Aplicación de derivadas

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN
UNIVERSITARIA
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “ANTONIO JOSÉ DE
SUCRE” – AMPLIACIÓN CHARALLAVE
CARRERA: TECNOLOGÍA DE LA CONSTRUCCIÓN CIVIL
MATERIA: MATEMÁTICA I
SECCIÓN: A
APLICACIÓN DE DERIVADAS
PROFESOR(A): ESTUDIANTE:
NAUDY ALBORNOZ JESÚS CARRERO
C.I: 30.256.274
ENERO, 2022

INTRODUCCIÓN
Las derivadas son unas funciones matemáticas que, a partir del siglo
XVII, gracias a los estudios de Isaac Newton y Leibniz, dieron solución al
cálculo infinitesimal, que se había empezado estudiar en la Grecia clásica, más
o menos en el siglo III a. C. Cada uno de estos dos autores creó un sistema
de cálculo propio. A lo largo de los siglos, otros matemáticos y científicos han
aportado muchísimos estudios para mejorar y hacer más exactos los cálculos.
Aunque no es un elemento tangible, su valor radica en que, desde el punto de
vista científico, se aplica a numerosas investigaciones importantes y de las que
sus aplicaciones revierten en la propia sociedad.

DEFINICIÓN. OBJETIVOS
En cálculo diferencial y análisis matemático, la derivada de una función
es la razón de cambio instantánea con la que varía el valor de dicha función
matemática, según se modifique el valor de su variable independiente. La
derivada de una función se calcula como el límite de la rapidez de cambio
media de la función en cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para
la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por eso se habla
del valor de la derivada de una función en un punto dado.
Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función
representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la
velocidad de dicho objeto para todos los momentos.
El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse
geométricamente, ya que se corresponde con la pendiente de la recta tangente
a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es, a su vez, la
gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto.
La notación de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de
más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.
APLICACIONES MÁS IMPORTANTES DE LAS DERIVADAS
La determinación de las derivadas no está limitada solamente a un
punto de vista teórico para que de esta forma se puedan entender distintos
temas de las matemáticas. Encuentran un lugar vital en la ingeniería, física e
incluso en los negocios y la economía. Algunas de las aplicaciones más
notables de ellas son:
 Tasa de Variación: Esta es la aplicación más utilizada de las derivadas.
Encuentra su aplicación en muchos problemas de la física. La tasa de
variación en la localización de un punto dará la velocidad de ese punto.
De manera similar la tasa de cambio de la velocidad de un punto se

conoce como la aceleración del mismo. La velocidad de un punto se
despeja como “X” es el punto cuya velocidad será calculada y “T”
representa el intervalo de tiempo.
 Punto Crítico: Tiene una cantidad vasta de aplicaciones que incluyen
la termodinámica, la física de la materia condensada, etc. Un punto
crítico es aquel donde la derivada de la función es cero, no existe en
absoluto.
 Determinación de Valores Mínimos y Máximos: A este proceso se le
denomina optimización. Existen una serie de problemas que requieren
la determinación de los valores mínimos y máximos de alguna función
tal como la determinación del menor costo, aproximación del menor
tiempo, cálculo de mayor ganancia, etc.
 Método de Newton: Una aplicación digna de notar de las derivadas es
el método de Newton, este es utilizado para rastrear las raíces de una
ecuación es una cascada de etapas para que en cada paso de la
solución encontremos una solución mejor y más adecuada como raíz
de la ecuación.
 Aplicaciones en el ámbito del comercio: Existen una gran cantidad
de lugares en el comercio donde las derivadas son requeridas. Dado
que el objetivo final del comercio es el de maximizar las ganancias y
minimizar las perdidas, la teoría de máximos y mínimos puede utilizarse
aquí para evaluar la respuesta correcta y así aumentar la productividad
total del comercio. También resulta conveniente analizar el costo
promedio de un artículo lo que puede ayudar al aumento de la ganancia.
 Aproximación Lineal: Es una serie de ramas de la física, como es el
caso de la óptica, la aproximación lineal juega una papel vital. En este
utilizamos una función lineal con el fin de encontrar la aproximación de
cualquier función general. Esta es más comúnmente conocida como
una aplicación de la recta tangencial al grafico de cualquier función
lineal.

BENEFICIOS QUE SE PUEDEN OBTENER DE LAS
DERIVADAS
La derivada permite conocer lo sensible que es al cambio una variable
con respecto a otra. Eso resulta muy útil en ciencias (velocidades,
aceleraciones, distribuciones que dependen del tiempo o de la cantidad de
materia, son ejemplos sencillos), en ingeniería y economía. También expresan
la variación de una magnitud en “infinitas cantidades infinitesimales”.
Matemáticamente, la derivada de una función en un punto es la
pendiente de la recta tangente a dicha recta en dicho punto.
Físicamente, miden la rapidez con la que cambia una variable con
respecto a otra. Los ejemplos más importantes son:
 Cinemática
 La derivada de la posición con el tiempo es la velocidad.
 La derivada de la velocidad con el tiempo es la aceleración.
 Dinámica
 La derivada del movimiento lineal con el tiempo es la fuerza.
 La derivada de la fuerza con respecto a la posición es la energía
(potencial, cinética, trabajo, etc).
 Geometría
 La derivada del volumen es la superficie o área.
 La derivada de la superficie es la distancia.
 Electrostática
 La derivada de la carga eléctrica en el tiempo es la intensidad de
corriente.
 Física de Materiales
 La derivada de la masa a la longitud / superficie / volumen es la
densidad.

