Este documento presenta 12 ejercicios resueltos sobre geometría analítica. Los ejercicios involucran hallar puntos medios, simétricos y de intersección de rectas, así como obtener ecuaciones de rectas dados diferentes condiciones como pendientes, puntos y paralelismo/perpendicularidad con otras rectas o ejes.
Este documento presenta ejercicios sobre factorización de polinomios. Se pide factorizar polinomios aplicando el factor común, diferencia de cuadrados y trinomio cuadrado perfecto. También se pide hallar raíces de polinomios y expresar polinomios como producto de factores.
Prueba de diagnóstico de matemática segundo medioKaren Andrea
La prueba de diagnóstico de matemática evalúa habilidades en operaciones con números enteros, fracciones, potencias, ecuaciones de primer grado, porcentajes y proporcionalidad. Consiste en 5 secciones con múltiples ejercicios cada una sobre estos temas. Se instruye a los estudiantes a mostrar sus cálculos y a no usar calculadora u otros recursos no permitidos.
Este documento presenta una guía sobre sistemas de ecuaciones lineales. Explica que un sistema de ecuaciones consiste en dos ecuaciones con las mismas dos incógnitas. Presenta métodos para resolver sistemas tanto gráficamente como algebraicamente, como sustitución, igualación y reducción. También analiza las condiciones para que un sistema tenga solución única, infinitas soluciones o ninguna solución. Por último, explica cómo los sistemas se pueden usar para resolver problemas con dos incógnitas.
El documento presenta 9 ejemplos de conjuntos de solución para diferentes inecuaciones, identificando en cada caso el conjunto de números que satisfacen la inecuación a través de comprobaciones numéricas.
Este documento presenta 26 problemas de sistemas de ecuaciones, con sus respectivas respuestas. Los problemas abarcan diversos temas como resolver sistemas de ecuaciones, determinar valores desconocidos a partir de sistemas, graficar la solución de sistemas y modelar situaciones reales mediante sistemas de ecuaciones. Adicionalmente, entrega 3 preguntas sobre cómo determinar valores a partir de sistemas de ecuaciones o expresiones. Finalmente, invita a los lectores a complementar los contenidos visitando su página web.
Este documento presenta una guía de ejercicios de inecuaciones de primer y segundo grado, incluyendo inecuaciones con variables en el denominador. Se dividen los problemas en cuatro secciones: 1) inecuaciones de primer grado, 2) inecuaciones de segundo grado, 3) inecuaciones con variables en el denominador, y 4) resolución de inecuaciones específicas. Cada sección contiene múltiples ejemplos de inecuaciones con sus respectivas soluciones de intervalo.
Este documento presenta ejemplos resueltos de ecuaciones con radicales. Explica los pasos para resolver este tipo de ecuaciones, que incluyen racionalizar elevando ambos lados al cuadrado para eliminar los radicales, y luego resolver la ecuación resultante para encontrar las posibles soluciones. También advierte sobre las "raíces extrañas" que no son soluciones válidas de la ecuación original. Finalmente, proporciona 20 ejercicios adicionales para que el lector practique resolviendo ecuaciones con radicales.
Este documento presenta ejercicios sobre factorización de polinomios. Se pide factorizar polinomios aplicando el factor común, diferencia de cuadrados y trinomio cuadrado perfecto. También se pide hallar raíces de polinomios y expresar polinomios como producto de factores.
Prueba de diagnóstico de matemática segundo medioKaren Andrea
La prueba de diagnóstico de matemática evalúa habilidades en operaciones con números enteros, fracciones, potencias, ecuaciones de primer grado, porcentajes y proporcionalidad. Consiste en 5 secciones con múltiples ejercicios cada una sobre estos temas. Se instruye a los estudiantes a mostrar sus cálculos y a no usar calculadora u otros recursos no permitidos.
Este documento presenta una guía sobre sistemas de ecuaciones lineales. Explica que un sistema de ecuaciones consiste en dos ecuaciones con las mismas dos incógnitas. Presenta métodos para resolver sistemas tanto gráficamente como algebraicamente, como sustitución, igualación y reducción. También analiza las condiciones para que un sistema tenga solución única, infinitas soluciones o ninguna solución. Por último, explica cómo los sistemas se pueden usar para resolver problemas con dos incógnitas.
El documento presenta 9 ejemplos de conjuntos de solución para diferentes inecuaciones, identificando en cada caso el conjunto de números que satisfacen la inecuación a través de comprobaciones numéricas.
Este documento presenta 26 problemas de sistemas de ecuaciones, con sus respectivas respuestas. Los problemas abarcan diversos temas como resolver sistemas de ecuaciones, determinar valores desconocidos a partir de sistemas, graficar la solución de sistemas y modelar situaciones reales mediante sistemas de ecuaciones. Adicionalmente, entrega 3 preguntas sobre cómo determinar valores a partir de sistemas de ecuaciones o expresiones. Finalmente, invita a los lectores a complementar los contenidos visitando su página web.
Este documento presenta una guía de ejercicios de inecuaciones de primer y segundo grado, incluyendo inecuaciones con variables en el denominador. Se dividen los problemas en cuatro secciones: 1) inecuaciones de primer grado, 2) inecuaciones de segundo grado, 3) inecuaciones con variables en el denominador, y 4) resolución de inecuaciones específicas. Cada sección contiene múltiples ejemplos de inecuaciones con sus respectivas soluciones de intervalo.
Este documento presenta ejemplos resueltos de ecuaciones con radicales. Explica los pasos para resolver este tipo de ecuaciones, que incluyen racionalizar elevando ambos lados al cuadrado para eliminar los radicales, y luego resolver la ecuación resultante para encontrar las posibles soluciones. También advierte sobre las "raíces extrañas" que no son soluciones válidas de la ecuación original. Finalmente, proporciona 20 ejercicios adicionales para que el lector practique resolviendo ecuaciones con radicales.
Este documento contiene un resumen de 10 problemas de geometría analítica resueltos. Los problemas incluyen hallar ecuaciones de rectas, determinar si rectas son paralelas o perpendiculares, encontrar puntos de intersección y distancias entre puntos y rectas. El profesor Erick Vásquez Llanos corrige los ejercicios de un alumno en la asignatura de matemáticas.
Este documento presenta una guía de 30 ejercicios sobre logaritmos y la función logarítmica. Los ejercicios cubren temas como propiedades de los logaritmos, expresiones logarítmicas equivalentes, gráficos de funciones logarítmicas y determinación de valores numéricos de expresiones logarítmicas dados ciertos datos. El objetivo es que los estudiantes practiquen y apliquen sus conocimientos sobre esta importante función matemática.
Este documento describe los conceptos y procedimientos para reducir términos semejantes y eliminar paréntesis en expresiones algebraicas. Explica que términos semejantes son aquellos que tienen el mismo factor literal y que al reducirlos se suman o restan los coeficientes numéricos conservando el factor común. Luego, detalla las reglas para eliminar paréntesis precedidos por signos positivos, negativos o multiplicaciones, y resuelve ejemplos ilustrativos.
