Material para la enseñanza de la geometría

1. G OSq io visual y Relaciones,
Construcciones Y.
racticas de Laboratorio.

2. MATERIAL EDUCATIVO
PARA DOCENTES
(Primera y Sequnda Etapas de Educacion B~siCq)
IGEOM ETRIA:i
Glosario Visual y Relaciones.
Construcctones y
Prachcas de Laboratono

3. ~ «()~12) 242-0632
Q. j<)r,;ala!'I;te'kd.n~l. ve
Q io~ge.s:llazar(ccdul..:a(i·asj 23.~i.)nl
g W''_edu~ativas 123.~0m
La presentaci6n y disposicion en conjunto de
GEOMETRlA: GLOSARIO VIRTUAL, CONSTRUCCIONES
y pRACTICAS DE LABORA TORlO cs propiedad del Editor
Jorge A. Salazar
Diseiio Grafico: Maria Eugenia Sanchez Liendo
Prohibida la reproduccion total de la obra.
Pennitida la reproduccion de la parte
Practicas de Laboratorio
previo penniso por escrito del Editor
© 2000 Jorge A. Salazar
ISBN 980-07-6879-3
Impreso en Venezuela

4. OTy olvide
Vi y recorde
Hice y entendi
ESTIMADO (OLEGA:
Te invitamos a eambiar de una clase dominada por instruir y realizar aprendizajes de
memoria a fomentar en los niiios eonfianza para investigar, discutir, cuestionar y comprobar.
Vivimos en un mundo geornetrico. Estamos inmcrsos en el espacio tridimensional rodeado
de fonnas y cuerpos geometricos. Vemos areos de circunferencia en arco iris, hexagonos en panales
de abejas, cubos y otros poliedros en cristales de sal, esferas en algunas frutas y superficies esfericas
en pompas de jabon.
Es neeesario introducir cambios en la ensenanza de 13 geometria, principalrnente en las
primeras etapas de la Educacion Basica, Se debe pensar en una enscfianza que no solo utilice la
memoria y cambiarla por una ensefianza sobre la base de Ia experirnentacion donde se haga mas
uso del medio que nos rodea, de materiales concretos para llcgar a tener representaciones mentales
o abstracciones de las figuras geornetricas, sus sernejanzas, sus congruencias, sus diferencias, sus
medidas y sus propiedades.
De acuerdo a la experiencia, se ha considerado dcsarrollar en la primera parte de estos
materiales una descripcion sucinta de terminos y concertos geomctricos, con una visualizacion de
algunos de eUos mediante el doblaje de papel. La idea de cste Glosario es que adcmas de tener una
descripcion actualizada de los terminos y conceptos, puedas prescntarselos a los alunmos mediante
el use de diferentes materiales concretos, de tal manera que ellos manejen el concepto, aim cuando
posiblemente no tengan su descripcion verbal.
La segunda parte es una.descripcion de construccioncs elementales de figuras geometricas,
utilizando regia, escuadras, compas y trasportador, adernas, sc realizan las mismas construcciones
utilizando plegados de papel.
La tercera parte es una coleccion de estrategias metodologicas que se han denominado
Prdcticas de Laboratorio y que son sugerencias para ser desarrolladas en el salon de clases como
si estuvieran en un laboratorio: se separan 10salumnos en grupo y se les deja discutir, nombrar un
redactor, ir a la pizarra y compartir sus resultados con todo los alumnos.
Agradezco al Prof. Satumino Fermin Reyes su paciencia para leer 10smanuscritos y sus
valiosas e interesantes sugerencias,
Jorge A. 5:;i;:;zjt
r

5. ••••
PRIMERA PARTE:
GLOSARIO VISUAL Y RELACIONES
Altura de una piramide:
segmento desde el vertice
perpendicula~ ..
alab:4l/! ./Z!!J ",""
Altura de un paralelogramo:
segmento perpendicular
entre un par de lados
p~afu 1Il
Altura de un prisma:
segmento perpendicular entre
las bases
paralelas. /110....
Altura de un triangulo: segmento perpendicular
desde un vertice allado opuesto 0
a~~~~
Altura de un trapecio: segmento
perpendicular entre los
lados paralelos. m
Angulo: union de dos rayos
de origen comun.
Angulo agudo: angulo que Angulo central: angulo con
mide menos de 90°. vertice en el centro de
V IL ODe ~
Angulo inscrito: angulo con vertice en un
punto de la circunferencia y sus lados
contienen cuerdas . . <«..del circulo. ~ ~
Angulo exterior de un trtangulo: angulo
formado por un lade y la prolongacion de
otro lado del - .A
triangulo. ~ LJ
Angulo recto: angulo que
mide 90°.
Angulos congruentes:
angulos que tienen igual
medida.
Angulo obtuso: angulo que
mide mas de 90°.
L mCLABC)=3S' Y mCLPOR)=3S'
entorices LABC - LPOR
Angulos consecutivos: son angulos que tienen
un lado comun y los Olro<
lados estan en
semiplanos 0 B~
opuestos.
C
LAOB Y LCOB son ~n9ulos consecutivos
Angulos adyacentes: son dos angulos que
tienen un lade comun y sus otros
lados son rayos 0 Zsemirrectas
opuestas. '" ~
R 0 Q
LPOR Y LPOO son ~n9ulos adyacerites
5

6. A.ngulosopuestos por el vertice: son angulos
tales que los lados de uno .son B .
rayos opuestos de los A .
lados del otro.
LAOB YLCOD son angulos opuestos por el vertic
Angulos suplementarios: dos angulos cuyas
medidas suman 180
0
• <m(LP) = 100° V a
m(La) = 80° P
LP YLa son angulos suplementauos
Angwos COIlIlpjaalfSta.na.:
medidas suman
oscuyas
.L /m(LA) = 4.8°
m(LB) = 42°
LA Y LB son angulos cornpleme
Area de un circulo: mimero de unidades de
superficie que cubren al circulo. Si el circulo
tiene un radio de r unidades de longitud, su
area es 1t.rl unidades de superficie.
A = 1t.r2
A.ngulos en reetas paraletas cortadas por una seeante:
LACD y LAFG son angulos correspondientes
LBCF y LGFC son angulos alternos internos
LDCF YL EFC son angulos alternos internos
LACB y LHFG son angulos alternos externos
A
B Cz D
;;2: G.'
Area de un poligono: mimero de
unidades de superficie que
cubren al poligono. A B
Area ad polfqono ABCD Emes seis cuadntos C D
.••E
Biseetriz de un angulo: rayo 0 semirrecta que divide
al angulo en dos angulos
congruentes.
6P es bisectnz de LAOB
m(LAOP) = m(LBOP)
Circunferencia circunscrita: es la que pasa
por los vertices de un poligono. En el caso de
un triangulo, el centro de la
circunferencia es el punto
en comun de las mediatrices
de los lados y se denomina
circuncentro.
Catetos: lados del triangulo
rectangulo que determinan
el angulo
recto. ~
c<ltetosB
Circulos congruentes:
circulosconradiosde igual
longitud.
GO
Circulo maximo: secci6n
transversal de una esfera por
un plano que circulo
pase por el maximo
centro de
la esfera.
Cilindro: cuerpo con dos circulos LJ.congruentes como bases .
situados en planos
paralelos.
base .
Circunferencia inscrita: es tangente a los
ladesde un poligono.En el casode un triangulo,
el centro de la circunferencia
es el punto comun de las
bisectrices y se
denomina
incentro.
Cono: cuerpo con una base circular
y un vertice que esta fuera verttce
del plano de ela base.
.-.---------.
b<lse
6

