Leonhard Euler - wikipedia

Contenidos
Artículos
Leonhard Euler 1
El número e 13
Número e 13
Función exponencial 19
Fórmula de Euler 23
Identidad de Euler 26
Ecuaciones de Euler-Lagrange 28
Teoría de números 32
Serie de los inversos de los números primos 32
Producto de Euler para la función zeta de Riemann 36
Teorema de Euler 38
Función φ de Euler 42
Teoría de grafos y geometría 45
Problema de los puentes de Königsberg 45
Ciclo euleriano 48
Característica de Euler 51
Teorema de poliedros de Euler 54
Recta de Euler 55
Matemática aplicada 57
Método de Euler 57
Fórmula de Euler-Maclaurin 60
Constante de Euler-Mascheroni 64
Física y astronomía 71
Ecuaciones de Euler (fluidos) 71
Número de Euler 73
Rotación 74
Teorema de rotación de Euler 75
Lógica 77
Diagrama de Euler 77

Referencias
Fuentes y contribuyentes del artículo 79
Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 80
Licencias de artículos
Licencia 82

Leonhard Euler 1
Leonhard Euler
Leonhard Euler
Retrato de Leonhard Euler, pintado por Johann Georg Brucker
Nacimiento 15 de abril de 1707
Basilea (Suiza)
Fallecimiento 18 de septiembre de 1783
San Petersburgo (Rusia)
Residencia Prusia, Rusia y Suiza
Nacionalidad Suizo
Campo matemáticas y física
Instituciones Academia de las ciencias de Rusia
Academia Prusiana de las Ciencias
Alma máter Universidad de Basilea
Supervisor doctoral Johann Bernoulli
Estudiantes
destacados
Johann Friedrich Hennert
Joseph-Louis de Lagrange
Conocido por Número e
Identidad de Euler
Característica de Euler
Firma
Leonhard Paul Euler /oile'h/ (Basilea, Suiza, 15 de abril de 1707 - San Petersburgo, Rusia, 18 de septiembre de
1783), conocido como Leonhard Euler, fue un matemático y físico suizo. Se trata del principal matemático del
siglo XVIII y uno de los más grandes y prolíficos de todos los tiempos.
Vivió en Rusia y Alemania la mayor parte de su vida y realizó importantes descubrimientos en áreas tan diversas
como el cálculo o la teoría de grafos. También introdujo gran parte de la moderna terminología y notación
matemática, particularmente para el área del análisis matemático, como por ejemplo la noción de función
matemática.
[]
Asimismo se le conoce por sus trabajos en los campos de la mecánica, óptica y astronomía.
Euler ha sido uno de los matemáticos más prolíficos, y se calcula que sus obras completas reunidas podrían ocupar
entre 60 y 80 volúmenes.
[]
Una afirmación atribuida a Pierre Simon Laplace expresa la influencia de Euler en los
matemáticos posteriores: «Lean a Euler, lean a Euler, él es el maestro de todos nosotros.»
[]
En conmemoración suya, Euler ha aparecido en la serie sexta de los billetes de 10 francos suizos, así como en
numerosos sellos postales tanto suizos como alemanes y rusos. El asteroide (2002) Euler recibió ese nombre en su
honor.

Leonhard Euler 2
Biografía
Primeros años
Antiguo billete de 10 francos suizos con el retrato de Euler.
Euler nació en Basilea (Suiza), hijo de Paul
Euler, un pastor calvinista, y de Marguerite
Brucker, hija de otro pastor. Tuvo dos
hermanas pequeñas llamadas Anna Maria y
Maria Magdalena. Poco después de su
nacimiento, su familia se trasladó de Basilea
a la ciudad de Riehen, en donde Euler pasó
su infancia. Por su parte, Paul Euler era
amigo de la familia Bernoulli, famosa
familia de matemáticos entre los que
destacaba Johann Bernoulli, que en ese
momento era ya considerado el principal matemático europeo, y que ejercería una gran influencia sobre el joven
Leonhard.
La educación formal de Euler comenzó en la ciudad de Basilea, donde le enviaron a vivir con su abuela materna. A
la edad de 13 años se matriculó en la Universidad de Basilea, y en 1723 recibiría el título de maestro de Filosofía tras
una disertación comparativa de las filosofías de René Descartes e Isaac Newton. Por entonces, Euler recibía
lecciones particulares de Johann Bernoulli todos los sábados por la tarde, quien descubrió rápidamente el increíble
talento de su nuevo pupilo para las matemáticas.
[]
En aquella época Euler se dedicaba a estudiar teología, griego y hebreo siguiendo los deseos de su padre, y con la
vista puesta en llegar a ser también pastor. Johann Bernoulli intervino para convencer a Paul Euler de que Leonhard
estaba destinado a ser un gran matemático. En 1726 Euler finalizó su Doctorado con una tesis sobre la propagación
del sonido bajo el título De Sono
[1]
y en 1727 participó en el concurso promovido por la Academia de las Ciencias
francesa por el cual se solicitaba a los concursantes que encontraran la mejor forma posible de ubicar el mástil en un
buque. Ganó el segundo puesto, detrás de Pierre Bouguer, que es conocido por ser el padre de la arquitectura naval.
Más adelante Euler conseguiría ganar ese premio hasta en doce ocasiones.
[]
San Petersburgo
Por aquella época, los dos hijos de Johann Bernoulli, Daniel y Nicolás, se encontraban trabajando en la Academia de
las ciencias de Rusia en San Petersburgo. En julio de 1726, Nicolás murió de apendicitis tras haber vivido un año en
Rusia y, cuando Daniel asumió el cargo de su hermano en el departamento de matemáticas y física, recomendó que
el puesto que había dejado vacante en fisiología fuese ocupado por su amigo Euler. En noviembre de ese mismo año
Euler aceptó la oferta, aunque retrasó su salida hacia San Petersburgo mientras intentaba conseguir, sin éxito, un
puesto de profesor de física en la Universidad de Basilea.
[]

Leonhard Euler 3
Sello del año 1957 de la antigua Unión Soviética conmemorando el 250 aniversario
del nacimiento de Euler. El texto dice: 250 años desde el nacimiento del gran
matemático y académico Leonhard Euler.
Euler llegó a la capital rusa el 17 de mayo
de 1727. Fue ascendido desde su puesto en
el departamento médico de la Academia a
un puesto en el departamento de
matemáticas, en el que trabajó con Daniel
Bernoulli, a menudo en estrecha
colaboración. Euler aprendió el ruso y se
estableció finalmente en San Petersburgo a
vivir. Llegó incluso a tomar un trabajo
adicional como médico de la Armada de
Rusia.
[]
La Academia de San Petersburgo, creada
por Pedro I de Rusia, tenía el objetivo de
mejorar el nivel educativo en Rusia y de
reducir la diferencia científica existente
entre ese país y la Europa Occidental. Como
resultado, se implementaron una serie de
medidas para atraer a eruditos extranjeros como Euler. La Academia poseía amplios recursos financieros y una
biblioteca muy extensa, extraída directamente de las bibliotecas privadas de Pedro I y de la nobleza. La Academia
admitía a un número muy reducido de estudiantes para facilitar la labor de enseñanza, a la vez que se enfatizaba la
labor de investigación y se ofrecía a la facultad tanto el tiempo como la libertad para resolver cuestiones científicas.
[]
Sin embargo, la principal benefactora de la Academia, la emperatriz Catalina I de Rusia, que había continuado con
las políticas progresistas de su marido, murió el mismo día de la llegada de Euler a Rusia. Su muerte incrementó el
poder de la nobleza, puesto que el nuevo emperador pasó a ser Pedro II de Rusia, por entonces un niño de tan sólo 12
años de edad. La nobleza sospechaba de los científicos extranjeros de la Academia, por lo que cortó la cuantía de
recursos dedicados a la misma y provocó otra serie de dificultades para Euler y sus colegas.
Las condiciones mejoraron ligeramente tras la muerte de Pedro II, y Euler fue poco a poco ascendiendo en la
jerarquía de la Academia, convirtiéndose en profesor de física en 1731. Dos años más tarde, Daniel Bernoulli, harto
de las dificultades que le planteaban la censura y la hostilidad a la que se enfrentaban en San Petersburgo, dejó la
ciudad y volvió a Basilea. Euler le sucedió como director del departamento de matemáticas.
[]
El 7 de enero de 1734 Euler contrajo matrimonio con Katharina Gsell, hija de un pintor de la Academia. La joven
pareja compró una casa al lado del río Neva y llegó a concebir hasta trece hijos, si bien sólo cinco sobrevivieron
hasta la edad adulta.
[]

