Este documento presenta una guía de respuestas para ejercicios de matemáticas que incluyen operaciones con potencias y raíces, expresiones logarítmicas, y expresiones algebraicas. Se resuelven 11 ejercicios con múltiples pasos que involucran estas operaciones y propiedades matemáticas.
Módulo del segundo año del bachilleratoJORGE RIZZO
Este documento presenta conceptos básicos de matemáticas como potenciación, radicación y el binomio de Newton. Explica las propiedades de la potenciación como el producto y cociente de potencias de igual base, y cómo elevar binomios a una potencia usando el binomio de Newton. También cubre las propiedades de la radicación como extraer raíces de productos y cocientes, y cómo realizar operaciones con radicales.
Este documento explica los conceptos básicos de las raíces. Define una raíz como una expresión que consta de un índice, un símbolo de raíz y un subradical. Explica los elementos de una raíz y su significado como una potencia con exponente fraccionario. Proporciona ejemplos de transformar potencias a raíces y viceversa, así como propiedades básicas como la multiplicación, división y raíz de una raíz.
Este documento presenta varios temas relacionados con el cálculo. Primero, resume los límites de tres funciones cuando n tiende a infinito. Luego, presenta siete derivadas de funciones. Después, lista siete integrales definidas con sus soluciones. Finalmente, resuelve ecuaciones de primer, segundo y tercer grado, y sistemas de ecuaciones lineales.
Este documento resume las operaciones básicas con potencias de la misma base. Explica que para multiplicar potencias de la misma base se suman los exponentes, y para dividir potencias de la misma base se restan los exponentes. También cubre el cálculo de potencias de potencias, donde los exponentes se multiplican, y establece que cualquier potencia elevada a la potencia cero es igual a 1. Proporciona ejemplos para ilustrar cada una de estas operaciones con potencias.
Este documento explica los conceptos básicos de la potenciación de números. Define qué es una potencia y cómo se lee, e introduce las reglas para calcular potencias de números enteros y racionales positivos y negativos. También cubre exponentes especiales como cero, uno y negativos. Finalmente, presenta propiedades clave de la potenciación como la multiplicación, división y potenciación de potencias. El documento proporciona numerosos ejemplos y ejercicios para practicar estos conceptos.
Este documento presenta el resumen de un taller sobre métodos matemáticos. Incluye la resolución de ejercicios sobre convergencia de series, el teorema del binomio, inducción matemática, números complejos y la función delta de Dirac. En particular, examina la convergencia de dos series, aplica el teorema del binomio para encontrar una serie de potencias, y usa inducción matemática para probar dos proposiciones.
El documento proporciona material de apoyo para un examen de Matemáticas II, incluyendo ejercicios sobre progresiones aritméticas y geométricas, operaciones con factoriales y series, y la expansión de binomios. Se piden calcular valores de términos, sumas, razones de progresiones, y expresar sumatorias en forma compacta. También se proporcionan fórmulas y métodos para resolver los diferentes tipos de problemas presentados.
Este documento presenta resúmenes de varios temas algebraicos incluyendo suma, resta, multiplicación, división, valor numérico y factorización de expresiones algebraicas. Se muestran dos ejemplos resueltos para cada tema con explicaciones paso a paso. El documento concluye con una bibliografía de recursos en línea sobre estos temas algebraicos.
Módulo del segundo año del bachilleratoJORGE RIZZO
Este documento presenta conceptos básicos de matemáticas como potenciación, radicación y el binomio de Newton. Explica las propiedades de la potenciación como el producto y cociente de potencias de igual base, y cómo elevar binomios a una potencia usando el binomio de Newton. También cubre las propiedades de la radicación como extraer raíces de productos y cocientes, y cómo realizar operaciones con radicales.
Este documento explica los conceptos básicos de las raíces. Define una raíz como una expresión que consta de un índice, un símbolo de raíz y un subradical. Explica los elementos de una raíz y su significado como una potencia con exponente fraccionario. Proporciona ejemplos de transformar potencias a raíces y viceversa, así como propiedades básicas como la multiplicación, división y raíz de una raíz.
Este documento presenta varios temas relacionados con el cálculo. Primero, resume los límites de tres funciones cuando n tiende a infinito. Luego, presenta siete derivadas de funciones. Después, lista siete integrales definidas con sus soluciones. Finalmente, resuelve ecuaciones de primer, segundo y tercer grado, y sistemas de ecuaciones lineales.
Este documento resume las operaciones básicas con potencias de la misma base. Explica que para multiplicar potencias de la misma base se suman los exponentes, y para dividir potencias de la misma base se restan los exponentes. También cubre el cálculo de potencias de potencias, donde los exponentes se multiplican, y establece que cualquier potencia elevada a la potencia cero es igual a 1. Proporciona ejemplos para ilustrar cada una de estas operaciones con potencias.
Este documento explica los conceptos básicos de la potenciación de números. Define qué es una potencia y cómo se lee, e introduce las reglas para calcular potencias de números enteros y racionales positivos y negativos. También cubre exponentes especiales como cero, uno y negativos. Finalmente, presenta propiedades clave de la potenciación como la multiplicación, división y potenciación de potencias. El documento proporciona numerosos ejemplos y ejercicios para practicar estos conceptos.
Este documento presenta el resumen de un taller sobre métodos matemáticos. Incluye la resolución de ejercicios sobre convergencia de series, el teorema del binomio, inducción matemática, números complejos y la función delta de Dirac. En particular, examina la convergencia de dos series, aplica el teorema del binomio para encontrar una serie de potencias, y usa inducción matemática para probar dos proposiciones.
El documento proporciona material de apoyo para un examen de Matemáticas II, incluyendo ejercicios sobre progresiones aritméticas y geométricas, operaciones con factoriales y series, y la expansión de binomios. Se piden calcular valores de términos, sumas, razones de progresiones, y expresar sumatorias en forma compacta. También se proporcionan fórmulas y métodos para resolver los diferentes tipos de problemas presentados.
Este documento presenta resúmenes de varios temas algebraicos incluyendo suma, resta, multiplicación, división, valor numérico y factorización de expresiones algebraicas. Se muestran dos ejemplos resueltos para cada tema con explicaciones paso a paso. El documento concluye con una bibliografía de recursos en línea sobre estos temas algebraicos.
Diapositivas unidad 1 - Expresiones Algebraicas
Asignatura: Algebra, trigonometría y Geometría Analitica
Grupo: 551108_19
Tutor: Jaime Julio Buelvas
Universidad Nacional Abierta y a Distancia
2.020
Este documento presenta conceptos básicos de álgebra y funciones. Explica operaciones algebraicas como sumar términos semejantes, eliminar paréntesis, multiplicar expresiones algebraicas incluyendo monomios, binomios y polinomios, y productos notables. También cubre factorización de expresiones algebraicas y resolución de ecuaciones de primer grado incluyendo ecuaciones literales. Proporciona ejemplos para ilustrar cada concepto.