7. Cuadrado: reetangulo de lados
iguales 0 rombo de t:»angulos iguales. ~
Diagonal: segmento que
:~~~sf7
. qiqgonql~
Cuadrilatero: poligono de
cuatro lados. Lif." ..'O'll'
£>0,· -
Cuerda: segmento que une
dos puntos de IlJa.
circunferencia.
cuerda
Heptagono: poligono de
siete<;. e)
Diametro: cuerda quecontiene
al centro del Bcirculo.
qiameho
Dmanda de un punto a una recta:
longitud del segmento desde el
punto perpendicular
a la recta... I_P_' --.- .•!
Hexagono: poligono de seis
(6) lados. .
~ ..
Hipotenusa: lado mayor 0 lado .-'
opuesto alangulo recto en un
tri~gulo ~q
rectangulo. '
cqtetos-
Interior de un angulo: el interior del LABC es la interseccion del semiplano A
detenninado por AB que contiene 01ponto C con el ~. . .
semiplano determinado por CB .' . .
que contiene al punto A. B . ~ l>;'a ~
C
Octegcno: poligono de ocho
(8) lados... <>
VU
Mediatriz de un segmento: recta perpendicular
a un segmento en su
punto medio. •.• ~~dia"i' •
Mediana de un triangulo: es el segmento que
une un vertice con el punto~
medio dellado
opuesto. medranas
Perimetro de un poligono:
suma de las longitudes de
10s lados de un poligono.
Paralelogramo: cuadrilatero
con dos pares de lados
paralelos.
Pentagono: poligono de cinco
(5)IO~ t)
Recta perpendicular a un plano: es la recta perpendicular
al menos ados rectas del plano que ~
pasen por el punto de corte ~ ../ Z ~
de la recta y el plano. / ~ ¥' /
-~
Pframlde: poliedro en el cual todas Ias caras,
menos una, tienen un@
ponto en comun. ~...... .. .
Pi: numero real que expresa la razon entre la
longitud de la circunferencia 0y la longitud del q
diametro. 1t = J...
q
7

8. Pianos paraleles; dos pIanos que no tienen
puntos en cormm.
...----------= ;,~r ".~
Pianos perpendiculares: planos tales que uno
de ellos contie~e una recta ~
que es perpendicular 1al otro plano.
--- ,,---'
~
Poliedro: cuerpo acotado
por pIanos que se
interceptan.0 Poliedro regular: poliedro cuyas caras son poligonos regulares
congruentes y en cada vertice se encuentran el mismo numero de
caras. Los Griegos demostraron que hay 8010 cinco poliedros regulares:
tetraedro regular tiene 4 caras triangulares, el cuba tiene 6 caras
cuadradas, eloctaedro tiene 8 caras triangulares, el dodecaedro tiene
12 caras pentagonales y el icosaedro tiene 20 caras triangulares.
Poligono: region del plano determinada por
una curva cerrada simple formada por
segmentos, tales que dos segmentos
consecutivos cualesquiera no pertenecen a la
misma recta.
Poligono convexo: todas sus diagonales estan
en;:o'C;0IO 0
Poligonos congruentes: dos
poligonos que tienen la misma
forma y el mismo
tamafio.
00
Poligonos semejantes:
poligonos de igual
forma.
Punto medio de un segmento:
es un punto entre los extremos
que divide al segmento
en dos segmentos
congruentes. ABC
•.•----<._- ..••B punto rnedio
AB= BC
Rectas coneurrentes: dos 0
mas rectas que contienen un
puntoencom¥
Poligonos equivalentes: son
poligonos que tienen igual
area.
~q±~base base
Prismas: poliedros con un par de caras
congruentes que estan en pIanos paralelos
y sus otras caras son ~
paralelo~os. :
[OJ , .
Radio de un cireulo.
segmento cuyos extremos son
el centro del circulo y un
punto de la
circunferencia. G
r<l~iO~
Rectas paralelas: son dos
rectas en un plano que no
tienen punto
en cormm,
8
film
Poligonos regulares: son
poligonos de lados iguales y
angulos iguales.
000
Puntos colineales: puntos
que pertenecen a una
recta.
B
•
A
•• •
c• JI
A, By C son puntos colineales
Rectanguk» paralelogramo
~:~~QO
Rectas perpendlculares: dos
rectas que se cortan formando
angulos rectos.
~Inom ~~~

9. Relacien "Entre": el punto B esta entre los Relacien "Entre": BC esta entre BA y Db si
puntos A y C si y solo si A,B y C son y solo si, BA, BC y BD son coplanares y
colineales y AB + BC = AC. m(LABC) +m(LCBD) = m(LABD) A
Se denota A-B-C.
B~
C
A B C »
I(
• • • •
Recta paralela a un plano: una recta Reflexien: la reflexion de un puntoP sobre la recta f
y un plano que no tienen es un punto P' tal que f sea la mediatriz
punto comun. del segmento PP'. Si P
[I( » es un punto de f, f
~ ;/7 entonces P' = P.
I( »
~i ~~:: £'1
Rombo: paralelogramo de Rotaclon de centro 0 y angulo a: de un punto P es un
ladosiguales~ punto P' tal qus m(LPOP') ~:Z
P'
Secante de un circulo: recta que Seccion transversal de un solido: region comun
corta a la circunferencia del solido y de un plano que
del circulo en
(}
corta aI s6lido. Mdos puntos. '.. ..)-- --.--------~- '-.
G;{, t~~,;~~~:16J=:t..•...•
Sector de un circulo: region Segmento de extremos A y B: Segmentos congruentes:
limitada por un angulo es el conjunto de puntos de la segmentos que tienen
central y el arco~ recta AB comprendidos entre A la misma
interceptado. y B Ylos puntos A y B. longitud.
• • • •A B
Semiplano: dada una recta en el plano, Simetria retlexiva: una figura F tiene simetria reflexiva
los puntos del plano que no estan en la si hay una recta f tal que la imagen de reflexion sobre
recta forman dos semiplanos. f de cada punto P de F es tambien
F~B5emj~
;z';ano
un punto de F.
q?
Semirrecta: dado un punto en una Teorema de Pitagoras: en un triangulo rectangulo, el
recta, 10spuntos de la recta a un mismo cuadrado construido sobre la hipotenusa tiene
lado de ese punto se area igual a la suma de las areas de los
llama semirrecta: cuadrados construidos
~~sobre los catetos.
• » h2 = ~2 + b2
b
9

