Este capítulo introduce el cálculo diferencial y cómo medir cómo varía el valor de una función cuando varía la variable independiente. Define incrementos y derivadas de funciones, y explica que la derivada de una función es el límite de la razón entre el incremento de la función y el incremento de la variable independiente a medida que este último tiende a cero. También cubre la interpretación geométrica de la derivada en términos de la tangente a una curva.

1. Capitulo III
CALCULO DIFERENCIAL DE
GRANVILLE

2. INTRODUCCION
En este capitulo vamos a investigar como varia el valor de una
función al variar la variable independiente.
El problema fundamental de calculo diferencial es el establecer con
toda precisión una medida de esta variación
La investigación de problema que trataban de magnitudes que
variaban de una manera continua, llego a Newton al descubrimiento
de los principios fundamentales de Cálculo infinitesimal, el
instrumento científico mas poderoso dl matemático moderno.

3. INCREMENTOS
El incremento de una variable que pasa de un valor numérico a otro es diferencial que se
obtiene restando el valor inicial del valor final. Un incremento de z se representanta por el
símbolo Z, que se lee “delta z”.
Es evidente que el incremento puede ser positivo o negativo ** según que la variable aumente o
disminuya al cambiar de valor asimismo

4. Si en y=f(X) la variable independiente x toma un incremento x, entonces y indicara el
incremnto correspondiente de la función f(X)

5. COMPARACION DE INCREMENTOS
Consideremos la función y= x
Supongamos que x tiene el valor inicia fijo y le damos después un incremento. Entonces y tomara
un incremento correspondiente y tendremos:

6. Observamos ahora con cuidado mediante una tabla, como se comporta la razón de los
incrementos de x de y cuando l incremento de x decrece

7. DERIVADAS DE UNA FUNCION DE UNA
VARIABLE
La definición fundamental del calculo diferencial es la siguiente:
“La derivada de una función es el limite d la razón del incremento de la función de la variable
independiente cuando este tiende a cero”.

9. SIMBOLOS PARA REPRESENTAR LAS
DERIVADAS
Puesto que y - x son siempre cantidades finitas y tienen valores definidos, la expresión:

11. FUNCIONES DERIVABLES
De la teoría de los limites se deduce que si existe la derivada de una
función para cierto de la variable independiente, la función misma
debe ser continua para aquel valor de la variable.
Sin embargo la recíproca no es siempre cierta: se han descubierto
funciones que son continuas y a pesar de eso no tienen derivada.
Pero tales funciones no son frecuentes en las matemáticas aplicadas
y en este libro se consideran solamente las funciones derivables es
decir las funciones que tienen derivadas para todos los valores de la
variable independiente con excepción, los mas de los valores ailados.

12. REGLA GENERAL PARA LA DERIVACION
Según la definición de derivada se puede ver que el
procedimiento para derivar una función y=f(X)
comprende a los siguiente pasos:
1. Se sustituye en la función x por x+ x y se calcula
el nuevo valor de la función y+ y.
2. Se resta el valor dado de la función del nuevo
valor y obtiene y(incrementa aislados).
3. Se obtiene y(incremento de la función ) por
x(incremento de la variable independiente).
4. Se calcula el limite de este cociente cuando por
x(incremento de la variable independiente)
tiende a cero. El limite así hallado es la derivada
buscada

13. INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA
DERIVADA
Ahora vamos a considerar que es fundamental
en todas las aplicaciones del cálculos diferencial
a la geometría.
Primero es necesario recordar la definición de
tangente a una curva en un punto P de la misma.
Supongamos una secante que pase P y un punto
próximo Q de la curva, hagamos que el punto Q
se mueve sobre la curva aproximándose
indefinidamente a P. La secante girara alrededor
de P, su posición limite es por definición la
tangente a la curva en P. CONSIDERANDO ahora
la grafica de la función f(X)), o sea la curva AB,
dad por la ecuación.