Este documento explica la interpretación geométrica de la derivada. La derivada de una función en un punto es igual a la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto. Calcular la derivada permite determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función, así como sus máximos y mínimos. La derivada se define como el límite de la pendiente de las secantes a medida que el punto se acerca al punto de tangencia.

1. DEFINICIÓN DE DERIVADA
INTERPRETACIÓN
GEOMÉTRICA
JAVIER BERENGUER MALDONADO

2. Hasta el momento, de una función expresada
algebraicamente, y=f(x), podemos conocer:
• Dominio
• Cortes de la gráfica con el eje X y eje Y
•Continuidad
•Asíntotas y ramas parabólicas
Pero en cambio la fórmula es poco útil cuando quiero conocer:
• Intervalos de crecimiento / decrecimiento
• Máximos y mínimos relativos
Para estos dos puntos es necesario el estudio de LAS DERIVADAS

3. La clave para el estudio de las dos cosas que nos proponemos (máximos
mínimos, e intervalos de crecimiento y decrecimiento) son las rectas
tangentes:

4. m=0
m=0
m<0
m>0
m<0 En los puntos de
máximo o mínimo, la
recta tangente es
horizontal ( es decir,
la pendiente es 0)
En los tramos de
crecimiento la recta
tangente tiene pendiente
positiva, en los de
decrecimiento la tiene
negativa.

5. Llamamos derivada de la función f en x=a a la pendiente de la
recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa a
y=-3/2x-24
y=-4
y=3
y=1,2x+1,5
y=-1,3x+13
La derivada de la función f en a se denota con el
símbolo f’(a), que se lee “f prima de a”
f’( -4,5)= -3/2 porque la tangente
en el punto de abscisa 4,5 tiene
pendiente -3/2.
f’(-2)= 0 f’(4)=0
f’(2)=1,2 f’(6)=-1,3

6. Conocidos dos puntos de
la recta tangente puedo
calcular su ecuación.
(1,-1)
(3,2) y=mx+n
Pasa por (1,-1)
-1=m+n
Pasa por (3,2)
2=m·3+n
Resolviendo el sistema:
y= 3/2 x-5/2
De esta manera f’(3)=3/2

7. Lo anterior es muy largo
pues lo único que me
interesa saber es la “m”.
Para calcularla hay una
manera muy fácil:
(1,-1) )=(x0,y0)
(3,2)=(x1,y1)
De esta manera f’(3)=3/2
1 0
1 0
2 ( 1) 3
3 1 2
y y
m
x x
- - -
= = =
- -

8. 1 0
1 0
y y
m
x x
-
=
-
1 0
1 0
( ) ( )f x f x
m
x x
-
=
-
O LO QUE ES LO MISMO:

9. Nos proponemos ahora calcular la pendiente la recta t
tangente en un punto de abscisa x=a. Pero sólo tenemos el
punto de tangencia A de la recta t, y para hallar su
pendiente necesitamos dos puntos. ¿Qué hacer?
Resolvamos la cuestión en varias etapas.
A(a,f(a))
Recta t

10. Estamos sobre el eje X en a, abscisa del punto A de
tangencia, y nos desplazamos hacia la derecha o izquierda
una distancia h. Tenemos así el punto x=a+h sobre el eje X y
su correspondiente punto de la gráfica P((a+h), f(a+h))
A(a,f(a))
Recta t
a a+h
P(a+h,f(a+h))

11. A(a,f(a))
Recta t
a a+h
P(a+h,f(a+h))
Calculamos la pendiente de la recta secante AP con las
coordenadas de los dos puntos A y P.
h
f(a+h)-f(a)
( ) ( ) ( ) ( )f a h f a f a h f a
m
a h a h
+ - + -
= =
+ -

12. Si h es muy pequeño, a+h está muy cerca de a. De
esta forma:
A
a a+h
P
h 0

13. A
a a+h
P
h 0
P está muy próximo a A
La secante AP “casi” se confunde con la tangente t
La pendiente de la secante AP es “casi” la pendiente de t
Ahora bien, el valor de h no puede
ser 0, aunque sí todo lo pequeño que
se quiera. Y aquí interviene el
concepto de límite.

14. A
a a+h
P
P está muy próximo a A
La secante AP “casi” se confunde con la tangente t
La pendiente de la secante AP es “casi” la pendiente de t
0
lim(pendientes de las secantes)= pendiente de la tangente
h®
0
( ) ( )
lim '( )
h
f x h f x
f a
h®
+ -
=
Así pues la derivada es un número que se obtiene mediante un límite

15. Calcula la derivada de f(x)=x2
/4 para a=2
0
(2 ) (2)
'(2) lim
h
f h f
f
h®
+ -
=
( )
2
2
2
2 4 4
(2 ) 1 0,25
4 4
(2) 1
h h h
f h h h
f
ìï + + +ïï + = = = + +ïí
ïïï =ïî
2
0 0 0
(2 ) (2) 0,25
'(2) lim lim lim(1 0,25 ) 1
h h h
f h f h h
f h
h h® ® ®
+ - +
= = = + =

16. * La pendiente de la recta tangente
a la función en el punto x=2 es 1,
por lo que la recta tangente a mi
función en x=2 es:
'(2) 1f =f(x)=x2
/4
( ) '( )( )y f a f a x a= + -
1 1( 2)y x= + -
1y x= -
* Además como la
derivada es +, esto
indica que cerca de
x=2 la función es
creciente.
(x0,y0) y=y0+m(x-x0)