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Polinomios
          Grado relativo (G.R.)
                                                                                   Prof. Lucas Tapia Lucero
          El grado relativo de un polinomio está representado por el Mayor Exponente de dicha letra o variable.
          Ejemplo              (1)                                  Ejemplo                    (2)

          • Dado el polinomio:                                      • Dado el polinomio:
                                                                        F(x;y;z)  6x 2y 3z  9x3y 4 z6  15xy 5z3
                   P(x;y) = 6x5y 2  9x 4 y3  7x3y 4
                                                                - Grado relativo con respecto a la variable "x" es: 3
          - Grado relativo con respecto a la variable "x" es: 5 - Grado relativo con respecto a la variable "y" es: 5
          - Grado relativo con respecto a la variable "y" es: 4 - Grado relativo con respecto a la variable "z" es: 6

          Grado absoluto (G.A.)
          El grado absoluto de un polinomio está representado por el monomio de mayor grado.

  Ejercicio 1          En el polinomio: P( x;y)  xm 3yn1  xm  2yn1  xm 1yn2 . Calcular: "m" y "n" ; si el grado con
                   respecto a "y" es 4 y el grado absoluto del polinomio es 12.
  Resolución:
                                                                                           • Del enunciado:
  P(x;y)  xm 3yn1  xm 2yn1  xm 1yn2
                                                                                           * ) G.R.(y): n + 2 = 4 n = 2

   Monomio de grado:             Monomio de grado:          Monomio de grado:              **) G.A. : m + n + 4 = 12
   m+n+4                         m+n+3                      m+n+3                                    m + 2 + 4 = 12  m = 6


         Ejercicios Resueltos                                                       Sobre polinomios
 Ejercicio 1 Calcular: "m" y "n" para que el monomio: x 4(m+n) y 3m  2n sea de GA = 80 y de grado relativo a "y" 20.
 Resolución:
 • De acuerdo al enunciado, planteamos las ecuaciones:          Sumamos miembro a miembro las ecuaciones (1) y (2):
                                                                                3m  2n  20
 G.R. (y) : 3m - 2n = 20 . . . . . (1)
                                                                                 7m  2n  80
 G.A.: 4(m + n) + 3m - 2n = 80  7m + 2n = 80 . . . (2)                   . M. A. M. 10m = 100               m = 10

 Reemplazamos el valor de m = 10 en la expresión (1): 3(10) - 2n = 20 30 - 2n = 20                       n = 5

 Ejercicio 2           Hallar el coeficiente del monomio:       Ejercicio 3              En el polinomio:
                                                                              m n  2 m  3
       1
           n                                                    P( x;y)  4x      y    7xm n5ym 4  13xm n6 ym  2 se ve-
                                                                                                                              -
  9    x3m2n y 5mn ; si su GA es 10 y el GR(x) es 7.
   m
                                                               rifica que la diferencia entre los grados relativos a "x" e
      3
                                                                "y" es 5 y además que el menor exponente de "y" es 3.
  Resolución:                                                   Hallar el grado absoluto del polinomio.
• De acuerdo al enunciado, planteamos las ecuaciones:
                                                                Resolución:
        G.R. (x) : 3m + 2n = 7 . . . . . (1)                    • G.R.(x): m +n + 5                   • G.R.(y): m + 2
        G.A. : 3m + 2n + 5m - n = 10                            * Del enunciado, planteamos la ecuación;
 8m + n = 10            n = 10 - 8m     . . . . . (2)
                                                                (m + n + 5) - (m + 2) = 5                n + 3 = 5;    n=2
Reemplazamos la expresión (2) en (1):
3m + 2 (10 - 8m) = 7            3m + 20 - 16m = 7              ** El menor exponente de "y" es 3, o sea: m - 4 = 3
 13 = 13m  m = 1                                                                              m=7
Ahora en (2): n = 10 - 8(1)           n=2                      Luego, calculamos el GA del polinomio, veamos:
                                                n               Grado absoluto:
                                  n  1
Luego, Coeficiente del monomio = 9    ,                                 (n + m + 5) + (m - 4) = 2m + n + 1
                                     3
reemplazando el valor de m = 1 y n = 2, obtenemos:                         2(7) + 2 + 1 = 17

                                                                   Grado absoluto del polinomio es 17               Rpta.
                                     2
                         1
                          1    1
Coef. del monomio = 9     9    1
                       3      9
Ejercicios de reforzamiento                                            Sobre polinomios

