Este documento presenta un resumen de los primeros cuatro capítulos de un libro de cálculo. El capítulo 1 introduce conceptos básicos como variables, funciones, límites y continuidad. El capítulo 2 explica la derivación y cómo medir el cambio en una función. El capítulo 3 presenta reglas para derivar funciones algebraicas como sumas, productos y constantes. El capítulo 4 continúa explicando reglas para derivar funciones más complejas.

1. MATERIA
CALCULO
NOMBRE:
YAGAUL POTES RAFAEL DE JESUS
INSTITUTO TECNOLOGICO EURO AMERICANO
TEMA:
INVESTIGACION APLICACIÓN DEL CALCULO
2016 - 2017

2. APLICACIÓN DEL CALCULO
INDICE
CALCULO DIFERENCIAL
CAPITULO ②
Variables, funciones y límites
Variables y constantes, 11. Intervalo de una variable, 11. Variación continua, 12 . Funciones, 12. Variables independientes y
dependientes, 12. Notación de funciones. 13. La división por cero, excluida , 13 . Gráfica de una función: continuidad, 15 . Límite
de una variable, 16. Límite de una función , 16. Teoremas sobre límites, 17. Funciones continuas y discontinuas. 17 . Infinito , 19.
Infinitésimos, 22.. Teoremas relativos a infinitésimos y límites, 23.
CAPITULO III
Derivación
Introducción, 25. Incrementos, 25. Comparación de incrementos 26. Derivada de una función de una variable, 27. Símbolos para
representar las derivadas, 28, Funciones derivables, 30 . Reg la general para la derivación, 30. Interpretación geométrica de la
derivada, 32.
CAPITULO IV
Reglas para deri v ar funciones alge braícas
Importancia de la regla general. 36. Derivada de una constante. 37 . Derivada de una variable con respecto a, si mIsma, 38.
Derivada de una suma, 38. Derivada del producto de una constante por una función, 39 . . Derivada del

3. CAPITULO ②
Variables, funciones y límites
Variables y constantes.
Una variable es una cantidad a la que se le puede asignar, durante el curso de un proceso de análisis, un número ilimitado de
valores. Las variables se designan usualmente por las últimas letras del alfabeto Una cantidad que durante el curso de un proceso
tiene un valor fijo se llama constante. Constantes numéricas o absolutas son las que conservan los mismos valores en todos los
problemas, como 2, 5, "";7, cr , etc.
Intervalo de una variable
A menudo nos limitamos solamente a una porción del sistema de números. Por ejemplo, podemos restríugir nuestra variable de
manera que tome únicamente valores comprendidos entre a y b. También puede ser que a y b sean incluidos o que uno () ambos
sean excluÍdos. Emplearemos el símbolo [a, b], siendo a menor que b, para representar los números a y b y todos los números
comprendidos entre ellos, a menos que se diga explícitamente otra cosa . Este símbolo [ a, b] se lee "intervalo de a a b' , .
Variación continua,.
Se dice que una variable a varía de una manera continua en un intervalo [a, b] cuando x aumenta desde el valor a hasta el valor b,
de tal manera que toma todos los valores o--------- Tomando el punto O como origen, marquemos sobre la recta los puntos A y B
correspondientes a los números el y b. Además, hagamos corresponder el punto P a un valor particular de la variable x .
Evidentemente, el intervalo [a , b] estará representado por el segmento AB. Al variar x de una manera continua en el intervalo [ a,
b], el punto P engendrará el segmento AB si x aumenta o el segmento BA SI x disminuye.

4. Funciones.
Cuando dos variables están relacionadas de tal manera que el valor de la primera queda determinado si se da un valor a la
segunda] entonces se dice que la primera es función de la segunda . Casi todos los problemas científicos tratan con cantidades y
relaciones de esta naturaleza, y en la experiencia de la vida diaria nos encontramos constantemente con situaciones en las que
intervienen magnitudes dependientes unas de otras.
Variables independientes y dependientes.
La segunda variable, a la. cual se pueden asignar valores a voluntad dentro de limites que dependen del problema particular, se
llama la variable .independiente o el argumento.
Notación de funciones.
El símbolo f(x) se emplea para designar una función de x, y se lee f de x . Con objeto de distinguir entre diferentes funciones se
carp.bia la letra inicial, como en F (x), 4> (x) , J' (x), etc.