Aquí les dejo algo que he resuelto de la guia del Instituto Politécnica Nacional del año 2011, sólo la sección de Matemáticas, hecho por su servidor : Carlos Alberto Julián Sánchez , estudiante de ingeniería mecatrónica por la Universidad Politécnica de Chiapas.
El documento describe los diferentes mecanismos para factorizar expresiones algebraicas, incluyendo sacar factor común, identificar trinomios cuadrados perfectos, diferencias de cuadrados, y usar la fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado. Se proveen ejemplos detallados de cómo factorizar una variedad de polinomios siguiendo estos pasos.
El documento explica las propiedades básicas de las potencias. Define una potencia como una expresión matemática que consta de una base y un exponente. Luego describe ocho propiedades clave de las potencias, incluyendo la potencia de exponente cero y uno, la multiplicación y división de potencias con la misma u otra base, la potencia de una potencia, y las potencias con exponentes negativos. El autor es Harold Leiva Miranda, profesor de matemáticas.
El documento presenta una serie de ejercicios sobre sucesiones numéricas, con sus respectivas soluciones. Se piden hallar términos, completar sucesiones, calcular términos generales y realizar operaciones entre sucesiones. Los ejercicios van desde hallar los primeros términos hasta operaciones más complejas entre sucesiones dadas por sus términos generales.
Este documento presenta tres problemas relacionados con ecuaciones de parábolas y circunferencias. El primer problema determina la temperatura óptima para una reacción química modelando los datos con una parábola. El segundo problema calcula las dimensiones de una caja de cartón modelando su volumen con una parábola. El tercer problema determina las alturas de soportes para un puente colgante modelando su forma con una parábola. Cada problema es resuelto usando el método de Cramer para sistemas de ecuaciones cuadráticas.
El documento explica los exponentes y sus propiedades. Los exponentes indican cuántas veces se multiplica un número por sí mismo. Las "leyes de los exponentes" se derivan de que un exponente positivo indica cuántas veces se multiplica un número, mientras que un exponente negativo indica cuántas veces se divide. La multiplicación y división de monomios y polinomios siguen estas propiedades de los exponentes.
1. El documento presenta 10 métodos para factorizar expresiones algebraicas. Estos incluyen factor común, trinomio cuadrado perfecto, diferencia de cuadrados, suma o diferencia de cubos perfectos y suma o diferencia de potencias iguales.
2. Se proporcionan ejemplos y reglas para cada método de factorización. Además, se incluyen 95 ejercicios para que los estudiantes apliquen estos métodos.
3. El objetivo general es enseñar diferentes técnicas para descomponer expresiones algebraicas en fact
El documento presenta los pasos para encontrar el ángulo formado por dos líneas rectas parametrizadas. En la primera parte, se calculan los valores de las rectas l1 y l2 y se aplica la fórmula cos θ = (l1)(l2)/(||l1||||l2||) para determinar que el ángulo es de 56° 25' 17". En la segunda parte, se repite el proceso para otro par de rectas dadas y se establecen sus ecuaciones paramétricas.
El documento presenta información sobre operaciones matemáticas. Explica que se deben seguir ciertos pasos al resolver operaciones combinadas, como efectuar primero las operaciones dentro de signos de colección como paréntesis antes que sumas y restas. También define conceptos como valores absolutos e intervalos en los números reales, indicando que un intervalo puede ser abierto, cerrado o ilimitado dependiendo de si incluye o no los extremos.
Mejoras al aprendizaje del perceptrón multicapa mediante retro propagación. Aprendizaje por descenso más pronunciado. Entrenamiento de una red neuronal con patrones de XOR.
Este documento presenta la resolución de varias ecuaciones de segundo grado a través de diferentes métodos como factorización y despeje. Se explican paso a paso procedimientos como sacar el factor común, utilizar la fórmula cuadrática o identificar si hay soluciones reales. El objetivo es mostrar distintas estrategias para resolver este tipo de ecuaciones de forma efectiva.
4 apuntes de fracciones algebraicas (simplificado)mitzunory
1) El documento habla sobre Nicolás de Cusa, un cardenal alemán del siglo XV que criticó los conceptos de infinito y propuso que el máximo y el mínimo coinciden en la idea de infinito. 2) Explica algunas reglas para calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas. 3) Presenta ejemplos para calcular el MCD y el MCM de fracciones algebraicas.
Ecuaciones con denominadores en forma de polinomioYeray Andrade
El documento explica cómo resolver ecuaciones con denominadores en forma de polinomio. Primero se calcula el mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores para eliminarlos. Luego se divide el MCM entre cada denominador y se multiplica por el numerador correspondiente, obteniendo una ecuación sin denominadores que puede resolverse normalmente. Se incluyen ejemplos resueltos paso a paso.
1) El documento presenta 20 ejercicios de ecuaciones de segundo grado completas, resolviéndolas paso a paso y explicando cada etapa del proceso. 2) Se explican conceptos como la forma estándar de una ecuación de segundo grado y los pasos para transformar ecuaciones a dicha forma. 3) El documento muestra la resolución detallada de cada ejercicio aplicando la fórmula cuadrática para resolver ecuaciones de segundo grado.
La Segunda Guerra Mundial fue un conflicto global entre las potencias del Eje (Alemania, Italia y Japón) y las potencias aliadas (Francia, Reino Unido, Estados Unidos y Unión Soviética) entre 1939 y 1945. Comenzó con la invasión de Polonia por parte de Alemania en septiembre de 1939 y terminó con la rendición de Japón en agosto de 1945. Luego surgió la Guerra Fría entre las potencias capitalistas lideradas por Estados Unidos y las comunistas lideradas por la Unión Soviética, la cual culminó
Este documento presenta una guía de ejercitación sobre lenguaje y comunicación. Aborda conceptos como la comunicación como proceso, la comunicación lingüística, el texto y el discurso. Incluye ejercicios para identificar emisores y receptores, elementos paralingüísticos, tipos de signos, formas de comunicación no verbal, registros de habla y fenómenos lingüísticos como la correferencia.
Este documento contiene las respuestas a varias preguntas sobre lenguaje y comunicación. En la primera pregunta, analiza diferentes situaciones comunicativas identificando emisores y receptores. La segunda pregunta distingue características de signos icónicos y lingüísticos. La tercera pregunta clasifica ejemplos en diferentes tipos de comunicación no verbal.
Este documento presenta orientaciones para la elaboración de textos escolares no sexistas. En dos oraciones resume que el Servicio Nacional de la Mujer y el Ministerio de Educación han trabajado para superar el sexismo en los textos escolares chilenos, por lo que se elaboró este manual para editores y productores de textos.
Este documento presenta respuestas a ejercicios de desarrollo de potencias, raíces y logaritmos. Incluye cálculos numéricos de potencias, raíces y logaritmos aplicando propiedades algebraicas. También incluye expresiones de resultados en notación científica y racionalización de denominadores. El documento provee detalles paso a paso para llegar a cada solución.
