Este documento presenta las soluciones a varios problemas estadísticos que involucran distribuciones normales estándar y no estándar. Se calculan áreas bajo la curva normal para diferentes valores de Z. También se encuentran probabilidades asociadas a valores específicos de variables aleatorias con distribuciones normales dadas en términos de su media y desviación estándar.

1. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”
EXTENSIÓN BARQUISIMETO
INTEGRANTE:
Renny Mendoza
C.I.21.503.363
Barquisimeto, Junio De 2014
ESTADISTICA

2. 1) Dada una distribución normal estándar, grafique y encuentre el área bajo la
curva que está :
a) A la izquierda de Z = 1.43
b) A la derecha de Z = -0.89
c) Entre Z = -2.16 y Z = -0.65
d) A la izquierda de Z = -1.39
e) A la derecha de Z = 1.96
f) Entre Z = -0.48 y Z = 1.74
Solución
a)
P (Z < 1,43) = P (Z < 0) + P (0 < Z < 1,43)
= 0,5000 + 0,4236
= 0,9236
b)
P (Z >0,89) = P (Z > 0) + P (0,89 < Z < 0)
= P (Z > 0) + P (0 < Z < 0,89)
= 0,5000 + 0,3133

3. = 0,8133
c)
P (2,16 < Z <0,65) = P (0,65 < Z < 2,16)
= P (0< Z < 2,16)  P (0 < Z < 0,65)
= 0,48460,2422
= 0,2425
d)
P (Z <1,39) = P (Z > 1,39)
= P (Z > 0)  P (0 < Z < 1,39)
= 0,5000 0,4177
= 0,0823
e)

4. P (Z > 1,96) = P (Z > 0)  P (0 < Z < 1,96)
= 0,5000 0,4750
= 0,0250
f)
P (0,48 < Z < 1,74) = P (0,48 < Z < 0) + P (0 < Z < 1,74)
= P (0 < Z < 0,48) + P (0 < Z < 1,74)
= 0,1844 + 0,4591
= 0,6435
2) Encuentre el valor de Z si el área bajo una curva normal estándar y graficar:
a) A la derecha de Z es 0.3622
b) A la izquierda de Z es 0.1131
c) Entre 0 y Z , con Z > 0 , es 0.4838
d) Entre -Z y Z , con Z > 0 , es 0.9500
Solución
a) P (Z > Z0) = 0,3622  P (Z < Z0) = 1  0,3622 = 0,6378
 P (Z < 0) + P (0 < Z < Z0) = 0,6378
 0,5000 + P (0 < Z < Z0) = 0,6378
 P (0 < Z < Z0) = 0,6378  0,5000
 P (0 < Z < Z0) = 0,1378
 Z0 = 0,35 (según tabla)

5. b) P (Z < Z0) = 0,1131  P (Z >Z0) = 0,1131
 P (Z <Z0) = 1  0,1131 = 0,8869
 P (Z < 0) + P (0 < Z <Z0) = 0,8869
 0,5000 + P (0 < Z <Z0) = 0,8869
 P (0 < Z <Z0) = 0,8869  0,5000
 P (0 < Z <Z0) = 0,3869
Z0 = 1,21 (según tabla)
 Z0 = 1,21
c) P (0 < Z < Z0) = 0,4838  Z0 = 2,14 (según tabla)
b) P (Z0< Z < Z0) = 0,9500  P (0 < Z < Z0) = 0,9500 / 2 = 0,4750
 Z0 = 1,96 (según tabla)
3) Un investigador reporta que los repuestos de un vehículo tiene una vida útil
promedio de 40 meses. Suponga que las vidas de tales repuestos se distribuyen

6. normalmente con una desviación estándar de 6.3 meses. Encuentre la
probabilidad de que un repuesto dado dure :
a) Más de 32 meses.
b) Menos de 28 meses.
c) Entre 37 y 49 meses.
Solución
40
3,6
a) Para x = 32 se tiene que:
-1,27z
3,6
8
3,6
4032x
z 







Así:
P (x > 32) = P (z >1,27)
= P (1,27 < z < 0) + P (z > 0)
= P (0 < z < 1,27) + P (z > 0)
= 0,3980 + 0,5000
= 0,8980
Luego, la probabilidad de que un repuesto dure más de 32 meses es 0,8980; esto es, el
89,8 % de los repuestos durarán más de 32 meses.
b) Para x = 28 se tiene que:

