La derivada

LA DERIVADA
Profesor Ing. José A. Rodríguez
Universidad APEC
Unidad # 3
Clase # 3

objetivos
• Interpretar la derivada geométricamente.
• Calcular la derivada de funciones algebraicas.
• Resolver problemas aplicando derivadas.
• Analizar y representar curvas de funciones.
• Resolver problemas de optimización.

contenido:
• Interpretación geométrica de derivada
como pendiente de una recta tangente a
la curva.
• Interpretación de la derivada como una razón de cambio.
• Derivadas de funciones algebraicas.
• Reglas de derivación.
 Derivada del producto.
 Derivada del cociente.
• Derivada de funciones trascendentes:
 Exponenciales.
 Logarítmicas:
 Logaritmo natural.
 Logaritmo decimal.
 Trigonométricas.

Contenido Cont. …
• Derivadas de orden superior
• Diferenciabilidad y continuidad
• Derivada de funciones compuestas:
 Regla de la cadena.
• Derivación implícita.
• Problemas de ritmo de cambio. (tasa relacionada)
• El teorema de rolle
• El teorema de valor medio
• Aplicaciones de la derivada de una función:
 Valores críticos
 Aplicación de la 1era derivada:
 Intervalos donde crece y decrece la
función.

Contenido Cont.…
• Aplicación de la segunda derivada:
 Concavidad
 Punto de inflexión
• Problemas de optimización:
 Problemas de máximos.
 Problemas de mínimos.

Hasta el momento, de una función expresada algebraicamente,
y=f(x), podemos conocer:
• Dominio
• Cortes de la gráfica con el eje X y eje Y
• Continuidad
• Asíntotas y ramas parabólicas
Pero en cambio la fórmula es poco útil cuando quiero conocer:
• Intervalos de crecimiento / decrecimiento
• Máximos y mínimos relativos
Para estos dos puntos es necesario el estudio de LAS DERIVADAS

INTERPRETACIÓN
GEOMÉTRICA DE LA
DERIVADA
Empecemos por la
pendiente de la recta
secante a la gráfica de
una función y = f (x)
en x=xo.

Introducción a la Derivada
Dónde estoy, y a dónde voy?
Posición actual
Dónde estoy?
Ej. Apatía, irresponsabilidad
distracciones, etc.
Fuerzas externas
que atacan
Antes de iniciar, es importante reflexionar…

Recordemos el camino trazado…
Unidad 1. Funciones de una variable
Unidad 2. Limites y continuidad
Unidad 3. La derivada
Unidad 4. Aplicaciones de la derivada
Pero, antes de iniciar veamos una
simple pregunta…
Ya analizamos
funciones…
También limites
de funciones…
Y el tema que
iniciamos hoy
es….

“La pregunta del millón…”
( un minuto de silencio…)

“La pregunta del millón…”
Si tenemos una función definida por
2
xy
La mayoría contestaría: “su derivada es: ”
MUY BIEN!! ….. Pero……..
“memorizar términos matemáticos y no tener la mínima
idea de lo que significan, es equivalente a no saberlos..”
“las matemáticas no se memorizan… se deben razonar!!”
xy 2

Algunos conceptos básicos.
La recta secante
y la recta tangente
en términos
geométricos
Recta secante
Recta tangente
“es una recta que
intersecta un círculo
en dos puntos”
“es una recta que
tiene un punto en
común con un circulo”

La recta secante
y la recta tangente
en una función
Función original

La recta secante
y la recta tangente
en una función
Función original
Recta secante

La recta secante
y la recta tangente
en una función
Función original
Recta tangente

Sabemos que una de las características
principales de una recta es su pendiente (m)
En términos muy simples la pendiente de una recta es
un valor numérico que representa la inclinación de dicha recta
1 1( , )x y
2 2( , )x y
2 1x x
2 1y y
2 1
2 1
y y
m
x x
Muy sencillo de obtener si
tienes dos puntos sobre una recta!