El documento presenta una prueba de matemáticas de 20 preguntas de selección múltiple sobre logaritmos para estudiantes de 4to medio. Las preguntas cubren temas como la conversión entre potencias y logaritmos, el cálculo de logaritmos, la resolución de ecuaciones logarítmicas y operaciones con logaritmos.
El documento presenta información sobre sumas y restas de expresiones algebraicas. Explica cómo sumar y restar monomios y polinomios de forma similar, así como cómo simplificar expresiones algebraicas restando términos semejantes. También incluye ejemplos de cómo representar problemas matemáticos cotidianos en lenguaje algebraico.
1. El documento contiene 25 problemas de álgebra que involucran operaciones como división de polinomios, cocientes notables y simplificación de expresiones algebraicas.
2. Los problemas van desde determinar residuos y sumas de coeficientes hasta calcular valores numéricos y relaciones entre variables.
3. El documento provee una serie de ejercicios para practicar diferentes conceptos y técnicas algebraicas.
2 ecuaciones e inecuaciones con valor absolutoGino León
El documento trata sobre ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto. Explica cómo aplicar propiedades de las desigualdades y el valor absoluto para resolver inecuaciones de primer y segundo grado con una incógnita, así como ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto. También analiza expresiones matemáticas, su simbología y propiedades para resolver dichos tipos de problemas.
Este documento describe diferentes métodos para factorizar expresiones algebraicas, incluyendo:
1) Usar un factor común monomio o polinomio.
2) Aplicar identidades como la diferencia de cuadrados o la suma/diferencia de cubos.
3) El método del aspa simple o el método de Ruffini para divisores binomios.
4) Agrupar términos para encontrar factores comunes.
Se proveen ejemplos resueltos para ilustrar cada método.
1) Se resuelven varios ejercicios que involucran operaciones con vectores en R3 como producto escalar, producto vectorial, módulos, cosenos directores y ángulos entre vectores.
2) Se analizan condiciones para que tres vectores formen una base y se calcula el volumen de un paralelepípedo.
3) Se resuelven ejercicios que incluyen hallar el área de un triángulo a partir de los vectores posición de sus vértices.
Este documento contiene una guía de ejercicios de estadística y gráficos. Incluye 22 preguntas con opciones de respuesta sobre conceptos como mediana, moda, promedio y análisis de gráficos y tablas de datos. El objetivo es evaluar la comprensión de estas nociones estadísticas básicas.
El documento presenta varios problemas matemáticos y lógicos, incluyendo problemas sobre juegos de tableros de colores, cubrir espacios con piezas rectangulares, acomodar números en cuadritos, quitar cerillos de una figura, calcular perímetros de figuras geométricas, encontrar áreas, colocar clavijas de colores en triángulos sin repetir colores por fila o columna, sumar números elegidos al azar, calcular distancias a puntos desde un círculo, contar líneas que contengan
Este documento presenta una guía de ejercicios de matemáticas sobre raíces y funciones raíz cuadrada. Contiene 30 problemas con opciones de respuesta múltiple sobre conceptos como raíces, potencias, funciones y expresiones algebraicas. Al final, se proporcionan las respuestas correctas a los 30 problemas planteados.
Este documento contiene 30 preguntas sobre polinomios y teoría de ecuaciones. Las preguntas abarcan temas como determinar el grado de un polinomio, calcular valores de polinomios, dividir polinomios, encontrar las raíces de polinomios y ecuaciones polinómicas, y relacionar coeficientes para que polinomios sean divisibles. Las soluciones proporcionadas corresponden a las letras de opción de respuesta correcta para cada pregunta.
Este documento presenta una serie de ejercicios de matemáticas para primero de bachillerato que incluyen resolver ecuaciones de primer grado y sistemas de ecuaciones, ecuaciones irracionales y bicuadradas, y problemas resueltos mediante el planteamiento de ecuaciones. También incluye las soluciones detalladas a cada uno de los ejercicios planteados.
Este documento contiene 42 problemas matemáticos de diferentes temas como álgebra, ecuaciones, funciones, raíces cuadradas y cúbicas. Los problemas van desde operaciones básicas hasta expresiones y ecuaciones más complejas que requieren varios pasos para resolver. El objetivo es practicar diferentes conceptos y habilidades matemáticas a través de la resolución de estos problemas.
Este documento contiene 38 ejercicios de factorización de expresiones algebraicas. Los ejercicios involucran variables como a, b, x, y, m, n, p, u, v, k, h, w, p, q, entre otras, y operaciones como suma, resta, multiplicación y potenciación.
Este documento contiene 15 fichas de ejercicios de ecuaciones de primer grado ordenadas de menor a mayor dificultad. Cada ficha incluye entre 10 y 20 ejercicios consistentes en resolver ecuaciones algebraicas de primer grado utilizando las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división.
Este documento presenta 12 ejercicios de geometría analítica que involucran puntos en el plano cartesiano, segmentos de recta, ecuaciones de rectas y determinación de puntos de intersección y alineación. Los ejercicios se resuelven encontrando pendientes, ecuaciones de rectas paralelas y perpendiculares, y sistemas de ecuaciones.
Este documento presenta 12 ejercicios de geometría analítica que involucran puntos en el plano cartesiano, segmentos de recta, ecuaciones de rectas y determinación de puntos de intersección y alineación. Los ejercicios se resuelven encontrando pendientes, ecuaciones de rectas paralelas y perpendiculares, y sistemas de ecuaciones.
Este documento contiene un resumen de 10 problemas de geometría analítica resueltos. Los problemas incluyen hallar ecuaciones de rectas, determinar si rectas son paralelas o perpendiculares, encontrar puntos de intersección y distancias entre puntos y rectas. El profesor Erick Vásquez Llanos corrige los ejercicios de un alumno en la asignatura de matemáticas.
Este documento presenta una guía de 30 ejercicios sobre logaritmos y la función logarítmica. Los ejercicios cubren temas como propiedades de los logaritmos, expresiones logarítmicas equivalentes, gráficos de funciones logarítmicas y determinación de valores numéricos de expresiones logarítmicas dados ciertos datos. El objetivo es que los estudiantes practiquen y apliquen sus conocimientos sobre esta importante función matemática.
Este documento describe los conceptos y procedimientos para reducir términos semejantes y eliminar paréntesis en expresiones algebraicas. Explica que términos semejantes son aquellos que tienen el mismo factor literal y que al reducirlos se suman o restan los coeficientes numéricos conservando el factor común. Luego, detalla las reglas para eliminar paréntesis precedidos por signos positivos, negativos o multiplicaciones, y resuelve ejemplos ilustrativos.
El documento presenta una prueba de matemáticas de 20 preguntas de selección múltiple sobre logaritmos para estudiantes de 4to medio. Las preguntas cubren temas como la conversión entre potencias y logaritmos, el cálculo de logaritmos, la resolución de ecuaciones logarítmicas y operaciones con logaritmos.
El documento presenta información sobre sumas y restas de expresiones algebraicas. Explica cómo sumar y restar monomios y polinomios de forma similar, así como cómo simplificar expresiones algebraicas restando términos semejantes. También incluye ejemplos de cómo representar problemas matemáticos cotidianos en lenguaje algebraico.
1. El documento contiene 25 problemas de álgebra que involucran operaciones como división de polinomios, cocientes notables y simplificación de expresiones algebraicas.