5. La división por cero, excluida.
El cociente de dos números a y b es un número x tal que a = bx. Evidentemente, con esta definición la división por cero queda
excluida. En efecto, si b = O , Y recordando que cero tomado cualquier número de veces como sumando es siempre igual a cero, se ve
que x no existe, a menos que a = O. Si a = O, entonces x puede ser cualquier número.
Gráfica de una función; continuidad.
Consideremos la función x2 y hagamos Esta relación da un valor de y para cada valor de x; es decir, (1) define unívocamente a y para
todos los valores de la variable independiente. El lugar geométrico de (1) es una parábola (fig. 4) Y se llama la gráfica de la función X2.
EflLá p.cuacÍún da un valor de y para cada valor de x, con p.xcepci{m de x = O (Art.. 12) ; para x = O la función no está definida. La
gráfica (fig. 5), que es el lugar geométrico de (2), es una hipérbola equilátera. Si x aumenta continuamente en cualquier intervalo la, bl
que no incluya x = O, entonces y decrecerá continuamente dp.sde ~ hasta ~ , y el punto P (x, y) describirá la curva entre los puntos
correspondientes ( a, ~), (b, ~ ).
Límite de una variable.
La noción de una variable que se aproxima a un limite se encuentra, en la Geometría elemental, al establecer o deducir la fórmula que
da el área del círculo. Se considera el área de un polígono regular inscrito con un número n cualquiera de lados, y se supone, después,
que n crece infinitamente. El área variable tiende así hacía un limite, y este límite se define como área del círculo .
Límite de una función.
En las aplicaciones de la definición de límite, se presentan usualmente casos como el siguiente: se tiene una variable v y una función
dada z de v, y se supone que la variable v recibe valores tales que v -7 l. Tenemos que examinar entonces los valores de la variable
dependiente z e investigar, particularmente, si z tiende también a un limite.

6. Teoremas sobre límites.
En el cálculo del límite de una función tienen aplicación los teoremas siguientes.
Funciones continuas y discontinuas.
observamos que la solución es el valor de la función para x = 2 ; es decir, el valor límite de la función cuando x tiende a 2 es igual
al valor de la función para x = 2. En este caso decimcs que la función es continua para x = 2.
DEFINICIÓN
Se dice que una función f(x) es continua para x = a si el límite de la función, cuando x tiende a a, es igual al valor de la función para
x = a.
Infinito (00)
Si el valor numérico de una variable v llega a ser y permanece mayor que cualquier número positivo asignado de antemano, por
grande que éste sea, decimos qlle v se vuelve infinita . Si v toma solamente valores positivos, se hace infinita positivamente; si
solamente toma valores negativos, se hace infinita negativamente.
Infinitésimos.
Una variable v que tiende a cero se llama un infi:nitésimo. Y quiere decir que el valor numérico de v llega a ser, y permanece,
menor que cualquier número positivo asignado de antemano,

7. CAPITULO III
DERIVACION
Introducción.
En este capítulo vamos a investigar cómo varía el valor de una función al variar la variable independiente. El problema
fundamental del Cálculo diferencial es el de establecer con toda precisión una medida de esta variación.
Incrementos.
El incremento de una variable que pasa de un valor numérico a otro es la diferencia que se obtiene restando el valor inicial del
valor final. Un incremento de x se representa por el símbolo ~x,
Comparación de incrementos.
Consideremos la función (1 ) . y = X2. Supongamos que x tiene un valor inicial fijo y le damos después un incremento ~x .
Observemos ahora con cuidado, mediante una tabla, cómo se comporta la razón de los incrementos de x y de y cuando el
incremento de x decrece.
Derivada de una función de una variable.
La derivada * de una función es el límite de la Tazón del incremento de la función al incremento de la variable independiente
cuando éste tiende a cero.
Símbolos para representar las derivadas.
Puesto que l1y y I1x son siempre cantidades finitas y tienen valores definidos, la expresión es una verdadera fracción.

