Este documento define la derivada como la pendiente de la recta tangente a una función en un punto. Explica que la derivada permite estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función, así como sus máximos y mínimos. Finalmente, muestra cómo calcular la derivada de una función en un punto determinado utilizando el concepto de límite de pendientes de secantes.

1. DEFINICIÓN DE
DERIVADA
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
MG LIZ ROBLADILLO BRAVO

2. Hasta el momento, de una función expresada
algebraicamente, y=f(x), podemos conocer:
• Dominio
• Cortes de la gráfica con el eje X y eje Y
•Continuidad
•Asíntotas y ramas parabólicas
Pero en cambio la fórmula es poco útil cuando quiero conocer:
• Intervalos de crecimiento / decrecimiento
• Máximos y mínimos relativos
Para estos dos puntos es necesario el estudio de LAS DERIVADAS

3. La clave para el estudio de las dos cosas que nos proponemos (máximos
mínimos, e intervalos de crecimiento y decrecimiento) son las rectas
tangentes:

4. m=0
m=0
m<0
m>0
m<0 En los puntos de
máximo o mínimo, la
recta tangente es
horizontal ( es decir,
la pendiente es 0)
En los tramos de
crecimiento la recta
tangente tiene pendiente
positiva, en los de
decrecimiento la tiene
negativa.

5. Llamamos derivada de la función f en x=a a la pendiente de la
recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa a
y=-3/2x-24
y=-4
y=3
y=1,2x+1,5
y=-1,3x+13
La derivada de la función f en a se denota con el
símbolo f’(a), que se lee “f prima de a”
f’( -4,5)= -3/2 porque la tangente
en el punto de abscisa 4,5 tiene
pendiente -3/2.
f’(-2)= 0 f’(4)=0
f’(2)=1,2 f’(6)=-1,3

6. Conocidos dos puntos de
la recta tangente puedo
calcular su ecuación.
(1,-1)
(3,2) y=mx+n
Pasa por (1,-1)
-1=m+n
Pasa por (3,2)
2=m·3+n
Resolviendo el sistema:
y= 3/2 x-5/2
De esta manera f’(3)=3/2

7. Lo anterior es muy largo
pues lo único que me
interesa saber es la “m”.
Para calcularla hay una
manera muy fácil:
(1,-1) )=(x0,y0)
(3,2)=(x1,y1)
De esta manera f’(3)=3/2
1 0
1 0
2 ( 1) 3
3 1 2
y y
m
x x
- - -
= = =
- -

8. 1 0
1 0
y y
m
x x
-
=
-
1 0
1 0
( ) ( )f x f x
m
x x
-
=
-
O LO QUE ES LO MISMO:

9. Nos proponemos ahora calcular la pendiente la recta t
tangente en un punto de abscisa x=a. Pero sólo tenemos el
punto de tangencia A de la recta t, y para hallar su
pendiente necesitamos dos puntos. ¿Qué hacer?
Resolvamos la cuestión en varias etapas.
A(a,f(a))
Recta t

10. Estamos sobre el eje X en a, abscisa del punto A de
tangencia, y nos desplazamos hacia la derecha o izquierda
una distancia h. Tenemos así el punto x=a+h sobre el eje X y
su correspondiente punto de la gráfica P((a+h), f(a+h))
A(a,f(a))
Recta t
a a+h
P(a+h,f(a+h))

11. A(a,f(a))
Recta t
a a+h
P(a+h,f(a+h))
Calculamos la pendiente de la recta secante AP con las
coordenadas de los dos puntos A y P.
h
f(a+h)-f(a)
( ) ( ) ( ) ( )f a h f a f a h f a
m
a h a h
+ - + -
= =
+ -

12. Si h es muy pequeño, a+h está muy cerca de a. De
esta forma:
A
a a+h
P
h 0

13. A
a a+h
P
h 0
P está muy próximo a A
La secante AP “casi” se confunde con la tangente t
La pendiente de la secante AP es “casi” la pendiente de t
Ahora bien, el valor de h no puede
ser 0, aunque sí todo lo pequeño que
se quiera. Y aquí interviene el
concepto de límite.

14. A
a a+h
P
P está muy próximo a A
La secante AP “casi” se confunde con la tangente t
La pendiente de la secante AP es “casi” la pendiente de t
0
lim(pendientes de las secantes)= pendiente de la tangente
h®
0
( ) ( )
lim '( )
h
f x h f x
f a
h®
+ -
=
Así pues la derivada es un número que se obtiene mediante un límite

15. Calcula la derivada de f(x)=x2
/4 para a=2
0
(2 ) (2)
'(2) lim
h
f h f
f
h®
+ -
=
( )
2
2
2
2 4 4
(2 ) 1 0,25
4 4
(2) 1
h h h
f h h h
f
ìï + + +ïï + = = = + +ïí
ïïï =ïî
2
0 0 0
(2 ) (2) 0,25
'(2) lim lim lim(1 0,25 ) 1
h h h
f h f h h
f h
h h® ® ®
+ - +
= = = + =

16. * La pendiente de la recta tangente
a la función en el punto x=2 es 1,
por lo que la recta tangente a mi
función en x=2 es:
'(2) 1f =f(x)=x2
/4
( ) '( )( )y f a f a x a= + -
1 1( 2)y x= + -
1y x= -
* Además como la
derivada es +, esto
indica que cerca de
x=2 la función es
creciente.
(x0,y0) y=y0+m(x-x0)

17. ACTIVIDADES: 1 Y 2 DE PÁGINA 308