Este documento trata sobre conceptos fundamentales del cálculo como derivadas parciales, límites, continuidad, integrales, divergencia y rotacional. Explica cómo calcular derivadas parciales de funciones de varias variables manteniendo las demás variables constantes. También describe cómo encontrar planos tangentes a superficies y define conceptos como divergencia, rotacional, límites y continuidad aplicados a funciones de varias variables.

1. DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Republica Bolivariana De Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior
Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño
Extensión – Barcelona
Escuela de Ingeniería Electrónica
Bachiller:
Fereira Kenny
C.I:27943254
Profesor:
Pedro Beltrán

2. Introducción
En matemática, el concepto de límite es una noción topológica que formaliza la noción intuitiva
de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a medida que los
parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor.
En cálculo infinitesimal (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza
para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración,
entre otros. Si bien, el concepto de límite parece intuitivamente relacionado con el concepto de
distancia, en un espacio euclídeo, es la clase de conjuntos abiertos inducidos por dicha métrica,
lo que permite definir rigurosamente la noción de límite.

3. Límite y continuidad de una función en el Espacio R3
El límite de una función es el valor al que se acerca la función f(x), cuando ”x” se aproxima a un
determinado número.
Un límite se calcula sustituyendo la “x” por el valor al que tienda, salvo que de indeterminado.
Cuando x tiende a un número podemos acercarnos a él por la
derecha o por la izquierda, esto se conoce como límites laterales.

4. Límite y continuidad de una función en el Espacio R3
En algunos casos dan resultados distintos, en otros lo mismo.
Tipos de indeterminaciones
Es dudoso que no de 0·œ no sea 0, pero es que en los
límites no tengo un 0 absoluto sino algo que se acerca a
0 y por tanto dependiendo de lo que me acerque a 0 y
lo que me acerque a infinito puede dar distintos
resultados.

5. Límite y continuidad de una función en el Espacio R3
Para calcular el límite se realiza lo siguiente:
Primero sustituimos.
Si no da indeterminado, ya está resuelto y si da indeterminado
trasformamos la expresión.
Entonces descomponemos.
Simplificamos.
Volvemos a sustituir.
Si volviese a dar indeterminado, repetimos el proceso.

6. Límite y continuidad de una función en el Espacio R3
En matemáticas, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para
puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la
función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Una función continua
de R a R es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel (más
formalmente su grafo es un conjunto conexo).
Intuitivamente, la continuidad significa que un pequeño cambio en la variable x
implica sólo un pequeño cambio en el valor de f(x), es decir, la gráfica consiste de un
sólo trozo de curva.

7. Límite y continuidad de una función en el Espacio R3
En contraste, una gráfica como la de la función f(x) = sgn x (signo de x) que consiste de
pedazos de curva separados por un vacío en una abcisa exhibe allí una discontinuidad.
La continuidad de la función f(x) para un valor a significa que f(x) difiere arbitrariamente
poco del valor f(a) cuando x está suficientemente cerca de a.
Expresemos esto en términos del concepto de límite.

8. Derivadas parciales
En cálculo diferencial, una derivada parcial de una función de diversas variables, es la derivada
respecto a cada una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas
parciales son útiles en cálculo vectorial, geometría diferencial, funciones analíticas, física,
matemática, etc.
La razón de definir un nuevo tipo de derivada es que cuando una función es multivariable,
queremos ver cómo cambia la función al mover una sola variable mientras mantenemos fijas
las demás.
Una vez que ya hemos introducido el término de función derivada, podemos
estudiar las derivadas parciales. Las derivadas parciales se usan cuando la función
que queremos derivar está definida en varias variables, como por ejemplo: f(x,y,z)=
2xy+x-3yz .

9. Derivadas parciales
De forma análoga a la definición de derivada en una variable, se define la derivada de
una función en varias variables en el punto a=(a1,a2,…….an) como el siguiente límite:
Por tanto es necesario que para poder derivar, derivemos tanto en función de x, en
función de y en función de z, de manera independiente. Es decir, en primer lugar
derivaríamos en función de x, dejando las demás fijas, como si fueran constantes.
Las derivadas parciales se escriben de las siguientes
formas, siendo la más típica la primera de ellas en la que
utilizamos la “d redondeada” también conocida como la
“d de Jacobi”. Por ejemplo la derivada de f en función de
x sería:

10. Derivadas parciales
Ejemplo:
A partir del ejemplo anterior, hallemos las derivadas parciales: f(x,y,z)= 2xy+x-3yz
Al igual que definíamos la derivada segunda, como la derivada de la derivada,
también existen las derivadas parciales de orden 2, y de manera sucesiva hasta el
orden n-ésimo mientras la función sea derivable.
Siguiendo con la función anterior, calculamos las siguientes derivadas:
En el primer apartado, tenemos que derivar respecto de x dos veces, es decir, utilizando
la derivada calculada en el ejemplo1, la volvemos a derivar respecto de x.
En el apartado b, tenemos que utilizar la derivada en
función de x, y derivarla en función de la y. O lo que es
lo mismo, podríamos utilizar la derivada parcial respecto
de y, y derivarla respecto de la x.