2. Los problemas van desde determinar residuos y sumas de coeficientes hasta calcular valores numéricos y relaciones entre variables.
3. El documento provee una serie de ejercicios para practicar diferentes conceptos y técnicas algebraicas.
2 ecuaciones e inecuaciones con valor absolutoGino León
El documento trata sobre ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto. Explica cómo aplicar propiedades de las desigualdades y el valor absoluto para resolver inecuaciones de primer y segundo grado con una incógnita, así como ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto. También analiza expresiones matemáticas, su simbología y propiedades para resolver dichos tipos de problemas.
Este documento describe diferentes métodos para factorizar expresiones algebraicas, incluyendo:
1) Usar un factor común monomio o polinomio.
2) Aplicar identidades como la diferencia de cuadrados o la suma/diferencia de cubos.
3) El método del aspa simple o el método de Ruffini para divisores binomios.
4) Agrupar términos para encontrar factores comunes.
Se proveen ejemplos resueltos para ilustrar cada método.
1) Se resuelven varios ejercicios que involucran operaciones con vectores en R3 como producto escalar, producto vectorial, módulos, cosenos directores y ángulos entre vectores.
2) Se analizan condiciones para que tres vectores formen una base y se calcula el volumen de un paralelepípedo.
3) Se resuelven ejercicios que incluyen hallar el área de un triángulo a partir de los vectores posición de sus vértices.
Este documento contiene una guía de ejercicios de estadística y gráficos. Incluye 22 preguntas con opciones de respuesta sobre conceptos como mediana, moda, promedio y análisis de gráficos y tablas de datos. El objetivo es evaluar la comprensión de estas nociones estadísticas básicas.
El documento presenta varios problemas matemáticos y lógicos, incluyendo problemas sobre juegos de tableros de colores, cubrir espacios con piezas rectangulares, acomodar números en cuadritos, quitar cerillos de una figura, calcular perímetros de figuras geométricas, encontrar áreas, colocar clavijas de colores en triángulos sin repetir colores por fila o columna, sumar números elegidos al azar, calcular distancias a puntos desde un círculo, contar líneas que contengan
Este documento presenta una guía de ejercicios de matemáticas sobre raíces y funciones raíz cuadrada. Contiene 30 problemas con opciones de respuesta múltiple sobre conceptos como raíces, potencias, funciones y expresiones algebraicas. Al final, se proporcionan las respuestas correctas a los 30 problemas planteados.
Este documento contiene 30 preguntas sobre polinomios y teoría de ecuaciones. Las preguntas abarcan temas como determinar el grado de un polinomio, calcular valores de polinomios, dividir polinomios, encontrar las raíces de polinomios y ecuaciones polinómicas, y relacionar coeficientes para que polinomios sean divisibles. Las soluciones proporcionadas corresponden a las letras de opción de respuesta correcta para cada pregunta.
Este documento presenta una serie de ejercicios de matemáticas para primero de bachillerato que incluyen resolver ecuaciones de primer grado y sistemas de ecuaciones, ecuaciones irracionales y bicuadradas, y problemas resueltos mediante el planteamiento de ecuaciones. También incluye las soluciones detalladas a cada uno de los ejercicios planteados.
Este documento contiene 42 problemas matemáticos de diferentes temas como álgebra, ecuaciones, funciones, raíces cuadradas y cúbicas. Los problemas van desde operaciones básicas hasta expresiones y ecuaciones más complejas que requieren varios pasos para resolver. El objetivo es practicar diferentes conceptos y habilidades matemáticas a través de la resolución de estos problemas.
Este documento contiene 38 ejercicios de factorización de expresiones algebraicas. Los ejercicios involucran variables como a, b, x, y, m, n, p, u, v, k, h, w, p, q, entre otras, y operaciones como suma, resta, multiplicación y potenciación.
Este documento contiene 15 fichas de ejercicios de ecuaciones de primer grado ordenadas de menor a mayor dificultad. Cada ficha incluye entre 10 y 20 ejercicios consistentes en resolver ecuaciones algebraicas de primer grado utilizando las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división.
Este documento presenta 12 ejercicios de geometría analítica que involucran puntos en el plano cartesiano, segmentos de recta, ecuaciones de rectas y determinación de puntos de intersección y alineación. Los ejercicios se resuelven encontrando pendientes, ecuaciones de rectas paralelas y perpendiculares, y sistemas de ecuaciones.
Este documento presenta 12 ejercicios de geometría analítica que involucran puntos en el plano cartesiano, segmentos de recta, ecuaciones de rectas y determinación de puntos de intersección y alineación. Los ejercicios se resuelven encontrando pendientes, ecuaciones de rectas paralelas y perpendiculares, y sistemas de ecuaciones.
El documento presenta 22 problemas resueltos sobre ecuaciones de rectas. Los problemas involucran hallar la ecuación de una recta que pase por ciertos puntos, determinar si rectas son secantes o paralelas, y calcular pendientes y ordenadas en el origen. Las soluciones proporcionan de manera sistemática los pasos para resolver cada problema tipo sobre ecuaciones de rectas.
Este documento presenta una serie de ejercicios de matemáticas para estudiantes de 4o de la ESO. Incluye problemas de álgebra, geometría, trigonometría y vectores. Algunos de los ejercicios propuestos son calcular valores numéricos, determinar coordenadas de puntos, hallar ecuaciones de rectas, resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones, y factorizar polinomios.
El documento resume los métodos gráficos y analíticos para calcular la intersección de diferentes funciones como rectas, parábolas y una recta con una parábola. Explica cómo resolver sistemas de ecuaciones surgidos de estos problemas de intersección mediante métodos como sustitución, igualación y reducción. También describe los diferentes casos posibles para cada tipo de intersección.
Este documento contiene varios ejercicios sobre parábolas. Calcula vértices, ejes de simetría, puntos de intersección y pertenencia a parábolas. También representa gráficamente algunas parábolas.
Este documento presenta métodos para resolver ecuaciones cuadráticas, incluyendo completar cuadrados y la fórmula cuadrática. Explica cómo usar el método de completar cuadrados para convertir expresiones cuadráticas en cuadrados perfectos y luego extraer raíces para resolver la ecuación. También proporciona ejemplos detallados de cómo aplicar estos métodos para resolver diferentes ecuaciones cuadráticas. Finalmente, incluye ejercicios de práctica para que los estudiantes apliquen los métodos.
El documento presenta conceptos básicos sobre ecuaciones de rectas como la ecuación punto-pendiente, ecuación general, casos particulares de rectas paralelas y perpendiculares, ecuación de la recta que pasa por dos puntos, y cómo calcular la pendiente e inclinación de rectas dadas sus ecuaciones o puntos. También explica cómo determinar si puntos son colineales, hallar áreas de figuras geométricas relacionadas a rectas, y resolver problemas que involucran estas nociones.
Este documento presenta una serie de ejercicios de geometría analítica que involucran puntos, rectas y sus propiedades como simetría, punto medio, ecuaciones paramétricas e implícitas. Los ejercicios cubren temas como hallar puntos simétricos, puntos medios, ecuaciones de rectas, ángulos entre rectas, distancias y más.
