Sistemas de ecuaciones

2
Justificación
Los sistemas de ecuaciones son una de las
herramientas más útiles dentro del estudio de las
matemáticas. Podemos resolver innumerables
situaciones usando los sistemas de ecuaciones
lineales y no lineales. Las aplicaciones van desde
las ciencias naturales, la matemática, las ramas de
administración de empresas, la ingeniería, etc.
Espero que este módulo sirva de guía para que los
estudiantes se inicien en la comprensión de los
conceptos básicos de los sistemas de ecuaciones.

3
Pre Prueba: Sistemas de ecuaciones
1. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución .
4x + y = 0
-4x + y = -8
2. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución.
5x - 2y = -1
7x + 4y = 53
2x + 6y = -16
-2x - 13y = 37
4. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de eliminación.
5x + 13y = 8
12x - 11y = -23
3x + y =13
2x - 7y =-7

4
6. Resuelve el ejercicio.
Una pareja de retirados tiene $ 170,000 para invertirlos y
obtener un ingreso anual. Ellos invirtieron una cantidad en
Certificados de Deposito a una tasa del 5% anual y el resto lo
invirtieron en bonos AA que pagan un 11% anual. ¿Cuánto
deben invertir a cada por ciento para obtener unos ingresos
de $ 15,100 al año?

Sistemas de Ecuaciones 5

Objetivos:

1. Definir el concepto de sistema de
ecuaciones.
2. Verificar si un par ordenado es
solución de un sistema 2 x 2.
3. Resolver un sistema 2 x 2 por el
método de sustitución.
método de gráfico.
método de eliminación por adición


Definición
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de
dos o más ecuaciones simultáneas.

Ejemplos:
2 x + y = 6  x 2 − y = −5
1)  2) 
3x − y = 4  2x + y = 4
1 3  x3 − y = 0
 2 x + 4 y = 10
 4) 
3)  x − y = 0
3 x − y = 4
4


Aclaración
El tamaño de un sistema de ecuaciones está
determinado por el número de ecuaciones y el
número de variables. Un sistema con tres
ecuaciones y con tres variables se dice que es un
sistema 3x3, uno con dos ecuaciones y tres
variables se dice que es un sistema 2x3.

Si todas las ecuaciones en un sistema son lineales,
al sistema se le llama sistema ecuaciones lineales.
De lo contrario se le llama sistema de ecuaciones
no lineal.


Definición
Una solución de un sistema 2x2 es un par
ordenado (x,y) que hace cierta cada una de las
ecuaciónes del sistema.

Resolver un sistema de ecuaciones consiste en
encontrar el conjunto de todas las soluciones
del sistema. El conjunto formado por todas las
soluciones de un sistema de ecuaciones se
conoce como el conjunto solución del sistema.


Ejemplo:
Verifica si el par ordenado es una solución del
sistema de ecuaciones.

2 x + y = 6 Par Ordenado : (1 , 2 )
1) 
3x − y = 4
Verificación :
2 ( 1) + 2 ≠ 6
3 ( 1) − 2 ≠ 4
Por lo tanto el par ordenado ( 1 , 2 ) no es solución.


 x 2 − y = −5 Par Ordenado: ( −1 , 6 )
2) 
 2x + y = 4
Verificación :

( − 1) − 6 = −5
2

2( − 1) + 6 = 4

Por lo tanto el par ordenado ( −1 , 6 ) es solución.


Existen varios métodos para resolver sistemas
de ecuaciones, entre ellos,
1. Método gráfico
2. Método de sustitución
3. Método de eliminación por adición
4. Regla de Cramer
5. Método de la matríz aumentada
6. Método de matrices

En esta sección solo trataremos el método gráfico,
el método de sustitución y el método de eliminación
por adición para sistemas de ecuaciones 2x2.


Tipos de sistemas de ecuaciones
Los sistemas de ecuaciones lineales se pueden
clasificar en tres tipos dependiendo de su
conjunto de soluciones.
• Sistema consistente independiente:
Son aquellos sistemas de ecuaciones que tienen
una única solución. Las gráficas de las líneas son
diferentes.
• Sistema consistente dependiente:
Son aquellos sistemas de ecuaciones que tienen
infinitas soluciones. Las dos gráficas de las líneas
son iguales.
• Sistema inconsistente independiente:
Son aquellos sistemas de ecuaciones que no tienen
solución. Las dos gráficas de las líneas son
paralelas.

