale_sjcjcbenitezp
Este documento presenta el plan de estudios para el curso de Procesamiento Digital de Señales. El curso dura un semestre, con 5 horas semanales que incluyen 3 horas de teoría y 2 horas de práctica de laboratorio. El curso cubre temas como muestreo de señales, sistemas discretos, transformadas Z y Fourier, y diseño de filtros digitales. Los estudiantes aprenderán a analizar y procesar señales digitales usando estas técnicas matemáticas.
Este documento define las funciones y sus componentes principales. Explica que una función es una regla de asociación entre un conjunto dominio y un conjunto codominio, donde cada elemento del dominio se asocia con un único elemento del codominio. También describe las variables dependientes e independientes, y proporciona ejemplos de funciones como líneas rectas, cuadráticas, exponenciales y logarítmicas.
Funciones hiperbolicas e Integrales indefinidas.pptxClaudioMarcial1
Este documento presenta información sobre coordenadas polares, funciones hiperbólicas e integrales. Explica las relaciones entre coordenadas polares y rectangulares, y cómo se definen y derivan las funciones hiperbólicas usando la hipérbola equilátera. También cubre gráficas, identidades y derivadas de funciones hiperbólicas, así como integrales indefinidas y sus propiedades.
El documento describe el método de aprendizaje basado en problemas (ABP), el cual involucra cuatro fases: 1) presentar a los estudiantes un problema real y pedirles que lo analicen, 2) investigación autodirigida por los estudiantes para resolver el problema, 3) examinar soluciones y mejorar la comprensión del problema, y 4) auto y co-evaluación de los estudiantes y presentación de resultados. El objetivo del ABP es que los estudiantes desarrollen habilidades de pensamiento crítico al resolver problemas reales de manera autodir
Una función cuadrática es una función polinómica de grado dos definida por una ecuación de la forma f(x)=ax^2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y a no es cero. La gráfica de una función cuadrática es una parábola, la cual puede estar orientada hacia arriba o hacia abajo dependiendo del signo de a. Las funciones cuadráticas describen relaciones no lineales entre variables donde la variable dependiente crece o decrece a una tasa cambiante con respecto a la variable independiente.
RAZÓN DE CAMBIO TEOREMA DE VALOR MEDIOinnovalabcun
La razón de cambio estudia cómo cambian magnitudes en función del tiempo. Se utiliza para resolver problemas como el cambio en la población, volumen inflado, interés ganado en el tiempo, y velocidad y distancia de objetos en movimiento. Para resolver problemas de razón de cambio, se dibuja el problema, se identifican las variables que cambian en el tiempo, se establece la ecuación que las relaciona y se deriva implícitamente.
El documento trata sobre las series y transformadas de Fourier. Explica que Joseph Fourier descubrió que las funciones periódicas pueden representarse como una suma infinita de términos en senos y cosenos (serie de Fourier), mientras que las funciones no periódicas se representan mediante una integral (transformada de Fourier). Esto dio origen al análisis armónico y tiene aplicaciones en ingeniería, medicina y otros campos para descomponer señales en componentes de frecuencia.
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Este documento define las funciones y sus componentes principales. Explica que una función es una regla de asociación entre un conjunto dominio y un conjunto codominio, donde cada elemento del dominio se asocia con un único elemento del codominio. También describe las variables dependientes e independientes, y proporciona ejemplos de funciones como líneas rectas, cuadráticas, exponenciales y logarítmicas.
Funciones hiperbolicas e Integrales indefinidas.pptxClaudioMarcial1
Este documento presenta información sobre coordenadas polares, funciones hiperbólicas e integrales. Explica las relaciones entre coordenadas polares y rectangulares, y cómo se definen y derivan las funciones hiperbólicas usando la hipérbola equilátera. También cubre gráficas, identidades y derivadas de funciones hiperbólicas, así como integrales indefinidas y sus propiedades.
El documento describe el método de aprendizaje basado en problemas (ABP), el cual involucra cuatro fases: 1) presentar a los estudiantes un problema real y pedirles que lo analicen, 2) investigación autodirigida por los estudiantes para resolver el problema, 3) examinar soluciones y mejorar la comprensión del problema, y 4) auto y co-evaluación de los estudiantes y presentación de resultados. El objetivo del ABP es que los estudiantes desarrollen habilidades de pensamiento crítico al resolver problemas reales de manera autodir
Una función cuadrática es una función polinómica de grado dos definida por una ecuación de la forma f(x)=ax^2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y a no es cero. La gráfica de una función cuadrática es una parábola, la cual puede estar orientada hacia arriba o hacia abajo dependiendo del signo de a. Las funciones cuadráticas describen relaciones no lineales entre variables donde la variable dependiente crece o decrece a una tasa cambiante con respecto a la variable independiente.
RAZÓN DE CAMBIO TEOREMA DE VALOR MEDIOinnovalabcun
La razón de cambio estudia cómo cambian magnitudes en función del tiempo. Se utiliza para resolver problemas como el cambio en la población, volumen inflado, interés ganado en el tiempo, y velocidad y distancia de objetos en movimiento. Para resolver problemas de razón de cambio, se dibuja el problema, se identifican las variables que cambian en el tiempo, se establece la ecuación que las relaciona y se deriva implícitamente.