Diapositivas unidad 1 - Expresiones Algebraicas
Asignatura: Algebra, trigonometría y Geometría Analitica
Grupo: 551108_19
Tutor: Jaime Julio Buelvas
Universidad Nacional Abierta y a Distancia
2.020
Este documento presenta conceptos básicos de álgebra y funciones. Explica operaciones algebraicas como sumar términos semejantes, eliminar paréntesis, multiplicar expresiones algebraicas incluyendo monomios, binomios y polinomios, y productos notables. También cubre factorización de expresiones algebraicas y resolución de ecuaciones de primer grado incluyendo ecuaciones literales. Proporciona ejemplos para ilustrar cada concepto.
Aquí les dejo algo que he resuelto de la guia del Instituto Politécnica Nacional del año 2011, sólo la sección de Matemáticas, hecho por su servidor : Carlos Alberto Julián Sánchez , estudiante de ingeniería mecatrónica por la Universidad Politécnica de Chiapas.
El documento describe los diferentes mecanismos para factorizar expresiones algebraicas, incluyendo sacar factor común, identificar trinomios cuadrados perfectos, diferencias de cuadrados, y usar la fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado. Se proveen ejemplos detallados de cómo factorizar una variedad de polinomios siguiendo estos pasos.
El documento explica las propiedades básicas de las potencias. Define una potencia como una expresión matemática que consta de una base y un exponente. Luego describe ocho propiedades clave de las potencias, incluyendo la potencia de exponente cero y uno, la multiplicación y división de potencias con la misma u otra base, la potencia de una potencia, y las potencias con exponentes negativos. El autor es Harold Leiva Miranda, profesor de matemáticas.
El documento presenta una serie de ejercicios sobre sucesiones numéricas, con sus respectivas soluciones. Se piden hallar términos, completar sucesiones, calcular términos generales y realizar operaciones entre sucesiones. Los ejercicios van desde hallar los primeros términos hasta operaciones más complejas entre sucesiones dadas por sus términos generales.
Este documento presenta tres problemas relacionados con ecuaciones de parábolas y circunferencias. El primer problema determina la temperatura óptima para una reacción química modelando los datos con una parábola. El segundo problema calcula las dimensiones de una caja de cartón modelando su volumen con una parábola. El tercer problema determina las alturas de soportes para un puente colgante modelando su forma con una parábola. Cada problema es resuelto usando el método de Cramer para sistemas de ecuaciones cuadráticas.
El documento explica los exponentes y sus propiedades. Los exponentes indican cuántas veces se multiplica un número por sí mismo. Las "leyes de los exponentes" se derivan de que un exponente positivo indica cuántas veces se multiplica un número, mientras que un exponente negativo indica cuántas veces se divide. La multiplicación y división de monomios y polinomios siguen estas propiedades de los exponentes.
1. El documento presenta 10 métodos para factorizar expresiones algebraicas. Estos incluyen factor común, trinomio cuadrado perfecto, diferencia de cuadrados, suma o diferencia de cubos perfectos y suma o diferencia de potencias iguales.
2. Se proporcionan ejemplos y reglas para cada método de factorización. Además, se incluyen 95 ejercicios para que los estudiantes apliquen estos métodos.
3. El objetivo general es enseñar diferentes técnicas para descomponer expresiones algebraicas en fact
El documento presenta los pasos para encontrar el ángulo formado por dos líneas rectas parametrizadas. En la primera parte, se calculan los valores de las rectas l1 y l2 y se aplica la fórmula cos θ = (l1)(l2)/(||l1||||l2||) para determinar que el ángulo es de 56° 25' 17". En la segunda parte, se repite el proceso para otro par de rectas dadas y se establecen sus ecuaciones paramétricas.
El documento presenta información sobre operaciones matemáticas. Explica que se deben seguir ciertos pasos al resolver operaciones combinadas, como efectuar primero las operaciones dentro de signos de colección como paréntesis antes que sumas y restas. También define conceptos como valores absolutos e intervalos en los números reales, indicando que un intervalo puede ser abierto, cerrado o ilimitado dependiendo de si incluye o no los extremos.
Mejoras al aprendizaje del perceptrón multicapa mediante retro propagación. Aprendizaje por descenso más pronunciado. Entrenamiento de una red neuronal con patrones de XOR.
Este documento presenta la resolución de varias ecuaciones de segundo grado a través de diferentes métodos como factorización y despeje. Se explican paso a paso procedimientos como sacar el factor común, utilizar la fórmula cuadrática o identificar si hay soluciones reales. El objetivo es mostrar distintas estrategias para resolver este tipo de ecuaciones de forma efectiva.
4 apuntes de fracciones algebraicas (simplificado)mitzunory
1) El documento habla sobre Nicolás de Cusa, un cardenal alemán del siglo XV que criticó los conceptos de infinito y propuso que el máximo y el mínimo coinciden en la idea de infinito. 2) Explica algunas reglas para calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas. 3) Presenta ejemplos para calcular el MCD y el MCM de fracciones algebraicas.
Ecuaciones con denominadores en forma de polinomioYeray Andrade
El documento explica cómo resolver ecuaciones con denominadores en forma de polinomio. Primero se calcula el mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores para eliminarlos. Luego se divide el MCM entre cada denominador y se multiplica por el numerador correspondiente, obteniendo una ecuación sin denominadores que puede resolverse normalmente. Se incluyen ejemplos resueltos paso a paso.
1) El documento presenta 20 ejercicios de ecuaciones de segundo grado completas, resolviéndolas paso a paso y explicando cada etapa del proceso. 2) Se explican conceptos como la forma estándar de una ecuación de segundo grado y los pasos para transformar ecuaciones a dicha forma. 3) El documento muestra la resolución detallada de cada ejercicio aplicando la fórmula cuadrática para resolver ecuaciones de segundo grado.
La Segunda Guerra Mundial fue un conflicto global entre las potencias del Eje (Alemania, Italia y Japón) y las potencias aliadas (Francia, Reino Unido, Estados Unidos y Unión Soviética) entre 1939 y 1945. Comenzó con la invasión de Polonia por parte de Alemania en septiembre de 1939 y terminó con la rendición de Japón en agosto de 1945. Luego surgió la Guerra Fría entre las potencias capitalistas lideradas por Estados Unidos y las comunistas lideradas por la Unión Soviética, la cual culminó
Este documento presenta una guía de ejercitación sobre lenguaje y comunicación. Aborda conceptos como la comunicación como proceso, la comunicación lingüística, el texto y el discurso. Incluye ejercicios para identificar emisores y receptores, elementos paralingüísticos, tipos de signos, formas de comunicación no verbal, registros de habla y fenómenos lingüísticos como la correferencia.
Este documento contiene las respuestas a varias preguntas sobre lenguaje y comunicación. En la primera pregunta, analiza diferentes situaciones comunicativas identificando emisores y receptores. La segunda pregunta distingue características de signos icónicos y lingüísticos. La tercera pregunta clasifica ejemplos en diferentes tipos de comunicación no verbal.
Este documento presenta orientaciones para la elaboración de textos escolares no sexistas. En dos oraciones resume que el Servicio Nacional de la Mujer y el Ministerio de Educación han trabajado para superar el sexismo en los textos escolares chilenos, por lo que se elaboró este manual para editores y productores de textos.