10. Tangente a un circulo: recta
que corta al circulo
exactamente A.en un punto. . ~
Tr iangule: poligono de
tr;;a~A
Trtangule ebtusangulor
triangulo con un angulo
obtuso.
--
Trapecio: cuadrilatero con
solo dos lados
paralelos. QJ
Trtangulo acutangule:
triangulo con tres angulos
agudos.
~
Trfangulnescaleuct
triangulo que no tiene lados
congruentes. p
Trtangulc equllatero: triangulo
con sus tres lados de A..igual longitud. ~
Unidad de longitud:
unidad elegida para
medir longitudes. En el
sistema metrico decimal
puede ser 1mm, 1em,
1m, etc.
Unidad de superficie: region del plano elegida
para medir superficies. Generalmente es una
unidad cuadrada. En un sistema metrico decimal,
las mas utilizadas son 1em? y 1m2.
Vertices de un poligono:
extremos de un lado del
poligono.
,./tz)vertices .
~ .
Traslacton: dado un vector
U, la imagen de un punto
P mediante la traslacion de
vector U es un punto P' tal
que el vector PP' es igual
al vector u.
Trtangulo rectaagule:
triangulo con un angulo
recto.
Trtangulo isosceles:
triangulo que tiene dos lados
congruentes. ~
Volumen:mimerode unidades
de vohimen que ocupa un
solido. En el sistema metrico
decimal, las unidades
de volumen pueden FFTI
ser 1cm
3
, Im
3
'LD CJ:]J
ALGUNOS POSTVLADOS 0 RELACIONES ACEPTADAS
COMO VERDADERAS:
Postulado del punto y la recta:
Dos puntos diferentes determinan una unica
recta.
Postulado del punto y el plano:
Tres puntos diferentes y no colineales determinan
un unico plano. L---L_e e~710

11. Postulado de la lntersecclen de pianos: 8==-Dos planos diferentes, si se cortan, su interseccion --=::::::::::::
es una recta. ~
Postulado del punto, la recta y el plano: 4 70
Si dos puntos pertenecen a un plano, la recta que ~
ellos detenninan esta en el plano. _.
Postulado de las perpendiculares:
Considera un punto P y una recta f en un plano.
Existe una sola recta perpendicular a la recta f que
pasa por el punto P.
Postulado de las paralelas:
Por un punto exterior a una recta f pasa solo una
recta paralela a f.
Postulado del area:
A cada poligono le corresponde un numero real
positivo denominado area ..
Postulado de la suma de las areas:
Si .un poligono P es la union de varios poligonos
PI, P2, ....Pn, que no se solapan, el area del poligono
P es la suma de las areas de los poligonos PI, P2, ....Pn-
Postulado del area de regiones congruentes:
Si dos poligonos son congruentes, entonces son
equivalentes (tienen igual area).
Postulado del area del rectangulor
El area de un rectangulo de lado b y ancho a es
dadapor a.b
Postulado del volumen:
A cada solido le corresponde un numero real
positivo denominado volumen
+
p
p
•
ErE ',e.,6 cuadrrtos
00
V= a.b.h
b
11

12. ALGUNOS TEOREMAS 0 RELACIONES QUE
DEBEN DEMOSTRARSE:
2.- Si dos rectas paralelas estan cortadas por una
transversal, entonces los angulos altemos intemos
son congruentes.
Otra forma: Si pllq, entonces m(Lu) = m(Lf3)
••
/' p
•
1.- Si dos rectas son paralelas a una tercera recta,
entonces son paralelas entre S1.
Otra forma: Si pllq y qllr, entonces pllr. ••
q
•
•••
r
•
••
7
3.- Si dos rectas estan cortadas por una transversal y
dos angulos altemos intemos son congruentes,
entonces las rectas son paralelas.
Otra forma: Si m(Lu) = m(Lf3), entonces pllq
p
4.- En un plano, si dos rectas son perpendiculares a
una tercera recta, entonces son paralelas entre si.
Otra forma: Si p.l.r y q.l.r, entonces pllq
p
q
r
5.- En todo triangulo, la suma de las medidas de dos
de los lados del triangulo es mayor que la medida
del otro lado.
Otra forma: AC + CB > AB
A
6.- Si dos lados de un triangulo son congruentes,
entonces los angulos opuestos a estos lados
son congruentes.
Otra forma: Si AB == AC, entonces m(LB) = m(LC)
12
B"---------" C

13. 7.- Si dos angulos de un triangulo son congruentes,
entonces 10s lados opuestos a estos angulos son
congruentes.
Otra forma: Si m(LB) = m(LC), entonces AB == AC
8.- La suma de las medidas de 10s angulos de un
triangulo es 180°.
Otra forma: En .6.ABC, m(LA) + m(LB) + m(LC) = 180°
9.- La suma de las medidas de 10s angulos en 10s
vertices de un poligono de n lados es (n - 2).180°. (Hexaqono. 6 lades)
Otra forma: m(LA) + m(LB) + m(LC) + m(LD) + m(LE) + m(LF) = (6 - 2).180° = 720°
10.- Los angulos de un triangulo equilatero miden 60°.
m(LA) = m(LB) = m(LC) = 60°
11.- La medida de un angulo exterior de un triangulo
es igual a la suma de 10s angulos interiores
no adyacentes.
m(LACD) = m(LA) + m(LB)
12.- Las mediatrices de 10s lados de un triangulo
se cortan en un punto Hamada circuncentro
que equidista de 10s vertices del triangulo.
13
A
GB C D
circuncerrtro

14. 13.- Las bisectrices de 10s angulos de un triangulo se
cortan en un punto llamado incentro que equidista
de los lados del triangulo.
14.- Las rectas que contienen a las alturas de un
triangulo se cortan en un punto llamado ortocentro.
15.- Las medianas de un triangulo se cortan en un
punto llamado baricentro que esta ados tercios
de la longitud de cada mediana del vertice.
16.- Los angulos opuestos de un paralelogramo son
congruentes.
m(LA) = m(LC) y m(LB) = m(LD)
17.- Los lados opuestos de un paralelogramo
son congruentes.
AB == CD y AD == BC
18.- Si los angulos opuestos de un cuadrilatero
son congruentes, entoncesel cuadrilatero
es un paralelogramo.
20.- Si una recta es tangente a un circulo, entonces el
radio al punto de tangencia es perpendicular a la
recta tangente.
14
: "
-_:--:::"--:;~ortocentro
: /
D
19.- Si los lados opuestos de un cuadrilatero
son congruentes, entonces el cuadrilatero
es un paralelogramo.

15. SEGUNDA PARTE:-CONSTRUCCIONES GEOMETRICAS
Analisis: Dos segmentos son congruentes si tienen igual medida.
l,C6mo puedes dibujar un segmento? l,Cmiles instrumentos puedes utilizar?
l,C6mo puedes dibujar un segmento que tenga una determinada longitud?
l,C6mo puedes dibujar un segmento congruente a otro con solo una regla graduada?
l,C6mo puedes dibujar un segmento congruente a otro con solo un compas y una regla no
graduada?
l,C6mo puedes construir un segmento congruente al segmento dado? Explica.
ICONSTRVIR SEGMENTOS CONGRVENTES: I
IC.ONSTRVIRANGVLOS_CONGRVENTES: I
Anallsis: Dos angulos son congruentes si tienen igual medida.
l,Los lados de angulos congtuentes son paralelos?
l,C6mo puedes dibujar un angulo?
l,C6mo puedes dibujar un angulo con una medida dada? (Por ejemplo de 30°).
l,C6mo puedes dibujar un angulo congruente a otro con s610 una regla graduada?
l,C6mo puedes dibujat un angulo congruente a otro con s610 un transportador?
l,C6mo puedes dibujar un angulo congruente it otro con s610 una regIa y un compas?
l,C6mo puedes construir un angulo congruente al angulo dado? Explica.
Construye angulos congruentes a los siguientes:
Construye triangulos eongruentes a cad a uno de Ios sigutentes trhii1gulos~ utiliza 10
aprendido en construccion de segmentos y angulos.
a) b) c}
Construy~ trhingulos conocidof les siguientes datos:
a) 8us tres lades: b) Dos lades y el lingu1a
comprendido
c) Dos angules y el Iado
comprertdido,
I 15

