Este documento trata sobre la relatividad general y la geometría de un espacio-tiempo curvo. Explica el concepto de intervalo y dilatación del tiempo desde la perspectiva de dos hermanos gemelos, Diana y Apolo, donde Diana viaja a una estrella cercana a una velocidad del 80% de la luz. Se demuestra que el viaje durará 3 años para Diana pero 5 años para Apolo debido a los efectos de la relatividad de acuerdo a tres métodos diferentes.
Sobre el Experimento de la Doble Ranura. Polidimensionalidad, Cuántica y Tiempo. Un comportamiento natural. Por Antonio de la Rubia Herrera. 09.424.523-C
Solucion del 1º Problema ABP
Tema: Teoría de la Relatividad - Paradoja de los gemelos
Profesor: Percy Cañote Fajardo
Pueden visitar mi blog: http://www.fisikuni.blogspot.com/
Sobre el Experimento de la Doble Ranura. Polidimensionalidad, Cuántica y Tiempo. Un comportamiento natural. Por Antonio de la Rubia Herrera. 09.424.523-C
Solucion del 1º Problema ABP
Tema: Teoría de la Relatividad - Paradoja de los gemelos
Profesor: Percy Cañote Fajardo
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“No tomen esta platica demasiado en serio . . . Solo relájense y disfrútenla. Voy a decirles como se comporta la naturaleza. Si ustedes solamente aceptan que la naturaleza se comporta así, van a ver que es algo fascinante y encantador. No se la pasen preguntándose “¿Pero cómo puede ser así?" porque entonces se encontrarán...en un callejón sin salida, del que nadie ha podido escapar todavía. Nadie sabe porqué es así.“
Richard Feynman
Aplicaciones de la teoría de nudos y la topología a la biología y la medicina explicadas en tono divulgativo para una charla en un instituto de secundaria.
Charla impartida en el CPR Murcia II sobre el Bachillerato de Investigación y posibles propuestas para trabajos en el ámbito de las ciencias experimentales.
Conferencia de divulgación impartida en la Universidad de Córdoba, en un curso de la Facultad de Ciencias en paralelo a un congreso que tuvo lugar en Noviembre de 2010
Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3.pdfsandradianelly
Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3Un libro sin recetas, para la maestr
El Liberalismo económico en la sociedad y en el mundo
La geometría de un espacio-tiempo curvo
1. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Relatividad y Cosmología
José Antonio Pastor González
Universidad de Córdoba
Jueves 29 de noviembre de 2012
Relatividad general:
la geometría de un espacio-tiempo curvo
13. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Planteamiento inicial
Diana y Apolo son dos hermanos gemelos aunque Diana
es más viajera y quiere visitar la estrella α-centauro
Planifican el viaje; la nave de Diana es capaz de viajar a
0, 8c y la distancia Tierra-Estrella es de 4 años-luz.
Cuando en la Tierra (en el sistema Tierra-Estrella-Apolo)
hayan pasado 5 años Diana estará en su destino
Primera pregunta: ¿qué tiempo transcurre para Diana en
ese viaje?
14. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Planteamiento inicial
Diana y Apolo son dos hermanos gemelos aunque Diana
es más viajera y quiere visitar la estrella α-centauro
Planifican el viaje; la nave de Diana es capaz de viajar a
0, 8c y la distancia Tierra-Estrella es de 4 años-luz.
Cuando en la Tierra (en el sistema Tierra-Estrella-Apolo)
hayan pasado 5 años Diana estará en su destino
Primera pregunta: ¿qué tiempo transcurre para Diana en
ese viaje?
15. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Planteamiento inicial
Diana y Apolo son dos hermanos gemelos aunque Diana
es más viajera y quiere visitar la estrella α-centauro
Planifican el viaje; la nave de Diana es capaz de viajar a
0, 8c y la distancia Tierra-Estrella es de 4 años-luz.
Cuando en la Tierra (en el sistema Tierra-Estrella-Apolo)
hayan pasado 5 años Diana estará en su destino
Primera pregunta: ¿qué tiempo transcurre para Diana en
ese viaje?
16. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Tres formas de responder: la primera
Sea A el suceso Diana sale de la Tierra y B el suceso
Diana llega a la Estrella
Según Apolo (sistema Tierra-Estrella) han pasado 5 años
en su reloj entre A y B. Pero Apolo quiere saber cuánto
marca el reloj que Diana lleva en su nave. Como éste está
en movimiento respecto de Apolo, la lectura (5) que hace
Apolo de la separación temporal entre A y B está dilatada
con respecto a la de Diana (<5)
Conclusión: el viaje desde el punto de vista de Diana dura
menos. ¿Cuánto? Pues el dado por t0 donde
t0
=5
1 − β2
Así t0 = 3 que es el tiempo que mide Diana en su reloj
17. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Tres formas de responder: la primera
Sea A el suceso Diana sale de la Tierra y B el suceso
Diana llega a la Estrella
Según Apolo (sistema Tierra-Estrella) han pasado 5 años
en su reloj entre A y B. Pero Apolo quiere saber cuánto
marca el reloj que Diana lleva en su nave. Como éste está
en movimiento respecto de Apolo, la lectura (5) que hace
Apolo de la separación temporal entre A y B está dilatada
con respecto a la de Diana (<5)
Conclusión: el viaje desde el punto de vista de Diana dura
menos. ¿Cuánto? Pues el dado por t0 donde
t0
=5
1 − β2
Así t0 = 3 que es el tiempo que mide Diana en su reloj
18. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Tres formas de responder: la primera
Sea A el suceso Diana sale de la Tierra y B el suceso
Diana llega a la Estrella
Según Apolo (sistema Tierra-Estrella) han pasado 5 años
en su reloj entre A y B. Pero Apolo quiere saber cuánto
marca el reloj que Diana lleva en su nave. Como éste está
en movimiento respecto de Apolo, la lectura (5) que hace
Apolo de la separación temporal entre A y B está dilatada
con respecto a la de Diana (<5)
Conclusión: el viaje desde el punto de vista de Diana dura
menos. ¿Cuánto? Pues el dado por t0 donde
t0
=5
1 − β2
Así t0 = 3 que es el tiempo que mide Diana en su reloj
19. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Tres formas de responder: la segunda
La contracción de longitudes está dada por la fórmula
= 0 1 − β2
En este caso, 0 = 4 años/luz, pero desde el punto de vista
de Diana ocurre que
= 4 × 0, 6 = 2, 4 años/luz
Como la velocidad sigue siendo β = 0, 8, entonces el
tiempo empleado por Diana es
2, 4/0, 8 = 3 años
20. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Tres formas de responder: la segunda
La contracción de longitudes está dada por la fórmula
= 0 1 − β2
En este caso, 0 = 4 años/luz, pero desde el punto de vista
de Diana ocurre que
= 4 × 0, 6 = 2, 4 años/luz
Como la velocidad sigue siendo β = 0, 8, entonces el
tiempo empleado por Diana es
2, 4/0, 8 = 3 años
21. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Tres formas de responder: la segunda
La contracción de longitudes está dada por la fórmula
= 0 1 − β2
En este caso, 0 = 4 años/luz, pero desde el punto de vista
de Diana ocurre que
= 4 × 0, 6 = 2, 4 años/luz
Como la velocidad sigue siendo β = 0, 8, entonces el
tiempo empleado por Diana es
2, 4/0, 8 = 3 años
22. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Tres formas de responder: la tercera
Transformaciones de Lorentz para Apolo (sistema S) y
Diana (sistema S’) nos dan lo siguiente:
El suceso A tiene coordenadas (0, 0)S y (0, 0)S
El suceso B tiene coordenadas (4, 5)S y (0, 3)S
Para S se tiene tB − tA = 5 mientras que para S se
cumple tB − tA = 3
Curiosidad: observemos que el intervalo espacio-temporal
es invariante
23. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Tres formas de responder: la tercera
Transformaciones de Lorentz para Apolo (sistema S) y
Diana (sistema S’) nos dan lo siguiente:
El suceso A tiene coordenadas (0, 0)S y (0, 0)S
El suceso B tiene coordenadas (4, 5)S y (0, 3)S
Para S se tiene tB − tA = 5 mientras que para S se
cumple tB − tA = 3
Curiosidad: observemos que el intervalo espacio-temporal
es invariante
24. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Tres formas de responder: la tercera
Transformaciones de Lorentz para Apolo (sistema S) y
Diana (sistema S’) nos dan lo siguiente:
El suceso A tiene coordenadas (0, 0)S y (0, 0)S
El suceso B tiene coordenadas (4, 5)S y (0, 3)S
Para S se tiene tB − tA = 5 mientras que para S se
cumple tB − tA = 3
Curiosidad: observemos que el intervalo espacio-temporal
es invariante
25. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Tres formas de responder: la tercera
Transformaciones de Lorentz para Apolo (sistema S) y
Diana (sistema S’) nos dan lo siguiente:
El suceso A tiene coordenadas (0, 0)S y (0, 0)S
El suceso B tiene coordenadas (4, 5)S y (0, 3)S
Para S se tiene tB − tA = 5 mientras que para S se
cumple tB − tA = 3
Curiosidad: observemos que el intervalo espacio-temporal
es invariante
26. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Tres formas de responder: la tercera
Transformaciones de Lorentz para Apolo (sistema S) y
Diana (sistema S’) nos dan lo siguiente:
El suceso A tiene coordenadas (0, 0)S y (0, 0)S
El suceso B tiene coordenadas (4, 5)S y (0, 3)S
Para S se tiene tB − tA = 5 mientras que para S se
cumple tB − tA = 3
Curiosidad: observemos que el intervalo espacio-temporal
es invariante
27. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Otra perspectiva
El suceso B (Diana llega a la estrella) tiene
S-coordenadas (4, 5) y es por esto por lo que Apolo
observa que Diana tarda 5 años en llegar
La pregunta es...
