1) El documento presenta información sobre vectores, incluyendo definiciones, sistemas de coordenadas, suma y resta vectorial, producto escalar y producto vectorial. 2) Se proporcionan ejemplos numéricos para ilustrar conceptos como suma vectorial y producto escalar. 3) El documento es una guía sobre vectores y sus aplicaciones en física.

1. SISTEMA DE COORDENADAS EN EL PLANO
SUMA VECTORIAL
POSICION VECTORIAL
PRODUCTO ESCALAR
PRODUCTO VECTORIAL
DR. VICTOR HUGO CAIZA R.FISICA
RESTA VECTORIAL
VECTORES EN EL ESPACIO

2. x
y
SISTEMA DE COORDENADAS EN EL PLANO
RECTANGULARES POLARES GEOGRAFICAS
X
θ
r
N
S
EO
MENU PRINCIPAL
Ay)(Ax;A

)(A;A

Rumbo)(A;A

ϴ

3. DEFINICION FISICA.- vector es una magnitud vectorial que tiene
modulo dirección y sentido y se representa con una letra
mayúscula y en la parte superior una flechita.
DEFINICION GEOMETRICA.-
y
ϴ
x
DEFINICION MATEMATICA.-
)jAyi(AxA


4. ϴ
CosAAx
SenAAy
222
AyAxA
Ax
Ay
Tg
Ax
Ay
x
y
A
Ax
Cos
A
Ay
Cos
α
β
A
Componentes del vector
Modulo del vector
Angulo del vector
Cosenos Directores
A


5. EN FUNCIÓN DE SU MÓDULO Y ÁNGULO (POLARES)
EN FUNCIÓN DE SUS COORDENADAS RECTANGULARES
EN FUNCIÓN DE SUS VECTORES BASE
EN FUNCIÓN DE SUS COORDENADAS GEOGRAFICAS
EN FUNCIÓN DE SU MÓDULO Y UNITARIO
θ),(AA

Ay),(AxA

)jAyi(AxA

Rumbo),(AA

AuA.A


6. 1)Expresar el vector . En:
a) Coordenadas polares. b) Función de su vector base. c)
Coordenadas geográficas. d) Función de su módulo y
unitario.
)º01,122;43,9(
º99,57
5
8
43,9)8()5(
);()
1
22
cmA
tg
cmA
AAa


)85() jiAb

)º01,32;43,9() ONcmAc

ji
cm
cmji
u
A
A
u
jicmAd
A
A






85,053,0
43,9
)85(
)85,053,0(43,9)
cm)8;5(A

DATOS
Ax=-5cm
Ay= 8cm
57,99
º

7. Expresar el vector en: a) Coordenadas
geográficas. b) Coordenadas Rectangulares. c) Función de su
vector base. d) Función de su módulo y unitario.
)º30;12(
);()
ENcmA
RumboAAa


cmA
cmSencmAy
cmCoscmAx
AyAxAb
)39,10;6(
39,10º60.12
6º60.12
);()


cmjiA
jAyiAxAc
)39,106(
)()


)º60;12( cmA

DATOS
A=12cm
θ=60º
60º
N
S
EO
ji
cm
cmji
u
A
A
u
jicmAd
A
A






865,05,0
12
)39,106(
)865,05,0(12)

8. Expresar el vector En: a) Coordenadas
polares. b) Coordenadas Rectangulares c)Función de su
vector base. d) Función de su módulo y unitario.
)º295;10(
);()
mA
AAa


)06,9;23,4(
);()
A
AyAxAb


)º25;10( ESmB


9. Expresar el vector En: a) Coordenadas polares.
b) Función de su vector base. c) Coordenadas geográficas.
d) Función de su módulo y unitario.
)º87,216;5(
);()
cmC
CCa


cmjiCb )34()

)º13,53;5() OScmCc

º87,216
º13,53
.)3;4( cmC

N
S
O
ji
cm
cmji
u
C
C
u
jicmCd
A
C






6,08,0
5
)34(
)6,08,0(5)