Ejercicios y soluciones de funciones linealescepa_los_llanos
El documento contiene 25 ejercicios de funciones lineales. Los ejercicios involucran representar gráficamente rectas dadas por sus ecuaciones, determinar la pendiente de rectas, y obtener la ecuación de rectas dados ciertos puntos o condiciones. También incluye ejercicios de conversión entre grados Celsius y Fahrenheit usando una función lineal.
9. Prueba De SuperacióN I, Ii, Y Iii Periodo IiiJuan Galindo
Este documento presenta una evaluación de matemáticas para el grado noveno que incluye 4 secciones con preguntas sobre comunicación matemática, razonamiento y desarrollo de procedimientos, resolución de problemas y fórmulas. El estudiante debe marcar la respuesta correcta y mostrar el trabajo para cada pregunta.
Este documento presenta información sobre sistemas de inecuaciones lineales. Explica cómo resolver inecuaciones lineales de dos incógnitas y sistemas de inecuaciones lineales, además de proporcionar ejemplos de problemas de texto resueltos con sistemas de inecuaciones.
Este documento presenta información sobre sistemas de inecuaciones lineales. Explica cómo resolver inecuaciones lineales de dos incógnitas y sistemas de inecuaciones lineales, además de presentar ejemplos de problemas de texto resueltos con este método.
El documento resume las habilidades de reconocer el periodo de una función trigonométrica y resolver ecuaciones trigonométricas. Explica cómo resolver la ecuación sen(x) - cos(x) = 1/2 para encontrar la solución x1 = π/3 + 2kπ en el primer cuadrante a través de los pasos de despejar la ecuación y aplicar las funciones trigonométricas inversas.
El documento describe los conceptos fundamentales de la geometría analítica de las rectas. Explica que René Descartes introdujo la geometría analítica para representar objetos geométricos como puntos y líneas mediante ecuaciones algebraicas. Las rectas paralelas a los ejes x e y se representan por ecuaciones de primer grado muy simples. Para rectas no paralelas a los ejes, existen dos formas de obtener su ecuación: la forma pendiente-punto y la forma punto-punto.
Este documento contiene las soluciones a 5 ejercicios de un examen de 2o Bachillerato. El primer ejercicio resuelve un sistema de ecuaciones compatible indeterminado mediante el método de Cramer. El segundo ejercicio trata sobre vectores y bases. El tercero analiza si dos rectas pueden ser paralelas. El cuarto halla la ecuación de un plano perpendicular a otro que contiene una recta dada. Y el quinto calcula la distancia de un punto a una recta.
Este documento presenta una guía de actividades sobre geometría analítica plana. Introduce conceptos como el plano cartesiano, distancia entre puntos, pendiente de un segmento, ecuaciones de rectas, y posiciones relativas de rectas. Incluye 26 problemas de práctica guiada y 4 problemas de práctica individual relacionados con estos temas.
El documento describe los sistemas de ecuaciones y métodos para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Los sistemas de ecuaciones consisten en dos o más ecuaciones que deben satisfacerse para los mismos valores de las incógnitas. Existen varios métodos para resolver este tipo de sistemas, incluyendo sustitución, igualación, reducción y gráficamente.
contiene una amplia explicacion a temas complicados para algunos estudiates, eniendo ejemplos que ayudan a que se tengauna mejor comprension de los temas asi como de sus aplicaciones
Este documento describe 7 errores comunes en la formulación de investigaciones sociales. Estos incluyen: 1) objetivos demasiado amplios que no pueden investigarse, 2) dejar que la realidad defina el objetivo en lugar de formular preguntas, 3) plantear objetivos específicos que no se derivan del objetivo general o pertenecen a otra investigación, 4) no considerar la disponibilidad de datos, 5) confundir la producción de conocimiento con la elaboración de políticas, 6) no distinguir entre afirmaciones fácticas y de valor, 7) confund
Diccionario de las preposiciones españolasJuan F.Guevara
Este documento presenta una introducción al tema de las preposiciones en español. Explica que las preposiciones son categorías gramaticales que causan frecuentes dudas en su uso. Además, describe cómo su uso incorrecto ha llevado a la pérdida de su presencia obligatoria en algunos casos y proporciona ejemplos. Finalmente, señala que el español es una lengua prepositiva y que existen normas para su uso correcto.
Este documento proporciona información sobre cómo realizar referencias bibliográficas siguiendo el estilo APA. Explica que las referencias deben incluir toda la información necesaria para identificar y localizar los documentos citados, y que la información debe coincidir entre la bibliografía y las citas en el texto. También indica que la bibliografía solo debe incluir las fuentes realmente citadas. A continuación, ofrece detalles sobre cómo estructurar correctamente las referencias a artículos, libros, capítulos de libros y otros tipos de documentos.
1. El documento presenta las diferencias entre el uso de los verbos "ser" y "estar" en español. Explica las reglas para cuando se usa cada verbo con sustantivos, adjetivos, participios y otras categorías gramaticales.
2. Incluye numerosos ejemplos para ilustrar los usos predicativos y no conflictivos de "ser" y "estar".
3. El documento proporciona instrucciones detalladas sobre cómo y cuándo usar cada verbo para expresar tiempo, precio, lugar, modo y otras nociones.
El documento habla sobre el álgebra y su uso para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Explica que los matemáticos han estado resolviendo problemas usando métodos algebraicos por miles de años. Luego presenta varios ejemplos de cómo traducir problemas verbales a ecuaciones algebraicas para resolverlos, incluyendo uno sobre un comerciante y su capital a través de los años.
El documento presenta los resultados de varios estudios recientes sobre temas de salud. Un estudio encontró que el consumo regular de edulcorantes artificiales puede aumentar el riesgo de intolerancia a la glucosa y enfermedades metabólicas al alterar la microbiota intestinal. Otro estudio descubrió que el deterioro cognitivo en adultos mayores puede aumentar el riesgo de accidentes cerebrovasculares. Finalmente, un estudio determinó que el consumo excesivo de alcohol en hombres jóvenes puede reducir la calidad del esperma y la fertilidad.
La Segunda Guerra Mundial comenzó oficialmente el 1 de septiembre de 1939 cuando Alemania invadió Polonia, pero los orígenes se remontan a años atrás con el ascenso de Hitler al poder en Alemania y la anexión de los Sudetes tras el acuerdo de Munich de 1938, lo que no apaciguó las aspiraciones de Hitler. En agosto de 1939, Alemania y la Unión Soviética firmaron un pacto de no agresión que les permitió invadir Polonia semanas después, dando inicio formal a la guerra.