Leonhard Euler 4
Berlín
Sello de la antigua República Democrática Alemana en honor a Euler
en el 200 aniversario de su muerte. En medio se muestra su fórmula
poliédrica para el grafo planar.
Preocupado por los acontecimientos políticos que
estaban teniendo lugar en Rusia, Euler partió de San
Petersburgo el 19 de junio de 1741 para aceptar un
cargo en la Academia de Berlín, cargo que le había sido
ofrecido por Federico II el Grande, rey de Prusia. Vivió
veinticinco años en Berlín, en donde escribió más de
380 artículos. También publicó aquí dos de sus
principales obras: la Introductio in analysin
infinitorum, un texto sobre las funciones matemáticas
publicado en 1748, y la Institutiones calculi
differentialis,
[2]
publicada en 1755 y que versaba sobre
el cálculo diferencial.
[]
Además, se le ofreció a Euler un puesto como tutor de
la princesa de Anhalt-Dessau, la sobrina de Federico. Euler escribió más de 200 cartas dirigidas a la princesa que
más tarde serían recopiladas en un volumen titulado Cartas de Euler sobre distintos temas de Filosofía Natural
dirigidas a una Princesa Alemana. Este trabajo recopilaba la exposición de Euler sobre varios temas de físicas y
matemáticas, así como una visión de su personalidad y de sus creencias religiosas. El libro se convirtió en el más
leído de todas sus obras, y fue publicado a lo largo y ancho del continente europeo y en los Estados Unidos. La
popularidad que llegaron a alcanzar estas Cartas sirve de testimonio sobre la habilidad de Euler de comunicar
cuestiones científicas a una audiencia menos cualificada.
[]
Sin embargo, y a pesar de la inmensa contribución de Euler al prestigio de la Academia, fue obligado finalmente a
dejar Berlín. El motivo de esto fue, en parte, un conflicto de personalidad entre el matemático y el propio Federico,
que llegó a ver a Euler como una persona muy poco sofisticada, y especialmente en comparación con el círculo de
filósofos que el rey alemán había logrado congregar en la Academia. Voltaire, en particular, era uno de esos
filósofos, y gozaba de una posición preeminente en el círculo social del rey. Euler, como un simple hombre de
carácter religioso y trabajador, era muy convencional en sus creencias y en sus gustos, representando en cierta forma
lo contrario que Voltaire. Euler tenía conocimientos limitados de retórica, y solía debatir cuestiones sobre las que
tenía pocos conocimientos, lo cual le hacía un objetivo frecuente de los ataques del filósofo.
[]
Por ejemplo, Euler
protagonizó varias discusiones metafísicas con Voltaire, de las que solía retirarse enfurecido por su incapacidad en la
retórica y la metafísica. Federico también mostró su descontento con las habilidades prácticas de ingeniería de Euler:
Quería tener una bomba de agua en mi jardín: Euler calculó la fuerza necesaria de las ruedas para elevar el
agua a una reserva, desde la que caería después a través de canalizaciones para finalmente manar en el
palacio de Sanssouci. Mi molino fue construido de forma geométrica y no podía elevar una bocanada de agua
hasta más allá de cinco pasos hacia la reserva. ¡Vanidad de las vanidades! ¡Vanidad de la geometría!
Federico II el Grande
[3]

Leonhard Euler 5
Deterioro de la visión
Retrato de Euler del año 1753 dibujado por
Emanuel Handmann. El retrato sugiere problemas
en el ojo derecho, así como un posible
estrabismo. El ojo izquierdo parece sano, si bien
más tarde Euler tuvo problemas de cataratas.
[]
La vista de Euler fue empeorando a lo largo de su vida. En el año 1735
Euler sufrió una fiebre casi fatal, y tres años después de dicho
acontecimiento quedó casi ciego de su ojo derecho. Euler, sin embargo,
prefería acusar de este hecho al trabajo de cartografía que realizaba
para la Academia de San Petersburgo.
La vista de ese ojo empeoró a lo largo de su estancia en Alemania,
hasta el punto de que Federico hacía referencia a él como el Cíclope.
Euler más tarde sufrió cataratas en su ojo sano, el izquierdo, lo que le
dejó prácticamente ciego pocas semanas después de su diagnóstico. A
pesar de ello, parece que sus problemas de visión no afectaron a su
productividad intelectual, dado que lo compensó con su gran capacidad
de cálculo mental y su memoria fotográfica. Por ejemplo, Euler era
capaz de repetir la Eneida de Virgilio desde el comienzo hasta el final
y sin dudar en ningún momento, y en cada página de la edición era
capaz de indicar qué línea era la primera y cuál era la última.
[]
También
se sabía de memoria las fórmulas de trigonometría y las primeras 6
potencias de los primeros 100 números primos.
[4]
Pasó los últimos años de su vida ciego, pero siguió trabajando. Muchos
trabajos se los dictó a su hijo mayor. Esto incrementó el respeto que la
comunidad científica ya tenía por el. El matemático francés François Arago (1786 – 1853) se refirió en cierta
ocasión a él diciendo: "Euler calculaba sin esfuerzo aparente, como los hombres respiran, o como las águilas se
sostienen en el aire".
Retorno a Rusia
Tumba de Euler, ubicada en Monasterio de
Alejandro Nevski.
La situación en Rusia había mejorado enormemente tras el ascenso de
Catalina la Grande, por lo que en 1766 Euler aceptó una invitación
para volver a la Academia de San Petersburgo para pasar ahí el resto de
su vida. Su segunda época en Rusia, sin embargo, estuvo marcada por
la tragedia: un incendio en San Petersburgo en 1771 le costó su casa y
casi su vida, y en 1773 perdió a su esposa, que por entonces tenía 40
años de edad. Euler se volvió a casar tres años más tarde.
El 18 de septiembre de 1783 Euler falleció en la ciudad de San
Petersburgo tras sufrir un accidente cerebrovascular, y fue enterrado
junto con su esposa en el Cementerio Luterano ubicado en la isla de
Vasilievsky. Sus restos fueron trasladados por los soviéticos al Monasterio de Alejandro Nevski (también conocido
como Leningradsky Nikropol).
El matemático y filósofo francés Nicolas de Condorcet escribió su elogio funeral para la Academia francesa.
…il cessa de calculer et de vivre — … dejó de calcular y de vivir.
[]
Por su parte, Nikolaus von Fuss, ahijado de Euler y secretario de la Academia Imperial de San Petersburgo, escribió
un relato de su vida junto con un listado de sus obras.