16. ICONSTRUCCION DE LA MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO:I
Analisis: La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento en su punto medio.
l,Cmintos puntos medios tiene un segmento? l,C6mo se define punto medio?
En un plano, l,cmintas rectas pueden dividir a un segmento en dos segmentos congruentes?
En un plano, l,cmintas rectas perpendiculares al segmento pasan por su punto medio?
En el espacio, l,cuantas rectas perpendiculares al segmento pasan por su punto medio?
Dibuja un segmento en una hoja de papel, preferiblemente transparente. Destaca sus extremos.
l,C6mo puedes doblar el papel para determinar el punto medio del segmento?
El doblez del papel coincide con la mediatriz del segmento. Observa:
(Se hacen coincidir 105 extremes)
B
A
l,Por que se puede asegurar que el doblez de la hoja pas a por el punto medio?
l,Por que se puede asegurar que el doblez de la hoja forma un angulo recto con el segmento?
l,Cual instrumento puedes utilizar para verificar si la recta es la mediatriz?
Los puntos P y Q estan sobre la mediatriz. Con un compas mide las distancias PA y PB. Mide
tambien QA y QB. l,Que observas de las distancias de un punto de la mediatriz a los extremos
del segmento? Compara tus resultados con otros compafieros.
Establece la siguiente conjetura: "Si un punto pertenece a la mediatriz de un segmento, entonces
es equidistante a los extremos del segmento "
A
Ahora estas en mejores condiciones para construir la mediatriz de un segmento: jbasta con
determinar dos puntos equidistantes de los extremos del segmento!
A BB A
rnedtatnz
mediatnz
.>:
B
Escribe el proceso de construccion de la mediatriz. Describe 10 que ocurre en cada dibujo.
l,C6mo se puede asegurar que la recta asi construida es la mediatriz del segmento AB?
Dibuja segmentos y construye su mediatriz.
16

17. ICONSTRUCCION DE LA BISECTRIZ DE UN ANGULO: I
Analisis: La bisectriz de un angulo es el rayo 0 semirrecta que tiene su origen en el vertice
del angulo y divide al angulo en dos angulos congruentes.
l,Un angulo tiene una sola bisectriz?
l,Puede existir una bisectriz de un angulo que no este en el plano del angulo?
Dibuja un angulo en una hoja de papel, preferible transparente. Destaca sus lados. l,Como
puedes doblar la hoja de papel tal que el doblez y los lados del angulo formen dos angulos
congruentes? .
doblez
(Se hacen coincidir 105 ICl~Os del ~n9ulo)
l,Por que puedes afirmar que cuando realizas el doblez y haces coincidir los lados del angulo
dado, los angulos que forma el doblez y los lados del angulo son congruentes?
AElige un punto en la bisectriz del angulo AOB. Nombralo P. Traza,
con una escuadra, el segmento PM perpendicular desde P al lado
OA. Igualmente, traza el segmento PN perpendicular desde P allado
OB. Mide con el compas las distancias PM y PN. l,Que observas?
l,Es verdad que cualquier punto de la bisectriz equidista de los lados
del angulo? Compara tus resultados con los de los compafieros.
ok::-----:~B
Establece la siguiente conjetura: "Si un punto pertenece a la bisectriz de un angulo, entonces
equidista de los lados del angulo ".
Ahora estas en mejores condiciones de construir la bisectriz de un angulo: [basta con obtener
otro punto que equidiste de los lados del angulo!
bisectriz
.:
l,Por que es necesario construir otro punto que equidiste de los lados del angulo?
Escribe el proceso visual de construccion de la bisectriz de un angulo. Discute tu descripcio~
con la de tus compafieros.
17

18. ICONSTRVCCION DE RECTAS PERPENDICULARES:I
CON PLEGADOS
a)Trazar una recta perpendicularcular a Ia recta AB:
Se dibuja una recta AB en una hoja de papel carta.
Se dobla la hoja de papel de manera que la recta
AB coincida con ella misma, es decir, que la
semirrecta donde esta situado el punto A se
superponga con la semirrecta donde esta situado el
punto B. Se desdobla la hoja y se dibuja el doblez.
Perpendicular
~.
A ....
"Doblez
~
A
b)Trazar recta perpendicular a la recta AB y pase por un punto C:
C pertenece a recta AB C no pertenece a recta AB
-c En ambos casos se
procede como enparte a),
haciendo que el doblez
pase por el punto C.
1(. •
• • I( •
• •A C B A B
CON ESCUADRA:
a) Perpendicular a recta AB b) Perpendicular a recta AB
por un punto C de ella.
c) Perpendicular a recta AB
por un punto C no de ella.
c
BA A C B A B
CON REGLA Y COMPAs:
a)Perpendicular a la recta por un punto de ella
•
P
18

19. b) Perpendicular a la recta por un punto fuera de ella.
p
• • p
p
lCONSTRUCCION DE RECTAS PARALELAS: I
: Perpendicular par
;pracesa de plegq~a,
~parte a.
0( .,
• •
Escribe, para cada construccion, el proceso realizado. Explica por que en cada caso la recta
construida es perpendicular a la recta dada. Intercambia opiniones con tus compafieros.
CON PLEGADOS:
a)Trazar recta paralela a la recta AB:
0( •
• •
A B B
b)Trazar recta paralela a recta AB por el punto C:
c·
0( •
• •
A B
Perpendicular a
recta ABpar C.c
A B
- i P~'rql~I;-;-~ectiAB-
0( .: • •
A B
c--+--------
~Paralela q
: recta AB
0( •
• •
A B
"Por que en ambos casos, la recta que se construye es paralela a la recta AB?
CON ESCUADRA:
a) Paralela a recta AB
..~
A B
b) Paralela a la recta AB por el punto C
C
..~
A B
..
Cuando se trazan rectas paralelas utilizando escuadras, "se utiliza el mismo principio que en
el caso de plegado de papel? Explica.
19

20. CON REGLA Y COMPAs:
a) Paralela a recta AB por punto C. Metodo de segmentos congruentes:
Setraza seqrnento perpendicular
desCeC 'I recta AB
"" . • • ~"" _ I.-C ._ .
A H B
Se construye segmento DM
conqruente a CH
Ctt=:D Paralelaa"". ~ct'lAB
"" .A H M B
•C
A B
b) Paralela a recta AB por punto C. Metodo de angulos altern os internos:
LDCA=LBAC
••• • • • B B
c. c
A B
Escribe, para cada construccion, el proceso realizado. Explica por que, en cada caso, la recta
construida es paralela a la recta dada. Intercambia opiniones con tus compafieros.
ICON5TRUCCION E5 DE POLIGON05: I
CON PLEGADOS:
aj'I'rlangulo equilatero
Lade AD se hace cotncidtr
con BC
Se desdobla y se marca el
doblez EF
A DAi-- -,D
C
E -------------------------------------F
C
B
(doblez)
B
Se dobla par GA tal que GD
cotncida sobre GB
E
-+(~oblez)
A :
-------------:F
B
L.BGH es equil~tew
C H
C
L,Porque el triangulo BGH es equilatero?
20