      GRADO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS                                  Ejercicio         13           Determinar "n" de modo que el
Ejercicio       1      Hallar "m" si el siguiente monomio
                                                                                                         xn1 .      xn
es de segundo grado: 53 3 xm  4                                       monomio: M(x)  3                                 sea de primer grado.
                                                                                                            6
                                                                                                                x5n4
     A) 6           B) 3         C) 5          D) 4           E) 2
                                                                               A) 1            B) 5               C) 8       D) 6       E) 4
Ejercicio    2         Calcular "a" si el término 0,58x3a y 2 ,
                                                                        Ejercicio         14           Calcular los valores de "m" y "n" en
es de grado 11.
                                                                        P(x, y)  x y  xm 6 yn 4 ; sabiendo que el grado
                                                                                       m  5 n 1

     A) 5           B) 4         C) 3          D) 2           E) 1      relativo a "y" es 7 y el grado absoluto es 20. Dar como
 Ejercicio  3    Obtener: "mn", si se sabe que el si-                   respuesta: 2m + 3n.
guiente monomio es de noveno grado respecto a "y", y
                                                                               A) 24           B) 48              C) 32      D) 64      E) 40
                                 1
de sexto grado respecto a "x": -   2xm 1yn7                            Ejercicio    15 El grado absoluto de: 2x3n1y 2n9 es
                                 4
                                                                        igual a 15. ¿Cuánto vale el grado relativo a "y"?
     A) 10          B) 3         C) 14         D) 8           E) 21
                                                                               A) 1            B) 2               C) 3       D) 4       E) 5
Ejercicio  4    Calcular el coeficiente del siguiente
monomio, sabiendo que es de octavo grado.                               Ejercicio             16       Calcular: (m + n) del monomio:
M(x,y)  15a x 2 a 1 2
                      y                                                 x1m . y 2-n
                                                                                     ; sabiendo que su grado absoluto es 10 y su
                                                                        x1n . y 2-m
     A) 375         B) 175       C) 215        D) 225         E) 255
                                                                        grado relativo a "y" es 4.
Ejercicio      5      Proporcionar "m" si el siguiente
polinomio es de grado absoluto igual a 10.                                     A) -2           B) 6               C) 1       D) -1      E) 3
P( x)  5  8xm  4  6xm 3 .                                          Ejercicio             17       Hallar el coeficiente del monomio:

     A) 7           B) 6         C) 5          D) 4           E) 3                            xn-2 .
                                                                                                        7
                                                                                                            x3n
                                                                        M(x)  2n .       3                                , si es de 2º grado.
                                                                                                   4
Ejercicio 6     Si: M(x,y)  5a2 .        4
                                              x16 .   5   y 15 , ¿GA?                                  xn1
                                                                               A) 2            B) 6               C) 10      D) 14      E) 18
     A) 2           B) 3         C) 4          D) 7           E) 9
                                                                        Ejercicio   18 ¿Cuántos términos tiene el siguien-
Ejercicio       7      Hallar el coeficiente del siguiente
                                                                        te polinomio?
                             k
monomio: P( x)  2nn .           xnk , si es de grado tres.             P(x)  x 2n1  x 2n 2  x2n3 . . . + x3  x2  x  1
     A) 2           B) k         C) 9          D) 27          E) 54     A) 2n                 B) 2n+1 C) 3n                 D) 2n - 1 E) n
Ejercicio     8     ¿En cuánto excede el grado relativo                 Ejercicio          19 Si:
de "x" al grado relativo de "y" en:
                                                                                       3 m n1 16n
(2x 2y3  5x6 y 2 )(3x4 y  4x5y 4 )?                                   P(x,y)  5xm     x y y         es un polinomio
                                                                                       4
     A) 1           B) 2         C) 3          D) 4           E) 5      homogéneo, hallar el valor de: "m+n"

 Ejercicio    9    El grado absoluto de: 2x3n1y 2n9 es                A) 8                  B) 10             C) 7        D) 16      E) 6
igual a 15. ¿Cuánto vale el grado relativo a "y"?                       Ejercicio          20 Calcular la suma de coeficientes

     A) 1           B) 2         C) 3          D) 4           E) 5      del polinomio: Q(x, y)  nxn5  3xnym  mxm 3 , si
                                                                        es homogéneo.
Ejercicio 10 Hallar "P" en: 5xp 2y 2p 1z 3p 12 de
                                                                        A) 10                 B) 11             C) 12       D) 13      E) 14
modo que su grado sea: G = 5p - 6
                                                                        Ejercicio          21 Si el polinomio:
     A) 8           B) 9         C) 7          D) 10          E) 11
                                                                        P(x) = (a - 4)x5 + 3x4 + ax5 - bx4 es idénticamente
Ejercicio      11      Si: G.R.(x)=7  G.R.(y)=8.                       nulo, señalar (a + b).
P(x, y)  2xm 1  6xm yn  8yn 2 ¿Cuál es el grado de
                                                                        A) 4                  B) 5              C) 15       D) 20      E) 25
P(x,y) ?
                                                                        Ejercicio          23 Si:
     A) 10          B) 12        C) 9          D) 14          E) 11
                                                                        2x  5x  1  (Ax  B)( x  1)  C(x2  x  1) , calcular
                                                                           2
Ejercicio      12      Calcular "mn", si el polinomio:                  el valor de: "A + B - C".
P( x, y)  4xm 1yn-2  6xm  2yn 2  xm 3yn 2 es tal que:
                                                                        A) 1                  B) 2              C) 3        D) 4       E) 5
G.R.(y) = 8 ; G.A. = 20