Función original
Recta secante
De acuerdo a lo anterior, la obtención de la pendiente de una recta
secante en la curva de una función es:
2 1
2 1
y y
m
x x
1 1( , )x y
2 2( , )x y

Recta tangente
Pero……….. y como obtener análogamente la pendiente de una recta
tangente si solo conoce un punto?
1 1( , )x y
2 1
2 1
?
y y
m
x x

Algo de historia.
Esta cuestión se originó con los matemáticos griegos hace dos mil años,
y fue finalmente abordada en el siglo XVII por varios matemáticos ilustres,
entre los que se encuentran :
Pierre de Fermat Rene Descartes Gottfried Wilhelm Leibniz
Leibniz, llamado por muchos el padre del Cálculo
Moderno, en 1684 propuso un método
general para encontrar las tangentes a una
curva a través de lo que el llamo símbolos.

La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE
Supongamos que deseamos
conocer la pendiente de la
recta tangente en X=1
Observe que si hacemos
diversas aproximaciones de rectas
secantes, podemos hacer una
muy buena estimación de la
Pendiente de la recta tangente
tanm

La derivada.
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm

La derivada.
1 1( , )x y
Observa que el punto
Cada vez se acerca
más al punto
1 1( , )x y
2 2( , )x y
2 2( , )x y
Atajo
Volver a
mostrar
Continuar
tanm

La derivada.
Ahora, como expresar el
comportamiento anterior
en términos matemáticos?

La derivada.
1 1( , )x y
2 2( , )x y
Aprox.
tanm secm Procedemos
a sustituir:
12
12
sec
xx
yy
m
2 1
2 1
y y
x x
tanm

12
12
sec
xx
yy
m
La derivada.
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm 2 1
2 1
y y
x x
Considerando: ( )y f xtanm 2 1
2 1
( ) ( )f x f x
x x
)( 1xf
)( 2xf
tanm
Procedemos
a sustituir:

La derivada.
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm 2 1
2 1
( ) ( )f x f x
x x 2 1x x xAhora
Consideremos:
2 1( ) ( )f x f x
x
2 1x x x
tanm

La derivada.
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm 2 1( ) ( )f x f x
x
Ahora recordemos el comportamiento
de las rectas secantes y podemos ver
que tiende a disminuirx
Presiona para observar nuevamente el comportamiento
(utiliza el botón atajo para regresar a esta diapositiva)
2 1x x x
tanm

La derivada.
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
2 1x x x
2 1( ) ( )f x f x
x
Podemos expresar lo anterior así:
lim 2 1( ) ( )f x f x
x
0x
0x
Analizando dicho comportamiento,
procedemos a aplicar un límite así:
Se puede observar
que el punto
cada vez se aproxima
más al punto
pero no llegará a tocarlo
2 2( , )x y
1 1( , )x y
tanm

La derivada.
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
Finalmente considerando lo siguiente:
lim 2 1( ) ( )f x f x
x
0x
2 1x x x
La expresión nos queda así:
1 1( ) ( )f x x f x
x
2 1x x x
tanm

1 1( ) ( )f x x f x
x
La derivada.
1 1( , )x y
2 2( , )x y
tanm
Finalmente considerando lo siguiente:
lim
0x
2 1x x x
La expresión nos queda así:
2 1x x x
tanm

La derivada.
tanm lim
0x
1 1( ) ( )f x x f x
x
Este límite (el cual genera otra
función), representa la pendiente de
las diversas rectas tangentes a la
gráfica de una función…..
Y se le conoce comúnmente como:
Misma, que en honor a Leibniz puede ser representada así:
dx
dy Por su origen basado en
incrementos
=

La derivada.
lim
0x
1 1( ) ( )f x x f x
xdx
dy
=
Y precisamente por esta
fórmula es que lo siguiente,
ahora si, tiene sentido:
2
xy
Entonces su derivada es: x
dx
dy
2
Y gracias a esta función que se “deriva” de la original, podemos obtener
las pendientes de las rectas tangentes que pertenecen a la función original

Aplicación del límite obtenido….
Procederemos a la aplicación
del límite deducido para
obtener la derivada de la función:
2
)( xxfy
x
xfxxf
dx
dy
x
)()(
lim
0
Recordemos que la
derivada esta definida
por el límite:
Al evaluar el término
)( xxf
se puede observar que:
2
)()( xxxxfy
Al sustituirlo obtenemos:

x
xxx
dx
dy
x
22
0
)(
lim
)( xxf )(xf
Al desarrollar el binomio
al cuadrado obtenemos:
x
xxxxx
dx
dy
x
222
0
))()(2(
lim Reduciendo
términos:
x
xxx
dx
dy
x
2
0
)()(2
lim
Aplicando los teoremas
sobre límites tenemos lo
siguiente:

x
xxx
dx
dy
x
2
0
)()(2
lim xx
xx 00
lim2lim
Al evaluar dichos límites llegamos a la conclusión que:
2
xy
Entonces su derivada es: x
dx
dy
2