Leonhard Euler 6
Contribución a las matemáticas y a otras áreas científicas
Euler trabajó prácticamente en todas las áreas de las matemáticas: geometría, cálculo, trigonometría, álgebra, teoría
de números, además de física continua, teoría lunar y otras áreas de la física. Adicionalmente, aportó de manera
relevante a la lógica matemática con su diagrama de conjuntos.
Ha sido uno de los matemáticos más prolíficos de la historia. Su actividad de publicación fue incesante (un promedio
de 800 páginas de artículos al año en su época de mayor producción, entre 1727 y 1783), y una buena parte de su
obra completa está sin publicar. La labor de recopilación y publicación completa de sus trabajos, llamados Opera
Omnia,
[5]
comenzó en 1911 y hasta la fecha ha llegado a publicar 76 volúmenes. El proyecto inicial planeaba el
trabajo sobre 887 títulos en 72 volúmenes. Se le considera el ser humano con mayor número de trabajos y artículos
en cualquier campo del saber, sólo equiparable a Gauss. Si se imprimiesen todos sus trabajos, muchos de los cuales
son de una importancia fundamental, ocuparían entre 60 y 80 volúmenes.
[]
Además, y según el matemático
Hanspeter Kraft, presidente de la Comisión Euler de la Universidad de Basilea, no se ha estudiado más de un 10 %
de sus escritos.
[6]
Por todo ello, el nombre de Euler está asociado a un gran número de cuestiones matemáticas.
Se cree que fue el que dio origen al pasatiempos Sudoku creando una serie de pautas para el cálculo de
probabilidades.
[7]
Notación matemática
Euler introdujo y popularizó varias convenciones referentes a la notación en los escritos matemáticos en sus
numerosos y muy utilizados libros de texto. Posiblemente lo más notable fue la introducción del concepto de función
matemática,
[]
siendo el primero en escribir f(x) para hacer referencia a la función f aplicada sobre el argumento x.
Esta nueva forma de notación ofrecía más comodidad frente a los rudimentarios métodos del cálculo infinitesimal
existentes hasta la fecha, iniciados por Newton y Leibniz, pero desarrollados basándose en las matemáticas del
último.
También introdujo la notación moderna de las funciones trigonométricas, la letra e como base del logaritmo natural o
neperiano (el número e es conocido también como el número de Euler), la letra griega Σ como símbolo de los
sumatorios y la letra para hacer referencia a la unidad imaginaria.
[]
El uso de la letra griega π para hacer referencia
al cociente entre la longitud de la circunferencia y la longitud de su diámetro también fue popularizado por Euler,
aunque él no fue el primero en usar ese símbolo.
[]
Análisis
El desarrollo del cálculo era una de las cuestiones principales de la investigación matemática del siglo XVIII, y la
familia Bernoulli había sido responsable de gran parte del progreso realizado hasta entonces. Gracias a su influencia,
el estudio del cálculo se convirtió en uno de los principales objetos del trabajo de Euler. Si bien algunas de sus
demostraciones matemáticas no son aceptables bajo los estándares modernos de rigor matemático,
[]
es cierto que sus
ideas supusieron grandes avances en ese campo.

Leonhard Euler 7
es el único número real para el valor a para el cual
se cumple que el valor de derivada de la función f (x) =
a
x
(curva azul) en el punto x = 0 es exactamente 1. En
comparación se muestran las funciones 2
x
(línea
punteada) y 4
x
(línea discontinua), que no son tangentes
a la línea de pendiente 1 (en rojo).
El número e
Euler definió la constante matemática conocida como número
como aquel número real tal que el valor de la derivada (la
pendiente de la línea tangente) de la función
x
en el
punto es exactamente 1. Es más, es el número real tal que
la función
x
se tiene como derivada a sí misma. La
función
x
es también llamada función exponencial y su función
inversa es el logaritmo neperiano, también llamado logaritmo
natural o logaritmo en base .
El número puede ser representado como un número real en
varias formas: como una serie infinita, un producto infinito, una
fracción continua o como el límite de una sucesión. La principal
de estas representaciones, particularmente en los cursos básicos de
cálculo, es como el límite:
y también como la serie:
Además, Euler es muy conocido por su análisis y su frecuente utilización de la serie de potencias, es decir, la
expresión de funciones como una suma infinita de términos como la siguiente:
Uno de los famosos logros de Euler fue el descubrimiento de la expansión de series de potencias de la función
arcotangente. Su atrevido aunque, según los estándares modernos, técnicamente incorrecto uso de las series de
potencias le permitieron resolver el famoso problema de Basilea en 1735,
[]
por el cual quedaba demostrado que:
Interpretación geométrica de la fórmula de Euler.
Euler introdujo el uso de la función exponencial y de los logaritmos en
las demostraciones analíticas. Descubrió formas para expresar varias
funciones logarítmicas utilizando series de potencias, y definió con
éxito logaritmos para números negativos y complejos, expandiendo
enormemente el ámbito de la aplicación matemática de los
logaritmos.
[]
También definió la función exponencial para números
complejos, y descubrió su relación con las funciones trigonométricas.
Para cualquier número real φ, la fórmula de Euler establece que la
función exponencial compleja puede establecerse mediante la siguiente
fórmula:
Siendo un caso especial de la fórmula (cuando = ), lo que se
conoce como la identidad de Euler:

Leonhard Euler 8
Esta fórmula fue calificada por Richard Feynman como «la fórmula más reseñable en matemáticas», porque
relaciona las principales operaciones algebraicas con las importantes constantes 0, 1, , y π, mediante la relación
binaria más importante.
[8]
En 1988, los lectores de la revista especializada Mathematical Intelligencer votaron la
fórmula como «la más bella fórmula matemática de la historia».
[9]
En total, Euler fue el responsable del
descubrimiento de tres de las cinco primeras fórmulas del resultado de la encuesta.[9]
Además de eso, Euler elaboró la teoría de las funciones trascendentes (aquellas que no se basan en operaciones
algebraicas) mediante la introducción de la función gamma, e introdujo un nuevo método para resolver ecuaciones
de cuarto grado. También descubrió una forma para calcular integrales con límites complejos, en lo que sería en
adelante del moderno análisis complejo, e inventó el cálculo de variaciones incluyendo dentro de su estudio a las que
serían llamadas las ecuaciones de Euler-Lagrange.
Euler también fue pionero en el uso de métodos analíticos para resolver problemas teóricos de carácter numérico.
Con ello, Euler unió dos ramas separadas de las matemáticas para crear un nuevo campo de estudio, la teoría
analítica de números. Para ello, Euler creó la teoría de las series hipergeométricas, las series q, las funciones
hiperbólicas trigonométricas y la teoría analítica de fracciones continuas. Por ejemplo, demostró que la cantidad de
números primos es infinita utilizando la divergencia de series armónicas, y utilizó métodos analíticos para conseguir
una mayor información sobre cómo los números primos se distribuyen dentro de la sucesión de números naturales.
El trabajo de Euler en esta área llevaría al desarrollo del teorema de los números primos.
[]
Teoría de números
El interés de Euler en la teoría de números procede de la influencia de Christian Goldbach, amigo suyo durante su
estancia en la Academia de San Petersburgo. Gran parte de los primeros trabajos de Euler en teoría de números se
basan en los trabajos de Pierre de Fermat. Euler desarrolló algunas de las ideas de este matemático francés pero
descartó también algunas de sus conjeturas.
Euler unió la naturaleza de la distribución de los números primos con sus ideas del análisis matemático. Demostró la
divergencia de la suma de los inversos de los números primos y, al hacerlo, descubrió la conexión entre la función
zeta de Riemann y los números primos. Esto se conoce como el producto de Euler para la función zeta de Riemann.
Euler también demostró las identidades de Newton, el pequeño teorema de Fermat, el teorema de Fermat sobre la
suma de dos cuadrados e hizo importantes contribuciones al teorema de los cuatro cuadrados de Joseph-Louis de
Lagrange. También definió la función φ de Euler que, para todo número entero positivo, cuantifica el número de
enteros positivos menores o iguales a n y coprimos con n. Más tarde, utilizando las propiedades de esta función,
generalizó el pequeño teorema de Fermat a lo que se conoce como el teorema de Euler.
Contribuyó de manera significativa al entendimiento de los números perfectos, tema que fascinó a los matemáticos
desde los tiempos de Euclides, y avanzó en la investigación de lo que más tarde se concretaría en el teorema de los
números primos. Los dos conceptos se consideran teoremas fundamentales de la teoría de números, y sus ideas
pavimentaron el camino del matemático Carl Friedrich Gauss.
[]
En el año 1772, Euler demostró que 2
31
- 1 = 2 147 483 647 es un número primo de Mersenne. Esta cifra permaneció
como el número primo más grande conocido hasta el año 1867.
[10]