     A) 9           B) 19        C) 80         D) 81          E) 90                    Institución Educativa Jorge Chávez

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Polinomios

  • 1. Polinomios Grado relativo (G.R.) Prof. Lucas Tapia Lucero El grado relativo de un polinomio está representado por el Mayor Exponente de dicha letra o variable. Ejemplo (1) Ejemplo (2) • Dado el polinomio: • Dado el polinomio: F(x;y;z)  6x 2y 3z  9x3y 4 z6  15xy 5z3 P(x;y) = 6x5y 2  9x 4 y3  7x3y 4 - Grado relativo con respecto a la variable "x" es: 3 - Grado relativo con respecto a la variable "x" es: 5 - Grado relativo con respecto a la variable "y" es: 5 - Grado relativo con respecto a la variable "y" es: 4 - Grado relativo con respecto a la variable "z" es: 6 Grado absoluto (G.A.) El grado absoluto de un polinomio está representado por el monomio de mayor grado. Ejercicio 1 En el polinomio: P( x;y)  xm 3yn1  xm  2yn1  xm 1yn2 . Calcular: "m" y "n" ; si el grado con respecto a "y" es 4 y el grado absoluto del polinomio es 12. Resolución: • Del enunciado: P(x;y)  xm 3yn1  xm 2yn1  xm 1yn2 * ) G.R.(y): n + 2 = 4 n = 2 Monomio de grado: Monomio de grado: Monomio de grado: **) G.A. : m + n + 4 = 12 m+n+4 m+n+3 m+n+3 m + 2 + 4 = 12  m = 6 Ejercicios Resueltos Sobre polinomios Ejercicio 1 Calcular: "m" y "n" para que el monomio: x 4(m+n) y 3m  2n sea de GA = 80 y de grado relativo a "y" 20. Resolución: • De acuerdo al enunciado, planteamos las ecuaciones: Sumamos miembro a miembro las ecuaciones (1) y (2): 3m  2n  20 G.R. (y) : 3m - 2n = 20 . . . . . (1) 7m  2n  80 G.A.: 4(m + n) + 3m - 2n = 80  7m + 2n = 80 . . . (2) . M. A. M. 10m = 100   m = 10 Reemplazamos el valor de m = 10 en la expresión (1): 3(10) - 2n = 20 30 - 2n = 20  n = 5 Ejercicio 2 Hallar el coeficiente del monomio: Ejercicio 3 En el polinomio: m n  2 m  3 1 n P( x;y)  4x y  7xm n5ym 4  13xm n6 ym  2 se ve- - 9    x3m2n y 5mn ; si su GA es 10 y el GR(x) es 7. m  rifica que la diferencia entre los grados relativos a "x" e  3 "y" es 5 y además que el menor exponente de "y" es 3. Resolución: Hallar el grado absoluto del polinomio. • De acuerdo al enunciado, planteamos las ecuaciones: Resolución: G.R. (x) : 3m + 2n = 7 . . . . . (1) • G.R.(x): m +n + 5 • G.R.(y): m + 2 G.A. : 3m + 2n + 5m - n = 10 * Del enunciado, planteamos la ecuación; 8m + n = 10  n = 10 - 8m . . . . . (2) (m + n + 5) - (m + 2) = 5 n + 3 = 5; n=2 Reemplazamos la expresión (2) en (1): 3m + 2 (10 - 8m) = 7  3m + 20 - 16m = 7 ** El menor exponente de "y" es 3, o sea: m - 4 = 3 13 = 13m  m = 1  m=7 Ahora en (2): n = 10 - 8(1)  n=2 Luego, calculamos el GA del polinomio, veamos: n Grado absoluto: n  1 Luego, Coeficiente del monomio = 9    , (n + m + 5) + (m - 4) = 2m + n + 1  3 reemplazando el valor de m = 1 y n = 2, obtenemos: 2(7) + 2 + 1 = 17  Grado absoluto del polinomio es 17 Rpta. 2 1 1  1 Coef. del monomio = 9     9    1  3  9