Este documento presenta respuestas a ejercicios de desarrollo de potencias, raíces y logaritmos. Incluye cálculos numéricos de potencias, raíces y logaritmos aplicando propiedades algebraicas. También incluye expresiones de resultados en notación científica y racionalización de denominadores. El documento provee detalles paso a paso para llegar a cada solución.
Este documento contiene las respuestas a varias preguntas sobre lenguaje y comunicación. En la primera pregunta, analiza diferentes situaciones comunicativas identificando emisores y receptores. La segunda pregunta distingue características de signos icónicos y lingüísticos. La tercera pregunta clasifica ejemplos en diferentes tipos de comunicación no verbal.
El documento describe los componentes principales del conjunto móvil de un motor, incluyendo el pistón, las bielas, el bulón, el cigüeñal y los cojinetes. Explica las funciones de cada parte como comprimir la mezcla de combustible, transmitir el movimiento al eje del cigüeñal, y transferir la energía de la combustión a la caja de cambios.
Este documento presenta dos guías de ejercitación sobre lenguaje y comunicación. La primera guía incluye ejercicios sobre los conectores, su función y restitución, así como sobre formatos textuales y planes de redacción. La segunda guía contiene ejercicios de selección múltiple sobre conectores y planes de redacción.
Este documento presenta una guía de ejercitación de matemáticas que incluye ejercicios sobre potencias, raíces, logaritmos y álgebra básica. La guía contiene 15 secciones con más de 100 ejercicios para desarrollar que abarcan diferentes temas matemáticos.
Este documento explica las potencias y cómo calcularlas. Define las potencias como una multiplicación de factores iguales, donde la base es el factor que se repite y el exponente es el número de veces que se repite. Explica cómo calcular potencias de números enteros, fracciones, y decimales, así como las propiedades de potencias con bases positivas y negativas. Proporciona ejemplos para ilustrar los conceptos y cierra con una sección de ejercicios propuestos y resueltos.
Este documento trata sobre potencias y raíces cuadradas. Explica las reglas básicas para calcular potencias de números, productos y cocientes de potencias, potencias de potencias, y cuadrados perfectos. También incluye ejemplos y ejercicios para practicar el cálculo de potencias.
Este documento trata sobre potencias y raíces cuadradas. Explica las reglas básicas para calcular potencias de números, productos y cocientes de potencias, potencias de potencias, y cuadrados perfectos. También incluye ejemplos y ejercicios para practicar el cálculo de potencias.
El documento presenta información sobre fracciones, incluyendo cómo se escriben, suman, restan, multiplican y dividen. Explica partes de una fracción como el numerador y denominador, fracciones equivalentes, y cómo convertir fracciones a tener el mismo denominador antes de sumar o restar. También cubre sumar o restar una unidad y una fracción sustituyendo la unidad por una fracción equivalente con el mismo denominador.
El documento presenta información sobre fracciones, incluyendo cómo se escriben, suman, restan, multiplican y dividen. Explica partes de una fracción como el numerador y denominador, fracciones equivalentes, y cómo convertir fracciones a tener el mismo denominador antes de sumar o restar. También cubre sumar o restar una unidad y una fracción sustituyendo la unidad por una fracción equivalente con el mismo denominador.
El documento presenta información sobre fracciones, incluyendo cómo se escriben, suman, restan, multiplican y dividen. Explica partes de una fracción como el numerador y denominador, fracciones equivalentes, y cómo convertir fracciones a tener el mismo denominador antes de sumar o restar. También cubre sumar o restar una unidad y una fracción sustituyendo la unidad por una fracción equivalente con el mismo denominador.
Este documento proporciona instrucciones sobre cómo sumar y restar fracciones. Explica que para sumar o restar fracciones con el mismo denominador, se deja el denominador igual y se suman o restan los numeradores. Para fracciones con distintos denominadores, primero se convierten a un denominador común multiplicando el numerador y denominador, y luego se suman o restan los numeradores. También cubre cómo sumar y restar números enteros y fracciones mixtas. Al final, incluye enlaces a ejercicios de práctica interactivos.
Este documento explica las operaciones básicas con potencias de la misma base, como la multiplicación, división y elevación a otra potencia. Para multiplicar potencias de la misma base, se suma los exponentes. Para dividir potencias de la misma base, se restan los exponentes. Para elevar una potencia a otra potencia, se multiplican los exponentes. También explica que cualquier potencia con exponente cero es igual a 1.
Este documento trata sobre potencias. Explica la definición de potencia como una expresión abreviada de una multiplicación de factores iguales, con la base como el factor que se repite y el exponente indicando el número de veces que se repite. También cubre las propiedades de potencias con bases positivas y negativas, y el uso de potencias de base 10 para escribir números grandes de forma abreviada con ceros. Finalmente, propone ejercicios para practicar el tema.
Este documento presenta una introducción a los exponentes y radicales. Explica conceptos como potencias, exponentes, bases, leyes de exponentes y leyes de radicales. Incluye varios ejemplos para ilustrar el uso de estas leyes y conceptos en la simplificación y cálculo de expresiones con exponentes y radicales. También presenta un problema de aplicación para calcular cuántos planetas Plutón cabrían dentro del planeta Júpiter.
Este documento presenta información sobre exponentes y radicales. Explica conceptos como bases, exponentes y potencias. También incluye ejemplos para ilustrar las leyes de los exponentes y radicales. Finalmente, resuelve un problema aplicando conceptos de volumen para calcular cuántos planetas Plutón cabrían dentro del planeta Júpiter.
Este documento explica las reglas para calcular potencias con exponentes negativos. Indica que una potencia con exponente negativo es igual a 1 dividido por la misma potencia con el exponente cambiado de signo. También explica que una potencia de una fracción con exponente negativo es igual a la inversa de la fracción elevada al exponente cambiado de signo. Proporciona ejemplos para ilustrar estas reglas.
1) Las propiedades de las potencias incluyen la multiplicación y división de potencias de la misma base, donde se suman o restan los exponentes respectivamente.
2) Al elevar una potencia a otra, el exponente resultante es el producto de los exponentes originales.
3) Elevar una potencia a un exponente negativo invierte la base y eleva al exponente absoluto.
Este documento contiene apuntes de una clase de matemáticas sobre potencias. Incluye ejemplos de operaciones con potencias, propiedades de las potencias, y problemas resueltos aplicando dichas propiedades. También presenta ejercicios resueltos en un cuaderno de actividades relacionados con operaciones y propiedades de potencias.
Este documento explica las reglas básicas de los exponentes. Define qué son exponentes y cómo indican cuántas veces se multiplica una base por sí misma. Presenta seis reglas de los exponentes para la multiplicación, división, y operaciones con exponentes. Finalmente, incluye ejercicios de aplicación de las reglas.
El documento describe tres casos de racionalización de fracciones radicales. En el primer caso, se racionaliza multiplicando y dividiendo solo por la raíz. En el segundo caso, se racionaliza multiplicando y dividiendo por la raíz enésima adecuada. En el tercer caso, se debe racionalizar cada fracción por separado antes de realizar la resta final.
