La bruja de Agnesi. Curva

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La bruja de Agnesi
Antoni Van Hul Miralles
Universidad de Alicante
2016-2017
Antoni Van Hul (UA) La bruja de Agnesi 2016-2017 1 / 28

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Índice
1 Introducción
2 Historia
3 Construcción mecánica
4 Ecuaciones
5 Ecuaciones paramétricas
6 Curvatura
7 Estudio de la función
8 Bibliografía

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Índice
1 Introducción
2 Historia
4 Ecuaciones
6 Curvatura
8 Bibliografía

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Introducción
El objetivo del siguiente documento es mostrar las peculiaridades de la
Curva de Agnesi, popularmente conocida como la bruja de Agnesi. En este
documento se introducirá brevemente la historia y posteriormente,
pasaremos a estudiar con detalle esta curva mediante herramientas del
álgebra y del análisis.

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Índice
1 Introducción
2 Historia
4 Ecuaciones
6 Curvatura
8 Bibliografía

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Historia
Pierre de Fermat, en 1630 fue el primer matemático que la estudió.
Posteriormente fue el matemático italiano Guido Grandi quien siguió con la
investigación. Pero fue María Gaetana Agnesi en 1743 quien hizo la mayor
parte de avances en este estudio. El error de traducción viene dado porque
Grandi llamó a esta curva versiera y fue mal traducido al inglés por John
Colson. Éste, erró al traducir versiera por avversiera que en italiano
signica diabla, demonia. Es decir, Colson lo tradujo como witch y es
por eso que en castellano se la conoce como la bruja de Agnesi

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Construcción mecánica
Fijemos la referencia cartesiana R = {O, −→e1, −→e2}.
Sea O el origen de coordenadas y jemos una circunferencia de centro C
y radio a (a 0), tal que
−→
OA = (0, a) y la recta (0, 0)+
−→
OA corta a la
circunferencia en el punto (0, 2a) al que llamaremos T. Tracemos una
paralela al eje OX por el punto T, es decir la recta de ecuaciones
r ≡ (0, 2a) + t(1, 0), t ∈ R. De nuevo, tracemos una recta desde O que
corte a la circunferencia por el punto A y a la recta r en el punto B.
Haciendo una paralela al eje OX por A (r ≡ (A1, A2) + t(1, 0), t ∈ R y A1,
A2 las coordenadas de A en la referencia jada) y otra paralela con
respecto al eje OY por B (r ≡ (B1, B2) + t(0, 1), t ∈ R y B1, B2 las
coordenadas de B en la referencia R), obtendremos los puntos F y D.
Dicho de otro modo:
F = r ∩ OY ∧ D = r ∩ OX

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Construcción mecánica
Sea P = r ∩ r .
En una animación posterior, veremos como el punto P es un punto que
varía según se trace la recta que corta a la circunferencia.
Entonces la curva de Agnesi queda denida por T, punto tangente a la
circunferencia y pasa por el punto P

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Ecuaciones
En esta sección hallaremos la ecuación de la función f que dene a la
curva de Agnesi partiendo de su construcción geométrica. Por la denición
de tangente en el triángulo OAE rectángulo en E y en el triángulo OBD
rectángulo en D, semejantes entre sí:
tanα =
AE
EO
=
BD
DO
En el triángulo AOF, rectángulo en F, por el Teorema de Pitágoras
obtenemos
(AO)2
= (AF)2
+ (OF)2

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Ecuaciones
Es fácil comprobar las siguientes igualdades:



CO = CF + FO
FO = AE
BD = 2CO
DO = x
AC = CO = a
AE = PD = y
AF = EO
De donde, de forma obvia,



tanα =
y
EO
=
2a
x
a2 = (EO)2 + (CF)2
a = CF + y

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Ecuaciones
Elevando al cuadrado la última ecuación e igualando, obtenemos que



tanα =
y
EO
=
2a
x
(EO)2 = (2a − y)y
Utilizaremos



y
EO
=
2a
x
(EO)2 = (2a − y)y

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Ecuaciones
Ahora encadenaremos una serie de igualdades hasta hallar la ecuación
cartesiana.
EO = y(2a − y) ⇒
y
y(2a − y)
=
2a
x
⇒
y2
y(2a − y)
=
4a2
x2
⇒
y
2a − y
=
4a2
x2
⇒
2a − y
y
=
x2
4a2
⇒
2a
y
− 1 =
x2
4a2
⇒
2a
y
=
x2 + 4a2
4a2
⇒
y =
8a3
x2 + 4a2
Que es la ecuación cartesiana de la curva. En particular, si tomamos
a = 1/2, la ecuación toma una forma muy sencilla: y =
1
x2 + 1
.

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Ecuaciones paramétricas
Partiendo de:



tanα =
y
EO
=
2a
x
(EO)2 = (2a − y)y
Despejando x respecto de α obtenemos que x =
2a
tanα
= 2acotα.
Haciendo lo propio con y, tanα =
y
y(2a − y)
⇒
sin2α
cos2α
=
y
2a − y
⇒
cos2α
sin2α
=
2a
y
− 1 ⇒
1
sin2α
=
2a
y
⇒ y = 2asin2α
Obteniendo así
x = 2acotα
y = 2asin2α
, −π/2 α π/2

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Entonces podemos concluir que una parametrización de esta curva
depende del radio de la circunferencia, del ángulo entre OD y OB al que
hemos llamado α y de las funciones trigonométricas seno y cotangente.
Busquemos una parametrización más sencilla. Partiendo de,



x =
2a
tanα
y = 2asin2α
Además, sabemos que
1
tanα
=
cosα
sinα
⇒
1
tanα
=
√
1 − sin2α
sinα
⇒
1
tanα
=
1 − sin2α
sin2α
⇒
1
tanα
=
1
sin2α
− 1.