Este documento describe las ecuaciones diferenciales exactas de primer orden, las cuales tienen la forma f(x,y)dx + g(x,y)dy = 0. Explica que para resolver este tipo de ecuaciones se debe primero comprobar que sean exactas, luego integrar la función para encontrar una función F(x,y), y finalmente derivar e integrar la función g(x,y) para reemplazarla en la solución general F(x,y) = C. Proporciona dos ejemplos numéricos para ilustrar los pasos.
Este documento define conceptos básicos sobre conjuntos. Explica que un conjunto es una colección de objetos considerados como un todo, cuyos elementos no se repiten. Los conjuntos se representan con letras mayúsculas y pueden contener cualquier tipo de objetos. También introduce conceptos como subconjuntos, operaciones entre conjuntos, el conjunto vacío, cardinalidad y relaciones entre elementos de conjuntos.
Este documento describe circuitos combinatorios y álgebra booleana. Explica que los circuitos combinatorios carecen de memoria y su salida depende únicamente de las entradas actuales. Describe las compuertas lógicas básicas AND, OR y NOT y cómo se pueden usar para construir circuitos combinatorios más complejos. También introduce expresiones booleanas para representar circuitos y la noción de equivalencia entre circuitos.
El documento explica las funciones polinomiales, definidas como funciones cuya expresión contiene términos de potencias de la variable x. Se indica que una función polinomial de grado n contiene términos hasta xn. Se proveen ejemplos de funciones lineales, cuadráticas y cúbicas, así como funciones racionales y trascendentes. Además, se resuelven dos ejemplos completos que incluyen graficar funciones polinomiales dadas y determinar sus dominios e intersecciones con los ejes.
Este documento presenta las ecuaciones de segundo grado, las cuales contienen una variable elevada al cuadrado. Explica que existen tres tipos de ecuaciones de segundo grado (completas, puras y mixtas) y varios métodos para resolverlas, como factorización, raíz cuadrada y completando cuadrados. Finalmente, propone algunas actividades de clasificación de ecuaciones.
Este documento presenta una introducción a las inecuaciones lineales. Define las desigualdades y símbolos como <, ≤, >, ≥. Explica que la solución de una inecuación es un subconjunto de números reales que puede representarse como un conjunto, intervalo o gráficamente. Detalla los pasos para resolver una inecuación lineal, incluyendo despejar la variable y aplicar propiedades al cambiar términos entre lados. Proporciona tres ejemplos resueltos de inecuaciones lineales con sus soluciones como intervalos
1) El documento describe diferentes estructuras algebraicas como grupos, semigrupos, anillos y cuerpos. 2) Define las propiedades de una estructura algebraica como la ley de composición interna, elemento neutro, inversos, asociatividad y conmutatividad. 3) Presenta ejemplos para ilustrar estas propiedades en conjuntos numéricos como enteros y racionales con las operaciones de suma y multiplicación.
Este documento explica los conceptos básicos de límites de funciones. Define el límite como el valor al que se aproxima una función cuando la variable independiente se aproxima a un valor particular. Explica que para que un límite exista, los límites laterales izquierdo y derecho deben coincidir y ser finitos. También presenta algunas reglas y propiedades para calcular límites, incluyendo el uso del teorema del sandwich y cómo lidiar con indeterminaciones como 0/0.
Este documento presenta conceptos básicos sobre series de Fourier. Explica que una función periódica puede representarse mediante una serie trigonométrica de Fourier, cuyos coeficientes se calculan usando fórmulas de Euler. También cubre temas como simetrías par e impar, convergencia de la serie, y desarrollos de medio rango para funciones definidas en intervalos parciales.
Convolución y su transformada de Fourier Manuel Díaz
La transformada de Fourier de una convolución es igual al producto punto a punto de las transformadas individuales de las funciones convolucionadas. Específicamente, si f y g son funciones con convolución h, entonces la transformada de Fourier de h es igual al producto de las transformadas de Fourier de f y g. La transformada de Fourier transforma señales entre el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia de manera reversible y tiene muchas aplicaciones importantes.
El documento describe los conceptos de estabilidad y lugar geométrico de las raíces (root-locus) en sistemas de control. Explica que un sistema es estable si su respuesta tiende a cero cuando el tiempo tiende a infinito, y que la estabilidad depende de la ubicación de los polos de la función de transferencia. También presenta el criterio de Routh-Hurwitz para determinar la estabilidad analizando los signos de los coeficientes, y los pasos para construir el root-locus comenzando en los polos y terminando en los ceros o
El documento explica los sistemas de coordenadas cartesianas y diferentes tipos de funciones polinómicas como funciones lineales y cuadráticas. Define un sistema de coordenadas como dos rectas perpendiculares que se cortan en un punto y divide el plano en cuadrantes. Las funciones lineales se representan como rectas con pendiente m y punto b, mientras que las funciones cuadráticas toman la forma de parábolas descritas por la ecuación f(x)=ax2+bx+c.