Representación
gráfica de:
2
xy
La función que
representa su
derivada es:
x
dx
dy
2

Representación
gráfica de:
2
xy
La función que
representa su
derivada es:
x
dx
dy
2
1x
Al sustituir
en la derivada
el valor de X:
2)1(2tan
dx
dy
m
Observe que:
2tanm ?tanm

Representación
gráfica de:
2
xy
La función que
representa su
derivada es:
x
dx
dy
2
2tanm

Otra forma de la Interpretación geométrica de derivada
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf
hx0
h
0
h
hx
)( 0 hxf

51
se llama
razón de cambio promedio de y con respecto a x.
Razón de cambio
El cociente de diferencias
x
y
2
1.5
5
5
Número de
operarios.
Número de docenas de
pantalones producidos
diariamente.
Si en cada uno de los
casos aumentamos un
operario, ¿en cuánto
aumenta la producción
diaria de pantalones
por operario?
01
01 )()(
xx
xfxf
x
y

52
Razón de cambio instantánea
se llama razón de cambio instantánea
de y con respecto a x en x = x0.
x
y
x0
f(x0)
x1
f(x1)
h
xfhxf
x
y )()( 00
Note que si
x1 = x0 + h
entonces
h
xfhxf
lím
h
)()( 00
0

53
La derivada de la función f respecto de la variable x, en
x0 se denota por f ´(x0) y se define por:
La Derivada
Se dice que f (x) es derivable en x0 si existe f ´(x0). Al
proceso de calcular la derivada se le denomina derivación.
0 0
0
0
lim
h
f x h f x
f x
h
y
dx
d
´yxf
dx
d
x´f )()(Notación:

54
La derivada de
una función f en
x0 es:
Pendiente de la recta
tangente a la gráfica de la
función f en x0
La razón de cambio
instantánea de la función f
en x0
0 0
0
lim
h
f x h f x
h
Conclusiones de la Derivada

Función derivada
MT = f '(3) =
h 0
lim
f(3 + h) – f(3)
h
=
h 0
lim
(3 + h)2
– 32
h
=
h 0
lim
h (h + 6)
h
= 6
• Derivada de f(x) = x2 en el punto 2:
f '(x) =
h 0
lim
f(x + h) – f(x)
h =
h 0
lim
(x + h)2
– x2
h =
h 0
lim
h (h + 2x)
h = 2x
• Derivada de f(x) = x2 en el punto 3:
MT = f '(2) =
h 0
lim
f(2 + h) – f(2)
h =
h 0
lim
(2 + h)2
– 22
h =
h 0
lim
h (h + 4)
h = 4
Se dice que la función derivada (o simplemente la derivada) de y = x2 es f '(x) = 2x
Se llama función derivada de una función f(x) a la función f '(x) que asocia a
cada x del dominio de f(x) la derivada de f(x) en x, siempre que exista.
Para obtener la derivada en x

56
Ejercicio
Usando la definición, calcule la derivada de:
f (x) = 2 + 3x - 5x2
¿ Cómo seria la derivada de f (x)=xn ?

REGLAS DE DERIVACIÓN
NOTACIONES
COMUNES
y
dx
d
´yxf
dx
d
x´f )()(

Reglas de derivación
Derivada de una función constante
La derivada de una función constante es cero
Es decir:
0c
dx
d

59
La recta tangente a la gráfica de una recta, es la misma
recta, esto quiere decir que la pendiente de la recta, es
también su razón de cambio (su derivada).
Ejemplos: halle dy/dx de
2
3
5
y x 2 8y xb)a)
Esto es: d
mx b m
dx
Derivada de una función lineal

Regla de la potencia
1kk
xkx
dx
d
:krealnúmerocualquierPara

)(,)()3 25
xg
dx
d
encuentrexxgSi
dt
dy
encuentretySi ,)2 1010
)(',)()1 6
xfencuentrexxfSi
Ejemplos:

)(,)()4 5
3
xhDencuentrexxhSi x
3 2
1
)5
xdx
d
Calcule
x
x
DCalcule x)6
Ejemplos:

