Ud 5 derivadas

UD 5: DERIVADAS
PROF: ALFONSO NAVARRO
MATEMÁTICAS II

ÍNDICE
0. INTRODUCCIÓN
1. CONCEPTO DERIVADA
1.1. Tasa de variación media e instantánea. Derivada de una
función en un punto.
1.2. Derivabilidad y continuidad.
2. FUNCIÓN DERIVADA
2.1. Definición de función derivada.
2.2. Reglas de derivación.
2.3. Derivada de función elementales.

0. INTRODUCCIÓN
RESEÑA HISTÓRICA
Fueron Newton y Leibniz quienes, de manera simultánea,
comenzaron a estudiar el concepto de derivada en el siglo XVII.
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0. INTRODUCCIÓN
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APLICACIONES
a = v ´ (t)
Optimización
Monotonía y curvatura
Representación gráfica de
funciones

1. CONCEPTO DE DERIVADA
5DERIVADAS
1.1. TASA DE VARIACIÓN MEDIA (TVM)
Denominamos TVM de una función f entre dos valores a y b a la
expresión:
Representa la pendiente de la recta que une los puntos A(a,f(a)) y
B(b, f(b)).
𝑇𝑉𝑀 𝑎, 𝑏 =
𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎

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TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA (TVI)
Denominamos TVI de una función f en un punto 𝑥 𝑜 como:
Representa la pendiente de la recta tangente de la función f en el
punto 𝑥 𝑜.
𝑇𝑉𝐼 𝑥 𝑜 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 𝑜 + 𝑕 − 𝑓(𝑥 𝑜)
𝑕

5DERIVADAS

5DERIVADAS
CONCEPTO DE DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
Denominamos derivada de una función 𝑓: 𝑋 → ℝ, en un punto 𝑥 ∈
𝑋 (siendo X un intervalo abierto) y lo denotamos por 𝑓 ´ 𝑥 a la
expresión:
Representa la pendiente de la recta en el punto de abscisa x (en la
imagen x=a ; m = tg𝛽)
𝑓 ´ 𝑥 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + 𝑕 − 𝑓(𝑥)
𝑕

5DERIVADAS
ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE
La derivada nos permite determinar la pendiente de la recta tangente a la
función en un determinado punto. Para ello podemos emplear la siguiente
expresión:

5DERIVADAS
EJERCICIO
Dada la siguiente función:
a) Encuentra su función derivada.
b) Representa gráficamente la función.
c) Encuentra la ecuación de la recta tangente a la función en el
punto de abscisa x = - 3.
y = x2
− 9

5DERIVADAS
1.2. DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD
Si una función f es derivable en un punto, entonces es continua en
dicho punto.
Continuidad no implica derivabilidad, pero es una condición
necesaria.
Resumiendo:
Si una función es continua,
puede ser:
- Derivable.
- No derivable.
Si una función es derivable
seguro que es continua.

5DERIVADAS
FUNCIÓN
𝑓(𝑥)
CONTINUA
1. ∃𝑓(𝑎)
2. ∃ lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
3. 𝑓 𝑎 = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
DERIVABLE
𝑓 ´ 𝑎+
= 𝑓 ´ (𝑎−
)
NO DERIVABLE
𝑓 ´ 𝑎+
≠ 𝑓 ´ (𝑎−
)
DISCONTINUA NO DERIVABLE

5DERIVADAS
2.1. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN DERIVADA
Denominamos función derivada a aquella función f:
𝑓: ℝ → ℝ
x → 𝑓 ´ (𝑥)
que a cada x, donde es derivable, le asocia su función derivada.
Si volvemos a calcular la
derivada de una derivada
obtenemos la derivada
segunda, que
representamos de este
modo:
𝑓 ´´ 𝑥
Este proceso se puede
repetir indefinidamente
(siempre que la función lo
admita)

5DERIVADAS
DERIVADAS LATERALES
Llamamos derivada lateral por la
izquierda de la función f en el punto
x, y lo denotamos por 𝑓 ´ (𝑥+
) a la
siguiente expresión:
𝑓 ´
𝑥+
= lim
ℎ→0+
𝑓 𝑥+
+ 𝑕 − 𝑓(𝑥+
)
𝑕
Llamamos derivada lateral por la
derecha de la función f en el punto x,
y lo denotamos por 𝑓 ´ (𝑥−
) a la
siguiente expresión:
𝑓 ´ 𝑥− = lim
ℎ→0−
𝑓 𝑥−
+ 𝑕 − 𝑓(𝑥−
)
𝑕
Una función f es
derivable en el
punto x si y solo si:
𝑓 ´ 𝑥+ = 𝑓 ´ (𝑥−)

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EJERCICIO 1
Estudia la derivabilidad de la función f en el punto x = 0.