Este documento presenta el índice del Reglamento Nacional de Edificaciones de Perú. El reglamento contiene tres títulos principales: Generalidades, Habilitaciones Urbanas y Edificaciones. El Título I establece consideraciones básicas, principios generales, derechos y responsabilidades. Los Títulos II y III norman aspectos técnicos relacionados a habilitaciones urbanas, tipos de construcciones, componentes estructurales, obras de saneamiento, instalaciones y más. El reglamento provee normas técnicas para asegurar
Estandares para la_acreditacion_institucional_universitariaJuan F.Guevara
El documento presenta el Modelo de Calidad para la Acreditación Institucional Universitaria desarrollado por el Consejo de Evaluación, Acreditación y Certificación de la Calidad de la Educación Superior Universitaria (CONEAU) de Perú. El modelo comprende tres dimensiones, diez factores, catorce criterios y ochenta indicadores. Fue elaborado a partir de un estudio comparativo de modelos nacionales e internacionales con participación de expertos. El modelo aplica un enfoque sistémico y de procesos para evaluar la gestión,
El documento trata sobre varios temas como la quinua y sus beneficios nutricionales, el descubrimiento de que los egipcios ya sabían momificar hace 3700 a.C., y que la exposición prolongada a ruidos fuertes puede modificar el cerebro y dificultar la comprensión del habla.
Este documento presenta varios métodos para realizar cálculos mentales de suma, resta, multiplicación y división. Explica cómo aprovechar propiedades de los números como la terminación y el tamaño para simplificar los cálculos. También describe reglas y atajos para operaciones como multiplicar por 11, 101 o 99, calcular cuadrados y raíces, y realizar otros cálculos complejos de forma mental. El objetivo es que los estudiantes aprendan estrategias eficientes para cálculos numéricos sin usar calculadora.
El documento resume brevemente 5 retos técnicos que superó la misión Apolo 11 para llevar a los astronautas a la Luna en 1969. Estos retos incluyeron: 1) El ordenador de navegación tenía poca memoria y velocidad en comparación con los teléfonos actuales; 2) Proteger las lentes de las cámaras de la radiación solar; 3) Diseñar una bandera que pareciera que ondeaba en la Luna; 4) Los trajes espaciales fueron hechos a mano con materiales innovadores; 5) Desarroll
Men at Work fue una banda australiana de rock de los años 1980 influenciada por el reggae. Sus canciones más famosas incluyen "Who Can It Be Now?", "Overkill" y "Down Under". La banda se formó en Melbourne y alcanzó el éxito comercial con su álbum de 1982 "Business as Usual". Aunque se separaron en los años 1980, Men at Work sigue siendo muy popular y sus canciones son reconocidas mundialmente.
El documento describe el descubrimiento de un nuevo gen llamado MUL1 que está implicado en la enfermedad de Parkinson. Los investigadores de la UCLA encontraron que suministrar más de este gen ayuda a mejorar el daño mitocondrial causado por otros genes mutados relacionados con la enfermedad, y que inhibir este gen exacerba el daño. El líder del estudio afirmó que optimizar la función de MUL1 es crucial para prevenir la neurodegeneración y la enfermedad de Parkinson. Este descubrimiento podría conducir a avances en el tratamiento y pre
El documento presenta una recopilación de frases sobre la pobreza atribuidas a diversas figuras históricas y religiosas. Las frases resaltan conceptos como que la verdadera pobreza es la falta de espiritualidad y amor, no la falta de bienes materiales; que los pobres representan a Cristo y deben ser ayudados; y que la avaricia es peor que la pobreza. El documento ofrece una perspectiva general sobre cómo diferentes culturas y épocas han entendido y abordado el tema de la pobreza.
Un grupo de investigación español ha desarrollado un nuevo algoritmo bioinformático para diagnosticar de forma eficaz el síndrome de cáncer de mama y ovario hereditario mediante la secuenciación de los genes BRCA1 y BRCA2. El nuevo método permite identificar todas las mutaciones relacionadas con la enfermedad y elimina falsos positivos, demostrando una sensibilidad y especificidad del 100% en las muestras analizadas.
El documento describe el descubrimiento de Machu Picchu por el historiador estadounidense Hiram Bingham en 1911. Bingham estaba buscando las ruinas de una ciudad inca perdida llamada Choqueriquao cuando llegó a las terrazas de cultivo de una familia local. El hijo de uno de los campesinos lo llevó a las ruinas cubiertas de vegetación de Machu Picchu. Bingham regresó en 1912 y 1915 con un equipo de expertos para excavar el sitio. Aunque inicialmente creyó que Machu Picchu había sido el último bal
diez consejos para el manejo de la clase españolJuan F.Guevara
Este documento presenta 10 consejos para mejorar la participación de los alumnos y crear un clima positivo para el aprendizaje y la disciplina en el aula. El primer consejo es crear una comunidad entre los alumnos y el maestro estableciendo relaciones positivas desde el primer día. El segundo consejo es crear un ambiente seguro y agradable en el aula a través del diseño del espacio y la iluminación. El tercer consejo es incluir a los alumnos en la elaboración de reglas y rutinas para la clase.
El documento contiene varias frases y poemas cortos sobre el amor. Algunos describen sentimientos como el dolor de un amor no correspondido o la felicidad de estar con la persona amada. Otros contienen consejos como que el amor verdadero requiere el abandono del ego o que la felicidad de la otra persona es necesaria para la propia felicidad. En general, el documento celebra el amor a través de la poesía y las reflexiones sobre las emociones humanas.
Este documento presenta 139 ejercicios resueltos de probabilidad organizados en 7 capítulos. El primer capítulo cubre combinatoria, el segundo cubre probabilidades básicas, el tercero cubre variables aleatorias, el cuarto cubre variables aleatorias discretas y continuas, el quinto cubre variables aleatorias bidimensionales, el sexto cubre convergencia y el séptimo cubre regresión y correlación. El documento pretende ayudar a estudiantes a practicar y comprender conceptos básicos de probabilidad.
1. Tema 8 – Geometría Analítica – Matemáticas 4º ESO 1
TEMA 8 – GEOMETRÍA ANALÍTICA
RELACIÓN ENTRE PUNTOS DEL PLANO
EJERCICIO 1 : Halla el punto medio del segmento de extremos P2, 1 y Q4, 3.
Solución:
Las coordenadas del punto medio, M, son la semisuma de las coordenadas de los extremos:
2 4 1 3
M
, 1, 2
2 2
EJERCICIO 2 : Halla el simétrico, A, del punto A1, 0 respecto de B2, 8.
Solución:
Llamamos x, y a las coordenadas de A. El punto medio del segmento de extremos A y A es B.
1 x
2
2
x 5
Por tanto: A 5, 16
y 16
0 y
8
2
EJERCICIO 3 : Determinar si los puntos A(3,1), B(5,2) y C(1,0) están alineados.
AB (5,2) (3,1) (2,1) 2 1
Solución: Cierto Están alineados
AC (1,0) (3,1) (-2,-1) 2 1
EJERCICIO 4 : Halla el valor de k para que los puntos A1, 1, B0, 3 y C2,k estén alineados.
AB (0,3) - (1,1) (-1,2) 1 2
Solución:) k 1 2 k 1
AC (2, k) - (1,1) (1, k - 1) 1 k 1
ECUACIONES DE RECTAS
EJERCICIO 5 :
a Escribe la ecuación general de la recta, r, que pasa por los puntos 1, 0 y 3, 6.
1
b Halla la ecuación de la recta, s , paralela a y x que pasa por el punto 4, 4 .
2
c Obtén el punto de corte de las dos rectas anteriores.
Solución:
60 6
a Pendiente 3
3 1 2
Ecuación: y 0 3x 1 y 3x 3 3x y 3 0
1
b Si son paralelas, tienen la misma pendiente: m .