Números Complejos (Operaciones en forma binómica)Marcos A. Fatela
Este documento cubre operaciones básicas con números complejos, incluyendo suma, resta, conjugados complejos y potencias de números complejos. Explica cómo sumar y restar números complejos dados en forma binómica, define qué son los conjugados complejos y cómo calcular el cuadrado y cubo de un número complejo.
El documento define las funciones trigonométricas hiperbólicas como análogas a las funciones trigonométricas circulares pero para una hipérbola en lugar de un círculo. Explica que el coseno hiperbólico y el seno hiperbólico se definen en términos de exponenciales y que cumplen identidades fundamentales similares. Además, presenta ejemplos de cómo derivar e integrar funciones que involucran funciones hiperbólicas.
Este documento explica cómo calcular la derivada de una función utilizando la definición de límite. Presenta ejemplos de cómo derivar funciones elementales como polinomios, exponenciales y logaritmos. También introduce reglas algebraicas para derivar sumas, diferencias y productos de funciones.
El documento describe funciones trascendentales como las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. También describe conceptos como la composición de funciones, derivadas, antiderivadas e integrales indefinidas. Explica cómo estas funciones se usan para modelar fenómenos periódicos y de crecimiento/decrecimiento en diferentes campos como la ingeniería.
1) El documento describe los conceptos de derivación implícita y derivadas de orden superior. 2) La derivación implícita permite derivar funciones definidas implícitamente mediante una ecuación, aunque no se pueda despejar la variable dependiente explícitamente. 3) Las derivadas de orden superior son derivadas sucesivas de una función, por ejemplo, la segunda derivada es la derivada de la primera derivada.
El documento trata sobre funciones polinómicas, exponenciales y logarítmicas. Explica que una función polinómica asigna valores a una variable x de acuerdo a un polinomio. Luego describe funciones polinómicas básicas como las constantes, lineales, cuadráticas y cúbicas. Más adelante, resuelve ejercicios de ecuaciones polinómicas y explica las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas, incluyendo sus características como dominio, rec
El documento trata sobre funciones polinómicas, exponenciales y logarítmicas. Explica que una función polinómica asigna valores a una variable x de acuerdo a un polinomio. Luego describe funciones polinómicas básicas como funciones constantes, lineales, cuadráticas y cúbicas. Más adelante, resuelve ejercicios de ecuaciones polinómicas y explica características de funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas como dominio, recorrido y
El documento trata sobre funciones polinómicas, exponenciales y logarítmicas. Explica que una función polinómica asigna valores a una variable x según un polinomio. Detalla las funciones polinómicas básicas de grado 0 a 3 y presenta ejercicios de ecuaciones polinómicas. Luego describe las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas, incluyendo sus características como dominio, recorrido y asintotas. Finalmente explica cómo encontrar la función inversa
Este documento proporciona una introducción al concepto de función matemática. Explica que la idea moderna de función surgió en el siglo XVII con matemáticos como Descartes, Newton y Leibniz. Más adelante, Dirichlet propuso en 1837 la definición actual de función como una correspondencia entre dos conjuntos. Luego, el documento explora conceptos como dominio, rango, funciones elementales y propiedades de funciones.
Este documento describe las ecuaciones diferenciales exactas de primer orden, las cuales tienen la forma f(x,y)dx + g(x,y)dy = 0. Explica que para resolver este tipo de ecuaciones se debe primero comprobar que sean exactas, luego integrar la función para encontrar una función F(x,y), y finalmente derivar e integrar la función g(x,y) para reemplazarla en la solución general F(x,y) = C. Proporciona dos ejemplos numéricos para ilustrar los pasos.
Este documento define conceptos básicos sobre conjuntos. Explica que un conjunto es una colección de objetos considerados como un todo, cuyos elementos no se repiten. Los conjuntos se representan con letras mayúsculas y pueden contener cualquier tipo de objetos. También introduce conceptos como subconjuntos, operaciones entre conjuntos, el conjunto vacío, cardinalidad y relaciones entre elementos de conjuntos.
Este documento describe circuitos combinatorios y álgebra booleana. Explica que los circuitos combinatorios carecen de memoria y su salida depende únicamente de las entradas actuales. Describe las compuertas lógicas básicas AND, OR y NOT y cómo se pueden usar para construir circuitos combinatorios más complejos. También introduce expresiones booleanas para representar circuitos y la noción de equivalencia entre circuitos.
El documento explica las funciones polinomiales, definidas como funciones cuya expresión contiene términos de potencias de la variable x. Se indica que una función polinomial de grado n contiene términos hasta xn. Se proveen ejemplos de funciones lineales, cuadráticas y cúbicas, así como funciones racionales y trascendentes. Además, se resuelven dos ejemplos completos que incluyen graficar funciones polinomiales dadas y determinar sus dominios e intersecciones con los ejes.