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EJERCICIO 2
Estudia la derivabilidad de la función f en x=-2, x=0, x=2.
𝑓 𝑥 =
𝑥2
𝑠𝑖 𝑥 < −2
−4 𝑥 + 1 𝑠𝑖 − 2 < 𝑥 ≤ 0
3𝑥2
− 4 𝑠𝑖 0 < 𝑥 ≤ 2
12𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 > 2
SOLUCIÓN
Para que una función pueda ser derivable en un punto primero tiene
que ser continua.
1º Estudiamos la continuidad en los puntos que nos solicitan:
- Continuidad en x = -2. Como no existe f(-2)  f no es
continua en x = -2. No puede ser derivable.
- Continuidad en x = 0.
* 𝑓 0 = −4 0 + 1 = −4
* lim
0−
𝑓 𝑥 = −4 ; lim
0+
𝑓 𝑥 = −4
Concluimos entonces que es continua en x=0. Puede ser
derivable.

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- Continuidad en x = 2.
* 𝑓 2 = 3 · 22
− 4 = 12 − 4 = 8
* lim
2−
𝑓 𝑥 = 8 ; lim
2+
𝑓 𝑥 = 25
Concluimos entonces no es continua en x=-2, por presentar
una discontinuidad inevitable. No puede ser derivable.
2º Estudiamos la posible derivabilidad en el punto x=0.
Para ser derivable tiene que cumplir que: 𝑓 ´ 0+ = 𝑓 ´ (0−)
𝑓 ´ 0+
= −4 𝑦 𝑓 ´ 0−
= 0 →
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑖𝑛𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛 𝑓 𝑥 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛
𝑥 = 0.
𝑓 ´ 𝑥 =
2𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < −2
−4 𝑠𝑖 − 2 < 𝑥 ≤ 0
6𝑥 𝑠𝑖 0 < 𝑥 ≤ 2
12 𝑠𝑖 𝑥 > 2

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2.2. REGLAS DE DERIVACIÓN
1.DERIVADA DE UNA CONSTANTE 𝑓 𝑥 = 𝐾 → 𝑓´ 𝑥 = 0, 𝑐𝑜𝑛 𝐾 ∈ ℝ
2. DERIVADA DE PRODUCTO POR
CONSTANTE
𝑓 𝐾 · 𝑥 ´ = 𝐾 · 𝑓´ 𝑥 , 𝑐𝑜𝑛 𝐾 ∈ ℝ
3. DERIVADA DE LA SUMA/RESTA 𝑓 ± 𝑔 ´ 𝑥 = 𝑓´ 𝑥 ± 𝑔´(𝑥)
4. DERIVADA DE UNA PRODUCTO 𝑓 · 𝑔 ´ 𝑥 = 𝑓´ 𝑥 𝑔 𝑥 + 𝑓 𝑥 · 𝑔´(𝑥)
5. DERIVADA DE UNA COCIENTE
𝑓
𝑔
´ 𝑥 =
𝑓´ 𝑥 𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥 · 𝑔´(𝑥)
[𝑔 𝑥 ]2
6. DERIVADA DE LA COMPOSICIÓN 𝑓 𝑔 𝑥 ´ = 𝑓 ´ 𝑔 𝑥 · 𝑔´(𝑥)

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EJERCICIO
Calcula la derivada de las siguientes funciones:
1. f x = e
2. f x = 16 · lnx
3. f x = x + senx − 5x
4. f x = x3
· cosx
5. f x =
x−4
−x2
6. f x = sen2
5x

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2.3. DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA
La función inversa de la función 𝑓 es otra que de denota 𝑓−1 y que
cumple que:
𝑓 ∘ 𝑓−1
𝑥 = 𝑥 ; 𝑓−1
∘ 𝑓 𝑥 = 𝑥
Se cumple entonces que:
𝑓−1 ´ 𝑥 =
1
𝑓 ´ (𝑓−1 𝑥 )
EJEMPLOS
a) y = 𝑥𝑛
→
Su inversa es 𝑦−1
= 𝑥 𝑛
, ya que
y ∘ 𝑦−1
= x ó y 𝑦−1
x = x, derivando esta expresión:
[ 𝑥𝑛 𝑛
]´ = 1 → n · 𝑥𝑛 𝑛−1
𝑥𝑛
´ = 1 → 𝑥𝑛
´ =
1
𝑛 𝑥 𝑛−1𝑛
b) y = 2𝑥5
+ 3𝑥 − 1