MÉTODO GRÁFICO PARA SISTEMAS 2X2

Procedimiento
• Las soluciones del sistema de ecuaciones
serán los puntos de intersección entre las
dos gráficas.
• Construya la gráfica de cada ecuación.

Aclaración:
Este método es útil solo si podemos leer con
precisión los puntos de intersección entre las
gráficas. En la mayoría de los casos eso no es
posible.


Ejemplos:
Resuelve cada sistema de ecuacioes por el método gráfico

2x + y = 5
1) 
x − y = 1
y

Solución : ( 2 , 1)
x

2x + y = 5
x − y =1


x + y = 2
2) 
x − y = 0
y
4

x+ y =2 3

2

1
Solución : ( 1 , 1)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x5

-1

-2

-3

x− y =0
-4


x + y = 2
3) 
2 x + 2 y = 0
y
Las dos líneas son
4 paralelas, no tienen
puntos de intersección.
3
El conjunto de soluciones
es vacío.
2

1
C.S . = ∅
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x5

-1

-2

-3

-4


x + y = 2
4) 
−2 x − 2 y = −4
y
4 El sistema es
dependiente y tiene
3
x+ y =2 infinitas soluciones.
Las soluciones se
2
pueden encontrar
1
buscando puntos de
cualquiera de las
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x5
líneas.

-1
C.S . = { ( x, 2 − x ) : x ∈ ℜ }
-2

−2 x − 2 y = −4
-3

-4

 y = x2 − 2

5) 
y = 4 − x
2

4 El conjunto solución
contiene dos pares
3
ordenados.
2
C.S . = { ( − 2, 0 ) , ( 2, 0 ) }
1

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−1

−2

−3

−4


MÉTODO DE SUSTITUCIÓN PARA SISTEMAS 2X2
PROCEDIMIENTO
1. Despeja una de las variables en cualquiera de las
ecuaciones.
2. Sustituye el resultado obtenido en la otra ecuación. Esto
producirá el valor de una de las variables.
3. Sustituye el valor de la variable del paso anterior en
cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar el
valor de la otra variable.


Ejemplos:
Resuelve usando el método de sustitución.
2 x + y = 6
1) 
3 x − y = 4
Escogiendo la ecuación, 2 x + y = 6 , tenemos
y = 6 − 2x
Sustituyendo en la otra ecuación tenemos,
3x − ( 6 − 2 x ) = 4
3x − 6 + 2 x = 4
x=2
Sustituyendo el valor obtenido en la primera ecuación
tenemos

y = 6 − 2( 2 ) = 2 Conjunto Solución = { ( 2 , 2 ) }


 x 2 + y = −5
2) 
2x − y = 4
Escogiendo la ecuación, x + y = −5 , tenemos
2

y = −5 − x 2

2x − (− 5 − x2 ) = 4
2x + 5 + x = 4
2

x2 + 2x +1 = 0
( x + 1)( x + 1) = 0
x +1 = 0 x = −1


Sustituyendo el valor obtenido en la primera ecuación
tenemos,
x 2 + y = −5
y = −5 − x 2

y = −5 − ( − 1) = −6
2

Conjunto Solución = { ( −1 , − 6 ) }


1 3
 2 x + 4 y = 10

3) 
3 x − y = 4
4

3
Escogiendo la ecuación, x − y = 4 , tenemos
4
3
y = x−4
4
1 33 
x +  x − 4  = 10
2 44 


1 9
x + x − 3 = 10
2 16
Multiplicando la ecuación por 16 tenemos,
8 x + 9 x − 48 = 160
17 x = 160 + 48
208
x=
17
3
Sustituyendo en la ecuación y = x − 4 tenemos,
4
3  208  88  208 88  
y=   −4 y= C.S . =  ,
4  17  17 
 17 17  


Método de Eliminación por Adición

Este método consiste en sumar o restar las ecuaciones con el
objetivo que se elimine una de las variables.

Procedimiento:
2. Iguala los coeficientes de una de las variables multiplicando
las ecuaciones por los números correspondientes.
3. Suma o resta las ecuaciones para eliminar la variable.
4. Repite el proceso para la otra variable. Este paso se puede
reemplazar por una sustitución.