10. SUMA VECTORIAL
MÉTODO DEL PARALELOGRAMO
y
x
)(5cm;330ºB
E)N40º(4cm;A


MÉTODO DEL POLIGONO
y
x
)cmj0,56i(6,90R
)cmj2,50i(4,33B
)cmj3,06i(2,57A



MÉTODO ANALITICO
BAR

)64º(6,92cm;4,R

R

R

A

A
 B

B

),33º(6,92cm;85R


11. EJEMPLO 1
METODO PARALELOGRAMO METODO POLIGONO
METODO ANALITICO
)(4cm;120ºD
4)cm(3;C


)cmj7,46i(R
)cmj3,46i(-2D
)cmj4i3(C



)82,37º7,53cm;(R

C

D

R


12. EJEMPLO 2
METODO PARALELOGRAMO METODO POLIGONO
METODO ANALITICO
MENU PRINCIPAL
E)50ºN(6m;C
1)m-(-5;B
)120º(8m;A



)mj9,79i4,4-(R
)mj3,86i(4,60C
)mj-i5-(B
)mj6,93i4-(A




)m114,20º(10,73m;R

A

B

C

R

R

BA

A
B

C


13. CBA:REALIZAR
2)cm-(6;C
O)N15º(5cm;B
)20º(4cm;A




METODO PARALELOGRAMO
METODO ANALITICO
)cmj4,19i8,47(R
)cmj2-i6(C
)cmj4,82i1,29-(B
)cmj1,37i3,76(A




)26,32º(9,45cm;R

A

B

C

R


14. Determinar la resultante de las tres fuerzas que actúan sobre el perno de la figura. Solución: (
N.
F2=72N
F1=45N
25º
30º
MENU PRINCIPAL
)55º(72N;F
)25º(45N;F
2
1


)j78i(82,08R
)j58,98i(41,30F
)j19,02i(40,78F
2
1



)43,54º(113,23N;R

35º
F2=80N

15. RESTA VECTORIAL
METODO PARALELOGRAMO
EJEMPLO
METODO POLIGONO
METODO ANALITICO
MENU PRINCIPAL
)Kmj2,06i(10,5D
)Kmj6,06i(3,5B
)Kmj4i7(A



)120º(7Km;B
4)Km7;(A


)B(-AB-A

)349º(10,70Km;D

A

B

D

B-
 D


16. PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR
jkAyikAxAk
)jAyik(AxAk


x
A


17. Dado el vector y el vector
Hallar: a) b)
)(18kgf;71ºA

)kgfj6i(-14B

B2A3

B5A2

)kgfj63,06i10,42-(B2A3
)kgfj12i28-()j6i2(-14B2
)kgfj51,06i(17,58)j17,02i3(5,86A3



)kgfj4,02i(81,72B5A2

x
A

EJEMPLO 1

18. PRODUCTO ESCALAR
MENU PRINCIPAL
x
y
BBB
BB
μμAA
μA.Co sθ .A
A.B
B.A
Co sθ
Ay.ByAx.BxB.AAB. Co sθB.A




B.Adeproyeccionc)La.ByAporformadoangulob)El.B.Aproductoa)El
CalcularE);N20º(18Km;B(12;9)Km;A


:vectoressiguienteslosDado
EJEMPLO
2
226.11KmB.A
(9)(16,91)12)(6,16)B.A
1)Km(6,16;16,9B)(18km;70ºB
12;9)Km(Aa)




(
33,13ºθ
0.8374
15Km.18Km
226.11km
Cosθ
A.B
B.A
b)Cosθ
2

)kmj11,80i(4.30A
)
18
j16,91i6,16
(,13º15km.Cos33A
uA.Cosθ.Ac)
B
B
BB




A

B


19. PRODUCTO VECTORIAL
MENU PRINCIPAL
y
x
z
ϴ
CBA

A
B

C

kAy.Bx)Ax.Byk
ByBx
AyAx
BA

(
kA.B.SenθBA


20. MENU PRINCIPAL
EJEMPLO
vectores.doslosporocomprendidanguloc)El
vectoresdoslosporformadaareab)El
;BAa)
:Hallar)Km;j24i(-18BO);32ºS(40Km;A:vectoreslosDado


x
y
2
)92,33)(18()24)(20,21(
2418
92,3320,21
(
kmk1119,36-BA
kkBA
kAy.Bx)Ax.Byk
ByBx
AyAx
BAa)