El documento explica las propiedades de las potencias en los números reales. Define una potencia como un producto de factores iguales donde la base es el factor repetido, el exponente es la cantidad de veces que se repite y el resultado es la potencia. Luego enumera seis propiedades clave de las potencias como la distribución de exponentes, potencias de cero, negativos, multiplicación, división y potencias de potencias. Finalmente, presenta ejemplos para ilustrar el uso de estas propiedades.
1) El documento explica cómo realizar operaciones de multiplicación con números positivos y negativos. Explica que al multiplicar un número negativo por un logaritmo, se debe multiplicar el número por la mantisa y la característica por separado y luego sumar los resultados.
2) También explica conceptos matemáticos como proporcionalidad, proporción y cuarta proporción, incluyendo sus definiciones y propiedades fundamentales.
3) Por último, presenta ejercicios resueltos sobre hallar términos desconocidos en pro
Este documento describe las propiedades de las potencias. Las bacterias se reproducen de forma exponencial, duplicándose cada cierto tiempo. Las potencias tienen una base que se multiplica por sí misma según el exponente. Si la base es negativa, el resultado será positivo para exponentes pares e negativo para exponentes impares.
Este documento presenta los conceptos básicos de suma, resta, multiplicación y división de expresiones algebraicas, así como el cálculo de valores numéricos. También explica cómo simplificar fracciones algebraicas mediante la búsqueda de factores comunes y cómo realizar operaciones como suma, resta, multiplicación y división con fracciones algebraicas. El documento incluye ejemplos ilustrativos para cada uno de los temas cubiertos.
1. MATEMÁTICA
GUÍA 2
RESPUESTAS
I. EJERCICIOS DE DESARROLLO
1. Calcular el valor numérico de las siguientes potencias:
1.1. 23 ⋅ 32 =
Primero se desarrollan las potencias y finalmente el producto:
23 ⋅ 32 = 8 ⋅ 9 = 72
1.2. 33 − 25 =
Primero se desarrollan las potencias y finalmente la diferencia:
33 − 25 = 27 – 32 = –5
1.3. 43 − 2 ⋅ 32 =
Primero se desarrollan las potencias, luego el producto y finalmente la diferencia:
43 − 2 ⋅ 32 = 64 − 2 ⋅ 9 = 64 – 18 = 46
2. Aplicando las propiedades de las potencias, resolver:
25 ⋅ 45
2.1. =
83
En el numerador, se puede aplicar potencias de igual exponente:
25 ⋅ 45 (2 ⋅ 4) 5 85
= =
83 83 83
Finalmente, se aplica división de potencias de igual base:
85
3
= 8 5 −3 = 8 2 = 64.
8
25 ⋅ 45
Entonces: = 64
83
2. x3 ⋅ y
2.2. =
x y −2
Se aplica multiplicación y división de potencias de igual base:
x3 ⋅ y
= x 3 −1 ⋅ y 1+ 2 = x 2 y 3
−2
xy
a 5 ⋅ b−1
2.3. =
a 2 ⋅ b−4
Se aplica multiplicación y división de potencias de igual base:
a 5 ⋅ b−1
= a 5 − 2 ⋅ b −1+ 4 = a 3 ⋅ b 3
2 −4
a ⋅b
Finalmente, se aplica potencias de igual exponente:
a 3 ⋅ b 3 = (ab ) 3
a 5 ⋅ b−1
Entonces: = (ab ) 3
a 2 ⋅ b−4
3. Resolver y expresar el resultado en notación científica:
3.1. 0,056 : 16 =
Primero se efectúa la división:
0,056 : 16 = 0,0035
Expresando finalmente el resultado en notación científica:
0,0035 = 3,5 ⋅10 −3
Entonces: 0,056 : 16 =3,5 ⋅10 −3
5. 6. Racionalizar denominadores:
3
6.1. =
5
5
Se amplifica la fracción por :
5
3 5 3 5
⋅ =
5 5 5
1− 2
6.2. =
3
3
Se amplifica la fracción por :
3
1− 2 3 3 (1 − 2 ) 3− 6
⋅ = =
3 3 3 3
3
6.3. =
1+ 2
Se amplifica la fracción por el conjugado del denominador:
3 1− 2 3(1 − 2 ) 3 − 3 2 )
⋅ = = = −3+3 2
1+ 2 1− 2 1− 2 −1
O bien: − 3 + 3 2 = 3 2 − 3 = 3( 2 − 1)
6. 7. Expresar como un solo término:
7.1. 82/3 ⋅ 2 =
Se expresa 8 como potencia de base 2 y la raíz se expresa como potencia:
2 1 1
82/3 ⋅ 2 = (2 3 ) 3 ⋅ 2 2 = 2 2 ⋅ 2 2
Queda así, una multiplicación de potencias de igual base:
1 5
2 2 ⋅ 2 2 = 2 2 +1/ 2 = 2 2
Este puede ser expresado como raíz:
5
22 = 2 5 = 32
Entonces: 82/3 ⋅ 2 = 32
4
⎛ 8 ⎞
7.2. ⎜
⎜ ⎟ =
⎝ 2⎟
⎠
Se expresa el 8 y la raíz de 2 como potencias de base 2:
4 4
⎛ 8 ⎞ ⎛ 23 ⎞
⎜ ⎟
⎜
⎜ ⎟ = ⎜
2⎟ ⎟
1
⎝ ⎠ ⎝ 22 ⎠
Operando como potencias de igual base:
4
⎛ 23 ⎞ 4
⎟ = ⎛ 2 3− 2 ⎞ 4
⎜ ⎜
1
⎟ = ⎛ 25 / 2 ⎞
⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ 22 ⎠
Se expresa la raíz como potencia:
4 4
⎛ 2 5 / 2 ⎞ = ⎛ (2) 5 ⎞ 2 = 25 = 32
⎜ 2⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4
⎛ 8 ⎞
Entonces: ⎜
⎜ ⎟ = 32
⎝ 2⎟
⎠
7. 3 10
3 ⋅ 25
7.3. =
4⋅ 3
Se expresa todo como potencias de base 2 o base 3, según corresponda:
10
3
3 10 ⋅ 2 5 3 3 ⋅ 2 5
4⋅3 3
1
22 ⋅ 3 3
Ahora se operan potencias de igual base:
10
3 3 ⋅ 25 10
−3
1
1
= 33 ⋅ 2 5 −2 = 3 9 / 3 ⋅ 2 3 = 3 3 ⋅ 2 3 = (3 ⋅ 2) 3 = 6 3 = 216
2 ⋅32 3
3
3 10 ⋅ 2 5
Luego: = 216
4⋅3 3
8. Calcular el valor numérico de las siguientes expresiones logarítmicas:
8.1. log 2 64 =
Aplicando la definición de logaritmo, debe darse que:
log 2 64 = x ⇔ 2 x = 64
Expresando 64 como potencia de base 2:
2 x = 64
2 x = 26
Luego: x = 6
Entonces: log 2 64 = 6
8.2. log 0,1 =
El logaritmo que no expresa la base, se entiende que es base 10 (logaritmo común).