Leonhard Euler 9
Teoría de grafos y geometría
Mapa de la ciudad de Königsberg, en tiempos de
Euler, que muestra, resaltado en verde, el lugar en
donde se encontraban ubicados los siete puentes.
En 1736, Euler resolvió el problema conocido como problema de los
puentes de Königsberg.
[]
La ciudad de Königsberg, en Prusia Oriental
(actualmente Kaliningrado, en Rusia), estaba localizada en el río
Pregel, e incluía dos grandes islas que estaban conectadas entre ellas
por un puente, y con las dos riberas del río mediante seis puentes (siete
puentes en total). El problema que se planteaban sus habitantes
consistía en decidir si era posible seguir un camino, y cómo hacerlo,
que cruzase todos los puentes una sola vez y que finalizase llegando al
punto de partida. Euler logró demostrar matemáticamente que no lo
hay. No hay lo que se denomina hoy un ciclo euleriano en el grafo que
modela el terreno), debido a que el número de puentes es impar en más
de dos de los bloques (representados por vértices en el grafo
correspondiente).
A esta solución se la considera el primer teorema de teoría de grafos y de grafos planares.
[]
Euler también introdujo
el concepto conocido como característica de Euler del espacio, y una fórmula que relacionaba el número de lados,
vértices y caras de un polígono convexo con esta constante. El teorema de poliedros de Euler, que básicamente
consiste en buscar una relación entre número de caras, aristas y vértices en los poliedros. Utilizó esta idea para
demostrar que no existían más poliedros regulares que los sólidos platónicos conocidos hasta entonces. El estudio y
la generalización de esta fórmula, especialmente por Cauchy
[]
y L'Huillier,
[]
supuso el origen de la topología.
[11][12]
Dentro del campo de la geometría analítica descubrió además que tres de los puntos notables de un triángulo
—baricentro, ortocentro y circuncentro— podían obedecer a una misma ecuación, es decir, a una misma recta. A la
recta que contiene el baricentro, ortocentro y circuncentro se le denomina «Recta de Euler» en su honor.
Matemática aplicada
Algunos de los mayores éxitos de Euler fueron en la resolución de problemas del mundo real a través del análisis
matemático, en lo que se conoce como matemática aplicada, y en la descripción de numerosas aplicaciones de los
números de Bernoulli, las series de Fourier, los diagramas de Venn, el número de Euler, las constantes e y π, las
fracciones continuas y las integrales. Integró el cálculo diferencial de Leibniz con el método de fluxión de Newton, y
desarrolló herramientas que hacían más fácil la aplicación del cálculo a los problemas físicos. Euler ya empleaba las
series de Fourier antes de que el mismo Fourier las descubriera y las ecuaciones de Lagrange del cálculo variacional,
las ecuaciones de Euler-Lagrange.
Hizo grandes avances en la mejora de las aproximaciones numéricas para resolver integrales, inventando lo que se
conoce como las aproximaciones de Euler. Las más notables de estas aproximaciones son el método de Euler para
resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, y la fórmula de Euler-Maclaurin. Este método consiste en ir
incrementando paso a paso la variable independiente y hallando la siguiente imagen con la derivada. También
facilitó el uso de ecuaciones diferenciales, en particular mediante la introducción de la constante de
Euler-Mascheroni:
Por otro lado, uno de los intereses más llamativos de Euler fue la aplicación de las ideas matemáticas sobre la
música. En 1739 escribió su obra Tentamen novae theoriae musicae, esperando con ello poder incorporar el uso de
las matemáticas a la teoría musical. Esta parte de su trabajo, sin embargo, no atrajo demasiada atención del público,
y llegó a ser descrita como demasiado matemática para los músicos y demasiado musical para los matemáticos.
[]

Leonhard Euler 10
Física y astronomía
Euler ayudó a desarrollar la ecuación de la curva elástica, que se convirtió en el pilar de la ingeniería. Aparte de
aplicar con éxito sus herramientas analíticas a los problemas de mecánica clásica, Euler también las aplicó sobre los
problemas de los movimientos de los astros celestes. Su trabajo en astronomía fue reconocido mediante varios
premios de la Academia de Francia a lo largo de su carrera, y sus aportes en ese campo incluyen cuestiones como la
determinación con gran exactitud de las órbitas de los cometas y de otros cuerpos celestes, incrementando el
entendimiento de la naturaleza de los primeros, o el cálculo del paralaje solar. Formula siete leyes o principios
fundamentales sobre la estructura y dinámica del Sistema Solar y afirma que los distintos cuerpos celestes y
planetarios rotan alrededor del Sol siguiendo una orbita de forma elíptica. Sus cálculos también contribuyeron al
desarrollo de tablas de longitud más exactas para la navegación.
[13]
También publicó trabajos sobre el movimiento
de la Luna.
Además, Euler llevó a cabo importantes contribuciones en el área de la óptica. No estaba de acuerdo con las teorías
de Newton sobre la luz, desarrolladas en su obra Opticks, y que eran la teoría prevalente en aquel momento. Sus
trabajos sobre óptica desarrollados en la década de 1740 ayudaron a que la nueva corriente que proponía una teoría
de la luz en forma de onda, propuesta por Christiaan Huygens, se convirtiese en la teoría hegemónica. La nueva
teoría mantendría ese estatus hasta el desarrollo de la teoría cuántica de la luz.
[]
En el campo de la mecánica Euler, en su tratado de 1739, introdujo explícitamente los conceptos de partícula y de
masa puntual y la notación vectorial para representar la velocidad y la aceleración, lo que sentaría las bases de todo
el estudio de la mecánica hasta Lagrange. En el campo de la mecánica del sólido rígido definió los llamados «tres
ángulos de Euler para describir la posición» y publicó el teorema principal del movimiento, según el cual siempre
existe un eje de rotación instantáneo, y la solución del movimiento libre (consiguió despejar los ángulos en función
del tiempo).
En hidrodinámica estudió el flujo de un fluido ideal incompresible, detallando las ecuaciones de Euler de la
hidrodinámica.
Adelantándose más de cien años a Maxwell previó el fenómeno de la presión de radiación, fundamental en la teoría
unificada del electromagnetismo. En los cientos de trabajos de Euler se encuentran referencias a problemas y
cuestiones tremendamente avanzadas para su tiempo, que no estaban al alcance de la ciencia de su época.
Lógica
En el campo de la lógica, se atribuye a Euler el uso de curvas cerradas para ilustrar el razonamiento silogístico
(1768). Las representaciones de este tipo reciben el nombre de diagramas de Euler.
[14]
Arquitectura e ingeniería
En este campo, Euler desarrolló la ley que lleva su nombre sobre el pandeo de soportes verticales y generó una nueva
rama de ingeniería con sus trabajos sobre la carga crítica de las columnas.
Creencias religiosas y filosóficas
Euler y su amigo Daniel Bernoulli se oponían al monismo de Leibniz y a la corriente filosófica representada por
Christian Wolff. Euler insistía en que el conocimiento se basa en parte en la existencia de leyes cuantitativas
precisas, algo que el monismo y las teorías filosóficas de Wolff no eran capaces de proveer. Sus inclinaciones
religiosas también pueden haber contribuido a que le desagradase ese tipo de doctrinas, hasta el punto de que llegó a
catalogar las ideas de Wolff como «paganas y ateas».
[]
Gran parte del conocimiento que tenemos de las creencias religiosas de Euler se deduce de su obra Cartas a una
Princesa Alemana, así como de un trabajo anterior llamado Rettung der Göttlichen Offenbahrung Gegen die
Einwürfe der Freygeister (en español, Defensa de la revelación divina frente a las objeciones de los