2
2
1119,36kmArea
k1119,36-Area
BAamoParalelogrb)Area
km


68,88º
(0,9328)Senθ 1
3 04 0
1 1 1 9 ,3 6-
Se n
A.B
BA
c)Se n

A

B

68,88º

21. MENU PRINCIPAL
Para definir la posición A que ocupa una partícula en movimiento en un tiempo t,
elegimos un sistema de referencia fijo Oxy, trazamos el vector , que une el origen
del sistema de referencia con el punto A.
TRAYECTORIA
jrirr yxA
Ar


22. MENU PRINCIPAL
Para definir la posición A que ocupa.
TRAYECTORIA
jrirr
jrirr
yxB
yxA


22
11
Ar

Br

A(x1,y1)
B(x2,y2)
BAA/B rrr


23. A(4, -5)
B(-8, 3)
x
y
MENU PRINCIPAL
j3i8r
j5i4r
B
A


ji




812A/B
B
A
BAA/B
r
j3i8r-
j5i4r
rrr
42,14
)8(12 22
A/B
A/B
r
r
Sea A(4, -5) y B(-8,3)
Determinar:
a)La posicion de A con
respecto a B
b) La distancia entre A y B.
Ar

Br

A/Br


24. Una Persona camina 550 m. hacia el este de un centro médico y luego
250m. Al S 30° E. Determinar: a) La posición final de la persona, b) La
distancia de la persona al centro médico c) La dirección de la posición final.
)(250m;300ºr
)0º(550m;r
2
1


)mj216,51i(675r
m)j216,51-i(125r
)mj0i(550r
f
2
1



m87,708fb)r
E72,22ºc)S
N
S
EO
1r

2r

fr

)ES30º(250m;r
E)(550m;r
2
1



25. N
S
EO
La Pieza dental Nº 21 esta a 35mm ; N27ºO. De la pieza nº 27 y la pieza
dental Nº 14 esta a 26mm ; S48ºO. de la pieza dental Nº21. Determinar
La posición vectorial de la pieza dental Nº 14 con respecto a la Nº 27
Nº 21 A(35mm ; N27ºO) de la nº 27
Nº 14 B(26mm ; S48ºO) de la nº21.
Determinar la posición vectorial de la Nº 14 con respecto a la Nº 27
N
S
EO 27
21
14
jir

81,1320,352114

26. Un Turista sale del Hotel donde se hospeda, camina 100 m. hacia el este y
75m. N20ºE. Seguidamente sale el guía 50m. Al N 60ºO y 200m N 50° E.
Determinar la distancia del Guía al Turista.
48,7070,25( i


)EN20º(75m;r
)j0i(100E)(100m;r
T2
T1N
S
E
O
T 1r

T 2r

G1r

G2r

)EN50º(200m;r
O)N60º(50m;r
G2
G1


G2G1G rrr

Sol. 84,57m
ji


48,7070,125T
T2T1T
r
rrr
G2G1G rrr
 GTT /G rrr


27. Dados los puntos A (1, 4); B (-5, 2) y C (-4, -3), determinar: a) Los
vectores posición de cada punto, b) El perímetro del triángulo ABC,
c) El área del triangulo. d)Los ángulos del triángulo ABC.
A
B
C
j2i5r
j4ir
B
A


Ar

Br

A/Br

ji




26A/B
B
A
BAA/B
r
j2i5r-
j4ir
rrr
33,6
26 22
A/B
A/B
r
r

28. 1.- Determinar la resultante de las dos fuerzas que
actúan sobre el perno A
F1=55 N
F2=40 N
35º
30º )35º(40N;F
)65º(55N;F
2
1



29. Un avión recorre 2500km. hacia el Oeste de su base y luego 1500km.
al N 30° O. Determinar: a) La posición final del avión, b) La distancia
del avión a la base c) La dirección de la posición final.
O
1r

2r

fr

O)N68,21º(3500km;r
)8,21º(3500km;15r
9,04)km(-3250;129r
f
f
f



baseladeOc)N68,21º
b)3500km