  • 2. Ejercicios de reforzamiento Sobre polinomios GRADO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Ejercicio 13 Determinar "n" de modo que el Ejercicio 1 Hallar "m" si el siguiente monomio xn1 . xn es de segundo grado: 53 3 xm  4 monomio: M(x)  3 sea de primer grado. 6 x5n4 A) 6 B) 3 C) 5 D) 4 E) 2 A) 1 B) 5 C) 8 D) 6 E) 4 Ejercicio 2 Calcular "a" si el término 0,58x3a y 2 , Ejercicio 14 Calcular los valores de "m" y "n" en es de grado 11. P(x, y)  x y  xm 6 yn 4 ; sabiendo que el grado m  5 n 1 A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 relativo a "y" es 7 y el grado absoluto es 20. Dar como Ejercicio 3 Obtener: "mn", si se sabe que el si- respuesta: 2m + 3n. guiente monomio es de noveno grado respecto a "y", y A) 24 B) 48 C) 32 D) 64 E) 40 1 de sexto grado respecto a "x": - 2xm 1yn7 Ejercicio 15 El grado absoluto de: 2x3n1y 2n9 es 4 igual a 15. ¿Cuánto vale el grado relativo a "y"? A) 10 B) 3 C) 14 D) 8 E) 21 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Ejercicio 4 Calcular el coeficiente del siguiente monomio, sabiendo que es de octavo grado. Ejercicio 16 Calcular: (m + n) del monomio: M(x,y)  15a x 2 a 1 2 y x1m . y 2-n ; sabiendo que su grado absoluto es 10 y su x1n . y 2-m A) 375 B) 175 C) 215 D) 225 E) 255 grado relativo a "y" es 4. Ejercicio 5 Proporcionar "m" si el siguiente polinomio es de grado absoluto igual a 10. A) -2 B) 6 C) 1 D) -1 E) 3 P( x)  5  8xm  4  6xm 3 . Ejercicio 17 Hallar el coeficiente del monomio: A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 xn-2 . 7 x3n M(x)  2n . 3 , si es de 2º grado. 4 Ejercicio 6 Si: M(x,y)  5a2 . 4 x16 . 5 y 15 , ¿GA? xn1 A) 2 B) 6 C) 10 D) 14 E) 18 A) 2 B) 3 C) 4 D) 7 E) 9 Ejercicio 18 ¿Cuántos términos tiene el siguien- Ejercicio 7 Hallar el coeficiente del siguiente te polinomio? k monomio: P( x)  2nn . xnk , si es de grado tres. P(x)  x 2n1  x 2n 2  x2n3 . . . + x3  x2  x  1 A) 2 B) k C) 9 D) 27 E) 54 A) 2n B) 2n+1 C) 3n D) 2n - 1 E) n Ejercicio 8 ¿En cuánto excede el grado relativo Ejercicio 19 Si: de "x" al grado relativo de "y" en: 3 m n1 16n (2x 2y3  5x6 y 2 )(3x4 y  4x5y 4 )? P(x,y)  5xm  x y y es un polinomio 4 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 homogéneo, hallar el valor de: "m+n" Ejercicio 9 El grado absoluto de: 2x3n1y 2n9 es A) 8 B) 10 C) 7 D) 16 E) 6 igual a 15. ¿Cuánto vale el grado relativo a "y"? Ejercicio 20 Calcular la suma de coeficientes A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 del polinomio: Q(x, y)  nxn5  3xnym  mxm 3 , si es homogéneo. Ejercicio 10 Hallar "P" en: 5xp 2y 2p 1z 3p 12 de A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 modo que su grado sea: G = 5p - 6 Ejercicio 21 Si el polinomio: A) 8 B) 9 C) 7 D) 10 E) 11 P(x) = (a - 4)x5 + 3x4 + ax5 - bx4 es idénticamente Ejercicio 11 Si: G.R.(x)=7  G.R.(y)=8. nulo, señalar (a + b). P(x, y)  2xm 1  6xm yn  8yn 2 ¿Cuál es el grado de A) 4 B) 5 C) 15 D) 20 E) 25 P(x,y) ? Ejercicio 23 Si: A) 10 B) 12 C) 9 D) 14 E) 11 2x  5x  1  (Ax  B)( x  1)  C(x2  x  1) , calcular 2 Ejercicio 12 Calcular "mn", si el polinomio: el valor de: "A + B - C". P( x, y)  4xm 1yn-2  6xm  2yn 2  xm 3yn 2 es tal que: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 G.R.(y) = 8 ; G.A. = 20 A) 9 B) 19 C) 80 D) 81 E) 90 Institución Educativa Jorge Chávez