Leonhard Euler 11
librepensadores). Estos trabajos muestran a Euler como un cristiano convencido que defendía la interpretación literal
de la Biblia (por ejemplo, su obra Rettung era principalmente una discusión en defensa de la inspiración divina de las
escrituras).
[]
Obra
Portada de la obra de Euler titulada Methodus
inveniendi líneas curvas.
Euler cuenta con una extensísima bibliografía, en esta sección se
puede encontrar alguna referencia sobre algunas de sus obras más
conocidas o importantes.
• Mechanica, sive motus scientia analytica exposita
[15]
(1736)
• Tentamen novae theoriae musicae (1739)
• Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis (1741)
• Methodus inveniendi líneas curvas maximi minimive
proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici
latissimo sensu accepti (1744).
• Introductio in Analysis Infinitorum (1748)
• Institutiones Calculi Differentialis (1765)
• Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum (1765)
• Institutiones Calculi Integralis (1768-1770)
• Vollständige Anleitung zur Algebra
[16]
(1770)
• Lettres à une Princesse d'Allemagne (Cartas a una Princesa
Alemana)
[17]
(1768–1772).
En 1911, la Academia Suiza de las Ciencias comenzó la
publicación de una colección definitiva de los trabajos de Euler
titulada Opera Omnia.
[5]
Existe un plan para la ampliación de la
obra a la publicación de la correspondencia (en el año 2008 se han publicado ya tres volúmenes de correspondencia)
y los manuscritos de Euler, aunque no se ha especificado ninguna fecha para su edición.
[18]
Notas
[5] Opera Omnia en (http://www.eulerarchive.org)
[6] Entrevista en el periódico El País a Hanspeter Kraft (http://www.elpais.com/articulo/futuro/Solo/textos/Euler/ha/estudiado/
elpepusocfut/20071226elpepifut_5/Tes)
[7] Historia del Sudoku (http://www.publispain.com/sudoku/historia_de_sudoku.html)
[9]
[9] Véase también * }}
[13] Youschkevitch, A P; Biography in Dictionary of Scientific Biography (New York 1970–1990).
[14]
[14] Baron, M. E.; A Note on The Historical Development of Logic Diagrams. The Mathematical Gazette: The Journal of the Mathematical
Association. Vol LIII, no. 383 May 1969.
Otras lecturas
• Lexikon der Naturwissenschaftler, 2000. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag.
• Demidov, S.S., 2005, «Treatise on the differential calculus» en Grattan-Guiness, I., ed., Landmark Writings in
Western Mathematics. Elsevier: 191-98.
• Dunham, William (1999) Euler: The Master of Us All, Washington: Mathematical Association of America. ISBN
0-88385-328-0.
• Fraser, Craig G., 2005, «Book on the calculus of variations» en Grattan-Guiness, I., ed., Landmark Writings in
Western Mathematics. Elsevier: 168-80.

Leonhard Euler 12
• Gladyshev, Georgi, P (2007) « Leonhard Euler’s methods and ideas live on in the thermodynamic hierarchical
theory of biological evolution (http://www.ceser.res.in/ijamas/cont/2007/ams-n07-cont.html)»,
International Journal of Applied Mathematics & Statistics (IJAMAS) 11 (N07), Special Issue on Leonhard Paul
Euler’s: Mathematical Topics and Applications (M. T. A.).
• W. Gautschi (2008). «Leonhard Euler: his life, the man, and his works». SIAM Review 50 (1): pp. 3–33. doi:
10.1137/070702710 (http://dx.doi.org/10.1137/070702710).
• Heimpell, Hermann, Theodor Heuss, Benno Reifenberg (editors). 1956. Die großen Deutschen, volume 2, Berlin:
Ullstein Verlag.
• Krus, D.J (2001) « Is the normal distribution due to Gauss? Euler, his family of gamma functions, and their place
in the history of statistics (http://www.visualstatistics.net/Statistics/Euler/Euler.htm)», Quality and Quantity:
International Journal of Methodology, 35: 445-46.
• Nahin, Paul (2006) Dr. Euler's Fabulous Formula, New Jersey: Princeton, ISBN 978-0-691-11822-2
• Reich, Karin, 2005, «Introduction' to analysis» en Grattan-Guiness, I., ed., Landmark Writings in Western
Mathematics. Elsevier: 181-90.
• Sandifer, Edward C (2007), The Early Mathematics of Leonhard Euler, Washington: Mathematical Association of
America. IBSN 10: 0-88385-559-3
• Simmons, J (1996) The giant book of scientists: The 100 greatest minds of all time, Sydney: The Book Company.
• Singh, Simon (1997). Fermat's last theorem, Fourth Estate: New York, ISBN 1-85702-669-1
• Thiele, Rüdiger (2005). «The mathematics and science of Leonhard Euler», in Mathematics and the Historian's
Craft: The Kenneth O. May Lectures, G. Van Brummelen and M. Kinyon (eds.), CMS Books in Mathematics,
Springer Verlag. ISBN 0-387-25284-3.
• «A Tribute to Leohnard Euler 1707-1783». Mathematics Magazine 56 (5). November 1983.
Enlaces externos
• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Leonhard EulerCommons.
• Wikiquote alberga frases célebres de o sobre Leonhard Euler. Wikiquote
• The Euler Archive (http://www.eulerarchive.org/)
• Lettres à une Princesse d'Allemagne (http://www.bookmine.org)
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., « Biografía de Leonhard Euler (http://www-history.mcs.st-andrews.
ac.uk/Biographies/Euler.html)» (en inglés), MacTutor History of Mathematics archive, Universidad de Saint
Andrews.
• Artículo en la Encyclopedia Britannica (http://www.britannica.com/eb/article-9033216/Leonhard-Euler)
• How Euler did it (http://www.maa.org/news/howeulerdidit.html) Página web que contiene explicaciones
sobre cómo Euler resolvió diversos problemas.
• Euler Archive (http://www.eulerarchive.org/)
• Euler Committee of the Swiss Academy of Sciences (http://www.leonhard-euler.ch/)
• Tricentenario de Euler (año 2007) (http://www.euler-2007.ch/en/index.htm)
• The Euler Society (http://www.eulersociety.org/)
• Leonhard Euler Congress 2007 (http://www.pdmi.ras.ru/EIMI/2007/AG/) — San Petersburgo, Rusia.
• "Euler - 300th anniversary lecture" (http://www.gresham.ac.uk/event.asp?PageId=45&EventId=518),
discurso pronunciado por Robin Wilson en Gresham College, el 9 de mayo de 2007.
• Project Euler (http://www.projecteuler.net)
• Árbol de familia de Euler (http://www.math.dartmouth.edu/~euler/historica/family-tree.html)

13
El número e
Número e
e} es el único número a, tal que la derivada de la
función exponencial f(x) = a
x
(curva azul) en el
punto x = 0 es igual a 1. En comparación, las
funciones 2
x
(curva a puntos) y 4
x
(curva a trazos)
son mostradas; no son tangentes a la línea de
pendiente 1 (rojo).
La constante matemática es uno de los más importantes números
reales.
[1]
Se relaciona con muchos interesantes resultados. Por ejemplo,
la derivada de la función exponencial es esa misma
función. El logaritmo en base se llama logaritmo natural o
neperiano.
El número , conocido a veces como número de Euler o constante
de Napier, fue reconocido y utilizado por primera vez por el
matemático escocés John Napier, quien introdujo el concepto de
logaritmo en el cálculo matemático.
Es considerado el número por excelencia del cálculo, así como lo es
de la geometría y el número del análisis complejo. El simple hecho
de que la función coincida con su derivada hace que la función
exponencial se encuentre frecuentemente en el resultado de ecuaciones
diferenciales sencillas. Como consecuencia de esto, describe el
comportamiento de acontecimientos físicos regidos por leyes sencillas,
como pueden ser la velocidad de vaciado de un depósito de agua, el
giro de una veleta frente a una ráfaga de viento, el movimiento del
sistema de amortiguación de un automóvil o el cimbreo de un edificio metálico en caso de terremoto. De la misma
manera, aparece en muchos otros campos de la ciencia y la técnica, describiendo fenómenos eléctricos y electrónicos
(descarga de un condensador, amplificación de corrientes en transistores BJT, etc.), biológicos (crecimiento de
células, etc.), químicos (concentración de iones, periodos de semidesintegración, etc.), y muchos más.
El número , al igual que el número y el número áureo (φ), es un irracional, no expresable por la razón de dos
enteros; o bien, no puede ser expresado con un número finito de cifras decimales o con decimales periódicos.
Además, es un número trascendente, es decir, que no puede ser obtenido mediante la resolución de una ecuación
algebraica con coeficientes racionales.
Su valor aproximado (truncado) es:
≈ 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995...

