Este documento trata sobre la interpolación polinomial, que es el método para encontrar un polinomio que aproxime una función desconocida mediante puntos de datos. Explica cómo establecer un sistema de ecuaciones con los puntos dados y resolverlo para obtener el polinomio de interpolación, y provee un ejemplo numérico para ilustrar el proceso.

1. Academia de Precálculo Area de Matemáticas
Interpolación Polinomial
Esta presentación trata sobre
la interpolación polinomial y
contiene el método para
encontrar el polinomio
interpolante de n+1 puntos
en R2.
El objetivo es que aprendas a
aproximar una función
mediante su polinomio de
interpolación.

2. Academia de Precálculo Area de Matemáticas
Interpolación Polinomial
Dados n+1 puntos de R2 (x0,y0), (x1,y1), …, (xn,yn) en
donde las abscisas son números diferentes,
queremos encontrar un polinomio de grado
menor o igual a n de tal manera que:
nkyxP kkn ,...,1,0,)( 
Este polinomio nos permitirá aproximar una
función yk=f(xk) de la cual no se conozca una
formula explícita o que sea complicada de
derivar, integrar, hallar ceros, etc. El polinomio
puede usarse como aproximación de la función y
para aproximar valores de la función en puntos
intermedios de los valores conocidos xk.

3. Academia de Precálculo Area de Matemáticas
Interpolación Polinomial
Dados n+1 puntos de R2 (x0,y0), (x1,y1), …, (xn,yn), se
establece un sistema de ecuaciones como el que
se muestra.
¿Cómo obtengo
el polinomio de
interpolación?













n
n
nnnn
n
n
n
n
n
n
yxaxaxaa
yxaxaxaa
yxaxaxaa
yxaxaxaa
...
...
...
...
2
210
22
2
22210
11
2
12110
00
2
02010

Existe un teorema que
demuestra la existencia y
unicidad del polinomio de
interpolación para cada
conjunto de datos.

4. Academia de Precálculo Area de Matemáticas
Interpolación Polinomial
Aproximar la función f(x)=cos(x) usando los puntos
(nodos) x0=-pi/2, x1=0 y x2=pi/2.
De acuerdo a estos datos, podemos encontrar un
polinomio de grado 2 para aproximar la función indicada.
Ejemplo
1. Sabemos que f(x0)=0, f(x1)=1 y f(x2)=0.
2. Establecemos el sistema de ecuaciones con los puntos
dados






















 



0
22
100
0
22
2
210
2
210
2
210


aaa
aaa
aaa

5. Academia de Precálculo Area de Matemáticas
Interpolación Polinomial
Ejemplo 3. Planteamos el sistema de ecuaciones en forma
matricial.


































 
0
1
0
42
1
001
42
1
2
1
0
2
2
a
a
a



6. Academia de Precálculo Area de Matemáticas
Interpolación Polinomial
Ejemplo 4. Escribimos la matriz aumentada para aplicar Gauss-
Jordan y resolvemos el sistema













 
0|
42
1
1|001
0|
42
1
2
2














 2
4
|100
0|010
1|001


7. Academia de Precálculo Area de Matemáticas
Interpolación Polinomial
Ejemplo 5. Interpretamos la solución de la matriz escalonada
reducida por renglones y obtenemos el polinomio de
interpolación de grado 2
2
2
4
1)( xxp


2210
4
,0,1

 aaa

8. Academia de Precálculo Area de Matemáticas
Interpolación Polinomial
Ejemplo Comparamos las gráficas
x
y
0.5 0 0.5
-0.5
0
0.5
1
2
2
4
1)( xxp


xxf cos)( 