Regla del múltiplo constante
La derivada de una constante por una función
es igual a la constante multiplicada por la
derivada de la función.
Esto se puede escribir así:
)()( xf
dx
d
cxfc
dx
d

Derivada de una suma o diferencia de funciones
La derivada de una suma o diferencia de
funciones, es igual a la suma o diferencia
de las derivadas de dichas funciones.
)()()()( xg
dx
d
xf
dx
d
xgxf
dx
d

',4)1 3
yencuentrexySi
58
7
)2 aa
da
d
Calcule
185
5
4
5)4 34 34
xxxDCalcule x
1359)3 23
xxxDCalcule x
Ejemplos:

Derivada de las funciones exponenciales
aaa
dx
d
ee
dx
d
xx
xx
ln

Derivada de las funciones logarítmicas
ax
x
dx
d
x
x
dx
d
a
ln
1
log
1
ln
La derivada de una función algebraica es siempre
algebraica, pero la derivada de una función
trascendental no siempre es trascendental.

Ejemplos:
Halle la derivada
de:
3
3
4
5
log2)()2
ln23)()1
xxxg
xexf
x
a
x

Derivada del producto de funciones
)()()()(')( xfxgxgxfxQ
xgxfxQSi )(
Entonces:

Derivada del cociente de funciones
Entonces:
2
)(
)().()().(
)(
xg
xfxgxgxf
xQ
0)(,
)(
)(
)( xg
xg
xf
xQSi

Ejemplos:
5
7
ln
3
)4
51log)3
21
)2
)1
5 3
5
1
2
3
xx
y
xxy
e
y
exy
x
x
x
x
x
Halle y’:

Ejemplos:
Encuentre las ecuaciones de la rectas
tangentes a la curvas en los puntos dados:
2
;1;
1
)6
2
1
;1;
1
1
)5
2
2
e
puntoelen
x
e
y
puntoelen
x
y
x

Tabla de derivación de funciones elementales
Función Derivada
f(x) = sen x f '(x) = cos x
f(x) = cos x f '(x) =– sen x
f(x) = tan x f '(x) =
1
Cos 2x
f(x) = arcsen x f '(x) =
1
1 – x2
f(x) = arccos x f '(x) =
–1
1 – x 2
f(x) = arctan x f '(x) =
1
1 + x 2
Función Derivada
f(x) = c (constante) f '(x) = 0
f(x) = x n
f '(x) = n x n – 1
f(x) = e x f '(x) = e x
f(x) = ax
(a > 0) f '(x) = ax
ln a
f(x) = ln x f '(x) =
1
x
f(x) = logax, (a > 0) f '(x) =
1
x ln a

DERIVADA DE ORDEN
SUPERIOR
2 3
3 3
...
nD D D D
n
df d f d f d f
f x x x x x
dx dx dx dx
Dado que la derivada de una función
es a su vez una función, entonces
podemos derivarla nuevamente.
Esto da origen a las "derivadas de
orden superior".

Derivada de orden superior
5
5
4
2 5 4
3
2
3 5 2 4 3
2
3 2
4 5 3 4 2 3 2
4 3 2
5 5 4 4 3 3 2 2
5 4 3 2
6 5 5 4 4 3 3 2 2
6 5 4 3 2
:
5
5
20
5 20
60
5 20 60
120
5 20 60 120
120
5 20 60 120 12
f x x
d x
x
dx
d x d x
x
dx dx
d x d x d x
x
dx dx dx
d x d x d x d x
x
dx dx dx dx
d x d x d x d x d x
dx dx dx dx dx
d x d x d x d x d x d
dx dx dx dx dx
0
0
dx
.....
todas las derivadas que siguen son cero

sin
0: sin
1: cos
2: sin
3: cos
4: sin
5: cos
6: sin
7 : cos
8: sin
f x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
1
2
sin
0,1,2,...
1 sin
sin
1 cos
n
n
n n
f x x
n
x nd
x
dx
x n
Para
par
impar

Recordando que…
Función Derivada
Distancia Velocidad
Venta Demanda
Consultas Tráfico
Enfermedad Epidemia
Y muchos otros ejemplos…
Color Degradé

Entonces…
Función
Distancia
Derivada
Velocidad
Metros, Kilómetros, Centímetros, etc.
Unidades
Km/Hr Mts/Seg Cm/Seg
Unidades
Segunda Derivada
Aceleración
Unidades
Tercera Derivada
Sobre aceleración
Jerk
Unidades En resumen: medimos posiciones, vemos
velocidades, sentimos aceleraciones y
vomitamos por los jerks.