Entonces: log 0,1 = x ⇔ 10 x = 0,1
Expresando 0,1 como potencia de base 10:
10 x = 0,1
1
10 x =
10
10 x = 10 −1
Luego: x = -1
Entonces: log 0,1 = -1
8. 8.3. log 8
16 =
Aplicando la definición de logaritmo, debe darse que:
log 8 16 = x ⇔ ( 8)x
= 16
Expresando todo como potencia de base 2:
( 8) x
= 16
x
⎛ 23 ⎞ = 2 4
⎜ ⎟
⎝ ⎠
3x
2 2 = 2 4 ; de donde:
3x
=4
2
x = 8/3
Entonces: log 8
16 = 8/3
9. Aplicando las propiedades de los logaritmos, calcular el valor numérico de las
expresiones siguientes:
9.1. log 5 + log 2 =
Aplicando la propiedad de la suma de logaritmos:
log 5 + log 2 = log(5 ⋅ 2) = log 10 = 1
Entonces: log 5 + log 2 = 1
9.2. log 50 − log 2 =
1
Aplicando la propiedad de la diferencia de logaritmos:
log 50 − log 2 = log(50 : 2 ) = log 100 = 2
1 1
Entonces: log 50 − log 2 = 2
1
9. 9.3. log 1.000 =
Expresando la raíz como potencia:
1
log 1.000 = log 1.000 2
Aplicando la propiedad del logaritmo de una potencia:
1
log 1.000 2 = 1
2
log 1.000 = 1
2
⋅ 3 = 3/2
3
Entonces: log 1.000 =
2
10. Escribir en lenguaje algebraico las siguientes proposiciones:
10.1. El doble de x menos el cubo de y
El doble de x es: 2x
El cubo de y es: y3
Entonces, el doble de x menos el cubo de y es: 2x - y 3
10.2. El triple de la diferencia de los cuadrados entre x e y
Los cuadrados de x e y son, respectivamente: x 2 e y 2
La diferencia de los cuadrados entre x e y es: x2 - y2
Entonces, el triple de la diferencia de los cuadrados entre x e y es: 3( x 2 - y 2 )
10.3. La mitad de la diferencia entre el cuadrado de x y el cuádruplo de y.
El cuadrado de x es: x 2
El cuádruplo de y es: 4y
Entonces, la mitad de la diferencia entre el cuadrado de x y el cuádruplo de y es:
x2 − 4y
1
2
( x 2 - 4y ) =
2
10. 11. Calcular el valor numérico de las siguientes expresiones:
11.1. u 2 − 3u + 5 ; si u = -4
Reemplazando u:
u 2 − 3u + 5 = ( −4) 2 − 3 ⋅ ( −4) + 5 = 16 + 12 + 5 = 33
11.2. 3 x 2 y − 2 xy ; si x = -3 e y = 5
Reemplazando x e y:
3 x 2 y − 2 xy = 3 ⋅ ( −3) 2 ⋅ 5 − 2 ⋅ ( −3) ⋅ 5 = 135 + 30 = 165
5 2
11.3. x − 4 20 x − log 10 x ; si x = 5
3
Reemplazando x:
5 125
(5) 2 − 4 20 ⋅ (5) − log 10 ( 5 ) = − 4 ⋅ 100 − 5 log 10 =
3 3
125 125 125 − 135 −10
= − 4 ⋅ 10 − 5 ⋅ 1 = − 45 = =
3 3 3 3
12. Desarrollar los siguientes productos de expresiones algebraicas:
12.1. (3 x − 7) 2 =
Es un cuadrado de binomio:
(3 x ) 2 − 2 ⋅ (3 x ) ⋅ (7) + 7 2 = 9 x 2 − 42 x + 49
Luego: (3 x − 7) 2 = 9 x 2 − 42 x + 49
12.2. (5 x + 6) (5 x − 6) =
Es un producto de una suma por su diferencia:
(5 x + 6) (5 x − 6) = (5 x ) 2 − (6) 2 = 25 x 2 − 36
Luego: (5 x + 6) (5 x − 6) = 25 x 2 − 36
11. 12.3. (8 + 9 x ) (2 − 5 x ) =
Es un producto de binomios:
(8 + 9 x ) (2 − 5 x ) = 8 ⋅ 2 + 8 ⋅ ( −5 x ) + 9 x ⋅ 2 + 9 x ⋅ ( −5 x )
= 16 – 40x + 18x – 45 x 2
= 16 – 22x – 45 x 2
Entonces: (8 + 9 x ) (2 − 5 x ) =16 – 22x – 45 x 2
13. Factorizar las expresiones algebraicas siguientes:
12.1. 11x 3 − 7 x 2 − x =
Factorizando por x:
11x 3 − 7 x 2 − x = x(11x 2 − 7 x − 1)
12.2. 8 x 2 − 4 x 3 =
Factorizando por 4 x 2 :
8 x 2 − 4 x 3 = 4 x 2 (2 – x)
12.3. 10 5 x + 10 4 x =
Primero se expresará la potencia 10 5 x = 10 x ⋅ 10 4 x .
Entonces:
10 5 x + 10 4 x = 10 x ⋅ 10 4 x + 10 4 x
Ahora se puede factorizar por 10 4 x :
10 5 x + 10 4 x = 10 x ⋅ 10 4 x + 10 4 x = 10 4 x ( 10 x + 1 )
14. Factorizar los cuadrados perfectos:
14.1. x 2 + 2 x + 1 = ( x + 1) 2
14.2. 4 x 2 − 12 x − 9 = no es un cuadrado perfecto
14.3. 25 a 4 − 70 a 2 + 49 = (5a − 7) 2
12. 15. Factorizar los siguientes trinomios:
15.1. x 2 + 2 x − 24 =
Se buscan 2 números que, multiplicados den –24 y sumen 2.
Estos son el 6 y el –4.
Entonces: x 2 + 2 x − 24 = (x + 6) (x – 4)
15.2. x 2 + 5 x + 6 =
Se buscan 2 números que, multiplicados den 6 y sumen 5.
Estos son el 3 y el 2.
Entonces: x 2 + 5 x + 6 = (x + 3) (x + 2)
15.3. x 3 − 7 x 2 + 10 x =
Previamente se factoriza por x:
x 3 − 7 x 2 + 10 x = x ( x 2 − 7 x + 10 )
Ahora se factoriza el paréntesis, buscando dos números que, multiplicados den 10 y sumen -7.
Estos son el –5 y el –2.
Entonces: x 3 − 7 x 2 + 10 x = x (x – 5) (x – 2)
13. II. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
1. De las siguientes igualdades, indique cuáles son verdaderas
I: 81,5 = ( 2) 9
II: 3 5 = 45 III: log2 10 = 10
Solución:
I: 81,5 = 2 ( ) 9
Convirtiendo el exponente 1,5 a fracción 3/2, queda:
81,5 = 83 / 2
Expresando el 8 como potencia de base 2:
81,5 = 83 / 2 = (23 )3 / 2
Operando las fracciones del exponente:
(23 )3 / 2 = 29 / 2
Transformando, finalmente a raíz:
29 / 2 = 29 = ( 2 )9 ; y la igualdad I es verdadera.
