1) El documento describe las funciones reales y su definición formal. Una función relaciona cada elemento de un conjunto de entrada (dominio) con un único elemento de un conjunto de salida (rango). 2) Se explican conceptos clave como variable independiente, variable dependiente y pares ordenados. También se ilustran ejemplos de funciones y su representación gráfica. 3) Se analizan funciones polinomiales, racionales y de producto-intercambio, incluyendo su graficación y aplicaciones en diferentes campos.

1. FUNCIÓNES REALES
DEMETRIO CCESA RAYME

2. x función
Para cada elemento x de D, el elemento
correspondiente y en R es el valor de f en x, denotado
por f (x).
D
R
f (x) = y
1. Definición de Función

3. Una función es como una máquina: tiene una entrada y una
salida.
Y lo que sale está relacionado de alguna manera con lo que
entra.
ENTRADA
SALIDA
(ENTRADA / REGLA / SALIDA)
¿QUÉ ES UNA FUNCIÓN?

4. Considere una función: y = f(x)
x: se denomina variable independiente
(toma cualquier valor del dominio)
y: se denomina variable dependiente
(porque su valor depende de x)
Pares ordenados:
Así que (4,16) significa que la función toma "4" y
devuelve "16“.

5. Ejemplo
b) ( ) 1h x x 
c) 2
1
( )
4
g x
x


d)
1
( )
5
u x
x


a) 1)(  xxf
Luego evalué f (-10), g(-3), h(17) y u(-2)

6. Gráfica de una Función
La grafica de f también nos permite tener una
imagen del dominio y del rango de f sobre el “eje
x” y el “eje y” respectivamente.
x
y
f (1)
f (2)
f (x)
(x,f (x))
1 2 x0
x
y
y = f (x)
0
dominio
rango

7.  Una función es un conjunto f de pares ordenados
(x; y) o (x; f(x)), donde no existen dos pares con el
mismo primer elemento.
 Siguiendo además la regla o el criterio de la recta
vertical que nos asegura que al trazarla cortará a la
grafica de la función solo una vez.
Otras formas: definición de funciones

8. y = x2
-1
1
3
5
-6 -4 -2 0 2 4 6
y = 2x + 2
-7
-5
-3
-1
1
3
5
7
-6 -4 -2 0 2 4 6
Reconocimiento gráfico de funciones

9. La prueba de la línea vertical
En un gráfico, la idea de univaluada significa que ninguna línea vertical
cruza más de una vez.
Si alguna cruzara más de una vez no sería una función.

10. y2
= x
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 1 2 3 4 5 6
x2 + y2 = 4
Reconocimiento gráfico de funciones

11. -3 -2 -1 0 1 2 3
3
2
1
-1
-2
Reconocimiento gráfico de funciones

13. Ejemplo 2.1. Representar las funciones
y = x − 3
y = 2x + 3
y = −x + 3
y = −2x + 1

17. 1 2 3 4 5-1-2-3-4-5-6-7
2
4
x
y
3
-1
Para la función f, cuyo gráfico se muestra, determine:
dominio, rango, los intervalos donde la función es positiva o
negativa y los intervalos de crecimiento y decrecimiento
Ejemplo 3

21. Funciones polinomiales

22. Gráficas polinomiales
La gráfica de una función polinomial f es una curva
“suave” y continua que se extiende desde el extremo
izquierdo del eje x hasta el derecho.
Ejemplo 1:
Dada la función f con f(x)= (x-3)(x+1)3(x-1)2
a) Halle las raíces reales
b) Halle las intersecciones con el eje y.
c) Determine los intervalos donde la gráfica está sobre el eje x.
d) Determine los intervalos donde la gráfica está debajo del eje x.
e) Trace un bosquejo de la gráfica de f.

23. Ejemplo 2:
Realice un bosquejo de la gráfica de f(x)= 3x4+x3-2x2

24. Gráfica:
       
-4 -3 -2 -1 1 2 3
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
x
f(x)

25. Aplicación
La función polinomial definida por:
A (x) = -0,015x3 + 1,058x;
Da la concentración aproximada de alcohol
(en décimos de porcentaje) en la sangre de
una persona promedio, x horas después de
tomar cerca de 8 onzas de whisky grado
100. La función es apróximadamente válida
para 0x8.
 Dibuje la gráfica de A(x).

26. Función Racional
Una función racional es aquella cuya regla de
correspondencia es el cociente de dos
polinomios.
Se escribe:
En especial, una función racional lineal es
aquella en la que su numerador y denominador
son polinomios constantes o de primer grado.
0Q(x)donde;
Q(x)
P(x)
f(x) 

27. Determine la gráfica de: x
xf


1
2
)(
Solución 1:
1. Asíntotas:
Vertical: x = -1
Horizontal: y = 0
2. Tabulación:
x -1,5 -1,2 -1,1 -1,01 -.99 -.90 -.80 -.05
-4 -10 -20 -200 200 20 10 4
X tiende a –1; f(x)  se vuelve
cada vez màs grande

28. x -101 -11 -2 0 9 99
-.02 -.20 -2 2 .20 .02
f(x) tiende a 0; x se vuelve
cada vez más grande
8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7

29. Aplicación
Ciencias Naturales
1. En muchas situaciones de contaminación
ambiental, gran parte de los contaminantes
puede eliminarse del aire o agua a un costo
bastante razonable, pero tal vez sea muy caro
eliminar la última y pequeña parte del
contaminante.

30. Suponga que una función de costo-beneficio está dada
por:
donde f es el costo (en miles de dólares) de remover x
porcentaje de un cierto contaminante.
 ¿Cuál será el dominio de esta función?
 ¿Cuánto costaría remover todo?
 ¿80%?¿90%??¿95%?
 Esboce la gráfica.
 ¿Qué porcentaje podrá eliminarse con $50 000?
x
x
xf


106
18
)(

32. Administración
En Administración, las funciones de
producto-intercambio dan la relación entre
cantidades de dos artículos que pueden ser
producidas por la misma máquina o fábrica.
Por ejemplo, una vinatería puede producir
vino tinto, vino blanco o una combinación
de los dos. Analicemos el siguiente ejemplo:

33. La función de producto-intercambio para la
vinícola “Uva Dorada” de vino tinto x y vino
blanco y, en toneladas es :
 Trace la gráfica de la función y encuentre la
cantidad máxima de cada tipo de vino que
puede ser producido.
 ¿Donde ocurre el valor de y máximo? para esa
función de producto - intercambio.
x
x
xf



1000
50000100
)(

34. Toneladas de vino tinto
Toneladas de
vino blanco