Este documento explica cómo graficar funciones utilizando un sistema de coordenadas rectangulares. Define conceptos como abscisa, ordenada, dominio y rango. Explica cómo graficar funciones lineales, constantes, cuadráticas, raíz cuadrada, valor absoluto e hipérbolas, incluyendo cómo determinar puntos de intersección, vértices y asíntotas.

1. Demetrio Ccesa Rayme

2. GRÁFICAS EN COORDENADAS RECTANGULARES
Un punto se ubica en el plano por medio de sus coordenadas
rectangulares, escritas en la forma de un par ordenado.
“a” : Abscisa de “P”
“b” : Ordenada de “P”
(a; b) : Coordenadas de “P”
Y (Eje de ordenadas)
X (Eje de abscisas)
P=(a; b)
a
b

3. Utilizando un sistema de coordenadas rectangulares podemos
representar geométricamente a una función, entre las principales
tenemos:
FUNCIÓN LINEAL: y = mx + b
Ejemplo: Graficar y = 2x + 6
(3; 0) : Intersección sobre el eje X
(0; 6) : Intersección sobre el eje Y.
X
Y
( 3; 0)
(0: 6) Hacemos una tabulación:
x y
0 6
-3 0
Dominio = R
Rango = R

4. FUNCIÓN CONSTANTE: y = c
Ejemplo: Graficar y = 5
(0; 5) : Intersección sobre el eje Y
Y
X
(0; 5)
Dominio = R
Rango = 5

5. (0; 0) : Origen de la curva
(0; 0) : Intersección sobre el eje X
(0; 0) : Intersección sobre el eje Y.
FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA: y = x
Y
X
Dominio = 0;  
Rango = 0;  

6. VARIACIONES DE LA GRÁFICA FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA:
Y
X
xy 
Y
X
xy 
Gráfica reflejada
respecto al eje Y
Y
X
xy 
Gráfica reflejada
respecto al eje X
Gráfica reflejada respecto
al eje X y luego respecto
a Y
xy 
Y
X
Gráfica original
ORIGEN: (0;0)

7. Ejemplo: Graficar 3x15y 
SOLUCIÓN
Primero debemos encontrar el punto que corresponde al origen de la curva,
para lo cual igualamos a cero la cantidad subradical.
15 – x = 0  x = 15 Reemplazando en la función: y = 3
Luego el punto donde se inicia la curva es: (15; 3)
Y
X
(6; 0)
(15; 3)
3x15y 
Dominio:  ; 15
Rango:  ; 3
El signo menos que antecede al radical indica que la curva se extiende
hacia la izquierda

8. FUNCIÓN CUADRÁTICA: y = ax2 +bx +c
Y
X
y = x2 Y
X
y = x2
La gráfica de toda función cuadrática es una parábola.
Un caso especial y recurrente es:
VÉRTICE: (0;0)
VÉRTICE: (0;0)

9. Ejemplo: Graficar la función: y = x2 + 6x + 7
SOLUCIÓN
Primero debemos encontrar el vértice de la parábola, para lo cual aplicamos
el método de completar cuadrados:
y = (x – 3)2 + 16 Igualando a cero el binomio al cuadrado: x = 3
Reemplazando en la función: y = 16
Luego el vértice de la
parábola está en el
punto: ( 3; 16) y se
abre hacia abajo
Y
X
(3; 16)
(7; 0)(1; 0)
(0; 7)
Dominio: R
Rango: ; 16

10. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO:
Y
X
y = X 
Y
X
y =  X 
VÉRTICE: (0;0)
VÉRTICE: (0;0)

11. Ejemplo: Graficar la función: y =  x  3  + 6
SOLUCIÓN
Primero debemos encontrar el vértice de la gráfica, para lo cual igualamos a
cero el valor absoluto
 x  3  = 0  x = 3 Reemplazando en la función: y = 6
Luego el vértice de la
gráfica es: (3; 6) y se
abre hacia abajo
Y
X
(3; 6)
(9; 0)(3; 0)
(0; 3)
Dominio: R
Rango: ; 6 

12. Dominio = R 0
Rango = R 0
No existen intersecciones sobre los
ejes
LA FUNCIÓN:
x
y
1

Y
X
Asíntota horizontal
Asíntota vertical
Las asíntotas se determinan así:
a) La A. Vertical: se iguala a cero
el denominador de la fracción.
b) La A. Horizontal: se iguala a cero
la fracción que contiene a “x”.
HIPÉRBOLA

13. Ejemplo: Graficar la función:
SOLUCIÓN
Debemos encontrar las asíntotas de la gráfica, para lo cual:
a) Igualamos a cero el denominador
6
x5
3
y 


 La asíntota vertical es : x = 5
b) Igualamos a cero la fracción
x = 5
y = 6
X
Y
Dominio: R – 5
Rango: R – 6
 La asíntota horizontal es : y = 6

14. OBSERVACIONES:
1. Toda recta vertical debe intersecar sólo en un punto a la gráfica
de una función.
2. Si la gráfica de una función interseca a los ejes coordenados, los
puntos de intersección se obtienen de la siguiente forma:
Intersección sobre el eje Y: se obtiene haciendo que x = 0, es
decir calculando f(0). Si no existe f(0) significa que la gráfica no
interseca al eje Y.
Intersección sobre el eje X: se obtiene haciendo que y = 0 y
resolviendo la ecuación para x. Si la ecuación no tiene solución
significa que la gráfica no interseca al eje X.
3. Si la variable “x” se cambia por “x”, la gráfica se refleja respecto al
eje Y
4. Si la función “f(x)” se cambia por “f(x)”, la gráfica se refleja respecto
al eje X