Este documento presenta las ecuaciones de segundo grado, las cuales contienen una variable elevada al cuadrado. Explica que existen tres tipos de ecuaciones de segundo grado (completas, puras y mixtas) y varios métodos para resolverlas, como factorización, raíz cuadrada y completando cuadrados. Finalmente, propone algunas actividades de clasificación de ecuaciones.
Este documento presenta una introducción a las inecuaciones lineales. Define las desigualdades y símbolos como <, ≤, >, ≥. Explica que la solución de una inecuación es un subconjunto de números reales que puede representarse como un conjunto, intervalo o gráficamente. Detalla los pasos para resolver una inecuación lineal, incluyendo despejar la variable y aplicar propiedades al cambiar términos entre lados. Proporciona tres ejemplos resueltos de inecuaciones lineales con sus soluciones como intervalos
1) El documento describe diferentes estructuras algebraicas como grupos, semigrupos, anillos y cuerpos. 2) Define las propiedades de una estructura algebraica como la ley de composición interna, elemento neutro, inversos, asociatividad y conmutatividad. 3) Presenta ejemplos para ilustrar estas propiedades en conjuntos numéricos como enteros y racionales con las operaciones de suma y multiplicación.
Este documento explica los conceptos básicos de límites de funciones. Define el límite como el valor al que se aproxima una función cuando la variable independiente se aproxima a un valor particular. Explica que para que un límite exista, los límites laterales izquierdo y derecho deben coincidir y ser finitos. También presenta algunas reglas y propiedades para calcular límites, incluyendo el uso del teorema del sandwich y cómo lidiar con indeterminaciones como 0/0.
Este documento presenta conceptos básicos sobre series de Fourier. Explica que una función periódica puede representarse mediante una serie trigonométrica de Fourier, cuyos coeficientes se calculan usando fórmulas de Euler. También cubre temas como simetrías par e impar, convergencia de la serie, y desarrollos de medio rango para funciones definidas en intervalos parciales.
Convolución y su transformada de Fourier Manuel Díaz
La transformada de Fourier de una convolución es igual al producto punto a punto de las transformadas individuales de las funciones convolucionadas. Específicamente, si f y g son funciones con convolución h, entonces la transformada de Fourier de h es igual al producto de las transformadas de Fourier de f y g. La transformada de Fourier transforma señales entre el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia de manera reversible y tiene muchas aplicaciones importantes.
El documento describe los conceptos de estabilidad y lugar geométrico de las raíces (root-locus) en sistemas de control. Explica que un sistema es estable si su respuesta tiende a cero cuando el tiempo tiende a infinito, y que la estabilidad depende de la ubicación de los polos de la función de transferencia. También presenta el criterio de Routh-Hurwitz para determinar la estabilidad analizando los signos de los coeficientes, y los pasos para construir el root-locus comenzando en los polos y terminando en los ceros o
El documento explica los sistemas de coordenadas cartesianas y diferentes tipos de funciones polinómicas como funciones lineales y cuadráticas. Define un sistema de coordenadas como dos rectas perpendiculares que se cortan en un punto y divide el plano en cuadrantes. Las funciones lineales se representan como rectas con pendiente m y punto b, mientras que las funciones cuadráticas toman la forma de parábolas descritas por la ecuación f(x)=ax2+bx+c.
Números Complejos (Operaciones en forma binómica)Marcos A. Fatela
Este documento cubre operaciones básicas con números complejos, incluyendo suma, resta, conjugados complejos y potencias de números complejos. Explica cómo sumar y restar números complejos dados en forma binómica, define qué son los conjugados complejos y cómo calcular el cuadrado y cubo de un número complejo.
El documento define las funciones trigonométricas hiperbólicas como análogas a las funciones trigonométricas circulares pero para una hipérbola en lugar de un círculo. Explica que el coseno hiperbólico y el seno hiperbólico se definen en términos de exponenciales y que cumplen identidades fundamentales similares. Además, presenta ejemplos de cómo derivar e integrar funciones que involucran funciones hiperbólicas.
Este documento explica cómo calcular la derivada de una función utilizando la definición de límite. Presenta ejemplos de cómo derivar funciones elementales como polinomios, exponenciales y logaritmos. También introduce reglas algebraicas para derivar sumas, diferencias y productos de funciones.
El documento describe funciones trascendentales como las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. También describe conceptos como la composición de funciones, derivadas, antiderivadas e integrales indefinidas. Explica cómo estas funciones se usan para modelar fenómenos periódicos y de crecimiento/decrecimiento en diferentes campos como la ingeniería.
1) El documento describe los conceptos de derivación implícita y derivadas de orden superior. 2) La derivación implícita permite derivar funciones definidas implícitamente mediante una ecuación, aunque no se pueda despejar la variable dependiente explícitamente. 3) Las derivadas de orden superior son derivadas sucesivas de una función, por ejemplo, la segunda derivada es la derivada de la primera derivada.