7. -1,90z
3,6
12
3,6
4028x
z 







Así:
P (x < 28) = P (z <1,90)
= P (z > 1,90)
= P (z > 0)  P (0 < z < 1,90)
= 0,5000 0,4713
= 0,0287
Luego, la probabilidad de que un repuesto dure menos de 28 meses es 0,0287; esto es, el
2,87 % de los repuestos durarán menos de 28 meses.
c) Para x1 = 37 y x2 = 49 se tiene que:
-0,48z
3,6
3
3,6
4037x
z 1
1
1 







1,43z
3,6
9
3,6
4049x
z 2
2
2 





Así:
P (37 < x < 49) = P (0,48 < z < 1,43)

8. = P (0,48 < z < 0) + P (0 < z < 1,43)
= P (0 < z < 0,48) + P (0 < z < 1,43)
= 0,1844 + 0,4236
= 0,6080
Luego, la probabilidad de que un repuesto dure entre 37 y 49 meses es 0,6080; esto es,
el 60,80 % de los repuestos durarán entre 37 y 49 meses.
4) Se regula una máquina despachadora de refrescos para que sirva un
promedio de 200 mililitros por vaso. Si la cantidad de bebida se distribuye
normalmente con una desviación estándar igual a 15 mililitros:
a) ¿Qué porcentaje de vasos contendrán más de 224 mililitros?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un vaso contenga entre 191 y 209
mililitros?
c) ¿Cuántos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos de 230
mililitros?
d) ¿Por debajo de que valor obtendremos 25 % de las bebidas más pequeñas?
Solución
200
15
a) Para x = 224 se tiene que:
1,60z
15
24
15
200224x
z 






9. Así:
P (x > 224) = P (z > 1,60)
= P (z > 0)  P (0 < z < 1,60)
= 0,5000 0,4452
= 0,0548
Luego, el porcentaje de vasos que contendrá más de 24 mililitros es el 5,48 %.
b) Para x1 = 191 y x2 = 209 se tiene que:
-0,60z
15
9
15
200191x
z 1
1
1 







0,60z
15
9
15
200209x
z 2
2
2 





Así:
P (191 < x < 209) = P (0,60 < z < 0,60)
= P (0,60 < z < 0) + P (0 < z < 0,60)
= P (0 < z < 0,60) + P (0 < z < 0,60)
= 2 . P (0 < z < 0,60)
= 2 . 0,2257
= 0,4515
Luego, la probabilidad de que un vaso contenga entre 191 y 209 mililitros de refresco
es 0,4515.
c) Para x = 230 se tiene que:

10. 2,00z
15
30
15
200230x
z 





Así:
P (x > 230) = P (z > 2,00)
= P (z > 0)  P (0 < z < 2,00)
= 0,5000 0,4772
= 0,0228
Luego, 2,28 de cada 100 vasos probablemente se derramarán si se emplean vasos de 230
ml.
d) Debemos encontrar el valor z0 para el cual P (z <z0) = 0,25, donde z0> 0
P (z <z0) = 0,25  P (z > z0) = 0,25
 P (z > 0) – P (0 < z < z0) = 0,25
 P (z > 0) – 0,25 = P (0 < z < z0)
 P (0 < z < z0) = 0,5 – 0,25
 P (0 < z < z0) = 0,25

11. Buscando en la tabla de la distribución normal el valor de la probabilidad más cercano a
0,25 (que es 0,2486) se tiene que: z0 = 0,67. Así:



 00
0
0 xz
x
z
 00 zx
1567,0200x0 
05,10200x0 
19095,189x0 
Luego, el 25 % de los vasos que contienen menos refresco contendrá menos de 190
mililitros del mismo.
5) Los valores de coeficiente de inteligencia (CI) en seres humanos están
distribuidos normalmente, con media igual a 100 y desviación estándar igual
a 10. Si una persona es elegida al azar, ¿cuál es la probabilidad de que su CI
esté entre 100 y 115?
Solución
100
10
Para x1 = 100 y x1 = 115 se tiene que:
0,00z
10
0
10
100100x
z 1
1
1 





1,00z
15
15
15
100115x
z 2
2
2 






12. Así:
P (100 < x < 115) = P (0,00 < z < 1,00)
= 0,3413
Luego, la probabilidad de que una persona seleccionada al azar tenga un coeficiente
intelectual entre 100 y 115 es 0,3413.