APLICACIONES QUE TIENEN LAS DERIVADAS Y SU
IMPORTANCIA EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS
La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica
en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el
cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo
fundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias
sociales como la Economía y la Sociología.
Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de f, se
considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del grafico en el
punto x. se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite
cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante en
una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas
propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como monotonía
de una función (si es creciente o decreciente) y la concavidad o convexidad.
 Derivada Parcial: Supongamos que estamos sobre un puente y
observamos como varia la concentración de peces con el tiempo
exactamente. Estamos en una posición fija del espacio, por lo que se
trata de una derivada parcial de la concentración con respecto al tiempo
manteniendo fijas la posición en la dirección “x”, “y” o “z”.
 Derivada total con respecto al tiempo: Supongamos que nos
movemos en una lancha a motor que se mueve en el rio en todas
direcciones, unas veces en contra de la corriente, otras a través y otras
a favor. Al referir la variación de concentración de peces con el tiempo,
los números que resultan han de reflejar también el movimiento de la
lancha. La variación de la concentración con el tiempo corresponde a la
derivada total.
 Derivada substancial con respecto al tiempo: Supongamos que
vamos en una canoa a la que no se comunica energía, sino que

simplemente flota. En este caso, la velocidad del observador es
exactamente la misma que la velocidad de la corriente “v”. al referir la
variación de la concentración de peces con respecto al tiempo, los
números dependen de la velocidad local de la corriente. Esta derivada
es una clase especial de derivada total con respecto al tiempo que se
denomina “derivada sustancial” o, a veces (más lógicamente) derivada
siguiendo al movimiento.
En la solución de problemas es un factor clave, ya que contribuye a
soluciones que dan respuesta a muchos estudios que, con el paso del tiempo
han ido impulsando el desarrollo de la tecnología y el conocimiento que
tenemos en el mundo actual.
IMPORTANCIA
La importancia de las derivadas está en que, hoy día, no es posible
obtener el mundo en que vivimos sin la aplicación de estas en la mayoría de
los cálculos científicos y en casi todo lo que nos rodea. Así, las derivadas son
esenciales para estudios tan importantes como el de la relatividad, mecánica
cuántica, la ingeniería, ecuaciones diferenciales, teoría de las probabilidades,
sistemas dinámicos, teoría de las funciones, etc. Actualmente también son
necesarias en la computación.
UTILIZACIÓN DE DERIVADAS EN LA VIDA COTIDIANA
Mediante el uso de funciones y, más concretamente, mediante el uso
de la derivada podemos conocer (en función del tiempo):
 La variación del espacio.
 El crecimiento de una bacteria.
 El desgaste de un neumático.
 El beneficio de una empresa.

De ahí el uso de la derivada resulta fundamental en muchas situaciones
de la vida cotidiana. Otros ejemplos pueden ser:
 En administración, nos sirve para calcular una inversión compleja en
economía financiera.
 Nos pueden ayudar a saber el ritmo de cambio de volumen de un globo
respecto al área de su superficie.
 En el área contable, nos ayudan a hallar los intervalos de crecimiento y
decrecimiento de los valores de interés, siempre que se puedan
representar mediante funciones.
 Nos puede ayudar a calcular el ritmo de cambio de precio de una pizza
con respecto a su tamaño.
 Entre otros.

CONCLUSIÓN
Para los que no son expertos en la materia, ni matemáticos, ni
científicos, es probable que las derivadas sean una zona de estudio bastante
desconocida o algo muy complicado. Sin embargo para las personas que
dedican su vida a la investigación, las matemáticas o las ciencias, es una parte
esencial de conocimiento para poder llegar a entender y conocer muchos de
los misterios, desde el punto de vista de nuestra realidad como seres humanos
y como habitantes de un planeta y de un unto del espacio.
Las derivadas aportan información concreta, directa y científica a los
expertos y, con esos resultados, interpretan y son capaces de ofrecer
información acerca de nuestra propia existencia y también utilizarlas para
aplicarlas en cosas tan habituales como el vuelo de un avión, el movimiento
de un coche, la construcción de un edificio, de un contenedor o de muchos
otros elementos que para nosotros son normales y que, sin embargo sin su
utilización no serían posibles.

En cada caso se desciende, pero a una velocidad diferente, lo cual
demuestra la variación que puede sufrir a lo largo del recorrido.

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