El documento trata sobre funciones polinómicas, exponenciales y logarítmicas. Explica que una función polinómica asigna valores a una variable x de acuerdo a un polinomio. Luego describe funciones polinómicas básicas como las constantes, lineales, cuadráticas y cúbicas. Más adelante, resuelve ejercicios de ecuaciones polinómicas y explica las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas, incluyendo sus características como dominio, rec
El documento trata sobre funciones polinómicas, exponenciales y logarítmicas. Explica que una función polinómica asigna valores a una variable x de acuerdo a un polinomio. Luego describe funciones polinómicas básicas como funciones constantes, lineales, cuadráticas y cúbicas. Más adelante, resuelve ejercicios de ecuaciones polinómicas y explica características de funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas como dominio, recorrido y
El documento trata sobre funciones polinómicas, exponenciales y logarítmicas. Explica que una función polinómica asigna valores a una variable x según un polinomio. Detalla las funciones polinómicas básicas de grado 0 a 3 y presenta ejercicios de ecuaciones polinómicas. Luego describe las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas, incluyendo sus características como dominio, recorrido y asintotas. Finalmente explica cómo encontrar la función inversa
Este documento proporciona una introducción al concepto de función matemática. Explica que la idea moderna de función surgió en el siglo XVII con matemáticos como Descartes, Newton y Leibniz. Más adelante, Dirichlet propuso en 1837 la definición actual de función como una correspondencia entre dos conjuntos. Luego, el documento explora conceptos como dominio, rango, funciones elementales y propiedades de funciones.
El documento explica las nociones básicas de función, dominio y recorrido. Define una función como una asignación entre dos conjuntos de números reales donde a cada elemento del conjunto de partida le corresponde uno y solo uno del conjunto de llegada. Explica cómo representar gráficamente una función y define dominio como el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente y recorrido como el conjunto de valores de la variable dependiente.
El documento trata sobre funciones trascendentes como las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Explica las propiedades de estas funciones, incluyendo sus gráficas y derivadas. También cubre temas como ecuaciones y sistemas de ecuaciones que involucran funciones logarítmicas y exponenciales.
Este documento introduce conceptos de análisis complejo como el estudio de funciones de variable compleja. Explica que una función compleja mapea números complejos de un dominio a otros en el plano complejo, aunque no se pueda graficar directamente. También define conceptos como límites, continuidad, derivadas y analiticidad para funciones complejas.
El documento habla sobre funciones trascendentes y especiales. Explica conceptos como dominio y rango de funciones, y clasifica funciones como polinómicas, racionales, radicales y trascendentes. Define funciones constantes, lineales, cuadráticas y exponenciales, y explica cómo calcular el dominio y rango de cada tipo de función. También cubre ecuaciones con funciones exponenciales y cómo resolverlas aplicando propiedades de potenciación.
El documento describe diferentes tipos de funciones matemáticas, incluyendo el producto cartesiano, funciones constantes, lineales, polinomiales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. También explica conceptos como dominio, rango e inversa de una función.
Este documento presenta un ejemplo de cómo calcular los máximos y mínimos de una función utilizando el criterio de la primera derivada. Se deriva la función dada, se iguala a cero y se resuelven las raíces para obtener los puntos críticos. Luego, se prueba el signo de la derivada antes y después de cada punto para identificar los extremos. Finalmente, se sustituyen los puntos en la función original para determinar los valores de los máximos y mínimos.
Este documento introduce el concepto de función matemática. Define una función como una regla de correspondencia entre dos conjuntos donde a cada elemento del primer conjunto le corresponde exactamente un elemento del segundo conjunto. Presenta ejemplos de situaciones de la vida real que pueden modelizarse mediante funciones y describe las propiedades fundamentales de las funciones como el dominio, el rango y la función inversa.
El documento presenta un resumen de contenidos de la unidad 1 de Matemática II. Cubre los temas de integral definida, propiedades de la integral definida, teorema del valor medio para integrales, teorema fundamental del cálculo, sustitución y cambio de variable, integrales de funciones transcendentales y funciones trigonométricas, funciones hiperbólicas y sus inversas, e integrales que incluyen potencias de funciones trigonométricas.
1) El documento trata sobre ecuaciones diferenciales ordinarias homogéneas y exactas. 2) Explica cómo resolver ecuaciones diferenciales homogéneas mediante un cambio de variable y ecuaciones diferenciales exactas mediante la integración. 3) También cubre ecuaciones diferenciales que pueden reducirse a homogéneas y el concepto de factor integrante.
El documento resume los conceptos clave de las ecuaciones diferenciales abordados en la sesión 6, incluyendo el método de factor integrante para resolver ecuaciones diferenciales no exactas, ejemplos de factores de integración, y la forma estándar de resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.
Función Racional
Función Trigonométrica
Función Valor Absoluto
Función Exponencial
Función Logarítmica
De cada una de estas funciones debe indicar su definición, como identificar a esa función, como es su gráfica, como se calcula su dominio y rango, y por lo menos 1 ejemplo de cada una de ellas.
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Soluciones Examen de Selectividad. Geografía junio 2024 (Convocatoria Ordinar...Juan Martín Martín
Criterios de corrección y soluciones al examen de Geografía de Selectividad (EvAU) Junio de 2024 en Castilla La Mancha.