Cuando Diana llega a la estrella y han pasado tres años
en su reloj... ¿qué tiempo observa ella que ha transcurrido
para Apolo?
Por simetría, como Apolo observa las medidas temporales
de Diana dilatadas, entonces Diana verá las de Apolo
también dilatadas. ES DECIR, LOS TRES AÑOS QUE
OBSERVA DIANA EN SU RELOJ SE
CORRESPONDERÁN CON UN TIEMPO MÁS PEQUEÑO
EN EL RELOJ DE APOLO
28. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Otra perspectiva
El suceso B (Diana llega a la estrella) tiene
S-coordenadas (4, 5) y es por esto por lo que Apolo
observa que Diana tarda 5 años en llegar
La pregunta es...
Cuando Diana llega a la estrella y han pasado tres años
en su reloj... ¿qué tiempo observa ella que ha transcurrido
para Apolo?
Por simetría, como Apolo observa las medidas temporales
de Diana dilatadas, entonces Diana verá las de Apolo
también dilatadas. ES DECIR, LOS TRES AÑOS QUE
OBSERVA DIANA EN SU RELOJ SE
CORRESPONDERÁN CON UN TIEMPO MÁS PEQUEÑO
EN EL RELOJ DE APOLO
29. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Otra perspectiva
El suceso B (Diana llega a la estrella) tiene
S-coordenadas (4, 5) y es por esto por lo que Apolo
observa que Diana tarda 5 años en llegar
La pregunta es...
Cuando Diana llega a la estrella y han pasado tres años
en su reloj... ¿qué tiempo observa ella que ha transcurrido
para Apolo?
Por simetría, como Apolo observa las medidas temporales
de Diana dilatadas, entonces Diana verá las de Apolo
también dilatadas. ES DECIR, LOS TRES AÑOS QUE
OBSERVA DIANA EN SU RELOJ SE
CORRESPONDERÁN CON UN TIEMPO MÁS PEQUEÑO
EN EL RELOJ DE APOLO
30. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Otra perspectiva
El suceso B (Diana llega a la estrella) tiene
S-coordenadas (4, 5) y es por esto por lo que Apolo
observa que Diana tarda 5 años en llegar
La pregunta es...
Cuando Diana llega a la estrella y han pasado tres años
en su reloj... ¿qué tiempo observa ella que ha transcurrido
para Apolo?
Por simetría, como Apolo observa las medidas temporales
de Diana dilatadas, entonces Diana verá las de Apolo
también dilatadas. ES DECIR, LOS TRES AÑOS QUE
OBSERVA DIANA EN SU RELOJ SE
CORRESPONDERÁN CON UN TIEMPO MÁS PEQUEÑO
EN EL RELOJ DE APOLO
31. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
¿Cuánto más pequeño?
Simplemente, es el valor t0 dado por
t0
=3
1 − β2
por lo que t0 = 3 × 0, 6 = 1, 8 años
Esto es, cuando Diana llega a la estrella, ELLA OBSERVA
QUE EN LA TIERRA HAN TRANSCURRIDO
ÚNICAMENTE 1,8 años
Es lo natural... debemos esperar simetría (si cuando1
Apolo observa 5, Diana ha vivido 3, entonces cuando2
Diana observa 3, Apolo ha vivido 1,8)
1
Apolo–simultáneos
2
Diana–simultáneos
32. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
¿Cuánto más pequeño?
Simplemente, es el valor t0 dado por
t0
=3
1 − β2
por lo que t0 = 3 × 0, 6 = 1, 8 años
Esto es, cuando Diana llega a la estrella, ELLA OBSERVA
QUE EN LA TIERRA HAN TRANSCURRIDO
ÚNICAMENTE 1,8 años
Es lo natural... debemos esperar simetría (si cuando1
Apolo observa 5, Diana ha vivido 3, entonces cuando2
Diana observa 3, Apolo ha vivido 1,8)
1
Apolo–simultáneos
2
Diana–simultáneos
33. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
¿Cuánto más pequeño?
Simplemente, es el valor t0 dado por
t0
=3
1 − β2
por lo que t0 = 3 × 0, 6 = 1, 8 años
Esto es, cuando Diana llega a la estrella, ELLA OBSERVA
QUE EN LA TIERRA HAN TRANSCURRIDO
ÚNICAMENTE 1,8 años
Es lo natural... debemos esperar simetría (si cuando1
Apolo observa 5, Diana ha vivido 3, entonces cuando2
Diana observa 3, Apolo ha vivido 1,8)
1
Apolo–simultáneos
2
Diana–simultáneos
34. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
En el viaje de regreso...
Según Apolo (resp. Diana) la velocidad β (resp. −β) pasa
a ser −β (resp. β) pero como en las fórmulas está al
cuadrado nada debe variar...
Por tanto, cuando Apolo y Diana vuelven a encontrarse
(suceso C) tienen las siguientes versiones (como los
políticos y los medios):
Según Apolo, para él han pasado 10 años y para Diana 6:
ELLA ES CUATRO AÑOS MÁS JOVEN
Según Diana, para ella han pasado 6 años y para Apolo
1, 8 + 1, 8 = 3, 6: ÉL ES 2,4 AÑOS MÁS JOVEN
35. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
En el viaje de regreso...
Según Apolo (resp. Diana) la velocidad β (resp. −β) pasa
a ser −β (resp. β) pero como en las fórmulas está al
cuadrado nada debe variar...
Por tanto, cuando Apolo y Diana vuelven a encontrarse
(suceso C) tienen las siguientes versiones (como los
políticos y los medios):
Según Apolo, para él han pasado 10 años y para Diana 6:
ELLA ES CUATRO AÑOS MÁS JOVEN
Según Diana, para ella han pasado 6 años y para Apolo
1, 8 + 1, 8 = 3, 6: ÉL ES 2,4 AÑOS MÁS JOVEN
36. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
En el viaje de regreso...
Según Apolo (resp. Diana) la velocidad β (resp. −β) pasa
a ser −β (resp. β) pero como en las fórmulas está al
cuadrado nada debe variar...
Por tanto, cuando Apolo y Diana vuelven a encontrarse
(suceso C) tienen las siguientes versiones (como los
políticos y los medios):
Según Apolo, para él han pasado 10 años y para Diana 6:
ELLA ES CUATRO AÑOS MÁS JOVEN
Según Diana, para ella han pasado 6 años y para Apolo
1, 8 + 1, 8 = 3, 6: ÉL ES 2,4 AÑOS MÁS JOVEN
37. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
En el viaje de regreso...
Según Apolo (resp. Diana) la velocidad β (resp. −β) pasa
a ser −β (resp. β) pero como en las fórmulas está al
cuadrado nada debe variar...
Por tanto, cuando Apolo y Diana vuelven a encontrarse
(suceso C) tienen las siguientes versiones (como los
políticos y los medios):
Según Apolo, para él han pasado 10 años y para Diana 6:
ELLA ES CUATRO AÑOS MÁS JOVEN
Según Diana, para ella han pasado 6 años y para Apolo
1, 8 + 1, 8 = 3, 6: ÉL ES 2,4 AÑOS MÁS JOVEN
38. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Situación simétrica... ¿sí o no?
