El documento resume las herramientas de Matlab para álgebra simbólica, cálculo diferencial e integral, ecuaciones diferenciales y transformadas de Laplace. La caja de herramientas simbólica permite operaciones algebraicas y de cálculo con expresiones simbólicas. Las funciones diff y int realizan derivación e integración simbólicas. La función dsolve resuelve ecuaciones diferenciales y laplace aplica la transformada de Laplace simbólica.
En el análisis siguiente se introduce una función que es muy diferente de las que ha estudiado en cursos anteriores. Más tarde veremos que
de hecho existe una función o más precisamente, una función generalizada, cuya transformada de
Laplace es F(s) = 1.
En el análisis siguiente se introduce una función que es muy diferente de las que ha estudiado en cursos anteriores. Más tarde veremos que
de hecho existe una función o más precisamente, una función generalizada, cuya transformada de
Laplace es F(s) = 1.
A basic overview, application and usage of MATLAB for engineers. It covered very basics essential that will help one to get started with MATLAB programming easily.
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2. Symbolic Math Toolbox
Permite:
• Calculus – integration, differentiation, Taylor series
expansion, …
• Linear Algebra – inverses, determinants, eigenvalues, …
• Simplification – algebraic and trigonometric expressions
• Equation Solutions – algebraic and differential equations
• Transforms – Fourier, Laplace, Z transforms and inverse
transforms, …
3. Symbolic
Use sym to create a symbolic number, and double
to convert to a normal number.
>> sqrt(2)
ans = 1.4142
>> var = sqrt(sym(2))
var = 2^(1/2)
>> double(var)
ans = 1.4142
>> sym(2)/sym(5) + sym(1)/sym(3)
ans = 11/15
4. Symbolic variables
Use syms to define symbolic variables. (Or use sym to create
an abbreviated symbol name.)
>> syms m n b c x
>> th = sym('theta')
>> sin(th)
ans = sin(theta)
>> sin(th)^2 + cos(th)^2
ans = cos(theta)^2 + sin(theta)^2
>> y = m*x + b
y = b + m*x
5. Expresiones simbólicas
The subs function substitutes values or expressions for
variables in a symbolic expression.
>> clear
>> syms m x b
>> y = m*x + b → y = b + m*x
>> subs(y,x,3) → ans = b + 3*m
>> subs(y, [m b], [2 3]) → ans = 2*x + 3
>> subs(y, [b m x], [3 2 4])→ ans = 11
The symbolic expression itself is unchanged.
>> y → y = b + m*x
6. Diferenciación
Use diff to do symbolic differentiation.
>> clear
>> syms m x b th n y
>> y = m*x + b;
>> diff(y, x) → ans = m
>> diff(y, b) → ans = 1
>> p = sin(th)^n → p = sin(th)^n
>> diff(p, th) → ans = n*cos(th)*sin(th)^(n
- 1)
7. Integración
Indefinite integrals
>> int(y, x) → ans = (m*x^2)/2 +
b*x
>> int(y, b) → ans = (b + m*x)^2/2
>> int(1/(1+x^2)) → ans = atan(x)
Definite integrals
>> int(y,x,2,5) → ans = 3*b +
(21*m)/2
>> int(1/(1+x^2),x,0,1) → ans = pi/4
>> clear
>> syms m b x >> y = m*x + b;
8. Graficando expresiones simbólicas
The ezplot function will plot symbolic expressions.
>> clear; syms x y
>> ezplot( 1 / (5 + 4*cos(x)) );
>> hold on; axis equal
>> g = x^2 + y^2 - 3;
>> ezplot(g);
10. • >> y = dsolve('Dy + 2*y = 12*sin(4*t)',
'y(0)=10')
• y =
• -12/5*cos(4*t)+6/5*sin(4*t)+62/5*exp(-2*t)
• >> ezplot(y, [0 8])
• >> axis([0 8 -3 10])
2 12sin 4
dy
y t
dt
(0) 10y
Ejemplo. Resolver la ED usando
Matlab
11. • >> y = dsolve('D2y + 3*Dy + 2*y = 24',
'y(0)=10', 'Dy(0)=0')
• y =
• 12+2*exp(-2*t)-4*exp(-t)
• >> ezplot(y, [0 6])
2
2
3 2 24
d y dy
y
dt dt
(0) 10y '(0) 0y
Ejemplo. Resolver la ED usando
Matlab
12. La trasformada de Laplace
simbólica con Matlab
Establezca s y t como variables
simbólicas.
>> syms t s
• La trasformada de laplace de una
función f(t) se obtiene como:
>> F = laplace(f)
• Algunas simplificaciones utiles son:
>> pretty(F)
>> simplify(F)
13. •Establish t and s as symbolic variables.
>> syms t s
•The Laplace function F is then formed and
the inverse Laplace transform command is:
>> f = ilaplace(F)
La trasformada inversa de Laplace
simbólica con Matlab
14. 2 2
( ) 3 sin5 4 cos5t t
v t e t e t
>> syms t s
>> v = 3*exp(-2*t)*sin(5*t)
+ 4*exp(-2*t)*cos(5*t)
v =
3*exp(-2*t)*sin(5*t)+4*exp(-2*t)*cos(5*t)
Ejemplo. Determine la trasformada
de Laplace de v(t) usando Matlab
15. Ejemplo. Continuación…
>> V = laplace(v)
V =15/((s+2)^2+25)+4*(s+2)/((s+2)^2+25)
>> V=simplify(V)
V = (23+4*s)/(s^2+4*s+29)
16. >> syms t s
>> F=100*(s+3)/((s+1)*(s+2)*(s^2+2*s+5))
F =
(100*s+300)/(s+1)/(s+2)/(s^2+2*s+5)
2
100( 3)
( )
( 1)( 2)( 2 5)
s
F s
s s s s
Ejemplo. Determine la trasformada Inversa
de Laplace de F(s) usando Matlab
18. 2
10 48
( )
2 ( 2)( 16)
Y s
s s s
>> syms t s
>> Y = 10/(s+2) + 48/((s+2)*(s^2+16))
Y =10/(s+2)+48/(s+2)/(s^2+16)
Ejemplo. Determine la trasformada
Inversa de Laplace de F(s) usando
Matlab
19. >> y = ilaplace(Y)
y = 62/5*exp(-2*t)-
12/5*cos(16^(1/2)*t)+3/10*16^(1/2)*sin(16^(1/
2)*t)
>> y=simplify(y)
y = 62/5*exp(-2*t)-12/5*cos(4*t)+6/5*sin(4*t)
Ejemplo. Continuación…
20. Diversos comandos de Matlab para aplicarlos
en diferentes campos de la transformada de
Laplace
El comando roots determina las raíces de polinomios de
grado n
22. El comando poly obtiene el polinomio de las raíces dadas
El comando conv lleva a cabo el producto de 2 funciones
representadas en el dominio s
23. El comando printsys representa como función racional en s a la relación
de polinomios numerador/denominador
El comando pzmap efectúa la representación gráfica de polos y ceros
en el plano s de una función racional previamente definida.
35. Generating a Step Response in MATLAB
>>M = 1; % units of kg
>>K = 10; % units of N/m
>>B = 2; % units of N-s/m
>>num = 1;
>>den = [M B K];
>>sys = tf(num,den)
>>step(sys);
Specifying the time scale
>>t=0:0.1:10;
>>step(sys,t);