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Sea t =
1
tanα
, entonces t2 + 1 =
1
sin2α
⇒ sin2α =
1
t2 + 1
Entonces, simplemente



x = 2at
y =
2a
t2 + 1
, 0 t ∞
Que son las ecuaciones paramétricas buscadas. t es un parámetro real
que tiene el mismo signo que el de x. Para cualquier t, y siempre es
positivo. Para t = 0, x = 0 e y = 1. Cuando t −→ ∞, x −→ ∞ e y −→ 1.

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Curvatura
Una vez obtenidas dos parametrizaciones de la curva, estamos en
condiciones de denir y dar la función de curvatura respecto de una
parametrización de la bruja. Como es sabido, la expresión de la curvatura
es:
kα(t) =
1
α (t) 3
det[α (t), α (t)]
Donde α(t) es una parametrización. Tomemos α(t) = dt,
d
t2 + 1
obtenida en la sección anterior. Entonces, necesitamos calcular la primera
derivada, su norma y la segunda derivada para obtener todos los términos
de la expresión anterior.

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Curvatura
α (t) = d,
−2dt
(t2 + 1)2
⇒ α (t) = d2 +
4d2t2
(t2 + 1)4
Derivando α (t) y operando
α (t) = 0,
2d(3t2 − 1)
(t2 + 1)3
Entonces,
kα(t) =
1
d2 +
4d2t2
(t2 + 1)4
3/2
d 0
−2dt
(t2 + 1)2
2d(3t2 − 1)
(t2 + 1)3
=
=
2d(t2 + 1)3(3t2 − 1)
(d2((t2 + 1)4 + 4t2))3/2

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Dominio y paridad
En primer lugar, vamos a tomar d = 2a donde d es el diámetro de la
circunferencia. Esto simplica la expresión.
y =
d3
x2 + d2
La función tiene como dominio todos los números reales. Es decir,
∀x ∈ R, ∃ y ∈ R : y =
d3
x2 + d2
, d ∈ R
Es una función par. Es decir,
∀x ∈ R, f (x) = f (−x)
Esto se comprueba rápidamente pues es claro que
d3
x2 + d2
=
d3
(−x)2 + d2

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Asíntota y derivada(I)
Observamos que en y = 0 se tiene una asíntota horizontal.
l´ım
x→±∞
d3
x2 + d2
= 0
Calculemos su derivada.
y =
−2xd3
(x2 + d2)2
y = 0 ⇒ −2xd3 = 0 ⇒ x = 0 Si el diámetro fuera 0 nada de este
estudio tendría sentido. Entonces tenemos un extremo en x = 0, es
decir, el punto T = (0, d)
Si d es, por ejemplo, positivo, entonces la derivada es positiva para los
x negativos y negativa para los x positivos. Esto nos hace pensar que
ahí hay un máximo. Comprobémoslo:

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Derivada y puntos de inexión
y =
−2d3(x+d2)2 + 2d32(x2 + d2)2x
(x2 + d2)4
=
6x2d3 − 2d5
(x2 + d2)3
Y en x = 0 queda y (0) =
−2d5
d6
=
−2
d
. Y al suponer que d 0 se obtiene
que y (0) 0. Entonces en T se alcanza, efectivamente, un máximo.
Siguiendo con el razonamiento anterior, si d 0 es negativo entonces
y (0) =
−2
d
0. Por tanto, en T se alcanzará un mínimo.
Para obtener los puntos de inexión basta igualar la segunda derivada
a 0. Si y = 0 ⇒
2d3(3x2 − d2)
(x2 + d2)3
= 0 ⇒ 3x2 − d2 = 0 ⇒ x = ±
d
√
3
.
Denotando a los puntos de inexión como x0 y −x0, se tiene que
y(x0) = y(−x0) (al ser par) e y(x0) =
d3
d2
3 + d2
=
3
4
d
Entonces, los PI son: G = ( d√
3
, 3d
4 ) y H = (−d√
3
, 3d
4 )

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Área
Como curiosidad, cabe decir que el área comprendida entre la bruja y el
eje OX es cuatro veces el área del círculo.
Sea Ac = πa2 el área del circulo de radio máximo a entonces
A =
+∞
−∞
d3
x2 + d2
dx = d3
+∞
−∞
1
x2 + d2
dx =
d
+∞
−∞
1
(x
d )2 + 1
dx = d2
+∞
−∞
1
d
(x
d )2 + 1
dx =
d2
arctan
x
d
+∞
−∞
= d2
[π/2 + π/2] = d2
π = 4a2
π = 4Ac

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Bibliografía
Fernández García, M.C.
Galería de curvas en el plano, 2010 (PDF)
Gomes Teixeira, F.
Memorias de la real academia de ciencias exactas, físicas y naturales.
Tomo XXII. Tratado de las curvas especiales notables, 1905. Páginas
68-74 (PDF)

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