Soluciones al examen.
Convocatoria Ordinaria.
Examen resuelto de Geografía
conocer el examen de geografía de julio 2024 en:
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http://blogdegeografiadejuan.blogspot.com/
1. UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
VICE-RECTORADO ACADÉMICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE INGENIERIA ELECTRICA
Funciones trascendentales, Derivadas e integrales
Autor:
Reibis Cegarra. CI:22314816
2. Función logaritmo natural
La función logaritmo natural se denota por 𝑙𝑛, se define por
ln 𝑥 =
1
𝑥
1
𝑑𝑡
, 𝑥 > 0
El dominio de la función logaritmo natural es el conjunto de los números reales positivos y su
rango es el conjunto de todos los números reales.
3. El siguiente teorema lista varias propiedades importantes de la función
logaritmo natural.
Teorema
Si 𝑎 𝑦 𝑏 son números positivos y 𝑟 es cualquier número racional,
entonces:
i. ln 1 = 0
ii. ln 𝑎𝑏 = ln 𝑎 + ln 𝑏
iii. ln
𝑎
𝑏
= ln 𝑎 − ln 𝑏
iv. ln 𝑎 𝑟 = 𝑟 ln 𝑎
Propiedades del logaritmo natural
4. Definición.
𝑦 = log 𝑎 𝑥 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑎 𝑦 = 𝑥
El dominio de la función 𝑦 = log 𝑎 𝑥 es igual al rango de la función 𝑦 = 𝑎 𝑥 y es igual a ℝ +
El Rango de la función 𝑦 = log 𝑎 𝑥 es igual al dominio de la función 𝑦 = 𝑎 𝑥
y es igual a ℝ.
Es decir −∞ log 𝑎 < + ∞
Ejemplo
Encuentre 𝐷 𝑥 ln 𝑥2 − 𝑥 − 2
Solución
Este problema tiene sentido, siempre que 𝑥2
− 𝑥 − 2 > 0. Ahora 𝑥2
− 𝑥 − 2 = 𝑥 − 2 𝑥 + 1 , que es
positiva con tal que 𝑥 < −1 𝑜 𝑥 > 2. Así, el dominio de ln 𝑥2
− 𝑥 − 2 es −∞, −1 ∪ 2, ∞ en
este dominio.
𝐷 𝑥 ln 𝑥2
− 𝑥 − 2 =
1
𝑥2 − 𝑥 − 2
𝐷 𝑥 𝑥2
− 𝑥 − 2 =
2𝑥 − 1
𝑥2 − 𝑥 − 2
Funciones Logarítmicas con Base a.
5. Se dice que una función f es uno a uno si cada número de su contradominio del
dominio de f corresponde a exactamente un número de su dominio; es decir,
para toda 𝑥1 𝑦 𝑥2
Si 𝑥1 ≠ 𝑥2 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓 𝑥1 ≠ 𝑓 𝑥2
⇔ 𝑓 𝑥1 = 𝑓 𝑥2 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥1 = 𝑥2
Definición de función uno a uno
6. Si f es una función uno a uno considerada como el conjunto de pares ordenados (𝑥, 𝑦) entonces existe
una función 𝑓−1, llamada inversa de f, que es el conjunto de pares ordenados(𝑥, 𝑦) definida por
𝑥 = 𝑓−1 𝑦 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑦 = 𝑓( 𝑥)
El dominio de 𝑓−1
es el contradominio de f y el contradominio de 𝑓−1
es el dominio de f.
En la definición anterior la condición de que f debe ser uno a uno asegura que 𝑓−1
( 𝑦) es única para
cada valor de y.
Definición de la inversa de una función
7. Definición
La inversa de 𝑙𝑛 se denomina función exponencial natural y se denota por exp. Así
𝑥 = 𝑒𝑥𝑝 𝑦 ⇔ 𝑦 = 𝑙𝑛 𝑥
Esta definición se deduce así
1. 𝑒𝑥𝑝 𝑙𝑛 𝑥 = 𝑥, 𝑥 > 0
2. 𝑙𝑛 𝑒𝑥𝑝 𝑦 = 𝑦, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑦
Como exp y 𝑙𝑛 son funciones inversas, la gráfica de 𝑦 = 𝑒𝑥𝑝 𝑥 es solo la gráfica de 𝑦 =
𝑙𝑛 𝑥 reflejada respecto a la recta 𝑦 = 𝑥
Funciones Exponenciales
8. La letra 𝑒 denotada al único número real positivo tal que 𝑙𝑛 𝑒 = 1
Ejemplo
Encuentre 𝐷 𝑥 𝑒 𝑥.