2
1
Ecuación: y 4 x 4 2y 8 x 4 x 2y 4 0
2
c Es la solución del sistema siguiente:
3 x y 3 0 y 3x 3
x 2y 4 0 x 2 3 x 3 4 0 x 6 x 6 4 0 5 x 10 x 2
y 3 Punto: 2, 3
2. Tema 8 – Geometría Analítica – Matemáticas 4º ESO 2
EJERCICIO 6 :
a Halla la ecuación de la recta, r, que pasa por 3, 2 y tiene como vector dirección d 1, 1.
b Escribe la ecuación de la recta, s, que pasa por 5, 2 y es paralelo al eje X.
c Obtén el punto de corte de las dos rectas anteriores.
Solución:
1
a) Pendiente 1 Ecuación: y 2 1 x 3 y2x3 yx1
1
b y 2
y x 1
c Es la solución de este sistema: x 1 2 x 3 Punto: 3, 2
y 2
EJERCICIO 7 :
a Halla la ecuación de la recta, r , que pasa por 0, 0 y es paralela al vector d 3, 6 .
b Escribe la ecuación general de la recta, s, que pasa por 3, 4 y es perpendicular a x y 5 0.
c Obtén el punto de intersección de las dos rectas anteriores.
Solución:
6
a Pendiente 2
3
Ecuación: y 2 x
b Pendiente de x y 5 0 y x 5 m 1
1 1
Pendiente de la perpendicular 1
m 1
Ecuación de s: y 4 1x 3 y 4 x 3 x y 1 0
y 2x x 2x 1 0 x 1 y 2
c Es la solución del siguiente sistema:
x y 1 0 Punto: 1, 2
EJERCICIO 8 :
1
a Obtén la ecuación de la recta, r , que pasa por 3, 1 y tiene pendiente
.
2
b Escribe la ecuación de la recta, s, perpendicular a x 3y 2 que pasa por 2, 4.
c Halla el punto de intersección de las rectas r y s.
Solución:
1
a y 1 x 3 2 y 2 x 3 x 2y 1 0
2
x 2 1 2 1
b Pendiente de x 3 y 2 y x m
3 3 3 3
1 1
Pendiente de la perpendicular 3
m 1 3
Ecuación: y 4 3x 2 y 4 3x 6 y 3x 10
c Es la solución del siguiente sistema:
x 2y 1 0 x 2 3 x 10 1 0 x 6 x 20 1 0
y 3 x 10 7 x 21 x 3 y 1 Punto: 3, 1
EJERCICIO 9 :
a Escribe la ecuación general de la recta, r, que pasa por los puntos 0, 5 y 1, 2.
b Obtén la ecuación de la recta, s, paralela a 2x y 3 que pasa por el punto 1, 1.
c Halla el punto de corte de las dos rectas anteriores.
Solución:
2 5 3
a Pendiente 3 Ecuación: y 5 3x 0 y 5 3x 3x y 5 0
1 0 1
3. Tema 8 – Geometría Analítica – Matemáticas 4º ESO 3
b Si son paralelas, tienen la misma pendiente: 2x y 3 y 2x 3 m 2
Ecuación: y 1 2x 1 y 1 2x 2 y 2x 3
3 x y 5 0 3 x 2 x 3 5 0 x 2 y 1
c Es la solución del sistema siguiente:
y 2 x 3 Punto: 2, 1
EJERCICIO 10 :
1
a) Escribe la ecuación de la recta que pasa por (2, 1) y es paralela a y x 3.
2
b Halla la ecuación de la recta que pasa por 0, 2 y es perpendicular a 2x y 3.
Solución:
1 1
a Si son paralelas, tienen la misma pendiente: y x 3 m
2 2
1 x
Ecuación: y 1 x 2 2 y 2 x 2 2 y x y
2 2
b Pendiente de 2x y 3 y 2x 3 m 2
1 1 1
Pendiente de la perpendicular
m 2 2
1
Ecuación: y 2 x 2y 4 x x 2y 4 0
2
EJERCICIO 11 : Dados los puntos A 2, 1 y B 3, 4, halla las ecuaciones de las dos rectas
siguientes:
a) r: pasa por A y es paralela a AB b) s: pasa por B y es paralela a AB
Solución: AB 1, 5
5
Recta r : m . Ecuación: y 1 5 x 2 y 1 5 x 10 5x y 11 0
1
1 1 1 1
Recta s : m Ecuación: y 4 x 3 5 y 20 x 3 x 5y 23 0
m 5 5 5
EJERCICIO 12 :
a Obtén la ecuación de la recta paralela al eje X que pasa por el punto 5, 1.
b Halla la ecuación general de la recta perpendicular a 3x y 1 que pasa por el punto 0, 1.
Solución: a y 1
b Pendiente de 3x y 1 y 3x 1 m 3
1 1
Pendiente de la perpendicular
m 3
1
Ecuación: y 1 x 3y 3 x x 3 y 3 0
3
EJERCICIO 13 :
a Halla la ecuación de la recta, r, paralela a 2x 3y 4 0, que pasa por 1, 2.
b Halla la ecuación de la recta perpendicular a y 1 0 que pasa por 3, 2.
Solución:
a Puesto que son paralelas, tienen la misma pendiente:
2x 4 2 4 2
2x 3y 4 0 y x m
3 3 3 3
2
Ecuación de r : y 2 x 1 3y 6 2 x 2 2 x 3 y 8 0
3
b La recta y 1 0 es paralela al eje X; por tanto, la que buscamos, es paralela al eje Y. Su ecuación
será x 3.
4. Tema 8 – Geometría Analítica – Matemáticas 4º ESO 4
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
EJERCICIO 14 : Calcula la distancia que hay entre los puntos A8, 10 y B2, 14.
2 2
Solución: dist A, B 2 8 14 10 102 242 100 576 676 26
EJERCICIO 15 : Halla la distancia entre los puntos P6, 2 y Q0, 6.
2 2
Solución: dist P, Q 0 6 6 2 62 82 36 64 100 10
ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
EJERCICIO 16 : Halla la ecuación de la circunferencia de centro 4, 2 y radio 5.
2 2
Solución: La ecuación es: x 4 y 2 5.
EJERCICIO 17 : Escribe la ecuación de la circunferencia de centro 3, 4 y radio 4.
2 2
Solución: La ecuación es: x 3 y 4 4
REGIONES EN EL PLANO
EJERCICIO 18 :¿Cuáles de los siguientes sistemas de inecuaciones corresponden a este recinto?