21. b) Triangulo Isosceles
Lado AD se hace
coincidir con Be
Se desdobla y se marca
el doblez EF
A~D
E~F
B C
(doblez)
EI IFAB------'CD
:[//G··I~MGB es isosceles
l,Por que el triangulo ABG es isosceles? Si XE EF, l,es.6ABX isosceles? Explica.
c) Cuadrado
:D: lsJ I:El cuadrilatero ABEB' es un cuadrado. l,Por que?
CON REGLA Y COMPA.S:
a) Triangulo equtlatero
x
A-----B A-----B
B'
:DJ:E
Escribe el proceso realizado. l,Por que el triangulo ABC es equilatero?
b) Trtangulo isosceles
A----B A----B
Escribe el proceso realizado. l,Por que el triangulo construido es isosceles? Si se hubiera
tornado otra abertura del compas, l,el triangulo construido es tambien isosceles? Explica.
c) Cuadrado
A--B
CL+A B
COD
A B
Escribe el proceso realizado. l,Por que la figura construida es un cuadrado?
21

22. IPl<ACTICA N° 1: PROPIEDADES DE FIGVRAS PLANAS I
TERCERA PARTE:-PRACTICAS DE LABORA TORIO
1.- Haz que los alumnos te ayuden aconstruir, bosquejar 0 dibujar triangulos, circulos,
cuadrados y rectangulos en el piso del salon de clases con cuerdas, teipe 0 tiza.
El caminar por el borde de una figura da al nino un sentimiento kinestesico por las partes
de las figuras, Pideles a los alumnos que caminen, salten, brinquen, gateen 0 bailen alrededor
de las figuras que construyeron 0 dibujaron.
EI conocimiento de las partes de las figuras se puede obtener con ayuda de las siguientes
preguntas:
Cuando caminas por el borde del triangulo, l,cuantas veces cambias de direccion? l,Cuantos
vertices tiene un triangulo?
Cuando caminas porel borde del cuadrado 0 del rectangulo, l,cuantas veces cambias de
direccion? l,Cuantos vertices tiene el cuadrado 0 el rectangulo?
Cuando caminas por el borde del circulo, l,cUlintasveces doblas esquinas? l,EI circulo
tiene vertices?
Haz que los alumnos dibujen tr iangul os de diferentes formas y tam afio s.
l,Es posible dibujar cuadrados de diferentes formas? l,Y de diferentes tamafios?
l,Es posible dibujar circulos de diferentes formas? l,Y de diferentes tamafios?
2.- Utiliza las mismas figuras anteriores y pide a los alumnos que se paren en el borde de
las figuras. En el interior de las figuras. En el exterior de las figuras.
l,Cuantos de ustedes caben en el borde de un triangulo? l,Y en el interior del triangulo?
l,Y en el exterior del triangulo?
Pregunta: l,Cuantos pasos necesitas para caminar por el borde de todo el cuadrado?
l,Cuantos pasos necesitas para caminar un solo lado del cuadrado?
Caminas sobre un lade del cuadrado 0 del rectangulo, vas hacia el Norte y llegas a una
esquina, l,que direccion tomaras: Sur, Este u Oeste? Explica.
22
J

23. IPt<ACTICA ND 2: GEOPLANOS I
1.- La siguiente actividad es la construccion de un geoplano 5x5. Se necesitan 10s siguientes
materiales: una tabla de madera de 20cmx20cm y un grosor de lcm, clavos, preferible sin
cabezas, martillo, escuadras y lapices,
Se dibuja sobre la tabla un cuadriculado, con cuadros de lado 4cm, y luego se colocan
clavos en 10s cruces:
De igual forma se construyeun geoplano 3x3:
2.- Es recomendable que cada alumno tenga un geoplano y bandas de goma, preferible de
colores.
Pide a los alumnos que construyan figuras geometric as en el geoplano: triangulos (isosceles,
escalenos, obtusangulos, rectangulos y acutangulos), cuadrados, rectangulos que no sean
cuadrados, rombos que no sean cuadrados, trapecios, trapecios isosceles, paralelogramos
y cuadrilateros.
l,Puedes construir un triangulo que sea obtusangulo e isosceles? l,Y uno acutangulo e
isosceles? l,Y uno isosceles y rectangulo? l,Y uno rectangulo y obtusangulo?
Cuando construyes un triangulo, l,cual es el menor numero de clavos que la banda de goma
puede tocar? l,Puede tocar solo dos clavos?
Cuando construyes un cuadrado, l,cual es el menor numero de clavos que la banda de goma
puede tocar? l,Cuantos clavos toea la banda de goma en cada lado?
23

24. 24
I PRJCTICA ND 3: CONTINVACION DEGEOPLANOS I
3.- Construye cuadrados de diferentes tamafios pero solo con dos clavos en cada lado.
Construye cuadrados de diferentes tamafios. l,Puedes establecer un patron con los numeros
de clavos del borde de los cuadrados? l,Y con los numeros de clavos tanto en el borde
como en el interior del cuadrado?
Construye las diagonales de diferentes cuadrados. Las bandas de goma que modelan las
diagonales, l,tocan igual numero de clavos? l,Como son los angulos que forman las dos
diagonales? .
4.- Construye rectangulos, que no sean cuadrados, de diferentes tamaftos, l,Coinciden el
numero de clavos en cada lade del rectangulo? l,Como es el numero de clavos en los lados
opuestos?
Construye las diagonales de diferentes rectangulos. Las bandas de goma que modelan las
diagonales, l,tocan igual numero de clavos? l,Se cortan la bandas de goma en un punto 0
en un clavo que esta en la mitad de cada banda?
5.- Construccion de figuras con numeros dados de clavos en el borde y en el interior.
Construye un triangulo con un solo clavo en el interior. Con dos clavos en el interior. En
un geoplano 3x3, construye un triangulo con el mayor numero de clavos en su interior. En
un geoplano 5x5, l,cual es el mayor numero de clavos en el interior de un triangulo en ese
geoplano? l,Y en el interior de un cuadrado? l,Y en el interior de un rectangulo? En un
geoplano 5x5, l, puedes construir un triangulo con cinco clavos en el borde y dos en el
interior? .
6.- En un geoplano 5x5 construye figuras que tengan:
a) solo un angulo recto.
b) al menos un angulo recto.
c) solo dos angulos rectos.
d) solo seis angulos rectos.
e) tres angulos rectos y siete lados.