Solución
Por medio de 𝑢 = 𝑥
𝐷 𝑥 𝑒 𝑥
= 𝑒 𝑥
𝐷 𝑥 𝑥 = 𝑒 𝑥
∙
1
2
𝑥−1 2
=
𝑒 𝑥
2 𝑥
9. Definición
Para obtener inversas para seno y coseno restringimos sus dominios 𝑎 −𝜋 2 , 𝜋 2 𝑦 0 𝜋,
respectivamente. Así,
𝑥 = 𝑠𝑒𝑛−1
𝑦 ⇔ 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥, −
𝜋
2
≤ 𝑥 ≤
𝜋
2
𝑥 = 𝑐𝑜𝑠−1
𝑦 ⇔ 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋
A veces se utiliza el símbolo arcsen para 𝑠𝑒𝑛−1
y, de manera análoga, arccos se utiliza para
𝑐𝑜𝑠−1
.Considere arcsen como “el arco cuyo seno es" o “el ángulo cuyo seno es”.
Funciones trigonométricas inversas y sus derivadas
10. Ejemplo
Calcule
a) 𝑠𝑒𝑛−1
2 2
b) 𝑐𝑜𝑠−1
−
1
2
c) cos 𝑐𝑜𝑠−1
0.6
d) 𝑠𝑒𝑛−1
𝑠𝑒𝑛 3𝜋 2
Solución
a) 𝑠𝑒𝑛−1 2
2
=
𝜋
4
b) 𝑐𝑜𝑠−1 −
1
2
=
2𝜋
3
c) cos 𝑐𝑜𝑠−10.6 = 0.6
d) 𝑠𝑒𝑛−1 𝑠𝑒𝑛
3𝜋
3
= −
𝜋
2
11. Para obtener inversas de la tangente y la secante, restringimos sus dominios a
−𝜋 2, 𝜋 2 𝑦 )0, 𝜋 2 ∪ ( 𝜋 2 , 𝜋 , respectivamente así
𝑥 = 𝑡𝑎𝑛−1 𝑦 ⇔ 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛 𝑥, −
𝜋
2
< 𝑥 <
𝜋
2
𝑥 = 𝑠𝑒𝑐−1 𝑦 ⇔ 𝑦 = 𝑠𝑒𝑐 𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋, 𝑥 ≠
𝜋
2
Calcule
a) 𝑡𝑎𝑛−1
1
b) 𝑡𝑎𝑛−1
− 3
c) 𝑡𝑎𝑛−1 𝑡𝑎𝑛 5.236
d) 𝑠𝑒𝑐−1 −1
e) 𝑠𝑒𝑐−1 2
f) 𝑠𝑒𝑐−1 −1.32
Solución
a) 𝑡𝑎𝑛−1
1 =
𝜋
4
b) 𝑡𝑎𝑛−1
− 3 = −
𝜋
3
c) 𝑡𝑎𝑛−1
𝑡𝑎𝑛 5.236 = −1.0471853
d) 𝑠𝑒𝑐−1
−1 = 𝑐𝑜𝑠−1
−1 = 𝜋
e) 𝑠𝑒𝑐−1
2 = 𝑐𝑜𝑠−1 1
2
=
𝜋
3
f) 𝑠𝑒𝑐−1
−1.32 = 𝑐𝑜𝑠−1
−
1
1.32
= 𝑐𝑜𝑠−1
0.7575758 =
2.4303875
12. Teorema
I. sen cos−1 𝑥 = 1 − 𝑥2
II. cos sen−1 𝑥 = 1 − 𝑥2
III. sec tan−1
𝑥 = 1 + 𝑥2
IV. tan sec−1 𝑥 =
𝑥2 − 1, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1
𝑥2 − 1, 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −1
13. Definición de las funciones.
Un círculo unitario con centro en el origen sigue la fórmula 𝑥2 + 𝑦2 = 1; un punto dado por el
par ordenado 𝑥, 𝑦 se puede representar como función de un ángulo t de la siguiente manera
𝑥, 𝑦 = co s 𝑡 , 𝑠𝑒𝑛 𝑡. De igual manera, una hipérbola unitaria con centro en el origen sigue la
fórmula𝑥2 − 𝑦2 = 1; un punto dado por el par ordenado 𝑥, 𝑦 se puede representar como
función del ángulo t de la siguiente manera
𝑥, 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑡, 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑡. Estas funciones se denominan funciones trigonométricas hiperbólicas,
en particular, coseno hiperbólico y seno hiperbólico.
Derivadas de funciones trigonometricas
Funciones trigonométricas hiperbólicas.
Las funciones trigonométricas hiperbólicas presentan propiedades análogas a las de las funciones
trigonométricas o circulares. La función 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 se define como 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 =
𝑒 𝑥−𝑒−𝑥
2
,
mientras que la función 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 es
𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 =
𝑒 𝑥−𝑒−𝑥
2
14. Al igual que las funciones trigonométricas circulares, en las funciones trigonométricas hiperbólicas se
cumplen las siguientes identidades fundamentales.
xx
xx
xx
xx
xx
xx
ee
2
xsenh
1
xhcsc
ee
2
xcosh
1
xhsec
ee
ee
xsenh
xcosh
xcoth
ee
ee
xcosh
xsenh
xtanh
Debido a esto, es lógico pensar que habrá una relación equivalente al Teorema de Pitágoras. Así, para
las funciones hiperbólicas se sabe qué
1xsenhxcosh 22
15. 1xsenhxcosh 22
11
1
4
4
1
4
2
4
2
1
4
ee2
4
ee2
1
4
eee2e
4
eee2e
1
2
ee
2
ee
1xsenhxcosh
xxxx
x2xxx2x2xxx2
2xx2xx
22
Demostrar que
.