2 2
b) x 0 c) x y 9
a) x 2 y 2 25
2 2
x y 25 x 2 y 2 25
x2 y2 9
x2 y2 9 x 0
Solución:
c Las dos curvas dadas corresponden a dos semicircunferencias de centro 0, 0 y radios 3 y 5,
respectivamente. Los puntos señalados corresponderán a semicircunferencias de radio entre 3 y
x2 y 2 9
5, esto es: x 2 y 2 25
x0
EJERCICIO 19 : Indica cual de los siguientes recintos corresponde a este sistema de
3 x 3
inecuaciones: 4 y 4
x 2 y 2 9
5. Tema 8 – Geometría Analítica – Matemáticas 4º ESO 5
Solución:
Le corresponde el recinto c).
x 3 y x 3 son rectas paralelas al eje Y que pasan, por ejemplo, por 3, 0 y 3, 0
respectivamente.
y 4 e y 4 son rectas paralelas al eje X que pasan, por ejemplo, por 0, 4 y 0, 4.
x2 y2 9 es una circunferencia de centro 0, 0 y radio 3; los puntos que cumplen x2 y2 9
pertenecen a la circunferencia o están fuera de ella.
x 2 y 2 16
EJERCICIO 20 : Representa gráficamente el siguiente recinto: yx 0
0x3
Solución:
x2 y2 16 es la inecuación que describe la circunferencia de centro 0, 0 y radio 4, y el interior de
dicha circunferencia.
y x 0 y x bisectriz del 1er y 3er cuadrante.
Para saber que parte del plano corresponde a la inecuación y x > 0 tomamos, por ejemplo, el
punto 3, 1 y lo sustituimos en y x 1 3 2 < 0.
Por tanto, el semiplano en el que no esta el punto 3, 1 es el que corresponde a la inecuación y x
> 0.
x 0, x 3 son rectas paralelas al eje Y.
La representación gráfica correspondiente será:
EJERCICIO 21 : Describe, mediante un sistema de inecuaciones, el siguiente recinto:
Solución:
Hallamos las ecuaciones de las rectas AB, BC, CD y DA.
3
AB es la recta que pasa por A(4, 0) y tiene pendiente m .
2
3
La ecuación será: y x 4 2y 3 x 12 0
2
Tomamos un punto cualquiera del recinto, por ejemplo 1, 2, y lo sustituimos en la ecuación
anterior: 2 · 2 3 · 1 12 11 < 0. Por tanto, el semiplano buscado es 3x 2y 12 0.
BC es paralela al eje X y pasa por 0, 3 y 3
El semiplano buscado es y 3.
6. Tema 8 – Geometría Analítica – Matemáticas 4º ESO 6
3
CD es la recta que pasa por D(4, 0) y tiene pendiente m .
2
3
La ecuación será: y x 4 2y 3 x 12 3 x 2y 12 0
2
Sustituimos el punto 1, 2 3 · 1 2 · 2 12 5 < 0
El semiplano buscado es 3x 2y 12 0.
DA es el eje X y 0. El semiplano será y 0.
3 x 2y 12 0
El recinto, pues, es la solución del sistema: 3 x 2y 12 0
0 y 3
REPASO
EJERCICIO 22 :
2 x 1 1 y
¿Cuál de las rectas r : y 3 5 x 1, s: y x y t: es paralela a la
5 5 2
recta 2 x 5 y 4 0?
Solución:
Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente.
Pendiente de r m 5
2
Pendiente de s m
5
x 1 1 y 2 2
Pendiente de t : x 1 1 y y 1 x 1
5 2 5 5
2 2 2 3 2
y x 1 y x m
5 5 5 5 5
2
La pendiente de 2x 5y 4 0 es m . Luego s es la recta paralela a 2 x 5 y 4 0.
5
EJERCICIO 23 : Dada la recta ax by 0, indica qué relación debe haber entre a y b para que el
punto P2, 6 pertenezca a la recta.
Solución:
El punto P2, 6 pertenecerá a la recta ax by 0 si se cumple:
a · 2 b · 6 0 2a 6b 0 a 3b 0 a 3b
Luego, P2, 6 pertenecerá a dicha recta si a es el triple de b.
EJERCICIO 24 : Indica razonadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
a x2 y 32 9 0 es la ecuación de una circunferencia.
b) La recta de ecuación ax c 0 es una recta paralela al eje Y a, c .
c Si m1 y m2 son las pendientes de dos rectas paralelas se cumple que m1 m2 0.
a
d) La pendiente de una recta perpendicular a r : ax by c 0 es .
b
Solución:
a FALSO.
La ecuación de una circunferencia de centro Ca, b y radio r es:x a2 y b2 r2
En este caso: x 02 y 32 9, pero r2 no puede ser negativo; luego la ecuación dada no
es la ecuación de una circunferencia.
7. Tema 8 – Geometría Analítica – Matemáticas 4º ESO 7
b VERDADERO.
c c
ax c 0 x constante recta paralela al eje Y que pasa por , 0
a a
c VERDADERO.
Por ser paralelas las rectas m1 m2 m1 m2 0
d FALSO.
a a c
La pendiente de r es m y b x b la pendiente de la recta perpendicular
b
1 b
a r es m .
m a
EJERCICIO 25 : ¿Qué relación habrá entre a y b para que las rectas r : ax 3y 6 y s: bx
y 5 sean paralelas? ¿Y para que sean perpendiculares?
Solución:
r y s son paralelas si la pendiente de ambas coincide.
a a
Pendiente de r 3y 6 ax y x2 mr
3 3
Pendiente de s y bx 5 ms b
a
mr ms b a 3b
3
Por tanto, r y s serán paralelas cuando a sea el triple de b.
1 a 1
Para que r y s sean perpendiculares mr ab 3
ms 3 b
EJERCICIO 26 : Halla el valor de m para que las rectas r : y x 3 0 y s: mx 3y 1 0
no se corten.
Solución:
Para que r y s no se corten, el valor de m buscado será aquel que haga que r y s sean
paralelas, es decir, tengan la misma pendiente.
Pendiente de r y x 3 mr 1
m 1 m
Pediente de s 3y 1 mx y x ms
3 3 3
m
mr ms 1 3 m
3
EJERCICIO 27 : Dadas las rectas r : ax c 0 y s: a’x c’ 0:
a ¿Son paralelas?
b ¿Qué condición se ha de cumplir para que sean coincidentes?
c Escribe la ecuación de la recta perpendicular a r y s que pase por el punto 2, 3.
Solución:
a Sí. Son rectas de la forma x k, es decir, rectas paralelas al eje Y.
c c
b Para que sean coincidentes .
a a
c Una recta perpendicular a r y s es de la forma y k', recta paralela al eje X. Como tiene que
pasar por el punto 2, 3, entonces la recta buscada es y 3.
8. Tema 8 – Geometría Analítica – Matemáticas 4º ESO 8
EJERCICIO 28 : En el triángulo de vértices A(1, 1, B3, 2 y C1, 4 halla:
a La ecuación de la altura h1 que parte de B.
b La ecuación de la altura h2 que parte de C.
c El ortocentro del triángulo punto de intersección de las alturas.
Solución:
a La altura h1 es perpendicular al lado AC.
5 5
Pendiente de AC m1
2 2
2
Pendiente de h1 m1
5
2
La recta h1 pasa por B y su pendiente es ; luego su ecuación es:
5
2
y 2 x 3 5 y 10 2 x 6 5 y 2 x 4 0
5
b La altura h2 es perpendicular al lado AB.
1
Pendiente de AB m2
4
Pendiente de h2 m2 4
La recta h2 pasa por C y su pendiente es 4; su ecuación es:
y 4 4x 1 y 4 4x 4 y 4x 0
c Par calcular el ortocentro, resolvemos el sistema formado por las ecuaciones de h1 y h2 :
4 2
5 y 2x 4 0 5 4 x 2 x 4 0 20 x 2 x 4 0 22x 4 x
22 11
y 4x 0 y 4x
2 8 2 8
y 4x 4 El ortocentro es el punto , .
