Este documento trata sobre los conceptos de grado relativo y grado absoluto de un polinomio. El grado relativo de un polinomio está representado por el mayor exponente de una variable dada, mientras que el grado absoluto está representado por el monomio de mayor grado general. Se proporcionan ejemplos y ejercicios resueltos para ilustrar estos conceptos.

1. Polinomios
Grado relativo (G.R.)
Prof. Lucas Tapia Lucero
El grado relativo de un polinomio está representado por el Mayor Exponente de dicha letra o variable.
Ejemplo (1) Ejemplo (2)
• Dado el polinomio: • Dado el polinomio:
F(x;y;z)  6x 2y 3z  9x3y 4 z6  15xy 5z3
P(x;y) = 6x5y 2  9x 4 y3  7x3y 4
- Grado relativo con respecto a la variable "x" es: 3
- Grado relativo con respecto a la variable "x" es: 5 - Grado relativo con respecto a la variable "y" es: 5
- Grado relativo con respecto a la variable "y" es: 4 - Grado relativo con respecto a la variable "z" es: 6
Grado absoluto (G.A.)
El grado absoluto de un polinomio está representado por el monomio de mayor grado.
Ejercicio 1 En el polinomio: P( x;y)  xm 3yn1  xm  2yn1  xm 1yn2 . Calcular: "m" y "n" ; si el grado con
respecto a "y" es 4 y el grado absoluto del polinomio es 12.
Resolución:
• Del enunciado:
P(x;y)  xm 3yn1  xm 2yn1  xm 1yn2
* ) G.R.(y): n + 2 = 4 n = 2
Monomio de grado: Monomio de grado: Monomio de grado: **) G.A. : m + n + 4 = 12
m+n+4 m+n+3 m+n+3 m + 2 + 4 = 12  m = 6
Ejercicios Resueltos Sobre polinomios
Ejercicio 1 Calcular: "m" y "n" para que el monomio: x 4(m+n) y 3m  2n sea de GA = 80 y de grado relativo a "y" 20.
Resolución:
• De acuerdo al enunciado, planteamos las ecuaciones: Sumamos miembro a miembro las ecuaciones (1) y (2):
3m  2n  20
G.R. (y) : 3m - 2n = 20 . . . . . (1)
7m  2n  80
G.A.: 4(m + n) + 3m - 2n = 80  7m + 2n = 80 . . . (2) . M. A. M. 10m = 100   m = 10
Reemplazamos el valor de m = 10 en la expresión (1): 3(10) - 2n = 20 30 - 2n = 20  n = 5
Ejercicio 2 Hallar el coeficiente del monomio: Ejercicio 3 En el polinomio:
m n  2 m  3
1
n P( x;y)  4x y  7xm n5ym 4  13xm n6 ym  2 se ve-
-
9    x3m2n y 5mn ; si su GA es 10 y el GR(x) es 7.
m
 rifica que la diferencia entre los grados relativos a "x" e
 3
"y" es 5 y además que el menor exponente de "y" es 3.
Resolución: Hallar el grado absoluto del polinomio.
• De acuerdo al enunciado, planteamos las ecuaciones:
Resolución:
G.R. (x) : 3m + 2n = 7 . . . . . (1) • G.R.(x): m +n + 5 • G.R.(y): m + 2
G.A. : 3m + 2n + 5m - n = 10 * Del enunciado, planteamos la ecuación;
8m + n = 10  n = 10 - 8m . . . . . (2)
(m + n + 5) - (m + 2) = 5 n + 3 = 5; n=2
Reemplazamos la expresión (2) en (1):
3m + 2 (10 - 8m) = 7  3m + 20 - 16m = 7 ** El menor exponente de "y" es 3, o sea: m - 4 = 3
13 = 13m  m = 1  m=7
Ahora en (2): n = 10 - 8(1)  n=2 Luego, calculamos el GA del polinomio, veamos:
n Grado absoluto:
n  1
Luego, Coeficiente del monomio = 9    , (n + m + 5) + (m - 4) = 2m + n + 1
 3
reemplazando el valor de m = 1 y n = 2, obtenemos: 2(7) + 2 + 1 = 17
 Grado absoluto del polinomio es 17 Rpta.
2
1
1  1
Coef. del monomio = 9     9    1
 3  9

2. Ejercicios de reforzamiento Sobre polinomios
GRADO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Ejercicio 13 Determinar "n" de modo que el
Ejercicio 1 Hallar "m" si el siguiente monomio
xn1 . xn
es de segundo grado: 53 3 xm  4 monomio: M(x)  3 sea de primer grado.