En otras palabras... ¿podemos distinguir entre los dos
sistemas de referencia?
¿Hay algo físico que le ocurre a Diana y no a Apolo o
viceversa?
Observemos que si el viaje fuera en un único sentido sí
habría SIMETRÍA
Pero la CLAVE está en el cambio de sentido...
39. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Situación simétrica... ¿sí o no?
En otras palabras... ¿podemos distinguir entre los dos
sistemas de referencia?
¿Hay algo físico que le ocurre a Diana y no a Apolo o
viceversa?
Observemos que si el viaje fuera en un único sentido sí
habría SIMETRÍA
Pero la CLAVE está en el cambio de sentido...
40. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Situación simétrica... ¿sí o no?
En otras palabras... ¿podemos distinguir entre los dos
sistemas de referencia?
¿Hay algo físico que le ocurre a Diana y no a Apolo o
viceversa?
Observemos que si el viaje fuera en un único sentido sí
habría SIMETRÍA
Pero la CLAVE está en el cambio de sentido...
41. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Situación simétrica... ¿sí o no?
En otras palabras... ¿podemos distinguir entre los dos
sistemas de referencia?
¿Hay algo físico que le ocurre a Diana y no a Apolo o
viceversa?
Observemos que si el viaje fuera en un único sentido sí
habría SIMETRÍA
Pero la CLAVE está en el cambio de sentido...
42. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Situación simétrica... ¿sí o no?
Es cierto que Apolo observa que Diana se va, luego da la
vuelta y regresa
También es cierto que Diana observa que Apolo (en la
Tierra) se aleja respecto de ella y que luego regresa...
Sin embargo, Diana experimenta cosas distintas a las que
experimenta Apolo
DIANA deja de ser un SISTEMA INERCIAL cuando tiene
que frenar para dar la vuelta y volver a acelerar... APOLO
SIEMPRE ES INERCIAL
43. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Situación simétrica... ¿sí o no?
Es cierto que Apolo observa que Diana se va, luego da la
vuelta y regresa
También es cierto que Diana observa que Apolo (en la
Tierra) se aleja respecto de ella y que luego regresa...
Sin embargo, Diana experimenta cosas distintas a las que
experimenta Apolo
DIANA deja de ser un SISTEMA INERCIAL cuando tiene
que frenar para dar la vuelta y volver a acelerar... APOLO
SIEMPRE ES INERCIAL
44. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Situación simétrica... ¿sí o no?
Es cierto que Apolo observa que Diana se va, luego da la
vuelta y regresa
También es cierto que Diana observa que Apolo (en la
Tierra) se aleja respecto de ella y que luego regresa...
Sin embargo, Diana experimenta cosas distintas a las que
experimenta Apolo
DIANA deja de ser un SISTEMA INERCIAL cuando tiene
que frenar para dar la vuelta y volver a acelerar... APOLO
SIEMPRE ES INERCIAL
45. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Situación simétrica... ¿sí o no?
Es cierto que Apolo observa que Diana se va, luego da la
vuelta y regresa
También es cierto que Diana observa que Apolo (en la
Tierra) se aleja respecto de ella y que luego regresa...
Sin embargo, Diana experimenta cosas distintas a las que
experimenta Apolo
DIANA deja de ser un SISTEMA INERCIAL cuando tiene
que frenar para dar la vuelta y volver a acelerar... APOLO
SIEMPRE ES INERCIAL
46. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
La bandeja de pasteles
Olvidé deciros que antes de partir, ambos acuerdan
regalarse unos pasteles a la vuelta...
Apolo se los coloca a su lado... ¡cómo huelen! Pero espera
el regreso de su hermana para regalárselos
Diana también los pone en el salpicadero de su nave... los
está viendo todo el tiempo...
Sin embargo, cuando vuelven a encontrarse, la única que
se come los pasteles es Diana porque los que ella llevaba
para Apolo están espachurrados
47. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
La bandeja de pasteles
Olvidé deciros que antes de partir, ambos acuerdan
regalarse unos pasteles a la vuelta...
Apolo se los coloca a su lado... ¡cómo huelen! Pero espera
el regreso de su hermana para regalárselos
Diana también los pone en el salpicadero de su nave... los
está viendo todo el tiempo...
Sin embargo, cuando vuelven a encontrarse, la única que
se come los pasteles es Diana porque los que ella llevaba
para Apolo están espachurrados
48. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
La bandeja de pasteles
Olvidé deciros que antes de partir, ambos acuerdan
regalarse unos pasteles a la vuelta...
Apolo se los coloca a su lado... ¡cómo huelen! Pero espera
el regreso de su hermana para regalárselos
Diana también los pone en el salpicadero de su nave... los
está viendo todo el tiempo...
Sin embargo, cuando vuelven a encontrarse, la única que
se come los pasteles es Diana porque los que ella llevaba
para Apolo están espachurrados
49. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
La bandeja de pasteles
Olvidé deciros que antes de partir, ambos acuerdan
regalarse unos pasteles a la vuelta...
Apolo se los coloca a su lado... ¡cómo huelen! Pero espera
el regreso de su hermana para regalárselos
Diana también los pone en el salpicadero de su nave... los
está viendo todo el tiempo...
Sin embargo, cuando vuelven a encontrarse, la única que
se come los pasteles es Diana porque los que ella llevaba
para Apolo están espachurrados
50. de la paradoja
Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Un esquema espacio-temporal
51. El n´mero de felicitaciones por a˜o nuevo
u
Intervalo Gemelos n Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Ilustración de un efecto Doppler
Vemos que Diana recibe 10 felicitaciones. Diana recibe s´lo una antes de llegar a α Centauro, cuando hab´ pasado 3 a˜os, just
o ıan n
de dar la vuelta. Las 9 restantes le llegan durante su viaje de vuelta a raz´n de una cada 1/3 a˜o (4 meses).
o n
53. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Las matemáticas de la relatividad especial
tomamos R2 como un plano afín y dos ejes cartesianos
con coordenadas (x, t)
en este plano estamos modelando un espacio-tiempo
2-dimensional tal y como lo referencia un observador
inercial arbitrario
cualquier otro observador inercial – en configuración
estándar – tiene otras coordenadas (x , t ) dentro del plano
que vienen dadas por los ejes habituales
así pues, un universo con una única dimensión espacial y
sin campos – sin gravedad p.ej. – estaría perfectamente
modelado por este plano: EL PLANO DE MINKOWSKI L2
54. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Las matemáticas de la relatividad especial
tomamos R2 como un plano afín y dos ejes cartesianos
con coordenadas (x, t)
en este plano estamos modelando un espacio-tiempo
2-dimensional tal y como lo referencia un observador
inercial arbitrario
cualquier otro observador inercial – en configuración
estándar – tiene otras coordenadas (x , t ) dentro del plano
que vienen dadas por los ejes habituales
así pues, un universo con una única dimensión espacial y
sin campos – sin gravedad p.ej. – estaría perfectamente
modelado por este plano: EL PLANO DE MINKOWSKI L2
55. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Las matemáticas de la relatividad especial
tomamos R2 como un plano afín y dos ejes cartesianos
con coordenadas (x, t)
en este plano estamos modelando un espacio-tiempo
2-dimensional tal y como lo referencia un observador
inercial arbitrario
cualquier otro observador inercial – en configuración
estándar – tiene otras coordenadas (x , t ) dentro del plano
que vienen dadas por los ejes habituales
así pues, un universo con una única dimensión espacial y
sin campos – sin gravedad p.ej. – estaría perfectamente
modelado por este plano: EL PLANO DE MINKOWSKI L2
56. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Las matemáticas de la relatividad especial
tomamos R2 como un plano afín y dos ejes cartesianos
con coordenadas (x, t)
en este plano estamos modelando un espacio-tiempo
2-dimensional tal y como lo referencia un observador
inercial arbitrario
cualquier otro observador inercial – en configuración
estándar – tiene otras coordenadas (x , t ) dentro del plano
que vienen dadas por los ejes habituales
así pues, un universo con una única dimensión espacial y
sin campos – sin gravedad p.ej. – estaría perfectamente
modelado por este plano: EL PLANO DE MINKOWSKI L2
57. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Las matemáticas de la relatividad especial
si A ∈ L2 es un punto del plano, entonces A representa un
suceso, un evento
un mismo punto A tiene distintas coordenadas según el
observador inercial que consideremos
pero aunque A se lea de forma distinta según el
observador, sabemos que hay cosas invariantes: el
estudio de las propiedades que permanecen invariantes
es muy importante porque tales propiedades no
dependen del observador: serán leyes físicas válidas
para cualquier sistema inercial
58. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Las matemáticas de la relatividad especial