11 11 11 11
EJERCICIO 29 : Calcula el valor de a y de b para que las rectas r : ax 3y 2 0 y s: bx
9y 5 0 sean paralelas y, además, r pase por el punto P1, 2.
Solución:
a 2 a
Pendiente de r : ax 2 3 y y x mr
3 3 3
b 5 b
Pendiente de s: bx 5 9 y y x ms
9 9 9
Para que r y s sean paralelas, las pendientes han de coincidir:
a b
mr ms 3a b b 3a
3 9
Calculamos a sabiendo que P1, 2 pertenece a la recta r :
a · 1 3 · 2 2 0 a 6 2 0 a 4 Por tanto, a 4 y b 3 · 4 12.
9. Tema 8 – Geometría Analítica – Matemáticas 4º ESO 9
EJERCICIO 30 : Las rectas r : 3x y 4 0, s: 3x 4y 11 0 y t: 3x 2y 1 0 forman
un triángulo ABC. Calcula los vértices y el ortocentro del triángulo.
Solución:
Calculamos los vértices resolviendo los siguientes sistemas:
3x y 4 0 3x y 4 0
3 x 4 y 11 0 3 x 4y 11 0
3 y 15 0 y 5
3x 5 4 0 3x 9 x 3
Luego A3, 5.
3x y 4 0 3 x y 4 0
3 x 2y 1 0 3 x 2y 1 0
3y 3 0 y 1
3x 1 4 0 3x 3 x 1
Por tanto B1, 1.
3 x 4 y 11 0 3 x 4y 11 0
3 x 2y 1 0 3 x 2y 1 0
6 y 12 0 y2
3 x 8 11 0 3 x 3 x 1
Luego C1, 2.
Para calcular el ortocentro del triángulo hallamos las ecuaciones de dos alturas y resolvemos el
sistema formado por ellas:
Altura h1 que parte de A es perpendicular a BC
3 2
Pendiente de BC : m1 pendiente de h1 : m1
2 3
2
Ecuación de h1 : y 5 x 3 3y 15 2 x 6 3y 2 x 9 0
3
Altura h2 que parte de B es perpendicular a AC
3 3 4
Pendiente de AC : m2 pendiente de h2 : m2
4 4 3
4
Ecuación de h2 : y 1 x 1 3 y 3 4 x 4 3y 4 x 1 0
3
3y 2x 9 0 3 y 2 x 9 0
Resolvemos el sistema:
3y 4 x 1 0 3y 4 x 1 0
8 4
6x 8 0 x
6 3
8 19 19
3y 9 0 3y
0 y
3 3 9
4 19
El ortocentro es , .
3 9
EJERCICIO 31 :
La recta r : x y 1 0 es la mediatriz del segmento AB del que conocemos A 3, 2 .
Halla:
a El punto de intersección de r con la perpendicular a r trazada desde A.
b El punto B.
10. Tema 8 – Geometría Analítica – Matemáticas 4º ESO 10
Solución:
a Pendiente de r : y x 1 m 1
Pendiente de la perpendicular a r : m 1
Ecuación de la perpendicular: y 2 1 x 3 5 x
Punto de corte:
x y 1 0 x 5 x 1 0 x2
y 5x
y 5x 52 Por tanto, P(2, 3.
y 3
b El punto Bx, y) es el simétrico de A respecto de P :
x 3
2 x 1
2
B 1, 4
y 2
3 y 4
2
EJERCICIO 32 : Comprueba que el cuadrilátero de vértices A3, 3, B6, 0, C4, 4 y D(0,
0 es un trapecio rectángulo y halla su área.
Solución:
Para ver que es un trapecio rectángulo, comprobamos que un lado DA es perpendicular a otros
dos CD y AB :
DA es la bisectriz del primer cuadrante m 1
AB y CD tienen pendiente 1
Luego DA es perpendicular a AB y CD el trapecio es rectángulo.
Calculamos el área hallando las siguientes distancias:
2 2
dist A, B 6 3 0 3 9 9 18 3 2
2
dist C, D 42 4 16 16 32 4 2
2 2
dist D, A 3 3 18 3 2 altura del trapecio
2
Área
AB CD DA 3
2 4 2 3 2
7 2 3 2 21 2 21 2 21 u 2
2 2 2 2 2
11. Tema 8 – Geometría Analítica – Matemáticas 4º ESO 11
EJERCICIO 33 : Calcula el área del triángulo de vértices A1, 4, B(3, 2 y C2, 0.
Solución:
AB CD
Área del triángulo
2
Llamamos h a la altura que parte del vértice C.
2 2
AB 3 1 2 4 22 6 2 4 36 40
La altura h es perpendicular al lado AB:
6
Pendiente de AB : m 3 ecuación de AB : y 2 3 x 3 3x y 7 0
2
1
Pendiente de h : m
3
1
La recta h pasa por C y su pendiente es .
3
1
h : y x 2 3 y x 2 x 3 y 2 0
3
Buscamos el punto de intersección, D, de la recta h con el lado AB :
3x y 7 0 9 x 3 y 21 0
x 3y 2 0 x 3y 2 0
19
10 x 19 0 x
10
19 39 13
3y 2 0 3 y y
10 10 10
19 13
Por tanto, D , .
10 10
2 2 2 2
19 13 39 13 1
CD 2 1690
10 10 10 10 10
1
40 1690 67 600 260
Área 10 13 u2
2 20 20
2 2
EJERCICIO 34 : Calcula los puntos de corte de la circunferencia x y 5 con la recta y x
1 0.
Solución:
Los puntos de corte son las soluciones del sistema que forman sus ecuaciones:
2
x2 y 2 5 x 2 1 x 5 x 2 1 2x x 2 5 2x 2 2x 4 0
y x 1 0 y 1 x
12. Tema 8 – Geometría Analítica – Matemáticas 4º ESO 12
2 y 1 x 1 2 1
2 1 1 8 1 3
x x 2 0 x
2 2
1 y 1 x 1 1 2
Los puntos de corte son 2, 1 y 1, 2.
EJERCICIO 35 : Dos de los vértices del triángulo ABC son A(1, 7 y B5, 2.
a Calcula las coordenadas de C sabiendo que la recta x 3 0 es la mediatriz del
segmento BC.
b Calcula la ecuación de la altura h que parte de C.
Solución:
a La mediatriz del segmento BC es perpendicular a dicho segmento. Si la recta mediatriz es x
3, la recta perpendicular a ella que pasa por B5, 2 es y 2.
Por tanto, el punto medio del segmento BC es 3, 2.
a5
3 a5 6 a 1
Llamamos C a, b : 2 C 1, 2
b2
2 b2 4 b 2
2
b La altura h que parte de C es perpendicular al segmento AB.
5
Pendiente de AB : m
4
4
Pendiente de h : m
5
4
La recta h que pasa por C 1, 2 y tiene de pendiente es :
5
4
y 2 x 1 5 y 10 4 x 4 4x 5y 6 0
5