11. Derivadas parciales
Vector Gradiente
Una vez que ya sabemos calcular las derivadas parciales, surgen algún que
otro concepto nuevo como el de vector gradiente.
Definición: Llamamos vector gradiente de una función f en el punto a, a un
vector columna con n componentes, es decir, una matriz de orden nx1,
donde n depende del número de variables en las que está definida f. Se
denota como ∇f(a)
El vector gradiente de la función anterior en el punto
a=(1,0-2)

12. Derivadas parciales
Diferencial total
En matemática, el diferencial total de una función real de varias variables reales corresponde a
una combinación lineal de diferenciales cuyos componentes (coeficientes) son los del gradiente
de la función.
Formalmente el diferencial total de una función es una 1-forma o forma pfaffiana y puede ser
tratada rigurosamente como un elemento de un espacio vectorial de dimensión n, donde n es
el número de variables dependientes de la función.
El propio nombre “derivada parcial”, nos debiera indicar que en contraposición al
calificativo “parcial” existe otro que lo complementa. Tal nombre y el correspondiente
concepto existen y se le llama diferencial total. En contraste, mientras, la derivada parcial
nos permite estudiar la razón de cambio de una función en la dirección de alguno de los
vectores canónicos del espacio vectorial Rˆn; la diferencial total, como su nombre lo
indica, persigue estudiar lo que pasa a la función cuando todas las variables
independientes de la función cambian al mismo tiempo.

13. Para empezar, recuerda que la derivada de una función y = f (x) en el punto 0 xˇ0 se
define por medio del siguiente límite, siempre que éste exista:
Derivadas parciales
Diferencial total
Recuerda también que si la función es derivable en Xˇ0 entonces la ecuación de
la recta tangente que pasa por el punto (Xˇ0, ƒ (Xˇ0))está dada por:

14. En la siguiente figura se muestran tanto la gráfica de la función como el de su recta tangente.
Observa que si la variable independiente cambia en una cantidad Δx entonces la función
cambia en una cantidad ƒ(Xˇ0 + Δx) – ƒ (Xˇ0), mientras que el cambio en la ordenada de la
recta tangente es y – ƒ(Xˇ0)= ƒ´(Xˇ0)Δx. Nos detenemos un momento para establecer las
siguientes definiciones.
Derivadas parciales
Definición. Incremento de una función
El incremento de una función Δ ƒ (Xˇ0) es el cambio que sufre la función cuando la
variable independiente cambia una cantidad Δx, pasando de Xˇ0 a Xˇ0+Δx, y esta
dado por:
Definición. Diferencial de una función
Sean y = ƒ(X) una function derivable en el interval (a,b) y Xˇ0 un punto en el intervalo. A la
expresión:
se le llama la diferencial de ƒ en el punto Xˇ0
Diferencial total

15. Derivadas parciales
Diferencial total
Grafica representativa de la diferencial
Es decir, el incremento se puede aproxima
con la diferencial. Como puedes observar
en la figura anterior, para una función
derivable en x = Xˇ0, entre menor sea Δx.
La aproximación Δƒ(Xˇ0)=dƒ(Xˇ0) sera
mejor.

16. Derivadas parciales
Divergencia
La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una
superficie que encierra un elemento de volumen dV . Si el volumen elegido solamente contiene fuentes o
sumideros de un campo, entonces su divergencia es siempre distinta de cero.
La divergencia de un campo vectorial en un punto es un campo escalar, que se define como el flujo del campo
vectorial por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero, para el caso del
campo magnético la divergencia viene dada por la ecuación
donde S es una superficie cerrada que se reduce a un punto en el límite, B es el campo magnético,
V es el volumen que encierra dicha superficie S y ▼ es el operador nabla, que se calcula de la
siguiente forma:

17. Derivadas parciales
Divergencia
La divergencia de un campo es un valor escalar con signo. Si este signo es positivo, quiere decir que el
campo emana hacia el exterior de dicho punto y, por tanto, es una fuente o manantial. Si el signo es
negativo, el campo converge hacia un punto del interior del volumen, por lo que constituiría un sumidero.
Si la divergencia fuese cero el campo neto (diferencia entre las líneas entrantes y salientes) sería nulo.
Los campos cuya divergencia es cero se denominan campos solenoidales, que se caracterizan
porque sus líneas de campo son cerradas sobre si mismas, es decir, no tienen extremos donde
nacen o mueren. De tener dichos extremos, el flujo neto alrededor de uno de ellos no sería nulo,
lo cual denotaría la existencia de una fuente o sumidero del campo.