si A ∈ L2 es un punto del plano, entonces A representa un
suceso, un evento
un mismo punto A tiene distintas coordenadas según el
observador inercial que consideremos
pero aunque A se lea de forma distinta según el
observador, sabemos que hay cosas invariantes: el
estudio de las propiedades que permanecen invariantes
es muy importante porque tales propiedades no
dependen del observador: serán leyes físicas válidas
para cualquier sistema inercial
59. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Las matemáticas de la relatividad especial
si A ∈ L2 es un punto del plano, entonces A representa un
suceso, un evento
un mismo punto A tiene distintas coordenadas según el
observador inercial que consideremos
pero aunque A se lea de forma distinta según el
observador, sabemos que hay cosas invariantes: el
estudio de las propiedades que permanecen invariantes
es muy importante porque tales propiedades no
dependen del observador: serán leyes físicas válidas
para cualquier sistema inercial
60. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Invariantes
si A, B ∈ L2 y tienen coordenadas A = (xA , tA ), B = (xB , tB )
en cierto sistema inercial, entonces consideramos el
vector AB = (xB − xA , tB − tA ) = (∆x, ∆t)
se define el módulo de AB como
|AB| = ±(∆x)2 (∆t)2
es una buena definición ya que no depende de las
coordenadas escogidas (recuérdese la invarianza del
intervalo)
61. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Invariantes
si A, B ∈ L2 y tienen coordenadas A = (xA , tA ), B = (xB , tB )
en cierto sistema inercial, entonces consideramos el
vector AB = (xB − xA , tB − tA ) = (∆x, ∆t)
se define el módulo de AB como
|AB| = ±(∆x)2 (∆t)2
es una buena definición ya que no depende de las
coordenadas escogidas (recuérdese la invarianza del
intervalo)
62. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Invariantes
si A, B ∈ L2 y tienen coordenadas A = (xA , tA ), B = (xB , tB )
en cierto sistema inercial, entonces consideramos el
vector AB = (xB − xA , tB − tA ) = (∆x, ∆t)
se define el módulo de AB como
|AB| = ±(∆x)2 (∆t)2
es una buena definición ya que no depende de las
coordenadas escogidas (recuérdese la invarianza del
intervalo)
63. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Tipos de vectores
si (∆x)2 − (∆t)2 > 0 diremos que AB es un vector
espacial (A y B no están conectados causalmente, no
modelan nada)
si (∆x)2 − (∆t)2 < 0 diremos que AB es un vector
temporal (A y B están conectados causalmente, modelan
las trayectorias permitidas)
si (∆x)2 − (∆t)2 = 0 diremos que AB es un vector
luminoso (A y B están en la trayectoria de una partícula
luminosa)
64. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Tipos de vectores
si (∆x)2 − (∆t)2 > 0 diremos que AB es un vector
espacial (A y B no están conectados causalmente, no
modelan nada)
si (∆x)2 − (∆t)2 < 0 diremos que AB es un vector
temporal (A y B están conectados causalmente, modelan
las trayectorias permitidas)
si (∆x)2 − (∆t)2 = 0 diremos que AB es un vector
luminoso (A y B están en la trayectoria de una partícula
luminosa)
65. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Tipos de vectores
si (∆x)2 − (∆t)2 > 0 diremos que AB es un vector
espacial (A y B no están conectados causalmente, no
modelan nada)
si (∆x)2 − (∆t)2 < 0 diremos que AB es un vector
temporal (A y B están conectados causalmente, modelan
las trayectorias permitidas)
si (∆x)2 − (∆t)2 = 0 diremos que AB es un vector
luminoso (A y B están en la trayectoria de una partícula
luminosa)
66. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Cosas curiosas
podemos definir a partir del módulo un producto escalar en
L2 así: si v , w son vectores entonces
v , w = v1 w1 − v2 w2
siendo (v1 , v2 ) y (w1 , w2 ) las coordenadas de v y w en un
sistema inercial
noción de ortogonalidad: (2, 1) ⊥ (1, 2) y (1, 1) ⊥ (1, 1)
cambian más cosas... los ángulos, las áreas, etc.
67. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Cosas curiosas
podemos definir a partir del módulo un producto escalar en
L2 así: si v , w son vectores entonces
v , w = v1 w1 − v2 w2
siendo (v1 , v2 ) y (w1 , w2 ) las coordenadas de v y w en un
sistema inercial
noción de ortogonalidad: (2, 1) ⊥ (1, 2) y (1, 1) ⊥ (1, 1)
cambian más cosas... los ángulos, las áreas, etc.
68. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Cosas curiosas
podemos definir a partir del módulo un producto escalar en
L2 así: si v , w son vectores entonces
v , w = v1 w1 − v2 w2
siendo (v1 , v2 ) y (w1 , w2 ) las coordenadas de v y w en un
sistema inercial
noción de ortogonalidad: (2, 1) ⊥ (1, 2) y (1, 1) ⊥ (1, 1)
cambian más cosas... los ángulos, las áreas, etc.
69. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
En definitiva... cambian las propiedades
métricas
la desigualdad triangular3 es falsa en este ambiente para
vectores temporales: si v = (1, 2), w = (−1, 2) entonces
√
|v | = |w| = 3 y |v + w| = 4
por lo que |v | + |w| < |v + w|
consecuencia: en este ambiente, y dentro de las
trayectorias permitidas (= trayectorias temporales) las
líneas rectas son las distancias MÁS LARGAS entre dos
puntos
esto no nos debería sorprender después de haber
entendido la paradoja de los gemelos
3
Esto es porque la desigualdad de Cauchy-Schwarz va al revés
70. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
En definitiva... cambian las propiedades
métricas
la desigualdad triangular3 es falsa en este ambiente para
vectores temporales: si v = (1, 2), w = (−1, 2) entonces
√
|v | = |w| = 3 y |v + w| = 4
por lo que |v | + |w| < |v + w|
consecuencia: en este ambiente, y dentro de las
trayectorias permitidas (= trayectorias temporales) las
líneas rectas son las distancias MÁS LARGAS entre dos
puntos
esto no nos debería sorprender después de haber
entendido la paradoja de los gemelos
3
Esto es porque la desigualdad de Cauchy-Schwarz va al revés
71. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
En definitiva... cambian las propiedades
métricas
la desigualdad triangular3 es falsa en este ambiente para
vectores temporales: si v = (1, 2), w = (−1, 2) entonces
√
|v | = |w| = 3 y |v + w| = 4
por lo que |v | + |w| < |v + w|
consecuencia: en este ambiente, y dentro de las
trayectorias permitidas (= trayectorias temporales) las
líneas rectas son las distancias MÁS LARGAS entre dos
puntos
esto no nos debería sorprender después de haber
entendido la paradoja de los gemelos
3
Esto es porque la desigualdad de Cauchy-Schwarz va al revés
72. de la paradoja
Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Un esquema espacio-temporal
73. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Definición de tiempo propio
74. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Definición de tiempo propio
75. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Líneas rectas: las más largas
76. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Resumiendo...
el plano de Minkowski L2 es un plano de toda la vida y,
entre todos las coordenadas para ese plano (que hay
infinitas... polares etc.) nos cogemos unas cartesianas que
representan un sistema inercial
a partir de éstas tenemos todas las demás con las
transformaciones de Lorentz
en dicho plano definimos un NOVEDOSO producto escalar
que, en coordenadas inerciales, siempre se escribe igual:
(+−) (lo análogo a que en coordenadas cartesianas, el
producto escalar euclídeo se escriba siempre (++))
77. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Resumiendo...
el plano de Minkowski L2 es un plano de toda la vida y,
entre todos las coordenadas para ese plano (que hay
infinitas... polares etc.) nos cogemos unas cartesianas que
representan un sistema inercial
a partir de éstas tenemos todas las demás con las
transformaciones de Lorentz
en dicho plano definimos un NOVEDOSO producto escalar
que, en coordenadas inerciales, siempre se escribe igual:
(+−) (lo análogo a que en coordenadas cartesianas, el
producto escalar euclídeo se escriba siempre (++))
78. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Resumiendo...
el plano de Minkowski L2 es un plano de toda la vida y,
entre todos las coordenadas para ese plano (que hay
infinitas... polares etc.) nos cogemos unas cartesianas que
representan un sistema inercial
a partir de éstas tenemos todas las demás con las
transformaciones de Lorentz
en dicho plano definimos un NOVEDOSO producto escalar
que, en coordenadas inerciales, siempre se escribe igual:
(+−) (lo análogo a que en coordenadas cartesianas, el
producto escalar euclídeo se escriba siempre (++))
79. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Resumiendo...
la geometría de L2 es bastante extraña... ángulos,
distancias, áreas, ortogonalidad
no obstante, hay algunas propiedades que se parecen
bastante a las del plano euclídeo E2 , por ejemplo:
Si en el plano E2 la distancia más corta entre dos
puntos es la línea recta, en el plano L2 la
distancia más larga entre dos puntos
(causalmente relacionados) es la línea recta
interesante... ¿verdad?
80. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Resumiendo...
la geometría de L2 es bastante extraña... ángulos,
distancias, áreas, ortogonalidad
no obstante, hay algunas propiedades que se parecen
bastante a las del plano euclídeo E2 , por ejemplo:
Si en el plano E2 la distancia más corta entre dos
puntos es la línea recta, en el plano L2 la
distancia más larga entre dos puntos
(causalmente relacionados) es la línea recta
interesante... ¿verdad?
81. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Resumiendo...
la geometría de L2 es bastante extraña... ángulos,
distancias, áreas, ortogonalidad
no obstante, hay algunas propiedades que se parecen
bastante a las del plano euclídeo E2 , por ejemplo:
Si en el plano E2 la distancia más corta entre dos
puntos es la línea recta, en el plano L2 la
distancia más larga entre dos puntos
(causalmente relacionados) es la línea recta
interesante... ¿verdad?
82. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Resumiendo...
en la geometría de L2 está codificada toda la relatividad
especial de Einstein
a Einstein no le convencía mucho este tipo de modelos
matemáticos... decía que oscurecía la visión física e
intuitiva que él tenía de las cosas
así, reaccionó con cierta indiferencia cuando este modelo
aparece en 1908 propuesto por Hermann Minkowski...
[...] henceforth space by itself and time by itself
are doomed to fade away into mere shadows, and
only a kind of union of the two will preserve an
independent reality [...]
83. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Resumiendo...
en la geometría de L2 está codificada toda la relatividad
especial de Einstein
a Einstein no le convencía mucho este tipo de modelos
matemáticos... decía que oscurecía la visión física e
intuitiva que él tenía de las cosas
así, reaccionó con cierta indiferencia cuando este modelo
aparece en 1908 propuesto por Hermann Minkowski...
[...] henceforth space by itself and time by itself
are doomed to fade away into mere shadows, and
only a kind of union of the two will preserve an
independent reality [...]
84. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Resumiendo...
en la geometría de L2 está codificada toda la relatividad
especial de Einstein
a Einstein no le convencía mucho este tipo de modelos
matemáticos... decía que oscurecía la visión física e
intuitiva que él tenía de las cosas
así, reaccionó con cierta indiferencia cuando este modelo
aparece en 1908 propuesto por Hermann Minkowski...
[...] henceforth space by itself and time by itself
are doomed to fade away into mere shadows, and
only a kind of union of the two will preserve an
independent reality [...]
85. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Terminamos otra vez con los gemelos...
87. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Tras la relatividad especial...
...queremos pasar de lo inercial al mundo real
Einstein quiere pasar del ámbito inercial – la nave de
Homer Simpson y las patatas fritas voladoras en la que los
objetos libres se mueven siguiendo líneas rectas en el
espacio-tiempo llano – al...
...ámbito gravitacional en el que los objetos están
acelerados por la presencia de la masa y sus trayectorias
están curvadas (nuestro mundo real de todos los días)
88. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Tras la relatividad especial...
...queremos pasar de lo inercial al mundo real
Einstein quiere pasar del ámbito inercial – la nave de
Homer Simpson y las patatas fritas voladoras en la que los
objetos libres se mueven siguiendo líneas rectas en el
espacio-tiempo llano – al...
...ámbito gravitacional en el que los objetos están
acelerados por la presencia de la masa y sus trayectorias
están curvadas (nuestro mundo real de todos los días)
89. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Tras la relatividad especial...
...queremos pasar de lo inercial al mundo real
Einstein quiere pasar del ámbito inercial – la nave de
Homer Simpson y las patatas fritas voladoras en la que los
objetos libres se mueven siguiendo líneas rectas en el
espacio-tiempo llano – al...
...ámbito gravitacional en el que los objetos están
acelerados por la presencia de la masa y sus trayectorias
están curvadas (nuestro mundo real de todos los días)
90. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Tras la relatividad especial...
...viene la general
Einstein quiere extender sus ideas y teorías a cualquier
sistema de referencia (covarianza)
relatividad especial es la abolición del espacio absoluto
como sistema inercial preferente (Maxwell, éter)
relatividad general es la abolición de los sistemas
inerciales como sistemas preferentes para la física (Mach)
Una idea genial (1907)
Pregunta: ¿Cuál es la situación más parecida o
equivalente a la inercial dentro del ámbito gravitatorio?
Respuesta: la situación de caída libre.
91. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Tras la relatividad especial...
...viene la general
Einstein quiere extender sus ideas y teorías a cualquier
sistema de referencia (covarianza)
relatividad especial es la abolición del espacio absoluto
como sistema inercial preferente (Maxwell, éter)
relatividad general es la abolición de los sistemas
inerciales como sistemas preferentes para la física (Mach)
Una idea genial (1907)
Pregunta: ¿Cuál es la situación más parecida o
equivalente a la inercial dentro del ámbito gravitatorio?
Respuesta: la situación de caída libre.
92. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Tras la relatividad especial...
...viene la general
Einstein quiere extender sus ideas y teorías a cualquier
sistema de referencia (covarianza)
relatividad especial es la abolición del espacio absoluto
como sistema inercial preferente (Maxwell, éter)
relatividad general es la abolición de los sistemas
inerciales como sistemas preferentes para la física (Mach)
Una idea genial (1907)
Pregunta: ¿Cuál es la situación más parecida o
equivalente a la inercial dentro del ámbito gravitatorio?
Respuesta: la situación de caída libre.
93. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Tras la relatividad especial...
...viene la general
Einstein quiere extender sus ideas y teorías a cualquier
sistema de referencia (covarianza)
relatividad especial es la abolición del espacio absoluto
como sistema inercial preferente (Maxwell, éter)
relatividad general es la abolición de los sistemas
inerciales como sistemas preferentes para la física (Mach)
Una idea genial (1907)
Pregunta: ¿Cuál es la situación más parecida o
equivalente a la inercial dentro del ámbito gravitatorio?
Respuesta: la situación de caída libre.
94. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Tras la relatividad especial...
...viene la general
Einstein quiere extender sus ideas y teorías a cualquier
sistema de referencia (covarianza)
relatividad especial es la abolición del espacio absoluto
como sistema inercial preferente (Maxwell, éter)
relatividad general es la abolición de los sistemas
inerciales como sistemas preferentes para la física (Mach)
Una idea genial (1907)
Pregunta: ¿Cuál es la situación más parecida o
equivalente a la inercial dentro del ámbito gravitatorio?
Respuesta: la situación de caída libre.
95. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Tras la relatividad especial...
...viene la general
Einstein quiere extender sus ideas y teorías a cualquier
sistema de referencia (covarianza)
relatividad especial es la abolición del espacio absoluto
como sistema inercial preferente (Maxwell, éter)
relatividad general es la abolición de los sistemas
inerciales como sistemas preferentes para la física (Mach)
Una idea genial (1907)
Pregunta: ¿Cuál es la situación más parecida o
equivalente a la inercial dentro del ámbito gravitatorio?
Respuesta: la situación de caída libre.
96. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
En caída libre...
...si estamos dentro de un ascensor y éste se encuentra en
caída libre, todos los experimentos que efectuemos dentro del
ascensor son equivalentes a los que podríamos hacer en un
laboratorio inercial...
97. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
¿Por qué?
En un ascensor en
caída libre...
...si jugamos con una
pelota de tenis, desde
nuestra perspectiva
ésta se moverá
siempre siguiendo una
línea recta, como si
estuviéramos en el
espacio exterior (en un
sistema inercial)
98. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
En caída libre...
...lo que antes era curvo ahora se vuelve recto
99. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
En caída libre...
...lo que antes era curvo ahora se vuelve recto
?
100. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
En caída libre...
...lo que antes era curvo ahora se vuelve recto
?
)
101. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
En caída libre...