6
x5n4
A) 6 B) 3 C) 5 D) 4 E) 2
A) 1 B) 5 C) 8 D) 6 E) 4
Ejercicio 2 Calcular "a" si el término 0,58x3a y 2 ,
Ejercicio 14 Calcular los valores de "m" y "n" en
es de grado 11.
P(x, y)  x y  xm 6 yn 4 ; sabiendo que el grado
m  5 n 1
A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 relativo a "y" es 7 y el grado absoluto es 20. Dar como
Ejercicio 3 Obtener: "mn", si se sabe que el si- respuesta: 2m + 3n.
guiente monomio es de noveno grado respecto a "y", y
A) 24 B) 48 C) 32 D) 64 E) 40
1
de sexto grado respecto a "x": - 2xm 1yn7 Ejercicio 15 El grado absoluto de: 2x3n1y 2n9 es
4
igual a 15. ¿Cuánto vale el grado relativo a "y"?
A) 10 B) 3 C) 14 D) 8 E) 21
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Ejercicio 4 Calcular el coeficiente del siguiente
monomio, sabiendo que es de octavo grado. Ejercicio 16 Calcular: (m + n) del monomio:
M(x,y)  15a x 2 a 1 2
y x1m . y 2-n
; sabiendo que su grado absoluto es 10 y su
x1n . y 2-m
A) 375 B) 175 C) 215 D) 225 E) 255
grado relativo a "y" es 4.
Ejercicio 5 Proporcionar "m" si el siguiente
polinomio es de grado absoluto igual a 10. A) -2 B) 6 C) 1 D) -1 E) 3
P( x)  5  8xm  4  6xm 3 . Ejercicio 17 Hallar el coeficiente del monomio:
A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 xn-2 .
7
x3n
M(x)  2n . 3 , si es de 2º grado.
4
Ejercicio 6 Si: M(x,y)  5a2 . 4
x16 . 5 y 15 , ¿GA? xn1
A) 2 B) 6 C) 10 D) 14 E) 18
A) 2 B) 3 C) 4 D) 7 E) 9
Ejercicio 18 ¿Cuántos términos tiene el siguien-
Ejercicio 7 Hallar el coeficiente del siguiente
te polinomio?
k
monomio: P( x)  2nn . xnk , si es de grado tres. P(x)  x 2n1  x 2n 2  x2n3 . . . + x3  x2  x  1
A) 2 B) k C) 9 D) 27 E) 54 A) 2n B) 2n+1 C) 3n D) 2n - 1 E) n
Ejercicio 8 ¿En cuánto excede el grado relativo Ejercicio 19 Si:
de "x" al grado relativo de "y" en:
3 m n1 16n
(2x 2y3  5x6 y 2 )(3x4 y  4x5y 4 )? P(x,y)  5xm  x y y es un polinomio
4
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 homogéneo, hallar el valor de: "m+n"
Ejercicio 9 El grado absoluto de: 2x3n1y 2n9 es A) 8 B) 10 C) 7 D) 16 E) 6
igual a 15. ¿Cuánto vale el grado relativo a "y"? Ejercicio 20 Calcular la suma de coeficientes
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 del polinomio: Q(x, y)  nxn5  3xnym  mxm 3 , si
es homogéneo.
Ejercicio 10 Hallar "P" en: 5xp 2y 2p 1z 3p 12 de
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14
modo que su grado sea: G = 5p - 6
Ejercicio 21 Si el polinomio:
A) 8 B) 9 C) 7 D) 10 E) 11
P(x) = (a - 4)x5 + 3x4 + ax5 - bx4 es idénticamente
Ejercicio 11 Si: G.R.(x)=7  G.R.(y)=8. nulo, señalar (a + b).
P(x, y)  2xm 1  6xm yn  8yn 2 ¿Cuál es el grado de
A) 4 B) 5 C) 15 D) 20 E) 25
P(x,y) ?
Ejercicio 23 Si:
A) 10 B) 12 C) 9 D) 14 E) 11
2x  5x  1  (Ax  B)( x  1)  C(x2  x  1) , calcular
2
Ejercicio 12 Calcular "mn", si el polinomio: el valor de: "A + B - C".
P( x, y)  4xm 1yn-2  6xm  2yn 2  xm 3yn 2 es tal que:
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
G.R.(y) = 8 ; G.A. = 20
A) 9 B) 19 C) 80 D) 81 E) 90 Institución Educativa Jorge Chávez