 2x − 3 y = 3
1) 
x + 2 y = 5
Multiplicando la segunda ecuación por -2 obtenemos,

 2x − 3 y = 3

−2 x − 4 y = −10
Restando las ecuaciones obtenemos,
2x − 3 y = 3
− 2 x − 4 y = −10
0 x − 7 y = −7


− 7 y = −7 y =1

Multiplicando la segunda ecuación por -3 y la primera
por 2 obtenemos,
 2 ( 2x − 3 y = 3 )
 4x − 6 y = 6
 ⇒
3 ( x + 2 y = 5 )
 3x + 6 y = 15
Sumando las ecuaciones obtenemos,
4x − 6 y = 6
3x + 6 y = 15
7 x + 0 y = 21


7 x = 21
x=3
C.S . = { ( 3, 1) }
El sistema es consistente independiente.
Observación:
Para encontrar el valor de la segunda variable se puede usar
el método de sustitución.
Sustituyendo y = 1 en la ecuación, x + 2y = 5
x + 2(1) = 5
x=3


2 x − 3 y = 3
2) 
−4 x + 6 y = 6
Multiplicando la primera ecuación por 2 obtenemos,

2 ( 2 x − 3 y = 3)
 4x − 6 y = 6

−4 x + 6 y = 6
⇒
 − 4x + 6 y = 6
4x − 6 y = 6
− 4x + 6 y = 6 C.S.=∅
0 x + 0 y = 12 El sistema es inconsistente.
No tiene soluciones.
0 = 12 Falso


2 x − 3 y = 3
3) 
−4 x + 6 y = −6
Multiplicando la primera ecuación por 2 obtenemos,

2 ( 2 x − 3 y = 3)
 4x − 6 y = 6
 ⇒ −4 x + 6 y = −6
−4 x + 6 y = −6

4x − 6 y = 6
El sistema es dependiente.
−4 x + 6 y = −6 Tiene infinitas soluciones.

0x + 0 y = 0  3 − 2 x  
C.S . =  x,  : x ∈ R
0 = 0 Cierto  2  


Aplicaciones:
1. El precio de un boleto para cierto evento es de
$2.25 para adultos y $1.50 para niños. Si se venden
450 boletos para un total de $ 777.75; ¿cuántos
boletos de cada tipo se vendieron?
Solución :
Sea x el número de boletos vendidos de adultos.
Sea y el número de boletos vendidos de niños.
Obtenemos el sistema :
 x + y = 450

2.25 x + 1.50 y = 777.75


Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos,

x = 137 boletos de adultos
y = 313 boletos de niños


2. Una lancha de vapor operada a toda máquina
hizo un viaje de 4 millas contra una corriente
constante en 15 minutos. El viaje de regreso (con
la misma corriente y a toda máquina) lo hizo en 10
minutos. Encuentra la velocidad de la corriente y la
velocidad equivalente a la lancha en aguas
tranquilas en millas por hora.
Solución :
Sea x la velocidad de la corriente.
Sea y la velocidad de la lancha.
y − x = velocidad de la lancha en contra de la corriente.
y + x = velocidad de la lancha a favor de la corriente.


Usando la fórmula para distancia d = vt y
cambiando el tiempo a horas tenemos que:
15 1
15 minutos = hora = hora
60 4
10 1
10 minutos = hora = hora
60 6

1 1 1
( y − x) = 4
4 4 y − 4 x = 4

⇒ 
1
( y + x) = 4 1 y + 1 x = 4
6 6
 6
Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos,


x = 4 millas
hora
y = 20 millas
hora

La velocidad de la corriente es, x = 4mph.
La velocidad de la lancha es, y = 20mph.


Pos Prueba: Sistemas de ecuaciones
4x + y = 0
-4x + y = -8
2. Resuelve el sistema de ecuaciones por el método de sustitución.
5x - 2y = -1
7x + 4y = 53
2x + 6y = -16
-2x - 13y = 37
5x + 13y = 8
12x - 11y = -23


3x + y =13
2x - 7y =-7

6. Resuelve el ejercicio.
Una pareja de retirados tiene $ 170,000 para invertirlos y
obtener un ingreso anual. Ellos invirtieron una cantidad el
Certificados de Deposito a una tasa del 5% anual y el resto lo
invirtieron en bonos AA que pagan un 11% anual. ¿Cuánto
deben invertir a cada por ciento para obtener unos ingresos
de $ 15,100 al año?


Respuestas de la pre y pos prueba
1) x = 1, y = -4
2) x = 3, y = 8
3) x = 1, y = -3
4) x = -1, y = 1
5) x = 5, y = -2
6) $ 110,000 al 11% y $ 60,000 al 5%

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