...lo que antes era curvo ahora se vuelve recto
?
)
102. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
En caída libre...
...lo que antes era curvo ahora se vuelve recto
?
6
)
103. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
El Principio de Equivalencia
Enunciado del Principio de Equivalencia
No hay diferencia entre los experimentos realizados – o entre
la física – en el ámbito de un pequeño sistema en caída libre y
en el ámbito de un sistema inercial.
Consecuencias (fáciles de deducir, difíciles de
probar experimentalmente)
la masa influye en la trayectoria de la luz y la curva
dilatación gravitatoria del tiempo: el tiempo fluye más
lentamente conforme uno está más próximo a un cuerpo
con masa (aprox. 300 partes de un trillón en un sistema
habitación-tierra).
104. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
El Principio de Equivalencia
Enunciado del Principio de Equivalencia
No hay diferencia entre los experimentos realizados – o entre
la física – en el ámbito de un pequeño sistema en caída libre y
en el ámbito de un sistema inercial.
Consecuencias (fáciles de deducir, difíciles de
probar experimentalmente)
la masa influye en la trayectoria de la luz y la curva
dilatación gravitatoria del tiempo: el tiempo fluye más
lentamente conforme uno está más próximo a un cuerpo
con masa (aprox. 300 partes de un trillón en un sistema
habitación-tierra).
105. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
El Principio de Equivalencia
Enunciado del Principio de Equivalencia
No hay diferencia entre los experimentos realizados – o entre
la física – en el ámbito de un pequeño sistema en caída libre y
en el ámbito de un sistema inercial.
Consecuencias (fáciles de deducir, difíciles de
probar experimentalmente)
la masa influye en la trayectoria de la luz y la curva
dilatación gravitatoria del tiempo: el tiempo fluye más
lentamente conforme uno está más próximo a un cuerpo
con masa (aprox. 300 partes de un trillón en un sistema
habitación-tierra).
106. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
El Principio de Equivalencia
Enunciado del Principio de Equivalencia
No hay diferencia entre los experimentos realizados – o entre
la física – en el ámbito de un pequeño sistema en caída libre y
en el ámbito de un sistema inercial.
Consecuencias (fáciles de deducir, difíciles de
probar experimentalmente)
la masa influye en la trayectoria de la luz y la curva
dilatación gravitatoria del tiempo: el tiempo fluye más
lentamente conforme uno está más próximo a un cuerpo
con masa (aprox. 300 partes de un trillón en un sistema
habitación-tierra).
107. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
¿Cómo se curva la luz?
Otra lectura del
principio de
equivalencia
No hay diferencia entre un
pequeño sistema de
referencia sujeto a la
gravedad y un sistema de
referencia acelerado en la
misma magnitud.
108. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
¿Cómo se curva la luz?
La luz es atraída por la gravedad...
Con este experimento – mental – se demuestra que la luz debe
ser atraída por la gravedad de la tierra, si aceptamos como
válido el principio de equivalencia
109. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
¿Por qué sistemas pequeños?
Respuesta:
Porque cuando son grandes los dos
sistemas no son EQUIVALENTES
como se ve aquí... ya que aparecen
LAS FUERZAS DE MAREA
(observad que las bolas en la misma
vertical se separan mientras que las
que están a la misma altura se
aproximan)
110. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
¿Qué son las fuerzas de marea?
Si estamos cayendo hacia la tierra... ¿qué
sentimos?
111. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
¿Qué son las fuerzas de marea?
Son las fuerzas que provocan las mareas...
112. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Las fuerzas de marea...
Dependen de la escala...
Del tamaño del objeto que está en caída libre
Del tamaño y la masa del objeto que crea la gravedad (el
radio de la tierra y su masa).
...y dieron paso a otra genialidad de Einstein...
Para Einstein, las fuerzas de marea son la manifestación más
clara de que el espacio-tiempo 4-dimensional está curvado por
la presencia de materia (y energía).
En resumen:
La materia y la energía curvan el espacio-tiempo
cuatro-dimensional: el espacio-tiempo tiene curvatura. ¿PERO
QUÉ SIGNIFICA LA PALABRA CURVATURA?
113. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Las fuerzas de marea...
Dependen de la escala...
Del tamaño del objeto que está en caída libre
Del tamaño y la masa del objeto que crea la gravedad (el
radio de la tierra y su masa).
...y dieron paso a otra genialidad de Einstein...
Para Einstein, las fuerzas de marea son la manifestación más
clara de que el espacio-tiempo 4-dimensional está curvado por
la presencia de materia (y energía).
En resumen:
La materia y la energía curvan el espacio-tiempo
cuatro-dimensional: el espacio-tiempo tiene curvatura. ¿PERO
QUÉ SIGNIFICA LA PALABRA CURVATURA?
114. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Las fuerzas de marea...
Dependen de la escala...
Del tamaño del objeto que está en caída libre
Del tamaño y la masa del objeto que crea la gravedad (el
radio de la tierra y su masa).
...y dieron paso a otra genialidad de Einstein...
Para Einstein, las fuerzas de marea son la manifestación más
clara de que el espacio-tiempo 4-dimensional está curvado por
la presencia de materia (y energía).
En resumen:
La materia y la energía curvan el espacio-tiempo
cuatro-dimensional: el espacio-tiempo tiene curvatura. ¿PERO
QUÉ SIGNIFICA LA PALABRA CURVATURA?
115. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Las fuerzas de marea...
Dependen de la escala...
Del tamaño del objeto que está en caída libre
Del tamaño y la masa del objeto que crea la gravedad (el
radio de la tierra y su masa).
...y dieron paso a otra genialidad de Einstein...
Para Einstein, las fuerzas de marea son la manifestación más
clara de que el espacio-tiempo 4-dimensional está curvado por
la presencia de materia (y energía).
En resumen:
La materia y la energía curvan el espacio-tiempo
cuatro-dimensional: el espacio-tiempo tiene curvatura. ¿PERO
QUÉ SIGNIFICA LA PALABRA CURVATURA?
116. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Las fuerzas de marea...
Dependen de la escala...
Del tamaño del objeto que está en caída libre
Del tamaño y la masa del objeto que crea la gravedad (el
radio de la tierra y su masa).
...y dieron paso a otra genialidad de Einstein...
Para Einstein, las fuerzas de marea son la manifestación más
clara de que el espacio-tiempo 4-dimensional está curvado por
la presencia de materia (y energía).
En resumen:
La materia y la energía curvan el espacio-tiempo
cuatro-dimensional: el espacio-tiempo tiene curvatura. ¿PERO
QUÉ SIGNIFICA LA PALABRA CURVATURA?
118. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
¿Qué es la curvatura?
Comenzamos trabajando en un mundo 1-dimensional... y
nos preguntamos si se puede hablar de curvatura en ese
mundo...
Un mundo 1-dimensional es un sitio en el que sólo hay
una dimensión para moverse; a su vez, en esa dimensión
hay dos sentidos. Un ejemplo de mundo 1-dimensional es
una curva
Vamos a pensar en una curva plana – contenida en un
plano – para simplificar nuestro trabajo
119. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
¿Qué es la curvatura?
Comenzamos trabajando en un mundo 1-dimensional... y
nos preguntamos si se puede hablar de curvatura en ese
mundo...
Un mundo 1-dimensional es un sitio en el que sólo hay
una dimensión para moverse; a su vez, en esa dimensión
hay dos sentidos. Un ejemplo de mundo 1-dimensional es
una curva
Vamos a pensar en una curva plana – contenida en un
plano – para simplificar nuestro trabajo
120. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
¿Qué es la curvatura?
Comenzamos trabajando en un mundo 1-dimensional... y
nos preguntamos si se puede hablar de curvatura en ese
mundo...
Un mundo 1-dimensional es un sitio en el que sólo hay
una dimensión para moverse; a su vez, en esa dimensión
hay dos sentidos. Un ejemplo de mundo 1-dimensional es
una curva
Vamos a pensar en una curva plana – contenida en un
plano – para simplificar nuestro trabajo
121. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Primeras nociones intuitivas
La curva plana más elemental es, precisamente, una línea
recta... todos convenimos en que si definimos la noción de
curvatura, una línea recta debe tener curvatura cero: no
tiene curvatura
Otra curva plana elemental es la circunferencia... ésta
parece curvarse y además su manera de hacerlo es
idéntica en todos sus puntos por lo que si definimos la
noción de curvatura, para una circunferencia deberá ser
constante y no nula
¿qué hacemos a continuación?
122. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Primeras nociones intuitivas
La curva plana más elemental es, precisamente, una línea
recta... todos convenimos en que si definimos la noción de
curvatura, una línea recta debe tener curvatura cero: no
tiene curvatura
Otra curva plana elemental es la circunferencia... ésta
parece curvarse y además su manera de hacerlo es
idéntica en todos sus puntos por lo que si definimos la
noción de curvatura, para una circunferencia deberá ser
constante y no nula
¿qué hacemos a continuación?
123. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Primeras nociones intuitivas
La curva plana más elemental es, precisamente, una línea
recta... todos convenimos en que si definimos la noción de
curvatura, una línea recta debe tener curvatura cero: no
tiene curvatura
Otra curva plana elemental es la circunferencia... ésta
parece curvarse y además su manera de hacerlo es
idéntica en todos sus puntos por lo que si definimos la
noción de curvatura, para una circunferencia deberá ser
constante y no nula
¿qué hacemos a continuación?
124. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Curvatura de una curva como aceleración
Supongamos que viajamos a través de la curva con
velocidad constante – en módulo – e igual a 1
(normalización)
Si α(t) = (x(t), y (t)) donde t es el tiempo, entonces
α (t) = (x , y ) y la aceleración cumple
(x , y ) = α = aα + bJ(α )
donde a, b nos números y J es la rotación de 90 grados.
Al ser la velocidad constante, se tiene
0 = ( α ,α ) = 2 α ,α
por lo que a = 0 y la aceleración es normal viniendo dada
por el valor de b
125. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Curvatura de una curva como aceleración
Supongamos que viajamos a través de la curva con
velocidad constante – en módulo – e igual a 1
(normalización)
Si α(t) = (x(t), y (t)) donde t es el tiempo, entonces
α (t) = (x , y ) y la aceleración cumple
(x , y ) = α = aα + bJ(α )
donde a, b nos números y J es la rotación de 90 grados.
Al ser la velocidad constante, se tiene
0 = ( α ,α ) = 2 α ,α
por lo que a = 0 y la aceleración es normal viniendo dada
por el valor de b
126. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Curvatura de una curva como aceleración
Supongamos que viajamos a través de la curva con
velocidad constante – en módulo – e igual a 1
(normalización)
Si α(t) = (x(t), y (t)) donde t es el tiempo, entonces
α (t) = (x , y ) y la aceleración cumple
(x , y ) = α = aα + bJ(α )
donde a, b nos números y J es la rotación de 90 grados.
Al ser la velocidad constante, se tiene
0 = ( α ,α ) = 2 α ,α
por lo que a = 0 y la aceleración es normal viniendo dada
por el valor de b
127. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Para curvas concretas...
...es sencillo calcular el valor de b... por ejemplo, para una
recta se tiene que α = 0 por lo que
0 = bJ(α )
y de ahí b = 0 – que es lo natural... puesto que no hay
aceleración
Si la curva es una circunferencia de radio r , entonces
α(t) = (rcos(t/r ), rsen(t/r )) y unas cuentas sencillas nos
llevan a que
b = ±1/r
donde el signo depende del sentido en que recorramos la
circunferencia
Definimos la curvatura de una recta como cero y la
curvatura de una circunferencia como el inverso de su
radio
128. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Para curvas concretas...
...es sencillo calcular el valor de b... por ejemplo, para una
recta se tiene que α = 0 por lo que
0 = bJ(α )
y de ahí b = 0 – que es lo natural... puesto que no hay
aceleración
Si la curva es una circunferencia de radio r , entonces
α(t) = (rcos(t/r ), rsen(t/r )) y unas cuentas sencillas nos
llevan a que
b = ±1/r
donde el signo depende del sentido en que recorramos la
circunferencia
Definimos la curvatura de una recta como cero y la
curvatura de una circunferencia como el inverso de su
radio
129. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Para curvas concretas...
...es sencillo calcular el valor de b... por ejemplo, para una
recta se tiene que α = 0 por lo que
0 = bJ(α )
y de ahí b = 0 – que es lo natural... puesto que no hay
aceleración
Si la curva es una circunferencia de radio r , entonces
α(t) = (rcos(t/r ), rsen(t/r )) y unas cuentas sencillas nos
llevan a que
b = ±1/r
donde el signo depende del sentido en que recorramos la
circunferencia
Definimos la curvatura de una recta como cero y la
curvatura de una circunferencia como el inverso de su
radio
130. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Es una definición estupenda
porque se comporta de la manera esperada y describe
perfectamente lo que podemos entender por curvatura... si
la circunferencia es más pequeña – menos radio –
entonces está más curvada...
además nos permite ver una recta como una
circunferencia de radio infinito... por eso su curvatura es
cero
es muy operativa ya que funciona para todo tipo de
curvas... además responde a la intuición física pues es
precisamente la aceleración centrífuga que experimenta
una partícula que se mueve a velocidad constante uno –
en módulo
131. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Es una definición estupenda
porque se comporta de la manera esperada y describe
perfectamente lo que podemos entender por curvatura... si
la circunferencia es más pequeña – menos radio –
entonces está más curvada...
además nos permite ver una recta como una
circunferencia de radio infinito... por eso su curvatura es
cero
es muy operativa ya que funciona para todo tipo de
curvas... además responde a la intuición física pues es
precisamente la aceleración centrífuga que experimenta
una partícula que se mueve a velocidad constante uno –
en módulo
132. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Es una definición estupenda
porque se comporta de la manera esperada y describe
perfectamente lo que podemos entender por curvatura... si
la circunferencia es más pequeña – menos radio –
entonces está más curvada...
además nos permite ver una recta como una
circunferencia de radio infinito... por eso su curvatura es
cero
es muy operativa ya que funciona para todo tipo de
curvas... además responde a la intuición física pues es
precisamente la aceleración centrífuga que experimenta
una partícula que se mueve a velocidad constante uno –
en módulo
133. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Pero tiene un grave problema...
...porque no es una definición intrínseca
ya que necesitamos ver la curva 1D en otro espacio mayor
– el plano 2D – para que tenga sentido
más aún... habitantes 1D de la curva jamás apreciarán la
curvatura ya que sólo viven, sienten y padecen en una
dimensión... para ellos no hay aceleración centrífuga ni
cosas por el estilo... ellos no podrían apreciar la curvatura
de su mundo si la definimos en estos términos
134. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Pero tiene un grave problema...
...porque no es una definición intrínseca
ya que necesitamos ver la curva 1D en otro espacio mayor
– el plano 2D – para que tenga sentido
más aún... habitantes 1D de la curva jamás apreciarán la
curvatura ya que sólo viven, sienten y padecen en una
dimensión... para ellos no hay aceleración centrífuga ni
cosas por el estilo... ellos no podrían apreciar la curvatura
de su mundo si la definimos en estos términos
135. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Pero tiene un grave problema...
...porque no es una definición intrínseca
ya que necesitamos ver la curva 1D en otro espacio mayor
– el plano 2D – para que tenga sentido
más aún... habitantes 1D de la curva jamás apreciarán la
curvatura ya que sólo viven, sienten y padecen en una
dimensión... para ellos no hay aceleración centrífuga ni
cosas por el estilo... ellos no podrían apreciar la curvatura
de su mundo si la definimos en estos términos
136. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Lo que ocurre es más radical...
en realidad, lo que ocurre es que – desde un punto de
vista intrínseco – todas las curvas son indistinguibles en
lo que concierne a su geometría
¿qué significa esto?
que un habitante 1D haciendo medidas en su mundo no
puede distinguir si vive en una recta o en una curva –
consideraciones topológicas aparte
¿y entonces?
pues que todos los mundos 1D son – desde dentro y salvo
topología – geométricamente indistinguibles
137. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Lo que ocurre es más radical...
en realidad, lo que ocurre es que – desde un punto de
vista intrínseco – todas las curvas son indistinguibles en
lo que concierne a su geometría
¿qué significa esto?
que un habitante 1D haciendo medidas en su mundo no
puede distinguir si vive en una recta o en una curva –
consideraciones topológicas aparte
¿y entonces?
pues que todos los mundos 1D son – desde dentro y salvo
topología – geométricamente indistinguibles
138. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Lo que ocurre es más radical...
en realidad, lo que ocurre es que – desde un punto de
vista intrínseco – todas las curvas son indistinguibles en
lo que concierne a su geometría
¿qué significa esto?
que un habitante 1D haciendo medidas en su mundo no
puede distinguir si vive en una recta o en una curva –
consideraciones topológicas aparte
¿y entonces?
