Este documento describe el método de Neville para la interpolación polinómica. Explica cómo construir una tabla (llamada tabla de Neville) que permite aproximar el valor de una función en un punto dado, a partir de los valores conocidos de la función en otros puntos. La tabla se construye de manera recursiva utilizando polinomios de Lagrange. El documento incluye un ejemplo numérico para ilustrar el método.

1. 3.3 M´todo de Neville
e
Se desea aproximar f (x∗ ) dada la siguiente tabla de valores para f :
x f (x)
x0 f (x0 )
x1 f (x1 )
.
. .
.
. .
xn f (xn )

2. xii 1. Interpolaci´n y aproximaciones polin´micas
o o
Se genera la tabla de f (x∗ )
x0 P0
x1 P1 P0,1
x2 P2 P1,2 P0,1,2
x3 P3 P2,3 P1,2,3 P0,1,2,3
x4 P4 P3,4 P2,3,4 P1,2,3,4 P0,1,2,3,4
.
. .
. .
. .
. .
. ..
. . . . . .
xn Pn Pn−1,n Pn−2,n−1,n Pn−3,n−2,n−1,n ... P0,1,...,n
Con Pi (x) = f (xi ) una funci´n constante, polinomio de Lagrange de grado
o
0. Esta tabla pude ser calculada usando el Teorema anterior, veamos al-
gunos ejemplos:
(x − x0 )P1 − (x − x1 )P0
P0,1 (x) =
(x1 − x0 )
(x − x1 )P2 − (x − x2 )P1
P1,2 (x) =
(x2 − x1 )
.
.
.
(x − xn−1 )Pn − (x − xn )Pn−1
Pn−1,n (x) =
(xn − xn−1 )
(x − x0 )P1,2 − (x − x2 )P0,1
P0,1,2 (x) =
(x2 − x0 )
(x − x1 )P2,3 − (x − x3 )P1,2
P1,2,3 (x) =
(x3 − x1 )
.
.
.
(x − xn−2 )Pn−1,n − (x − xn )Pn−2,n−1
Pn−2,n−1,n (x) =
(xn − xn−2 )
(x − x0 )P1,2,3 − (x − x3 )P0,1,2
P0,1,2,3 (x) =
(x3 − x0 )
(x − x1 )P2,3,4 − (x − x4 )P1,2,3
P1,2,3,4 (x) =
(x4 − x1 )
.
.
.
Ejemplo 6 Aproxime f (2.5) dada la siguiente tabla

3. 1. Interpolaci´n y aproximaciones polin´micas
o o xiii
x f (x)
x0 2.0 0.5103757
x1 2.2 0.5207843 .
x2 2.4 0.5104147
x3 2.6 0.4813306
x4 2.8 0.4359160
Soluci´n:
o
x0 P0
x1 P1 P0,1
x2 P2 P1,2 P0,1,2 f (2, 5)
x3 P3 P2,3 P1,2,3 P0,1,2,3 ↓
x4 P4 P3,4 P2,3,4 P1,2,3,4 P0,1,2,3,4
La tabla de Neville es
2.0 0.5103757
2.2 0.5207843 0.5363972 ← P0,1
2.4 0.5104147 0.5052299 0.4974380
2.6 0.4813306 0.4958726 0.4982119 0.4980829
2.8 0.4359160 0.5040379 0.4979139 0.4980629 0.49807047
De donde f (2.5) ≈ 0.49807047. Un ejemplo del c´lculo la matriz anterior
a
es:
(x − x0 )P1 − (x − x1 )P0
P0,1 (x) =
(x1 − x0 )
(2.5 − 2.0)0.5207843 − (2.5 − 2.2)0.5103757
=
2.2 − 2.0
= 0.5363972.
Notaci´n 1 Se denota por Qij el polinomio interpolante de Lagrange de
o
grado j que pasa por los j + 1 nodos siguientes:
xi−j , xi−j+1 , . . . , xi−1 , xi
es decir
Qij = Pi−j,i−j+1,...,i−1,i (x).
Ahora usando el m´todo de Neville (Teorema anterior)
e

4. xiv 1. Interpolaci´n y aproximaciones polin´micas
o o
(x − xi )Pi−j,i−j+1,...,i−1 (x) − (x − xi−j )Pi−j+1,...,i−1,i (x)
Qij =
xi−j − xi
(x − xi−j )Pi−j+1,...,i−1,i (x) − (x − xi )Pi−j,i−j+1,...,i−1 (x)
=
xi − xi−j
(x − xi−j )Qi,j−1 − (x − xi )Qi−1,j−1 (x)
= .
xi − xi−j
Pues
Pi−j+1,i−j+2,...,i−1,i = Qi,j−1 dado que (i − (j − 1) = i − j + 1)
Pi−j,i−j+1,...,i−1 = Qi−1,j−1 dado que (i − 1 − (j − 1) = i − j)
Note que:
Qi0 = Pi = f (xi ), ∀ i = 0, 1, . . . , n
Con esta nueva notaci´n, la tabla de Neville se puede escribir como:
o
x0 Q00
x1 Q10 Q11
x2 Q20 Q21 Q22
x3 Q30 Q31 Q32 Q33
.
. .
. .
. .
. .
. ..
. . . . . .
xn Qn0 Qn1 Qn2 Qn3 ... Qnn
Pues por ejemplo:
Q22 = P0,1,2 Qnn = P0,1,...,n
Algoritmo 1 Para calcular la tabla de Neville y aproximar f (x∗ ) ≈ Pn (x∗ ).
Entrada: Los nodos x0 , x1 , . . . , xn . Sus im´genes f (x0 ), f (x1 ), . . . , f (xn )
a
como primera columna de la matriz Q, es decir Q00 , Q10 , Qn0 .
Salida: La tabla o matriz Q, donde f (x∗ ) ≈ Qnn .
Paso1: Para i = 1 hasta n
Para j = 1, 2, . . . , i
(x − xi−j )Qi,j−i − (x − xi )Qi−1,j−1
Qij =
xi − xi−j
Paso2: Salida Qnn parar.
FIN
NOTA: Ver neville.nb el programa en Mathematica.