25. IPRA,CTICA N° 4: PATRON E5
1.- Dibuja las dos figuras que siguen en cada una de las siguientes secuencias de figuras:
c=J
c=J. c=J
a) c=J., c=J ' c=J ,...
•
• • •
b) • ' ·. ' ...,...
• • •
•• •••
c) • ' • • , . . .,...
d) &. Q .O'H
00· O·0···e) , , , ,...
g)
h)
25

26. IPRACTICA N° 5: CONTINUACIONDE PATRONESI
2.- En cada uno de los siguientes problemas es recomendable hacer el dibujo de 10sprimeros
casos, construir una tabla para registrar la informacion y as! tratar de determinar el patron
de formacion y poder responder las preguntas cuando el numero de casos es grande:
a) Con dos rectas distintas, i,cmil es el mayor numero de puntos de interseccion entre
ellas? i,Y con tres rectas distintas? i,Y con cuatro rectas distintas? i,Y con cien
rectas distintas?
Observa los primeros casos:
i,Cuantos nuevos puntos de interseccion entre las rectas se generan cuando se traza una
nueva recta? i,Por que se exige que sea el mayor numero de puntos de interseccion?
Observa en la tabla, el registro de los primeros casos y trata de cornpletarla, de acuerdo
al patron de formacion:
Numero de reetas distintas
Mayor mimero de puntos de interseccion
b) i,Cuai es el mayor numero de regiones en que se divide un circulo cuando se le traza
una cuerda? i,Y con dos cuerdas? i,Y con tres cuerdas? i,Y con cien cuerdas?
Observa los primeros casos:
i,Cuantas nuevas regiones se generan cuando se traza una nuevacuerda? ~Por que se exige
que sea el mayor numero de regiones?
Observa en la tabla, el registro de los primeros casos y tratade completarla, de aeuerdo
al patron de formacion:
Numero de rectas distintas
Mayor numero de puntos de interseccicn ..
26

27. I PI<ACTICA N° 6: JUEGOS I
1.- Bingo de las formas .
. Numero de jugadores: dos (2)
Material: Cinco (5) discos rojos (se hacen con cartulina)
Cinco (5) discos azules (se hacen con cartulina)
Dos (2) cubos de madera 0 de plastico
En las caras de un cubo se pegan etiquetas como las siguientes:
1_09,101 T .- I Cuatro Nrl<ln9u 0 wc:!os U
En las caras del otro cubo se pegan etiquetas como las siguientes:
Un
~n9ulo
de 4S'
Un
~n9ulo
recto
Lades
paralelos
No
~n9ulo
recto
Se utiliza el siguiente carton y las siguientes reglas:
CARTON
D P ~
6 0 D
IIJ <> t:9
1 polrgooo 1
No lades
paralelos
REGLAS
(Puedes construir diferentes cartones y etiquetas para las caras de los cubos)
No
~n9ulo
c:!e4S'
1.El primer jugador lanza los cubos y marca con un disco
la figura que cumpla con las dos condiciones que sefialen
las caras superiores de los cubos. Si no puede marcar
ninguna figura, pierde el turno.
2. Los jugadores alternan la jugada.
3.Gana quien coloque tres discos de su color en fila.
27
2.- Construyendo rectangulos.
Numero de jugadores: Dos (2) • • • •
Materiales: Ocho (8) discos rojos
Ocho (8) discos azules • • • •
Un (1) dado normal
Un carton como el de la derecha • • • •
• • • •
Reglas:
l.Inicia el juego quien obtenga mayor puntaje con el dado. Y el cubre un punto negro con su disco.
2.Los jugadores alternan las jugadas.
3.El objeto es hacer un rectangulo con cuatro discos de igual color en sus vertices.
4.Los lados del rectangulo no tienen que ser horizontales y verticales.
(Puedes cambiar la figura a ser construida: cuadrados, paralelogramos, trapecios, El triangulo se
construye muy rapido).

28. !
IpRACTICA N° 7: MAS JUEGOSI
3.- Adivinar la Figura Geometrica.
Jugadores: Docente contra alumnos 0 Alumno contra alumnos.
Materiales: Geoplanos 0 cuadernos de dibujo (preferible cuadriculado)
Objeto del juego: Un lider (el docente 0 un alurnno) construye una figura incognita en el
geoplano 0 dibuja una figura en una hoja y no la ensefia a los demas alurnnos. La clase debe tratar
de identificar la figura haciendo preguntas que solo se puedan responder con un si 0 un no. pe
acuerdo alas respuestas del lider, los demas alumnos van construyendo en el geoplano 0 en su
cuademo la figura incognita. Ganan los alumnos que hayan hecho la figura incognita en su
geoplano 0 cuademo.
EJEMPLO: (El lider construye una figura en su geoplano y solo el la conoce)
Lider: Ya construi la figura. Hagan las preguntas para que la adivinen.
Maria: ~Tiene angulos rectos? (Lider: S1).
Ana: ~Cuantos angulos rectos?
Lider: Tu pregunta no puede ser respondida por SI 0 no. Pierdes tu turno.
Juan: ~Tiene al menos tres lados? (Lider: Si).
Pedro: [Ya adivinel: Es un triangulo rectangulo.
Lider: No, pierdes tu tumo.
Miguel: LTiene mas de un angulo recto? (Lider: Si),
Petra: ~Tiene cuatro angulos rectos? (Lider: No).
Jose: ~Tiene dos angulos rectos? (Lider: Si).
Angela: ~Tiene mas de tres lados?(Lider:'S1). .
Ana: ~Tiene exactamente cuatro lados? (Lider: S1).
Pedro: ~Sus lados opuestos son paralelos? (Lider: No).
Jorge: ~Tiene un par de lados paralelos? (Lider: Si).
Andrea: [Ya sel. Es un ...
~Cual sera la suposicion de Andrea y que corresponde con la figura incognita?
(Otra forma de jugar es dividiendo la clase en dos grupos y pierde puntos el equipo cuyos
integrantes no hagan bien las preguntas 0 hagan suposiciones erradas).
4.- Construccion de figuras geometricas.
Jugadores: Un lider (el docente 0 un alumno) y la clase dividida en equipos.
Materiales: Geoplanos 5x5.
Objeto del juego: Ellider construye una figura en su geoplano y en forma oral, de espalda
a la clase, da la ubicacion de los vertices de la figura. Gana el equipo 0 los equipos que construyan
una figura congruente a la 'delllider.
5 • • • • • • • 1N • •(Posibles ublcaciones del I
• I
qeoplano para dat las
4. -. • • • • • • • •
0 I
E
instrucciones) 3 • • • • • ...•- .--.,-.- •....
(Puede cornbinarse este [ueqo I
2 • • • • • • • • • •con el anterior: prequntando pOI' I
I
la posicion de 105 vertices. Esm~s 1 • • • • • • • ; • •
cifid) 1 2 3 4. 5 5
28

29. IpRACTICA NQ8: CUBosl
1.- Una forma de esbozar 0 dibujar un cuba es dibujando dos
cuadrados, como los de la derecha y luego unir los correspondientes
vertices con segmentos. Completa el cubo y nombra con letras
mayusculas los vertices del cubo. Utiliza solo los vertices del cuba
para responder:
a) Nombra las seis caras.
b) Nombra las doce aristas.
c) Nombra aristas paralelas. l,Cwintos pares de aristas paralelas tiene el cubo?
d) Nombra angulos rectos. l,Cuantos angulos rectos tiene el cubo?
e) Nombra aristas perpendiculares. l,Cuantos pares de aristas paralelas tiene el cubo?
f) Nombra un par de aristas cruzadas. .
g) Nombracuatro diagonales de las caras. l,Cuantas diagonales de las caras tiene el
cubo?
h) Nombra tres diagonales del cubo. l,Cuantas diagonales tiene el cubo?
i) Nombra un rectangulo. Nombra un rectangulo que no sea cuadrado.
j) Nombra un triangulo isosceles.
k) Nombra un triangulo rectangulo que no sea isosceles.
1) Nombra un triangulo equilatero.
m) Nombra tres rombos.
I
2.- l,Con cuales de las siguientes maquetas se construye un cubo? l,Con cuales de las que
se construye un cubo, la suma de los mimeros en las caras opuestas son iguales?
,---
4
~
5
1 4
2 6
~
~
I 3 5 61
1f--
4f--
8~
1 7 2 3
5t--
1~
I 4 6
5'--
3.- Con doce cubitos iguales a esteLl, utilizandolos todos a la vez, se construyen solo
los siguientes cuatro prismas diferentes:
l,Cuantos prismas diferentes puedes construir con 24 cubitos iguales, utilizandolos todos
en cada prisma? Dibujalos.
4.- Observa cada uno de 10scubos de la derecha.
Para cada cubo, l,cuantos cubitos mas, tu crees
que necesitaras para construir un cuba que
tenga doble altura a ese cubo? a) Ll
29