pues que todos los mundos 1D son – desde dentro y salvo
topología – geométricamente indistinguibles
139. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Lo que ocurre es más radical...
en realidad, lo que ocurre es que – desde un punto de
vista intrínseco – todas las curvas son indistinguibles en
lo que concierne a su geometría
¿qué significa esto?
que un habitante 1D haciendo medidas en su mundo no
puede distinguir si vive en una recta o en una curva –
consideraciones topológicas aparte
¿y entonces?
pues que todos los mundos 1D son – desde dentro y salvo
topología – geométricamente indistinguibles
140. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Lo que ocurre es más radical...
en realidad, lo que ocurre es que – desde un punto de
vista intrínseco – todas las curvas son indistinguibles en
lo que concierne a su geometría
¿qué significa esto?
que un habitante 1D haciendo medidas en su mundo no
puede distinguir si vive en una recta o en una curva –
consideraciones topológicas aparte
¿y entonces?
pues que todos los mundos 1D son – desde dentro y salvo
topología – geométricamente indistinguibles
141. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Conclusiones
es posible definir la curvatura de una curva como una
medida que coincide con la aceleración
desde un punto de vista extrínseco es una medida
excelente
desde un punto de vista intrínseco – el de los habitantes
del mundo 1D – es una medida imposible de obtener
más aún: los habitantes de un mundo 1D no pueden
distinguir si viven en un mundo 1D curvo o recto... para
ellos la geometría es monótona y aburrida
142. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Conclusiones
es posible definir la curvatura de una curva como una
medida que coincide con la aceleración
desde un punto de vista extrínseco es una medida
excelente
desde un punto de vista intrínseco – el de los habitantes
del mundo 1D – es una medida imposible de obtener
más aún: los habitantes de un mundo 1D no pueden
distinguir si viven en un mundo 1D curvo o recto... para
ellos la geometría es monótona y aburrida
143. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Conclusiones
es posible definir la curvatura de una curva como una
medida que coincide con la aceleración
desde un punto de vista extrínseco es una medida
excelente
desde un punto de vista intrínseco – el de los habitantes
del mundo 1D – es una medida imposible de obtener
más aún: los habitantes de un mundo 1D no pueden
distinguir si viven en un mundo 1D curvo o recto... para
ellos la geometría es monótona y aburrida
144. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Conclusiones
es posible definir la curvatura de una curva como una
medida que coincide con la aceleración
desde un punto de vista extrínseco es una medida
excelente
desde un punto de vista intrínseco – el de los habitantes
del mundo 1D – es una medida imposible de obtener
más aún: los habitantes de un mundo 1D no pueden
distinguir si viven en un mundo 1D curvo o recto... para
ellos la geometría es monótona y aburrida
145. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Mundos 2D: superficies
Figura: La superficie de un melón: elipsoide
146. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Mundos 2D: superficies
Figura: La superficie de un donuts: toro
147. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Mundos 2D: superficies
Figura: La superficie de una torre de central térmica: hiperboloide
de una hoja
148. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
¿Curvatura de una superficie?
la idea es apoyarse en lo que sabemos de la curvatura de
curvas – pese a que ya hemos visto que sólo tiene sentido
desde un punto de vista extrínseco. Esta curvatura, como
poco, nos dice lo curvada que está una curva
¿cómo aprovechamos lo que sabemos de curvas?
utilizando las secciones normales
149. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
¿Curvatura de una superficie?
la idea es apoyarse en lo que sabemos de la curvatura de
curvas – pese a que ya hemos visto que sólo tiene sentido
desde un punto de vista extrínseco. Esta curvatura, como
poco, nos dice lo curvada que está una curva
¿cómo aprovechamos lo que sabemos de curvas?
utilizando las secciones normales
150. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
¿Curvatura de una superficie?
la idea es apoyarse en lo que sabemos de la curvatura de
curvas – pese a que ya hemos visto que sólo tiene sentido
desde un punto de vista extrínseco. Esta curvatura, como
poco, nos dice lo curvada que está una curva
¿cómo aprovechamos lo que sabemos de curvas?
utilizando las secciones normales
151. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Curvatura de superficies (Euler)
Figura: En cada punto de una superficie podemos considerar su
plano tangente Tp S y su dirección normal N(p)
152. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Curvatura de superficies (Euler)
Figura: La sección normal a una superficie en un punto consiste en
tomar una dirección v en el plano tangente. A continuación, se
considera el plano generado por v y N(p) y se interseca con la
superficie: la curva – siempre plana – resultante es la sección normal
en la dirección v
153. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Curvatura de superficies (Euler)
Figura: Esto mismo lo podemos hacer en todas las direcciones del
plano tangente: tenemos así un haz de planos perpendiculares y las
secciones normales correspondientes
154. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Curvatura de superficies (Euler)
una vez que tenemos todas las secciones normales, en
cada dirección del plano tangente tenemos una curvatura:
la de la sección normal correspondiente
tomamos los valores extremos de estos valores: el mínimo
y el máximo
llegamos así a las curvaturas principales κ1 (p) y κ2 (p) y a
sus direcciones principales correspondientes...
las curvaturas principales nos proporcionan información
sobre cómo se curva la superficie en el punto
correspondiente
155. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Curvatura de superficies (Euler)
una vez que tenemos todas las secciones normales, en
cada dirección del plano tangente tenemos una curvatura:
la de la sección normal correspondiente
tomamos los valores extremos de estos valores: el mínimo
y el máximo
llegamos así a las curvaturas principales κ1 (p) y κ2 (p) y a
sus direcciones principales correspondientes...
las curvaturas principales nos proporcionan información
sobre cómo se curva la superficie en el punto
correspondiente
156. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Curvatura de superficies (Euler)
una vez que tenemos todas las secciones normales, en
cada dirección del plano tangente tenemos una curvatura:
la de la sección normal correspondiente
tomamos los valores extremos de estos valores: el mínimo
y el máximo
llegamos así a las curvaturas principales κ1 (p) y κ2 (p) y a
sus direcciones principales correspondientes...
las curvaturas principales nos proporcionan información
sobre cómo se curva la superficie en el punto
correspondiente
157. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Curvatura de superficies (Euler)
una vez que tenemos todas las secciones normales, en
cada dirección del plano tangente tenemos una curvatura:
la de la sección normal correspondiente
tomamos los valores extremos de estos valores: el mínimo
y el máximo
llegamos así a las curvaturas principales κ1 (p) y κ2 (p) y a
sus direcciones principales correspondientes...
las curvaturas principales nos proporcionan información
sobre cómo se curva la superficie en el punto
correspondiente
158. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Curvatura de superficies (Euler)
Figura: Secciones normales en un punto del plano: todas las
secciones son líneas rectas por lo que κ1 = κ2 = 0 (puntos planos)
159. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Curvatura de superficies (Euler)
Figura: Secciones normales en un punto de la esfera: todas ellas
son circunferencias con el mismo radio que la esfera, por lo que
κ1 = κ2 = 1/r (puntos elípticos)
160. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Curvatura de superficies (Euler)
Figura: Secciones normales en el cilindro: una elipse en este caso
161. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Curvatura de superficies (Euler)
Figura: Secciones normales en el cilindro: una recta por lo que
κ1 = 0
162. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Curvatura de superficies (Euler)
Figura: Secciones normales en el cilindro: una circunferencia por lo
que κ2 = 1/r (puntos parabólicos)
163. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Candidatos a ser la curvatura
las dos curvaturas principales κ1 (P) y κ2 (P)
alguna de las dos
una combinación de ellas... por ejemplo la curvatura
media:
κ1 (P) + κ2 (P)
H(p) =
2
o el producto de ambas, la curvatura de Gauss:
K (p) = κ1 (P)κ2 (P)
164. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Candidatos a ser la curvatura
las dos curvaturas principales κ1 (P) y κ2 (P)
alguna de las dos
una combinación de ellas... por ejemplo la curvatura
media:
κ1 (P) + κ2 (P)
H(p) =
2
o el producto de ambas, la curvatura de Gauss:
K (p) = κ1 (P)κ2 (P)
165. Intervalo Gemelos Minkowski EP Curvatura Métricas Schwarzschild
Candidatos a ser la curvatura
las dos curvaturas principales κ1 (P) y κ2 (P)
alguna de las dos
una combinación de ellas... por ejemplo la curvatura
media:
κ1 (P) + κ2 (P)
H(p) =
2
o el producto de ambas, la curvatura de Gauss:
K (p) = κ1 (P)κ2 (P)