Gráfica de las funciones.
Sea la función
2
ee
xsenhxf
xx
Las intersecciones se pueden encontrar igualando la función a cero.
0x
0x2
1lnx2
1e
1
e
e
ee
0ee
0
2
ee
x2
x
x
xx
xx
xx
La función seno hiperbólico tiene una sola raíz en x=0. Para obtener los puntos críticos, se iguala a cero la derivada de la función:
1lnx2
1e
1
e
e
ee
0ee
0ee
2
1
ee
2
1
ee
dx
d
2
1
2
ee
dx
d
dx
df
x2
x
x
xx
xx
xx
xxxx
xx
Por lo tanto, no hay puntos críticos. Es interesante notar que la derivada de la función senh(x) es la función cosh(x).
Ejemplo
16. Por último, puntos inflexión se pueden encontrar en donde la segunda derivada es igual a cero.
xxxxxx
2
2
ee
2
1
ee
dx
d
2
1
ee
2
1
dx
d
dx
fd
La segunda derivada nos llevó, nuevamente, a la función 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥). Esta función ya se igualó a cero
para encontrar las intersecciones. El resultado es que en x=0 hay una raíz que, a su vez, es un
punto de inflexión.
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
.
17.
2
ee
xsenhxf
xx
2
e
2
e
2
ee xxxx
La misma función
Se puede ver como la resta de dos funciones exponenciales:
La gráfica de estas dos funciones exponenciales se muestra en azul (exponencial positiva) y verde
(exponencial negativa). La resta de ambas punto por punto es la función senh(x).
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
18. ucosh
dx
du
usenh
dx
d
xcosh
2
ee
2
ee
dx
d
xsenh
dx
d xxxx
usenh
dx
du
ucosh
dx
d
xsenh
2
ee
2
ee
dx
d
xcosh
dx
d xxxx
uhsec
dx
du
utanh
dx
d
xhsec
xcosh
1
xcosh
xsenhxcosh
xcosh
senhx
dx
d
xtanh
dx
d
2
2
22
22
uhcsc
dx
du
ucoth
dx
d
xhcsc
xsenh
1
xsenh
xcoshxsenh
senhx
xcosh
dx
d
xcoth
dx
d 2
22
22
uhsecutanh
dx
du
uhsec
dx
d
hxsecxtanh
xcosh
1
xcosh
senhx
xcosh
senhx
xcosh
1
dx
d
xhsec
dx
d
2
uhcscucoth
dx
du
uhcsc
dx
d
hxcscxcoth
senhx
1
senhx
xcosh
xsenh
xcosh
senhx
1
dx
d
xhcsc
dx
d
2
Derivadas
19. Derivar la función
3x4tanhxf 2
La función más externa es la raíz, por lo tanto, es la primera en derivarse.
3x4tanh2
3x4hsecx8
3x4tanh
dx
d
3x4tanh2
1
dx
df
2
22
2
2
Ejemplo
20. Utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo se puede establecer que
cuhcscduucothuhcsc
cuhsecduutanhuhsec
cucothduuhcsc
cutanhduuhsec
cusenhduucosh
cucoshduusenh
2
2
Integrales.
21.
dx
xcosh
xsenh
dxxtanh
dxxsenhduxcoshu
cxcoshlnculn
u
du
dx
xcosh
xsenh
dxxtanh
cusenhlnduucoth
cucoshlnduutanh
Hallar la fórmula para la integral de la tangente hiperbólica.
Se hace un cambio de variable en dónde
Al sustituir, la integral anterior cambia a
Ejemplo
Se puede utilizar el mismo procedimiento para hallar las siguientes fórmulas.
22. Las funciones trigonométricas hiperbólicas tienen funciones inversas que, comúnmente, se denotan como
1
senh
o bien como arcsenh donde la función recibe el nombre de seno hiperbólico inverso. Dado que las funciones están
definidas en términos de exponenciales, es de esperarse que sus inversas incluyan logaritmos naturales.
Se pueden definir como
1x0para
x
x11
lnxhsec
1xpara
x1
x1
ln
2
1
xtanh
1xpara1xxlnxcosh
1xxlnxsenh
2
1
1
21
21
Inversas.
Las derivadas e integrales de estas funciones se resuelven igual que las funciones trigonométricas
inversas.
23. Ejemplo
Obtener la fórmula para la derivada de la función
xsenhy 1
Dado que no se conoce la derivada del seno hiperbólico inverso pero sí la del seno hiperbólico, se pueden utilizar el concepto de la función inversa y la
derivada implícita para hallar la fórmula en cuestión.
ycosh
1
´y
1y´coshy
xysenh
xsenhy 1
1ysenhycosh 22
1ysenhycosh 22
1xycosh 2
Se sabe que
Por lo tanto,
Y la función senhy=x, entonces,