18. Derivadas parciales
Divergencia
Ejemplo de divergencia de un campo vectorial.

19. Derivadas parciales
Rotacional
Se entiende por rotacional al operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir
rotación alrededor de un punto. También se define como la circulación del vector sobre un camino
cerrado del borde de un área con dirección normal a ella misma cuando el área tiende a cero
Aquí, Δs es el área de la superficie apoyada en la curva C , que se reduce a un punto. El resultado
de este límite no es el rotacional completo (que es un vector), sino solo su componente según la
dirección normal a Δs y orientada según la regla de la mano derecha. Para obtener el rotacional
completo deberán calcularse tres límites, considerando tres curvas situadas en planos
perpendiculares.
El rotacional de un campo se puede calcular siempre y cuando este sea continuo y diferenciable
en todos sus puntos.

20. Derivadas parciales
Rotacional
El rotacional de un campo se puede calcular siempre y cuando este sea continuo y diferenciable en
todos sus puntos.
El resultado del rotacional es otro campo vectorial que viene dado por el determinante de la
siguiente ecuación
Las propiedades más destacadas del rotacional de un campo son:
• Si el campo escalar f(x,y,z) tiene derivadas parciales continuas de segundo orden entonces el rot
(▼f)=0
• Si F(x,y,z) es un campo vectorial conservativo entonces rot (F) = 0
• Si el campo vectorial F(x,y,z) es una función definida sobre todo Rˆ3 cuyas componentes tienen
derivadas parciales continuas y el rot (F) = 0, entonces F es un campo vectorial conservativo.

21. Derivadas parciales
Rotacional
Ejemplo de rotacional de un campo vectorial.

22. Así como la derivada de una sola variable se puede usar para encontrar las rectas tangentes a
una curva, las derivadas parciales se pueden usar para encontrar el plano tangente a una
superficie.
Derivadas parciales
Planos tangentes
Un plano tangente a una función de dos variables ƒ(x,y) es, bueno, un plano que es
tangente a su grafica.

23. Derivadas parciales
Planos tangentes
La ecuación del plano tangente de la gráfica de una función de dos variables ƒ(x,y) en un
punto particular (Xˇ0,Y ˇ0) se ve así:
Queremos una función T (x,y) que represente un plano tangente a la gráfica de alguna
función T (x,y) en el punto (Xˇ0, Yˇ0, ƒ(Xˇ0, Yˇ0)) por lo que sustituimos ƒ(Xˇ0, Yˇ0) para Zˇ0
en la ecuación general del plano.
A medida que ajustas los valores de a y b, esta ecuacion dará varios planos que pasan por la
gráfica de ƒ en el punto deseado, pero solo uno de ellos va a ser un plano tangente.

24. Derivadas parciales
Planos tangentes
De todos los planos que pasan por (Xˇ0, Yˇ0, ƒ(Xˇ0, Yˇ0)) aquel tangente a la gráfica de ƒ tendrá las
mismas derivadas parciales que ƒ. Gratamente, las derivadas parciales de nuestra función lineal
están dadas por las constantes a y b
Toma las derivadas parciales de la ecuación para la expresión T(x,y).

25. Derivadas parciales
Planos tangentes
Ejemplo de plano tangente.

26. Derivadas parciales
Recta normal
Es la recta que, en el punto de corte con la curva, es perpendicular a la curva en cuestión.
El siguiente ejemplo gráfico muestra la recta normal a la curva
Dos funciones ƒ(x), g(x) serán normales en un punto si, en el punto de corte a, se cumple que:

27. Derivadas parciales
Recta normal
La expresión general de la recta normal a ƒ(x) en el a es:

28. Derivadas parciales
Recta normal
Ejemplos de recta normal.
1 2

29. Conclusión
Cuando x tiende a un número podemos acercarnos a él por la derecha o por la
izquierda, esto se conoce como límites laterales.
El limite de una función queda expresado correctamente cuando no esta indeterminado.
La aplicación más importante en matemáticas para las derivadas parciales es resolver
problemas de optimización (al igual que las derivadas en una dimensión) en varias
variables.

30. Anexos
https://www.youtube.com/watch?v=sHuqCyEVNCs
https://www.youtube.com/watch?v=XKgfHOaXhqs
https://www.youtube.com/watch?v=b5RPjR56_w0

31. Bibliografía
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https://matematicasconmuchotruco.wordpress.com/2015/01/13/limites-de-funciones/
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https://moisesescobar97.blogspot.com/2015/10/limite-continuidad-y-discontinuidad.html
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https://matematica.laguia2000.com/general/derivadas-parciales
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http://calculovariasvariables.weebly.com/uploads/2/0/6/9/20691654/plano_tangente_diferencial_
total.pdf
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https://es.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/multivariable-derivatives/partial-
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http://quintans.webs.uvigo.es/recursos/Web_electromagnetismo/magnetismo_rotacionalydiverg
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