Número e 14
Historia
Leonhard Euler popularizó el uso de la letra e para
representar la constante; además fue el descubridor de
numerosas propiedades referentes a ella.
Las primeras referencias a la constante fueron publicadas en 1618
en la tabla en un apéndice de un trabajo sobre logaritmos de John
Napier.
[]
No obstante, esta tabla no contenía el valor de la
constante, sino que era simplemente una lista de logaritmos
naturales calculados a partir de ésta. Se cree que la tabla fue escrita
por William Oughtred.
El "descubrimiento" de la constante está acreditado a Jacob
Bernoulli, quien estudió un problema particular del llamado
interés compuesto. Si se invierte una Unidad Monetaria (que
abreviaremos en lo sucesivo como UM) con un interés del 100%
anual y se pagan los intereses una vez al año, se obtendrán 2 UM.
Si se pagan los intereses 2 veces al año, dividiendo el interés entre
2, la cantidad obtenida es 1 UM multiplicado por 1,5 dos veces, es
decir 1 UM x 1,50
2
= 2,25 UM. Si dividimos el año en 4 períodos
(trimestres), al igual que la tasa de interés, se obtienen 1 UM x
1,25
4
= 2,4414... En caso de pagos mensuales el monto asciende a
1 UM x = 2,61303...UM. Por tanto, cada vez que se
aumenta la cantidad de períodos de pago en un factor de n (que
tiende a crecer sin límite) y se reduce la tasa de interés en el
período, en un factor de , el total de unidades monetarias obtenidas está expresado por la siguiente ecuación:
Bernoulli comprobó que esta expresión se aproxima al valor de 2,7182818...UM. De aquí proviene la definición que
se da de e en finanzas, que expresa que este número es el límite de una inversión de 1 UM con una tasa de interés al
100% anual compuesto en forma continua. En forma más general, una inversión que se inicia con un capital C y una
tasa de interés anual R, proporcionará UM con interés compuesto.
El primer uso conocido de la constante, representado por la letra b, fue en una carta de Gottfried Leibniz a Christiaan
Huygens en 1690 y 1691. Leonhard Euler comenzó a utilizar la letra e para identificar la constante en 1727, y el
primer uso de e en una publicación fue en Mechanica, de Euler, publicado en 1736. Mientras que en los años
subsiguientes algunos investigadores usaron la letra c, e fue la más común, y finalmente se convirtió en la
terminología usual.
En 1873, Charles Hermite (1822-1905) logró demostrar que e es trascendente, a dicho logro llegó usando un
polinomio, conseguido con ayuda de fracciones continuas, empleadas ,anteriormente, por Lambert. David Hilbert —
también Karl Weierstrass y otros — propusieron, posteriomente, variantes y modificaciones de las primeras
demostraciones.
[2]

Número e 15
Definición
La definición más común de e es como el valor límite de la serie
que se expande como
Otra definición habitual
[3]
dada a través del cálculo integral es como solución de la ecuación:
que implica
es decir que se define e como el número para el que
o lo que es lo mismo, el número para el que
Propiedades
Cálculo
La función exponencial f(x) = e
x
es su propia derivada y su valor es 1 para x=0, y por lo tanto su propia primitiva
también:
y
Además, e es el límite de la sucesión de término general:
Primero, la propiedad se puede generalizar a una variable real, pasando del límite de una sucesión al de una función:
Como el término de la derecha tiene un exponente que varía, lo más práctico es tomar su logaritmo y hacer el cambio
de variable :
Como el logaritmo se aproxima a 1 cuando tiende a cero por la derecha, la expresión original tiende hacia e.

Número e 16
Desarrollo decimal
El desarrollo decimal de e no muestra regularidad alguna. Sin embargo, con las fracciones continuas, que pueden ser
normalizadas (con los numeradores todos iguales a 1) o no, obtenemos, en fracción continua normalizada:
Lo que se escribe e = [2; 1,2,1, 1,4,1, 1,6,1 ... 1,2n,1, ... ], propiedad descubierta por Leonhard Euler, y en fracción
continua no normalizada:
En ambos casos, e presenta regularidades no fortuitas.
Álgebra
El número real e es irracional, y también trascendental (ver Teorema de Lindemann–Weierstrass). Fue el primer
número trascendental que fue probado como tal, sin haber sido construido específicamente para tal propósito
(comparar con el número de Liouville). La demostración de esto fue dada por Charles Hermite en 1873. Se cree que
e además es un número normal.
Números complejos
El número e presenta en la fórmula de Euler un papel importante relacionado con los números complejos:
El caso especial con x = π es conocido como identidad de Euler
de lo que se deduce que:
Además, utilizando las leyes de la exponenciación, se obtiene:
que es la fórmula de De Moivre.

Número e 17
Función exponencial
Se llama exponencial la función definida sobre los números reales por
• La función exponencial es la única función que es siempre igual a su derivada (de ahí su especial interés en el
análisis, más precisamente para las ecuaciones diferenciales), y que toma el valor 1 cuando la variable vale 0.
• La exponencial se extiende al cuerpo de los complejos, mediante la relación: . Un caso
particular de esta relación es la identidad de Euler.
En 1975, el suizo Felix A. Keller descubrió la siguiente fórmula
[4]
que se aproxima a "e":
Representaciones de e
El número e puede ser representado como un número real en varias formas: como una serie infinita, un producto
infinito, una fracción continua o como el límite de una sucesión. La principal de estas representaciones,
particularmente en los cursos básicos de cálculo, es el límite:
Desarrollando la potencia del binomio indicado en la propiedad anterior usando el teorema del binomio de Newton:
Cuando tiende a infinito, los productos que están en los numeradores tienden a 1, por lo que cada término de esta
expresión tiende a , como se quería demostrar.
La serie infinita anterior no es única; e también puede ser representado como:
Existen otras representaciones menos comunes. Por ejemplo, e se puede representar como una fracción simple
continua infinita:

Número e 18
Dígitos conocidos
El número de dígitos conocidos de e ha aumentado enormemente durante las últimas décadas. Esto es debido tanto al
aumento del desempeño de las computadoras como también a la mejora de los algoritmos utilizados.
[5][6]
Número de dígitos conocidos de e
Fecha Dígitos decimales Cálculo realizado por
1748
[7] 18 Leonhard Euler
1853 137 William Shanks
1871 205 William Shanks
1884 346 J. M. Boorman
1946 808 ?
1949 2010 John von Neumann (en la ENIAC)
1961 100 265 Daniel Shanks y John W. Wrench
1994 10 000 000 Robert Nemiroff y Jerry Bonnell
Mayo de 1997 18 199 978 Patrick Demichel
Agosto de 1997 20 000 000 Birger Seifert
Septiembre de 1997 50 000 817 Patrick Demichel
Febrero de 1999 200 000 579 Sebastian Wedeniwski
Octubre de 1999 869 894 101 Sebastian Wedeniwski
21 de noviembre de 1999 1 250 000 000 Xavier Gourdon
10 de julio de 2000 2 147 483 648 Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
16 de julio de 2000 3 221 225 472 Colin Martin y Xavier Gourdon
2 de agosto de 2000 6 442 450 944 Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
18 de septiembre de 2003 50 100 000 000 Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
27 de abril de 2007 100 000 000 000 Shigeru Kondo y Steve Pagliarulo
6 de mayo de 2009 200 000 000 000 Shigeru Kondo y Steve Pagliarulo
21 de febrero de 2010 500 000 000 000
Alexander J. Yee
[8]
5 de julio de 2010 1 000 000 000 000
Shigeru Kondo y Alexander J. Yee
[9]