8. Funciones derivables.
De la teoría de los límites se deduce que si existe la derivada de una función para cierto valor de la variable
independiente, la función misma debe ser continua para aquel valor de la variable.
Regla general para la derivación.
derivada se puede ver que el procedimiento y = f (x) comprende los siguientes pasos: Según la definición de para
derivar una función
Interpretación geométrica de la derivada.
Ahora vamos a considerar un teorema que es fundamental en todas las aplicaciones del Cálculo diferencial a la
Geometría.

9. CAPITULO IV
REGLAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS
Importancia de la regla general.
La regla general para derivación, dada en el Artículo 27, es fundamental, puesto que se deduce directamente de la definición de
derivada, y es muy importante que el lector se familiarice completamente con ella. Sin embargo, el procedimiento de aplicar la
regla en la resolución de problemas es largo o difícil; por con¡>iguiente, se han deducido de la regla general, a fin de facilitar la
tarea, reglas especiales
Derivada de una constante.
Si se sabe que una función tiene el mismo valor para cada valor de la variable independiente, esta función es constante, y
podemos representarla por
Derivada de una variable con respecto a sí misma.
La derivada de una variable con respecto a sí misma es la unidad. Este resultado se prevé fácilmente. En efecto, la pendiente de la
recta y = x es la unidad.
Derivada de una suma.
Una demostración semejante es válida para la suma algebraica de cualquier número de funciones.
Derivada del producto de una constante por una función.
La derivada del producto de una constante por una función es 1·gual al producto de la constante por la derivada de la función .
Derivada del producto de dos funciones.
T,a derivada di! un JHvdw·to de dus funciones es igual al producto de la primera función por la derivuda de la segunda, más el
producto de {n segunda por ln dr!1'1'vadn de la prirnem .

10. Derivada del producto de dos funciones.
T,a derivada di! un JHvdw·to de dus funciones es igual al producto de la primera función por la derivuda de la segunda, más el
producto de {n segunda por ln dr!1'1'vadn de la prirnem .
Derivada·del producto de n funciones, siendo n un número fijo.
La derivada del producto de n funciones, siendo n un número finito, es igual a la suma de los n productos que se forman
multiplicando la derivada de cada función por todas las otras funciones .
Derivada de la potencia de una función, siendo el exponente
Si en el resultado obtenido en el artículo anterior, cada uno de los n factores es igual a v, se tiene
En esta demostración VI hemos supuesto que n es número entero positivo. En el Artículo 65 se demostrará que esta. fórmula. es
válida ')nra cualquier valor de n, y nos serviremos desde ahora. de est,e resul tado general.
Derivada de una función de función
• A veces acontece que y no se define directamente como función de x, sino que se da como función de otra variable v que se
define como función de x. En est,p. (~a::;o, y es función de x por int.errnedio ele 1/ , Y :;;f> lIalJla. función d.: f; nr:i,¡n .
• Relación entre las derivadas de las funciones inversas
Sea una función V llana como función de x según la ecuación .A menudo es posible, en el caso de las funciones que se
consideran en e:-;I e libro, resolver la ecuación con respecto a x y hallar son funciones inversas. Cuando deseamos distinguir la
una de la otra , es usual llamar función directa la que se dió al principio, y funcüín 'inversa a la segunda.
Funciones implícitas.
Cuando se da una relación entre x y y por medio de una ecuación no resuelta para y, entonces y se llama función implícita de x.
Derivación de funciones implícitas.
Cuando y se define como función implícita de x I puede no ser conveniente (como hemos dicho en el artículo anterior) el resolver
la ecuación para obtener y como función explícita de x, o x como función explícita de y.