79
Si una función f es derivable en el punto P(x0; f(x0)),
entonces la gráfica de y = f (x) tiene una tangente no
vertical en P y en todos los puntos “cercanos” a P.
Derivabilidad y continuidad
Esto indica que una función f es continua en cualquier
punto donde sea derivable, ya que una gráfica no puede
tener un “hueco” o “vacío” en ningún punto donde
pueda dibujarse una recta tangente.

80
Es importante saber que: una función continua no
necesariamente es derivable en todos los puntos.
1/3
La gráfica de la curva
presenta una línea tangente vertical
en 0
y x
x
2/3
presenta una cúspide en 0
y x
x
presenta un punto ánguloso
cuando 0
y x
x
Se muestra la gráfica de tres funciones continuas en
x=0, pero a pesar de ello, no son derivables en x = 0

En la que la distancia esta dado en metros y el
tiempo esta dado en segundos. Hallar :
Si se hace un lanzamiento parabólico de una pelota dominado por la función

83
Sea y = f(u) donde u = g(x)
Si todas las derivadas involucradas existen,
entonces otra forma de definir la REGLA DE LA
CADENA es:
dx
du
du
dy
dx
dy
xuy
Regla de la cadena
`)`(` uufy

84
Derivada de funciones exponenciales
i)
ii)
Derivada de funciones logarítmicas
i)
ii)
x
xfxxf
1
)(;ln)(
xgexfexf xgxg
)(;)(
)(
)(
1
)(;ln)( xg
xg
xfxgxf
xx
exfexf )(;)(
Regla de la cadena

Ejemplo 1:
834
xxxg
uug 834
xxxu
udu
dg
ug
2
1
)`( 34` 3
x
dx
du
u
34
2
1
`).`( 3
x
u
uug
dx
du
du
dg
dx
dg
834
xxxu
832
34
4
3
xx
x
dx
dg
Sea la función . Esta es una función compuesta en la que:
La derivada de cada uno de los términos es:
entonces,
y dado que .

Ejemplo 2:
Sea la función
32
24xxg
.
3
uug 24 2
xxu
La función compuesta se puede ver como
donde
.
222
242483 xxxu
dx
du
du
dg
dx
dg
Ejemplo 3:
Sea la función xsenxg 3
usenug donde xxu 3
3333 xsenusenxusen
dx
du
du
dg
dx
dg

Ejercicios:
Hallar las siguientes derivadas por la regla de la cadena:
8
53)1 x
dx
d 77
53243538 xx
53
324)2 xx
dx
d
2123245 243
xxx
)13(cos)3 2
x
dx
d
5
tan)4 x
dx
d
136613 22
xsenxxxsen
xxxx 24215
sec)(tan5)(sectan5

Regla de la cadena
12124 333
x
dx
d
x
Calcule
43
12x
dx
d
Se aplica la regla de la cadena
Al final queda 233
6124 xx
4
y
dx
d
dx
dy
y3
4 '4 3
yy
,12 3
xySi
se podía presentar el mismo
problema de la siguiente
forma:

1)
222
ayx
0
2
dx
dyy
x
dx
dyy
2
2
x2
y
x
dx
dy
Ejemplo: derivación implícita
Por el método de derivación implícita, encontrar

Ejemplo: derivación implícita
Hallar la ecuación de la tangente y normal a la curva
En el punto (1,1) de ella
53 22
yyxx
Solución: (1,1) es pto. de la curva.
Derivando implícitamente con respecto a se tiene:x
xyx 332
dx
dy y2 0
dx
dy
11
5
5
23
32
)1,1(
NT mm
dx
dy
yx
yx
dx
dy -
T: N:
xy
xy 11
02
11
)1(11
yx
xy
xy

Ejercicios de Derivación implícita
,2522
yxSi
.
dx
dy1) Despeje y en términos de x. Luego calcule
2) Calcule por medio de derivación implícita.
dx
dy
3) Encuentre una ecuación de la recta tangente a la
curva en el punto (3;4).

Halle una ecuación de la recta tangente y normal a la curva
xyyx 633
en el punto (3;3).
Ejercicio de Derivación implícita

La derivada

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