30. IPRACTICA 11" 9: RELACION PLANO Y ESPACIO I
1.- Completa la tabla:
Esta es una cara de un
cuerpo geometrico
L,Cmilesde estos cuerpos tienen una cara que se acople con la figura
de la izquierda? L,Cmmtasde esas caras?
C] 0 @
0 l] 0
.: &
./
QI
cY CD
D
o
2.- Observa el cuerpo y sus tres vistas:
JlFrerrte Derecha
Dibuja las tres vistas de cada cuerpo:
Tope
a)~
3.- Observa el patron de cubo. L,Cu:i10 cuales de los siguientes cubos puede formarse?
A B c D
30

31. IPRiCTlCA ND10: TRLANGULOS I
1.- Utiliza cada conjunto de tres palitos para construir un triangulo:
a) b) c)
l,Por que no es posible construir uno de esos triangulos con los palitos dados? Mide, con
una regla graduada, la longitud de los diferentes palitos. l,Que observas con las longitudes
de los palitos con los cuales no se puede construir un triangulo?
2.- Construye cada uno de los siguientes triangulos, conocida las longitudes de sus lados:
a) 6cm, 7cm, 10cm b) 8cm, 3cm, 4cm c) 5cm, 5cm, 5cm
l,Por que no es posible construir uno de esos triangulos?
Enuncia una conjetura acerca de las longitudes de los lados de un triangulo.
3.- Dibuja tres triangulos en tres hojas de papel de carta cuyos lados midan: 15cm, 20cm y
18cm; 24cm, 15cm y 15cm y 14cm, 14cm y 14cm. Recorta cada uno de 10s triangulos y
dibuja sus esquinas de colores diferentes. Recorta las esquinas de cada triangulo y colocalas
una a continuacion de otra, segun la figura:
l,C6mo es el angulo que se forma, para cada triangulo? l,Cuanto mide?
4.- Midecon un transportador los angulos de cada uno de los siguientes triangulos:
Suma 1as medidas de 10s angulos de cada triangulo. l,Cuanto es la suma?
Enuncia una conjetura acerca de la suma de 1as medidas de los angulos de un triangulo.
5.- Mide con un transportador el angulo exterior senalado 'Y 10s angulos interiores no
adyacentes, en cada triangulo:
l,C6mo es la medida del angulo exterior
y la suma de las medidas de 10s
angulos interiores no adyacentes a el?
31

32. IPRACTICA N° 11:TRIANGULOS Y CUADRILATEROSI
1.- Dibuja las tres alturas, las tres medianas, las tres bisectrices y las tres mediatrices a
cada uno de los siguientes triangulos:
Colocale el nombre de baricentro, incentro, circuncentro y ortocentro a cada uno de los
respectivos puntos comunes alas medianas, bisectrices, mediatrices y alturas.
2.- La rejilla esta formada de rectas paralelas:
a) (,Que figuras geometricas ves en la figura? Haz una lista de ellas.
b) Marca con un lapiz de color verde dos cuadrilateros que no tengan lados opuestos
paralelos.
c) Marca con un Iapiz de color rojo dos cuadrilateros con solo un par de lados paralelos.
(,Que nombre reciben esos cuadrilateros?
d) Marca con un lapiz de color azul dos cuadrilateros que tengan sus lados opuestos
paralelos. (,Que nombre reciben esos cuadrilateros?
e) (,Por que no puedes trazar rectangulos?
f) Marca con un lapiz de color morado un hexagono con sus lados opuestos paralelos.
Marca con un lapiz de color amarillo un hexagono con sus angulos internos obtusos.
Marca con un lapiz de color naranja un hexagono con dos angulos agudos.
32

33. IPRACTICA N" 12: CUADRILATEROS I
1.- Observa los cuadrilateros y selecciona cual 0 cuales satisfacen el conjunto de propiedades
y escribe su nombre:
A
E
Tiene 4 lados
Lados opuestos congruentes
Lados opuestos paralelos
Angulos opuestos congruentes
Figuras: Nombre; _
Tiene 4 lados
S610 dos lados paralelos
Figuras: Nombre., 1
Tiene 4 lados
Todos los lados congruentes
Angulos opuestos congruentes
Figuras: Nombre:
-------
c
Tiene 4 lados
Todos los lados congruentes
Todos los angulos congruentes
Figuras: Nombre:
-------
Tiene 4 lados
Lados opuestos congruentes
Todos los angulos rectos
Figuras: Nombre_: _
Tiene 4 lados
Ningun par de lados congruentes
Ningun par de lados paralelos
Figuras: Nombre:
-------
2.- Coloca una X en los cuadrilateros que tengan la propiedad:
33
Paralelogramo Rectangulo Rombo Cuadrado Trapecio
Diagonales se cortan en el punto medio
Diagonales son congruentes
Diagonales son perpendiculares
Diagonales forman 4 triangulos congruentes
Una diagonal forma 2 triangulos congruentes
Angulos opuestos son congruentes
Lados opuestos son congruentes

34. IpRACTICA N° 13: PERIMETRO Y AREA I
1.- Construye en tu geoplano las siguientes figuras. Detennina el perimetro de cada una.
Considera la distancia entre dos clavos consecutivos, verticales u horizontales, de 1em.
o
o
c
o
0
( (
-
0
0
~ ~ ~
2.- La rejilla es de 1em, tanto horizontal como vertical. Se puede caminar solo por las
rectas de la rejilla. l,Cmintos centimetros camina una honniga para recorrer cada figura?
o
D
B
C
A
3.- Si solo puedes caminar hacia arriba 0 hacia la derecha en la rejilla, l,cmintas trayectorias
diferentes puedes utilizar para ir del punto A al punto B? l,Y del punto C al punto D?
l,Cuantos centimetros mide cada una de las trayectorias entre los puntos sefialados?
4.- l,Cuantas figuras como esta W 0 cuantas como esta ~ cubren cada figura?
o
o
o
o
o
o
o
~ ~
c ~
( ~
( 0 0
~
0 0 o
34
o
o
o
o

35. IPRACTICA N° 14: AREAS DE FIGURAS GEOMETRICAS I
En el geoplano, la distancia entre clavos consecutivos, horizontales 0 verticales, es lcrn.
La distancia entre clavos consecutivos oblicuos es "i em. Luego, el area del rnenor cuadrado
que se puede construir en el geoplano es I crn2.
1.- Deterrnina el area de cada figura. Subdivide cada figura en triangulos 0 cuadrados.
2.- Deterrnina el area de cada rectangulo.
3.- Deterrnina el area de cada triangulo.
o o o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o