Número e 19
Referencias
• El contenido de este artículo incorpora material de una entrada de la Enciclopedia Libre Universal
[10]
,
publicada en español bajo la licencia Creative Commons Compartir-Igual 3.0
[11]
.
[2] Pro Mathematica , Volumen IV/ Nºº. 7-8. (1990) PUCP, Lima.ISSN 1012-3938
[3] Esta forma de definir la función logaritmo natural, el número e, la función exponencial, etc. puede encontrarse en Cálculo Infinitesimal 2da
edición, cap. 17 (p. 465) de Michael Spivak, Reverté o en Calculus 2da edición, cap. 6 (p. 277) de Tom Apostol, Reverté.
[4] Mathsoft (http://www.mathsoft.com/asolve/constant/e/e.html) "Expresión de Keller", Steven Finch (1998)
[5] Sebah, P. and Gourdon, X.; The constant e and its computation (http://numbers.computation.free.fr/Constants/E/e.html)
[6] Gourdon, X.; Reported large computations with PiFast (http://numbers.computation.free.fr/Constants/PiProgram/computations.html)
[7]
[7] New Scientist 21 de julio de 2007 p.40
[8] Announcing 500 billion digits of e... (http://www.numberworld.org/misc_runs/e-500b.html)
[9] A list of notable large computations of e (http://www.numberworld.org/digits/E/)
[10] http://enciclopedia.us.es/index.php/N%C3%BAmero_e
[11] http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.es
Enlaces externos
• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Número eCommons.
• Un millón de cifras del número e. (http://antwrp.gsfc.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.1mil)
• Fórmula para el cálculo de límites de sucesiones del tipo 1 elevado a infinito (http://hk.youtube.com/
watch?v=Iys1eJgTtXU)
Función exponencial
Funciones exponenciales
Gráfica de Funciones exponenciales
Definición
Tipo Función real
Dominio
Codominio
Imagen
Propiedades Biyectiva
Convexa
Estrictamente creciente
Trascendente
Cálculo infinitesimal
Derivada
Función primitiva

Función inversa
Límites
Funciones relacionadas Logaritmo
La función exponencial, es conocida formalmente como la función real e
x
, donde e es el número de Euler,
aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene
la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=e
x
o exp(x), donde e
es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.
En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la
forma
siendo a, K ∈ R números reales, con a > 0. Así pues, se obtiene un abanico de exponenciales, todas ellas similares,
que dependen de la base a que utilicen.
Definición formal
La función exponencial e
x
puede ser definida de diversas maneras equivalentes entre sí, como una serie infinita. En
particular puede ser definida como una serie de potencias:
o como el límite de la sucesión:
Propiedades
La función exponencial (y exponenciales en base distinta a e) satisfacen las siguientes propiedades generales.
• Son las únicas funciones que son igual a su derivada (multiplicada por una constante, en el caso de que tengan
una base distinta a e)
•
•
•
•

Derivada
La importancia de las funciones exponenciales en matemática y ciencias radica principalmente de las propiedades de
su derivada. En particular,
Es decir, e
x
es su propia derivada . Es la única función con esa propiedad (sin tomar en cuenta la multiplicación de la
función exponencial por una constante). Otras formas de expresar lo anterior:
• La pendiente del gráfico en cualquier punto es la altura de la función en ese punto.
• La razón de aumento de la función en x es igual al valor de la función en x.
• La función es solución de la ecuación diferencial .
Si la base de la función exponencial es cualquier número real a mayor que 0, entonces su derivada se puede
generalizar así:
donde la función ln(a) es el logaritmo natural de a. En el caso particular de a = e resulta que ln(e) = 1 y por lo tanto
.
Función exponencial en el campo de los números complejos
Gráfico de la parte real de una función exponencial en el campo de los
complejos
Como en el caso real, la función exponencial
puede ser definida como una función holomorfa
en el plano complejo de diferentes maneras.
Algunas de ellas son simples extensiones de las
fórmulas que se utilizan para definirla en el
dominio de los números reales. Específicamente,
la forma más usual de definirla para el dominio
de los números complejos es mediante la serie de
potencias, donde el valor real x se sustituye por
la variable compleja z:
para valores imaginarios puros se cumple la
identidad
,
en el que un caso particular es la identidad de
Euler, conocida también como la fórmula más
importante del mundo.
Usando la identidad anterior, donde ahora z=x+yi, con x e y números reales, se obtiene una definición equivalente a
la primera,
relación que demuestra que esta función, además de ser holomorfa, es periódica, con un periodo para la parte
imaginaria de .

Referencias
• Abramowitz, M. y Stegun, I. A. . Exponential Function. §4.2 en Handbook of Mathematical Functions with
Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 69-71, 1972.
• Courant, Richard y Fritz, John. Introducción al cálculo y al análisis matemático Vol.I. Editorial Limusa,1999.
ISBN 968-18-0639-5.
• Apostol, T. M., Calculus. Tomo I. Cálculo con funciones de una variable, con una introducción al Álgebra lineal.
Editorial reverte, 2005 ISBN 84-291-5002-1.
• Ahlfors, Lars. Complex Analysis: an Introduction to the Theory of Analytic Functions of One Complex Variable
(1953, 1966, 1979) (ISBN 0-07-000657-1)
Enlaces externos
• Weisstein, Eric W. «Exponential function
[1]
» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.
• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Función exponencialCommons.
• Taylor Series Expansions of Exponential Functions
[2]
en efunda.com
[3]
.
• Complex exponential interactive graphic
[4]
.
• Derivative of exponential function interactive graph
[5]
.
Referencias
[1] http://mathworld.wolfram.com/ExponentialFunction.html
[2] http://www.efunda.com/math/taylor_series/exponential.cfm
[3] http://www.efunda.com
[4] http://www-math.mit.edu/daimp/ComplexExponential.html
[5] http://sympl.org/book/examples/interactive-plots/derivative-exponential-function

Fórmula de Euler
La fórmula o relación de Euler, atribuida a Leonhard Euler, establece que:
para todo número real x. Aquí, e es la base del logaritmo natural, i es la unidad imaginaria, y son
funciones trigonométricas.
O bien:
siendo z la variable compleja formada por : z=x+iy.
Demostración
Nótese que esta no es una demostración basada en las propiedades de los números complejos y de la exponencial,
sino que es necesaria la definición de la exponencial compleja como el equivalente a la serie de Taylor sobre los
reales para parámetros complejos para poder demostrar la fórmula de Euler.
La fórmula puede interpretarse geométricamente como una circunferencia de radio unidad en el plano complejo,
dibujada por la función e
ix
al variar sobre los números reales. Así, es el ángulo de una recta que conecta el
origen del plano y un punto sobre la circunferencia unidad, con el eje positivo real, medido en sentido contrario a las
agujas del reloj y en radianes. La fórmula sólo es válida si también el seno y el coseno tienen sus argumentos en
radianes.
La fórmula de Euler fue promulgada por primera vez por Roger Cotes en 1714, y luego redescubierta y popularizada
por Euler en 1748. Es interesante notar que ninguno de los descubridores vio la interpretación geométrica señalada
anteriormente: la visión de los números complejos como puntos en el plano surgió unos 50 años más tarde (ver
Caspar Wessel).

