El documento describe el método de cascarones cilíndricos para calcular el volumen rotado de una función alrededor de una línea. Explica que el método involucra formar cilindros dentro de otros cilindros y calcula el volumen como una integral de la función entre los límites. Aplica el método para calcular el volumen rotado de la función f(x)=x^2 entre 1 y 2 alrededor de la línea x=1.

1. Adriana vagaleras Quintero...
September 20, 2015
15) y = x2
y = 0 x = 1, x = 2; entorno de x = 1
Gracando las funciones obtenemos:
Como es entorno a la recta x = 1 entonces denimos solamente la función
y = x2
en el intervalo entre (1, 2) luego tendriamos:
Luego como toca rotarlo entorno a la recta x = 1 obtenemos solamente en
el plano 2 − D la siguiente gura....
1

2. Luego sabemos que el metodo de cascarones cilindricos consiste en formar
cilindros dentro de cilindros, es decir como cuando pelamos una cebolla se puede
pensar que son cilindros sobre cilindros, y la idea consiste de la siguiente forma:
El volumen de un cilindro como se puede ver se calcula teniendo en cuenta:
V = 2πr ( r) h
donde sabemos que 2πr corresponde al perimetro de un circulo, ( r) corre-
sponde al ancho del cilindro y h hace referencia a la altura.
Luego nuestros cilindros en nuestro caso serían de la siguiente forma:
2

3. Luego se puede ver facilmente que el ( r) corresponde a nuestro ( x), que
el r corresponde a la función (x − 1) y la altura h corresponde al valor de f (x),
es decir:
r = x
r = (x − 1)
h = f (x)
luego hacemos la suma entre el intervalo (1, 2) y tendriamos que el volumen
sería:
V =
ˆ 2
1
(2πr ( r) h)
V =
ˆ 2
1
(2π (x − 1) (dx) (f (x)))
V = 2π
ˆ 2
1
(x − 1) x2
(dx)
V = 2π
ˆ 2
1
x3
− x2
dx
V = 2π
x4
4
−
x3
3
2
1
V = 2π
24
4
−
23
3
−
13
4
+
13
3
2
1
=
17
6
π
3