El documento trata sobre conceptos fundamentales de integración en matemáticas, incluyendo la notación sigma y las integrales de Darboux y Riemann. Explica las propiedades de las sumas superiores e inferiores, la integral definida y el teorema del valor medio, así como la relación entre derivación e integración, conocida como el teorema fundamental del cálculo. Finalmente, aborda técnicas como la sustitución y cambio de variable en integrales.

1. Alumno: Jesús Nieto
C.I.: 24353269
Prof.: Domingo Méndez
Curso: Matemática II
Sección: SAIA “A”
INTEGRALES DEFINIDAS
UNIVERSIDAD FERMÌN TORO
FACULTAD DE INGENIERÌA
CABUDARE, ESTADO LARA

2. NOTACIÓN SIGMA
Los números cuya suma se indica en una notación sigma, pueden ser
naturales, complejos u objetos matemáticos más complicados. Si la suma tiene un
número infinito de términos, se conoce como serie infinita.
Ésta se puede representar como la
suma de los (n) primeros términos con
la notación de sumatoria o notación
sigma. El nombre de esta notación se
denomina de la letra griega (sigma
mayúscula, que corresponde a nuestra
S de "suma"
SIMBOLOGÍA

3. EJEMPLO DE NOTACIÓN SIGMA
Calcule la siguiente serie:
Solución:

4. SUMAS SUPERIORES E INFERIORES
Es un intervalo [a,b], asociadas a una partición del mismo.
Estas sumas son aproximaciones al área que queremos
calcular.
PROPIEDADES: En particular las referentes a la relación entre ambas
sumas y a su compartimiento cuando se considera cada vez mas finas (que
corresponderán a aproximaciones del área cada vez mejores). Estas
propiedades nos garantizan la existencia del supremo de las sumas inferiores
y del ínfimo de las sumas superiores, siendo estos valores las integrales
inferiores y superiores, respectivamente, de Darboux, en el intervalo [a,b].

5. Al ser f positiva en [a,b], estos valores nos proporcionan estimaciones, por debajo
y por arriba del área encerrada por f en [a,b]. Se dirá que f es integrable Darboux en
[a,b] si "ambas aproximaciones coinciden".
La integral de Riemann se define de forma ligeramente diferente, a partir de
participaciones evaluadas. La integral de Riemann y la de Darboux son equivalentes.
Debido a este hecho nos referiremos como Integral de Riemann a todas ellas. En
este caso se define la integral de f en el intervalo [a,b] como el valor común de las
integrales inferior y superior.

6. EJEMPLO DE SUMAS
SUPERIORES E INFERIORES
Sea P = { x0, x1, x2, ..., xn} una partición del intervalo cerrado [a, b] y f una
función acotada definida en ese intervalo. Entonces:
•La suma superior de f respecto de la partición P se define así:
S(f, P) = cj (xj - xj-1) donde cj es el supremo de f(x) en el intervalo [xj-1, xj].
•La suma inferior de f respecto de la partición P se define así:
I(f, P) = dj (xj - xj-1) donde dj es el ínfimo de f(x) en el intervalo [xj-1, xj].

7.  La suma inferior aumenta a medida que se van tomando
refinamientos de la partición P, porque cada rectángulo se
divide en otros de altura igual o superior, y el área siempre
aumenta. Es decir:
I(f, P) I(f, P') para todo refinamiento P' de la partición P
Gráficamente, se puede ver en color naranja el área que
aumenta:
La suma superior disminuye a medida que se van tomando
refinamientos de la partición P, porque cada rectángulo se divide en
otros de altura igual o inferior, y el área siempre disminuye. Es decir:
S(f, P') S(f, P) para todo refinamiento P' de la partición P
Gráficamente, se puede ver en color naranja el área que disminuye
:

8. LA INTEGRAL DEFINIDA
Y SUS PROPIEDADES
Dada una función f(x) y un
intervalo [a,b], la integral
definida es igual al área
limitada entre la gráfica de f(x),
el eje de abscisas, y las rectas
verticales x = a y x = b.

9. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de
integración
2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.
3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se
descompone como una suma de dos integrales extendidas a los
intervalos [a, c] y [c, b].
4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma
de integrales.
5. La integral del producto de una constante por una función es
igual a la constante por la integral de la función.

10. TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA
INTEGRALES
Este teorema es importante porque asegura que una función continua
en un intervalo cerrado alcanza su valor promedio al menos en un punto.
Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b], existe un
número c en este intervalo tal que:
f(c)(b a)
El valor de c no es necesariamente único. Este teorema no especifica cómo
determinar c. Solamente garantiza la existencia de algún número c en el intervalo.
Permite una interpretación interesante para el caso en que f es no negativa en [a,
b]. En este caso es el área bajo la gráfica de f entre a y b. El teorema asegura que
existe un valor c del intervalo al que está asociado f(c) que corresponde a la altura
del rectángulo de longitud de la base (b a) y su área coincide con la de la región.
A f(c)(b a)

11. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Consiste en la afirmación de que la derivación e integración de una
función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua
integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma
1. Teorema Fundamental Del
Cálculo
2. Teorema Fundamental Del
Cálculo
Sea f una función continua en el
intervalo cerrado [a,b], si F es una
antiderivada de f en [a,b],
entonces
Sea f una función continua en un intervalo cerrado
y sea la función F definida por ,
para toda ;
entonces
F es una antiderivada de f en , esto es

12. Esta técnica es la regla de la cadena de las integrales. Lo cual
sugiere que hay una función cuya derivada está presente en la
integral. Es para funciones compuestas. Recordando que cuando se
deriva este tipo de funciones (compuestas) se considera su derivada
interna por lo tanto ella debe estar presente en su integral.
SUSTITUCIÓN Y CAMBIO DE VARIABLE