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2.4. DERIVADAS DE FUNCIONES ELEMENTALES
Derivada de la función potencial 𝐲 = 𝒙 𝒏 ; 𝒄𝒐𝒏 𝒏 ∈ ℝ
Sea una función y = xn
se cumple que su derivada es la función:
y´ = n · xn−1
Generalizando: 𝐲 = 𝒙 𝐟(𝐱) → 𝐲 ´ = 𝐟´ 𝒙 · 𝒙 𝒇 𝒙 −𝟏
EJEMPLOS
a) y = x3
→ y´ = 3x2
b) y = 4x2 → y´ = 8x
c) y = −x4
→ y´ = −4x3
d) y = 7 → y´ = 0
e) y =
3
𝑥
= 3𝑥−1 → y´ = −3x−2=
−3
𝑥2
f) y = 𝑥 = 𝑥1/2
→ y ´ =
1
2
x
1
2
−1
=
1
2
x
−1
2 =
1
2 𝑥
g) y = 𝑥25
= 𝑥2/5 → y ´ =
2
5
x
2
5
−1
=
2
5
x
−3
5 =
2
5 𝑥35

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Derivada de la función exponencial 𝐲 = 𝒂 𝒙 ; 𝒄𝒐𝒏 𝒂 ∈ ℝ+
Sea una función y = ax
se cumple que su derivada es la función:
y´ = ax · ln(a)
Caso particular y = ex → y´ = ex
Generalizando: y = af(x) → y ´ = f´ 𝑥 · 𝑎 𝑓 𝑥 · ln(𝑎)
𝐲 = 𝐞 𝐟(𝐱)
→ 𝐲 ´ = 𝒇´
𝒙 · 𝒆 𝒇 𝒙
EJEMPLOS
a) y = 5x → y´ = 5x · 𝑙𝑛5
b) y = 2x
→ y ´ = 2x
· 𝑙𝑛2
c) y = 37x
→ y ´ = 7 · 37𝑥
· 𝑙𝑛3
d) y = e 𝑥2
→ y ´ = 2𝑥 · 𝑒 𝑥2

5DERIVADAS
Derivada de la función logarítmica 𝐲 = 𝒍𝒏𝒙 ; 𝒄𝒐𝒏 𝒙 ∈ ℝ+
Sea una función y = lnx se cumple que su derivada es la función:
y´ =
1
𝑥
Caso y = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 → y´ =
1
𝑥·𝑙𝑛𝑎
Generalizando: 𝐲 = 𝐥𝐧 𝒇 𝒙 → 𝐲 ´ =
𝒇 ´ 𝒙
𝒇 𝒙
y = 𝑙𝑜𝑔 𝑎(𝑓 𝑥 ) → y´ =
𝑓 ´(𝑥)
𝑓 𝑥 · ln 𝑎
EJEMPLOS
a) y = ln 5𝑥 → y´ =
5
5𝑥
=
1
𝑥
b) y = ln −𝑥3
→ y´ =
3𝑥2
−𝑥3 =
−3
𝑥
c) y = l𝑜𝑔 5𝑥 + 6 → y´ =
5
5𝑥+6 ·ln 10

5DERIVADAS
Derivadas de las funciones trigonométricas
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 → 𝑦 ´ = cos 𝑥
𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 → 𝑦 ´ = −senx
𝑦 = 𝑡𝑎𝑛𝑥 → 𝑦 ´ =
1
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
= 1 + 𝑡𝑎𝑛2
𝑥
Generalizando:
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑓 𝑥 → 𝑦 ´ = f ´ x · cos 𝑓 𝑥
𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝑓 𝑥 → 𝑦 ´ = −f ´ x · sen 𝑓 𝑥
𝑦 = 𝑡𝑎𝑛 𝑓 𝑥 → 𝑦 ´ =
f ´ x
𝑐𝑜𝑠2 𝑓 𝑥
= 𝑓´ 𝑥 · (1 + 𝑡𝑎𝑛2
(𝑓 𝑥 )
EJEMPLOS
a) y = sen 5𝑥 → y´ =
b) y = cos(−𝑥3
) → y´ =
c) y = tan 5𝑥 + 6 → y´ =

5DERIVADAS
Derivadas de las funciones trigonométricas inversas
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥 → 𝑦 ´ =
1
1 − 𝑥2
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥 → 𝑦 ´ =
−1
1 − 𝑥2
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 → 𝑦 ´ =
1
1 + 𝑥2
Generalizando:
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑓 𝑥 → 𝑦 ´ =
f ´ x
1 − (𝑓 𝑥 )2
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑓 𝑥 → 𝑦 ´ =
−f ´ x
1 − (𝑓 𝑥 )2
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑓 𝑥 → 𝑦 ´ =
f ´ x
1 + (𝑓 𝑥 )2

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