II: 3 5 = 45
El 3 puede expresarse como raíz de 9:
3 5= 9⋅ 5
Aplicando producto de raíces de igual exponente:
9⋅ 5 = 9 ⋅ 5 = 45 ; y la igualdad II es verdadera.
III: log2 10 = 10
El logaritmo en base 2 de 10 es el exponente al cual hay que elevar el 2 para obtener 10:
log2 10 = 10 ⇔ 2 10
= 10 ; lo que es FALSO.
Respuesta: son verdaderas solo I y II.
14. 2. Calcular el valor numérico de log( 5 − 2) + log( 5 + 2)
Solución:
Aplicando propiedad de la suma de logaritmos:
[
log( 5 − 2) + log( 5 + 2) = log ( 5 − 2)( 5 + 2)]
Quedando el logaritmo de un producto de una suma por su diferencia:
( 5 − 2) ( 5 + 2) = 5 – 4 = 1
Por lo tanto:
[ ]
log( 5 − 2) + log( 5 + 2) = log ( 5 − 2)( 5 + 2) = log 1 = 0.
Respuesta: log( 5 − 2) + log( 5 + 2) = 0.
1 1
4 −
3. Calcular: 27 − ( ) 2 =
3
25
Solución:
El primer término puede ser convertido a raíz:
1
27 3 = 3 27 = 3
El segundo término se convierte primero a potencia de exponente positivo, y luego a raíz:
1
4 −2 25 25 5
( ) = ( )1 / 2 = =
25 4 4 2
Entonces:
1 1
4 − 5 11
27 − ( ) 2 = 3 + =
3
= 5,5
25 2 2
1 1
4 −2
Respuesta: 27 3 − ( ) = 11/2 = 5,5
25
15. 2
4. Calcular el valor numérico de ⎛ 11 − 2 10 − 11 + 2 10 ⎞ =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Solución:
Corresponde a un cuadrado de binomio:
El cuadrado del primer término es: 11 − 2 10
El cuadrado del segundo término es: 11 + 2 10
El doble producto del primero por el segundo es:
2 ⋅ 11 − 2 10 ⋅ 11 + 2 10 = 2 ⋅ (11 − 2 10 ) ⋅ (11 + 2 10 =
Obsérvese que el subradical corresponde al producto de una suma por su diferencia:
= 2 ⋅ 121 − 40 = 2 ⋅ 81 = 2 ⋅ 9 = 18
Entonces:
2
⎛ 11 − 2 10 − 11 + 2 10 ⎞ = 11 − 2 10 + 11 + 2 10 - 18 = 4
⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
Respuesta: ⎛ 11 − 2 10 − 11 + 2 10 ⎞ = 4
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 200 6
5. Calcular y expresar en notación científica ⋅
5 40.000 3
Solución:
Expresando el numerador y el denominador como producto de una potencia de base 10:
1 200 6 1 (2 ⋅ 100 ) 6
⋅ = ⋅
5 40.000 3 5 ( 4 ⋅ 10.000 ) 3
Aplicando potencia de igual exponente:
1 (2 ⋅ 100 ) 6 1 2 6 ⋅ 100 6 1 2 6 ⋅ 100 6 1 26 1
⋅ = ⋅ 3 = ⋅ 3 = ⋅ 6 = = 0,2
5 ( 4 ⋅ 10.000 ) 3 5 4 ⋅ 10.000 3 5 4 ⋅ 100 6 5 2 5
Ahora hay que expresar 0,2 como notación científica:
0,2 = 2 · 10 −1
1 200 6
Respuesta: ⋅ 3
= 2 · 10 −1
5 40.000
16. 4 1/ 3 ⋅ ( 8 ) 6 ⋅ 2 −13
6. Calcular: =
32
Solución:
Primero se transformarán los términos en potencias de base 2:
4 1/ 3 ⋅ ( 8 ) 6 ⋅ 2 −13 (2 2 )1/ 3 ⋅ ( 2 3 ) 6 ⋅ 2 −13
= =
32 25
Ahora las raíces a potencia, y se operarán los exponentes:
(2 2 )1/ 3 ⋅ ( 2 3 ) 6 ⋅ 2 −13 2 2 / 3 ⋅ (2 3 / 2 ) 6 ⋅ 2 −13 2 2 / 3 ⋅ 218 / 2 ⋅ 2 −13 2 2 / 3 ⋅ 2 9 ⋅ 2 −13
= = = =
25 25 / 2 25 / 2 25 / 2
Ahora se divide y multiplican las potencias de igual base:
2 2 / 3 ⋅ 2 9 ⋅ 2 −13
= 2 2 / 3 ⋅ 2 9 ⋅ 2 −13 ⋅ 2 −5 / 2 = 2 2 / 3 + 9 −13 −5 / 2 = 2 −35 / 6
25 / 2
Este número puede expresarse de varias formas:
2 −35 / 6 = 2 −5 ⋅ 2 −5 / 6 = 2 −5 ⋅ 2 −5 = 2 6 2
6
( ) −5
Respuesta:
4 1/ 3 ⋅ ( 8 ) 6 ⋅ 2 −13
= 2 −35 / 6 = 2 −5 ⋅ 2 −5 / 6 = 2 −5 ⋅ 2 −5 = 2 6 2
6
( ) −5
32
6a 2 − 24
7. Reducir la expresión:
a+2
Solución:
El numerador puede ser factorizado por 6:
6a 2 − 24 6( a 2 − 4)
=
a+2 a+2
El factor en el paréntesis es un producto de una suma por su diferencia. Entonces:
6( a 2 − 4) 6( a + 2) ( a − 2)
=
a+2 a+2
Simplificando (a + 2):
6( a + 2) ( a − 2)
= 6 ( a − 2)
a+2
6a 2 − 24
Respuesta: = 6 ( a − 2)
a+2
17. a 2 − 11a + 30
8. Reducir la expresión:
a 2 − 5a − 6
Solución:
En el numerador se factoriza. Dos números que multiplicados den 30 y sumados den -11 son el -5 y
el -6.
En el denominador se factoriza. Dos números que multiplicados den -6 y sumados den -5 son el 1 y
el -6.
Entonces:
a 2 − 11a + 30 ( a − 5) ( a − 6)
= . Simplificando por (a – 6):
a − 5a − 6
2 ( a + 1) ( a − 6)
a 2 − 11a + 30 ( a − 5) ( a − 6) a − 5
= =
a − 5a − 6
2 ( a + 1) ( a − 6) a + 1
a 2 − 11a + 30 a−5
Respuesta: =
a − 5a − 6
2 a +1
9. Un estanque tiene ( a − 1) litros de agua y para llenarlo se necesitan (b + 1) litros más. ¿Cuál
es la capacidad del estanque?
