Este documento presenta un problema de maximización de ganancias para una fábrica de playeras. Se modela el problema mediante funciones de costo e ingreso, y se resuelve gráficamente. El punto de equilibrio, donde no hay ganancias ni pérdidas, ocurre cuando se fabrican 850 playeras.

1. Problemas de razonamiento G. Edgar Mata Ortiz licmata@hotmail.com http://www.forismagna.com/ 2.2

2. Problemas que se resuelven mediante sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas Ejemplo 2.2. Proceso de solución tomando como incógnita cualquiera de las cantidades desconocidas. 2.2

3. Método gráfico Estos comentarios se refieren a un problema resuelto previamente, el 2.1. Se trata de explicar el significado de la gráfica, especialmente en los puntos tabulados y en el punto de equilibrio.

4. Ejemplo La fábrica de playeras “Litvinchuk” tiene costos fijos de $17,000 mensuales y variables de $100 por pieza. El precio de venta de las playeras es de $120 por pieza. Encuentra las funciones de costo e ingreso Determina el costo, el ingreso y la ganancia si se fabrican; 0, 300, 500 y 1000 piezas. Determina, gráficamente, el punto de equilibrio.

5. Procedimiento de solución En este problema tenemos cuatro cantidades desconocidas: El número de playeras fabricadas El número de playeras vendidas El costo total de fabricación Los ingresos por la venta de las playeras Podríamos agregar la ganancia, aunque se calculará posteriormente y no se empleará para la resolución del problema 1

6. Procedimiento de solución Para simplificar el modelo se considera que las playeras fabricadas y las vendidas son iguales, es decir, se vende todo lo que se fabrica. La simplificación de modelos matemáticos hace que no reflejen fielmente la realidad, pero a cambio hace más sencillo entenderlo. Siempre podemos refinar el modelo posteriormente. 1

7. Procedimiento de solución Con el modelo simplificado tenemos: Cantidad de playeras fabricadas = x Cantidad de playeras vendidas = x Costo total por la fabricación de x playeras: Costo total = Costo fijo + Costo variable Abreviado: CT = CF + CV Costo variable = Número de piezas fabricadas por costo unitario de fabricación: CV = NPF (CUF) 2

8. Procedimiento de solución Sustituyendo: CT = CF + NPF (CUF) CT = 17000 + x (100) 3 Costo fijo Costo unitario de fabricación Número de piezas fabricadas

9. Procedimiento de solución El ingreso (I) es más sencillo, simplemente se multiplica el número de piezas vendidas (NPV), recordar que es igual al número de piezas fabricadas = x, por el precio de venta (PV) I = NPV (PV) I = x (120) Simplificando: I = 120x 3 Costo unitario de fabricación Número de piezas vendidas

10. Procedimiento de solución Uno de los pasos más importantes es el planteamiento del sistema de ecuaciones. En este caso simplemente se omiten las siglas “CT, I” sustituyéndose por “y” Obtenemos: y = 100x + 17000 y = 120x Cuando modelamos un problema real, en la medida que hacemos abstracción, nos alejamos del hecho en estudio. 4

11. Procedimiento de solución Una vez planteadas las ecuaciones se resuelve el sistema por el método gráfico. Los pasos son: 5.1. Despejar “y” en ambas ecuaciones 5.2. Tabular dando valores a “x” y calculando los valores correspondientes de “y” 5.3. Trazar las gráficas 5.4. Encontrar el punto de intersección 5

12. Procedimiento de solución 5.1. En este problema en particular las ecuaciones ya están despejadas. 5.2. Los valores que se toman para “x” pueden ser elegidos arbitrariamente, sin embargo, en este ejercicio se nos piden valores específicos: 0, 300, 500 y 1000. Estas tabulaciones permitirán contestar la segunda pregunta del problema 6

13. Procedimiento de solución Al tabular, respondemos una de las preguntas del problema y agregamos un valor x=1400 7

14. Procedimiento de solución Con los valores obtenidos en la tabulación debemos graficar. En el mismo plano cartesiano trazamos: La función de costo y = 100x + 17000 Y la función de ingreso y =120x La gráfica está en la siguiente diapositiva. 8

15. Procedimiento de solución 8

16. Procedimiento de solución 8 El punto de equilibrio es el nivel de producción y ventas que hace la ganancia igual a cero, es decir, cuando no hay pérdidas ni ganancias. Este punto de equilibrio se encuentra en el punto de intersección de las dos rectas. Se determina a simple vista. ¿Qué coordenadas tiene el punto de intersección de las dos rectas?

17. Procedimiento de solución 9 El método gráfico puede no ser muy preciso, sin embargo, es posible obtener la solución. La solución es: x = 850, y = 102000

18. Interpretación de la gráfica 10 En x=0, la gráfica de costo (roja) toma un valor de 17000, mientras la de ingreso (azul), es igual a cero. Esto significa que si no fabricamos ni vendemos nada, de todas formas hay un costo; el costo fijo, de modo que habrá pérdidas

19. Interpretación de la gráfica 10 En x=300, la gráfica de costo (roja) toma un valor de 47000, mientras la de ingreso (azul), es igual a 36000. Esto significa que al fabricar y vender 300 piezas, sigue habiendo pérdidas, de 11000, por eso la ganancia es negativa (-11000)

20. Interpretación de la gráfica 10 En x=500, la gráfica de costo (roja) toma un valor de 67000, mientras la de ingreso (azul), es igual a 60000. Esto significa que al fabricar y vender 500 piezas, sigue habiendo pérdidas, de 7000, por eso la ganancia es negativa (-7000)

21. Interpretación de la gráfica 10 En x=1000, finalmente hay ganancias, podemos observar que la ganancia deja de ser negativa, es de 3000 positiva.

22. Interpretación de la gráfica 10 Este cambio de valor de equis, de negativo a positivo merece atención. Nos indica que debe haber un punto en el cuál la ganancia sea cero. Este punto en el que no hay pérdidas ni ganancias es el punto de equilibrio que ya calculamos, ocurre cuando x = 850. El costo es igual a la ganancia. Punto de equilibrio: x = 850 y = 102000

23. Gracias por su atención