36. IPR.ACTICA N"15: PROBLEMAS I
A
1.- a) Determina el numero de cuadrados, detodos
los tamaiios, en cada figura.
b) Determina el numero de rectangulos, de
todos los tamaiios, en cada figura .
.-2.- En la figura, se traza la bisectriz AP del
angulo CAB y la bisectriz BI> del angulo CBD,
las cuales se cortan en el punto P. Si el angulo
APB mide 50°, cuanto mide el angulo ACB?
(Sugerencia: Utiliza el Teoremal1 sobre el angulo
exterior en un triangulo-Primera Parte).
B
k;JP DA B
3.- En algunos textos definen trapezoide como "un cuadrildtero que tiene exactamente un
par de lados paralelos", otros 10 definencomo "un cuadrildtero que tiene al menos un
par de lados paralelos ".
a) l,Es el trapecio igual al trapezoide? Explica
b) l,Es'el paralelogramo un trapezoide? Explica
c) l,Cual definicion te gusta para trapecio y cual para trapezoide?
(Los autores consideran solo la palabra trapecio para 10 establecido en el Glosario Visual).
4.- Tienes dos varillas de madera, una de 5cm y otra de 12cm. l,Cuantos triangulos puedes
construir con una tercera varilla cuya longitud sea dada en numeros enteros?
(Sugerencia: Utiliza el Teorema 5 sobre desigualdad triangular).
5.- Dibuja todos los rectangulos de perimetro 24cm, cuyas longitudes de sus lados sean
numeros enteros. l,Cual de ellos tiene mayor area?
6.- Dos cuadrados congruentes de lado 6cm se solapan como
en la figura. Un vertice de uno de los cuadrados esta en el
centro del otro cuadrado. l,Cual es el area de la parte
solapada?
7.- Cambia de lugar tres palitos y obten tres cuadrados
36

37. IpRACTICA N!' 16: MAS PROBLEMAS I
8.- Tienes ocho (8) cubos de madera de lcm de lado. (,Como puedes pintar cada cuba de
rojo y de azul de modo que si formasun cuba de 2cm de lado con ellos, el nuevo cuba sea
todo rojo 0 todo azul?
9.- Con A, B, C Y D se nombran unas figuras geornetricas. Al unirlas con la operacion *
se obtiene los siguientes resultados:
B*D~ @
(,Cual de los siguientes dibujos representa a A*D? (,Y a A*C? (,Y A*B*D? Explica.
b) @ c) @ d) + e) @a)
8
(,Y los otros dibujos que representan?
30 15
10.- Un rectangulo es dividido, segun la figura, en
cuatro rectangulos con areas de 30 cm-, 18 cm-, 15
cm2 y x cm-.
(,Cuanto es x ? 18 x
11.- En el paralelogramo ABCD, de la figura, las D P C
bisectrices AP y BI>,de dos de sus angulos se cortan V/en el punto P del paralelogramo. Explica por que
cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera:
a) Triangulos APD y BPC son isosceles. A B
b) P es punto medio dellado DC.
c) Triangulos APD y BPC tienen igual area y es un cuarto del area del paralelogramo.
12.- Observa la figura. Supon que los cuadrados son circulos,
los circulos triangulos y 10s triangulos cuadrados. (,Cuantos
circulos cortan a triangulos?
37

38. (RESPUESTAS DE ALGUNOS PROBLEMAS I
PRACTICA~' 5:
a) NUmero de reetas distintas
Mayor mimero de puntos de interseccion
b) Niunero de reetas distintas
Mayor numero de puntos de interseccion
PRfCTICA N' 8:
3.- 6.
4.- a) 7; b) 56; e) 189
PR..ACTICAN'13:
1.- 22 em; 21 em; 22 em
2.- 14 em; 24 em; 22 em
3.- A-B: 20 trayectorias de 6 em cada una; C-D: 5 de 5 em.
PRACTlCA N' 14:
1.- 8 cm2; 10 cm-;
2.- 6 em2; 10 crn-;
3.- 8 cm-; 6 em2;
8,5 cm2
8eml
4,5 cm2
PRACTICA N'15 Y 16:
1.- a) A: 10; B: 14; b) A: 18; B: 36
2.- 100°
4.- Nueve (La tercera varilla puede medir de 8cma 16cm)
S.- Seis rectangulos diferentes. EI de mayor area es cl cuadrado de lado 6cm.
6.- Un cuarto del area del cuadrado
7.-
8.- A cada eubo se pintan tres caras de un vertice cornun en azul y las otras caras de vertice
comun se pintan de rojo.
9.- A*0: (a); A*C: (d); A*B*D: (b)
to.- 9
11.-a) m(LPAD) = m(LPAB), por ser AP bisectriz
m(LPAB) = m(LAPD), angulos alternos internos en paralelas
m(LPAD) = m(LAPD), por transitividad.
Luego triangulo APD tiene dos angulos iguales y por tanto tiene dos lados iguales: es
isosceles. Igualmente, .6.BPC es isosceles.
b) .6.APD es isosceles: PD = DA. DA = CB, por ser lados opuestos de un paralelogramo .
.6.BPC es isosceles: PC = CB. Luego, PD = PC, por transitividad. Asi, Pes punto
medio de lado DC.
e) Los triangulos tienen igual base e igual altura.
12.- Uno
38

39. IBIBLIOGRAFIA I
Allina, Claudi y otros
• Materiales para construir La Geometria. Libro N° It.
• Invitacion a la Didactica de la Geometria. Libro N° 12.
Editorial Slntesis, S.A. (Madrid, 1998)
Bennett, Albert, Jr. and Nelson, Ted
• Mathematics for Elementary Teachers
Wm. C. Brown Publishers (United Stales of America. 1992)
Clemens, Stanley y otros
• Geometria.
Addison WesleyLogman de Mexico.SiA. (Mexico, /IJ(8)
Collier, Patrick
• Geometry for Teachers
Hoghton Mifflin Company( Boston. 1976)
Geitner, Peter B., and Peterson, Darrel J.
• Geometria.
International Thomson Editores, S.A. (Mexico. 1(98)
Musser, Gary L., and Trimpe, Lynn E.
• College Geometry: A Problem Solving Approach with Applications
Macmillan College Publishing Company (New York. 1994)
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• Learning and Teaching Geometry, K-12.(1987 Yearbook)
(United Slates of America, 1987)
• How to Teach Perimeter, Area and Volume.
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• Making Sense of Data.
(United States of America, 1996)
• Geometry in tbe Middle Grades.
(United States of America, 1992)
• IDEAS, from Arithmetic Teacher(Grades 4-6).
(United States of America, 1986)
Rivero Marta y Zanocco Pierina
• Geometria: Aprendizaje y Juego
Ediciones Universidad Catolica de Chile (Chile. 1992)
Serra, Michael
• Discovering Geometry: An Inductive Approach
Key Curriculum Press (Berkeley, 1993)
Steen, Arthur
• La easedanza agradable de las Matematicas,
Limusa-Noriega Editorest Mexico, 1999)

40. Pedidos: Telfs.: (0212) 243.34.79 242.06.32. E-lnaiJ: jorsala @ gmail.com