Solución:
Sea x la capacidad total del estanque.
Si el estanque tiene ( a − 1) litros y para llenarlo se agregan (b + 1) litros, entonces, su capacidad
total es igual a:
x = ( a − 1) + (b + 1) = a + b
Respuesta: la capacidad total del estanque es (a + b) litros.
18. 10. Una madre tiene 24 años y su hijo 4 años. ¿Dentro de cuántos años la edad de la madre será el
doble de la del hijo?
Solución:
Hoy el hijo tiene 4 años y la madre 24.
Dentro de “x” años, el hijo tendrá: ( 4 + x ) años
Dentro de “x” años, la madre tendrá: ( 24 + x ) años
Para que la madre tenga el doble de edad que su hijo, el valor de x debe ser:
24 + x = 2( 4 + x )
24 + x = 8 + 2 x
24 − 8 = 2 x − x
16 = x
Respuesta: en 16 años más, la edad de la madre será el doble de la de su hijo.
19. SELECCIÓN MÚLTIPLE
1,2 ⋅ (0,01 )-2 · (-0,1 )2
1. El valor de , expresado en notación científica es igual a:
4 ⋅ (0,1 )4
Solución:
Desarrollando el producto en el numerador resulta: 120
El producto en el denominador resulta: 0,0004
Realizando el cuociente 120 / 0,0004 = 300.000
Expresando 300.000 como notación científica: 3 ⋅ 10 5
Alternativa correcta: E.
50 4 3
2. 27 + − − =
9 3 2 12
Solución:
La raíz de 27, de 50 y de 12 serán descompuestas:
50 4 3 25 ⋅ 2 4 3
27 + − − = 9⋅3 + − − .
9 3 2 12 9 3 2 4⋅3
5 4 3
= 3 3+ 2− −
3 3 2 2 3
4 4 2 4 2 2 2
Racionalizando el término: = ⋅ = =
3 2 3 2 2 3⋅2 3
3 3 3 3 3 3
Racionalizando el término: = ⋅ = =
2 3 2 3 3 2⋅3 2
Queda, entonces:
5 4 3 5 2 2 3
3 3+ 2− − = 3 3+ 2− −
3 3 2 2 3 3 3 2
Sumando algebraicamente raíces semejantes:
3 5 2 2 6 3− 3 5 2 −2 2 5
3 3− + 2− = + = 3+ 2
2 3 3 2 3 2
Alternativa correcta: B.
20. −4
3. Al racionalizar el denominador de la expresión: queda:
1− 5
Solución:
Para racionalizar un denominador binomial, se amplifica por su correspondiente conjugado:
−4 −4 1+ 5 − 4 (1 + 5 ) − 4(1 + 5 ) − 4(1 + 5 )
= ⋅ = = = = 1+ 5
1− 5 1− 5 1+ 5 1− ( 5 ) 2 1− 5 −4
Alternativa correcta: A.
13 26 12
4. log − log + log =?
8 56 7
Solución:
Aplicando la propiedad del logaritmo de un cuociente:
13 26 12
log − log + log = log 13 – log 8 – log 26 + log 56 + log 12 – log 7
8 56 7
Algunos argumentos serán descompuestos en productos:
log 13 – log 8 – log (13 · 2) + log (7 · 8) + log (4 · 3) – log 7
Ahora se aplicará la propiedad del logaritmo de un producto:
log 13 – log 8– log 13 – log 2 + log 7 + log 8 + log 4 + log 3 – log 7
Reduciendo los términos opuestos, queda:
4·3
log 4 + log 3 – log 2, que puede ser expresado como: log = log 6
2
Alternativa correcta: C.
Otra forma:
Aplicando la propiedad que el logaritmo de una suma es el logaritmo del producto y que el
logaritmo de una resta es el logaritmo del cuociente:
13 12
⋅
13 26 12 13 12 26 13 12 56 13
log − log + log = log( ⋅ ) − log = log 8 7 = log( ⋅ ⋅ ) = log( ⋅ 12)
8 56 7 8 7 56 26 8 7 26 26
56
1
= log( ⋅ 12) = log 6
2
21. 5. Si 2 log a2 = 3, entonces a4 = ?
Solución:
En la igualdad: 2 log a2 = 3, se aplica la propiedad del logaritmo:
log ( a 2 ) 2 = 3. Resolviendo la potencia:
log a 4 = 3
Escribiendo el 3 como log 1.000
log a 4 = log1.000
Cancelando los logaritmos, queda finalmente que:
a 4 = 1.000 = 10 3
Alternativa correcta: D.
6. Los divisores del polinomio x 3 + 2 x 2 − 8 x son:
I: x II: (x + 4) III: (x – 2)
Solución:
Primero: se factoriza el polinomio por x, quedando:
x 3 + 2 x 2 − 8 x = x ( x 2 + 2 x − 8)
Ahora se factoriza el trinomio del paréntesis:
x ( x 2 + 2 x − 8 ) = x ( x + 4 ) ( x − 2)
Por lo tanto, los tres factores son divisores del polinomio original.
Alternativa correcta: E.
2
7. ⎛ x2 - 16 - 4 ⎞ =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Solución:
Se trata de un cuadrado de binomio.
El cuadrado del primer término es: x 2 − 16
El doble producto del primero por el segundo es: -8 x 2 − 16
El cuadrado del segundo término es: 16
Por lo tanto:
2
⎛ x2 - 16 - 4 ⎞ = x 2 − 16 - 8 x 2 − 16 + 16
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Reduciendo términos semejantes, queda:
x 2 - 8 x 2 − 16
Alternativa correcta: B.
22. a 2 − 11a − 42
8. =
a2 − 9
Solución:
El numerador se puede factorizar como producto de dos binomios, mientras que el denominador es
el producto de una suma por su diferencia.
a 2 − 11a − 42 ( a + 3) ( a − 14)
=
a2 − 9 ( a + 3) ( a − 3)
Simplificando por (a + 3), queda:
a 2 − 11a − 42 ( a + 3) ( a − 14) ( a − 14)
= =
a −9
2 ( a + 3) ( a − 3) ( a − 3)
Alternativa correcta: C.
9. La expresión: “un medio de la diferencia entre los cuadrados de x e y”, algebraicamente
se expresa:
Solución:
Primero: la diferencia entre los cuadrados de x e y se escribe x 2 − y 2
x2 − y2
Segundo: Un medio de esta diferencia es:
2
Alternativa correcta: D.
5 xy + 5 x − 6 y − 6
10. Se puede calcular el valor numérico de la expresión , si:
y +1
(1) x = –5
(2) y = 13
Solución:
Aparentemente, para calcular el valor numérico de la expresión, se debe conocer el valor de x y el
de y.
Pero, si se factoriza en numerador, queda:
5 xy + 5 x − 6 y − 6 (5 x − 6) ( y + 1)
=
y +1 y +1
Simplificando (y + 1), la expresión queda reducida a (5x – 6), que solo depende del valor de x.
Por lo tanto, con la información (1) es suficiente para resolver el problema.
Alternativa Correcta: A