Demostración usando las Series de Taylor
La fórmula de Euler ilustrada en el plano complejo.
Sabiendo que:
y así sucesivamente. Además de esto, las funciones e
x
, cos(x) y sin(x) (asumiendo que x sea un número real) pueden
ser expresadas utilizando sus series de Taylor alrededor de cero.
Definimos cada una de estas funciones por las series anteriores, remplazando x por i·z, donde z es una variable real e i
la unidad imaginaria. Esto es posible porque el radio de convergencia es infinito en cada serie. Entonces
encontramos que:
El reordenamiento es posible debido a que cada serie es absolutamente convergente. Remplazando z = x como un
número real resulta en la identidad original tal como la descubrió Euler.

Relevancia matemática
La fórmula proporciona una potente conexión entre el análisis matemático y la trigonometría. Se utiliza para
representar los números complejos en coordenadas polares y permite definir el logaritmo para números negativos y
números complejos.
Para el logaritmo de un número negativo:
basta con evaluar la fórmula de euler en , obteniendo:
Luego invirtiendo la exponencial se obtiene el logaritmo natural de -1:
.
Para un número negativo cualquiera:
. (Con ).
Además puede definirse el logaritmo de un número negativo en cualquier base, a partir del logaritmo natural y la
fórmula de cambio de base.
Una propiedad importante de la fórmula de Euler es que es la única función matemática que permanece con la misma
forma — excepto por la unidad imaginaria — con las operaciones de integración y derivación del cálculo integral, lo
que permite que se utilice para convertir ecuaciones diferenciales en ecuaciones con forma algebraica, simplificando
enormemente esas operaciones.
De las reglas de la exponenciación
y
(válidas para todo par de números complejos y ), se pueden derivar varias identidades trigonométricas, así
como la fórmula de De Moivre.
La fórmula de Euler también permite interpretar las funciones seno y coseno como meras variaciones de la función
exponencial:
Estas fórmulas sirven asimismo para definir las funciones trigonométricas para argumentos complejos . Las dos
ecuaciones anteriores se obtienen simplemente resolviendo las fórmulas
para el seno y el coseno.
En las ecuaciones diferenciales, la función e
ix
es utilizada a menudo para simplificar derivadas, incluso si la
respuesta final es una función real en la que aparezcan senos o cosenos. La identidad de Euler es una consecuencia
inmediata de la fórmula de Euler.
Las señales que varían periódicamente suelen describirse como una combinación de funciones seno y coseno (véase
análisis de Fourier), y estas son expresadas más convenientemente como la parte real de una función exponencial
con exponente imaginario, utilizando la fórmula de Euler.

Enlaces externos
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Euler formulas
[1]
» (en inglés), Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN
978-1556080104
• Weisstein, Eric W. «Euler Formula
[2]
» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.
Referencias
[1] http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Euler_formulas&oldid=14630
[2] http://mathworld.wolfram.com/EulerFormula.html
Identidad de Euler
Se llama identidad de Euler a un caso especial de la fórmula desarrollada por Leonhard Euler, notable por
relacionar cinco números muy utilizados en la historia de las matemáticas y que pertenecen a distintas ramas de la
misma:
donde:
• π (número pi) es un número irracional y trascendental que relaciona la longitud del círculo con su diámetro y está
presente en varias de las ecuaciones más fundamentales de la física.
• e (número de Euler) es el límite de la sucesión , que aparece en numerosos procesos naturales y en
diferentes problemas físicos y matemáticos y es también un número irracional y trascendental.
• i (unidad imaginaria) es la raíz cuadrada de -1, a partir del cuál se construye el conjunto de los números
complejos.
• 0 y 1 son los elementos neutros respectivamente de la adición y la multiplicación
Esta identidad se puede emplear para calcular π:

Derivación
Fórmula de Euler para un ángulo general.
La identidad es un caso especial de la
Fórmula de Euler, la cual especifica que
para cualquier número real x. (Nótese que
los argumentos para las funciones
trigonométricas sen y cos se toman en
radianes.) En particular si
entonces
y ya que
y que
se sigue que
Lo cual implica la identidad
Para una forma alternativa de notar que la identidad de Euler es tanto verdadera como profunda, supongamos que:
en la expansión polinomial de e a la potencia x:
para obtener:
simplificando (usando i
2
= -1):
Al separar el lado derecho de la ecuación en subseries real e imaginarias:
Se puede comprobar la convergencia de estas dos subseries infinitas, lo cual implica

Logaritmos de números negativos
Durante la historia ha habido disputas sobre cómo calcular los logaritmos de números negativos. Gracias a la
identidad de Euler, dicha disputa ha sido zanjada. Si queremos calcular, por ejemplo, podemos proceder de
la siguiente manera:
Sabiendo que :
Referencias
• Weisstein, Eric W.. «Euler Formula
[2]
» (en inglés). MathWorld--A Wolfram Web Resource. Consultado el
15-05-2009.
Ecuaciones de Euler-Lagrange
Las ecuaciones de Euler-Lagrange son las condiciones bajo las cuales cierto tipo de problema variacional alcanza
un extremo. Aparecen sobre todo en el contexto de la mecánica clásica en relación con el principio de mínima acción
aunque también aparecen en teoría clásica de campos (electromagnetismo, Teoría general de la relatividad).
Ecuaciones de Euler-Lagrange en física
Caso discreto
En mecánica clásica, estas ecuaciones establecen que la integral de acción para un sistema físico es un mínimo. Los
sistemas de partículas o sistemas discretos tienen un número finito de grados de libertad, y en esos casos la integral
de acción es del tipo:
Y su correspondiente variación viene dada por:
Si se impone ahora que para variaciones "cercanas", esto implica que:
donde L es el lagrangiano para el sistema, y son las coordenadas generalizadas del sistema.
Para una introducción a este tema:

Caso continuo
La formalización de ciertos problemas físicos requiere construir una integral de acción sobre un continuum o sistema
que no puede ser tratado mediante un número finito de variables o grados de libertad. Así en teoría de campos y
mecánica de medios continuos la acción física puede expresarse como una integral sobre un volumen:
Donde es el elemento de volumen que usualmente viene dado por una n-forma y representan las
variables del campo y sus derivadas respecto a las coordenadas espaciales (o espacio-temporales). Cuando la acción
toma esa forma las ecuaciones de Euler-Lagrange para el campo que minimiza la anterior integral, usando el
convenio de sumación de Einstein, vienen dadas por:
Mecánica lagrangiana de la partícula
Un ejemplo de problema mecánica simple es el de una partícula sometida a un campo de fuerzas conservativo, en ese
caso su trayectoria puede ser encontrada mediante las ecuaciones de Euler-Lagrange aplicadas al lagrangiano:
La función lagrangiana anterior usa coordenadas cartesianas, aunque según el tipo de problema también puede
escribirse un lagrangiano en en términos de cualquier tipo de coordenadas generalizadas:
Las ecuaciónes de Euler-Lagrange para el caso de las coordenadas cartesianas se reducen a la segunda ley de Newton
para la partícula:
Teoría de campos
La teoría clásica de campos es un buen ejemplo del caso multidimensional anteriormente descrito. Así por ejemplo
las ecuaciones de Maxwell no son otra cosa que las ecuaciones de Euler-Lagrange aplicadas al "lagrangiano" de
Maxwell. La densidad lagrangiana de Maxwell viene dada por:
(*)
Donde el primer término es el lagrangiano de interacción y el segundo el lagrangiano del campo electromagnético
libre y además:
, son los campos eléctrico y magnético.
, son la densidad de carga eléctrica y la densidad de corriente asociada a las cargas que interactúan con el
campo.
, son el potencial eléctrico y el potencial vectorial del campo.
Considerando aquí el campo descrito por los potenciales , los campos
eléctrico y magnético son expresables en términos de sus derivadas:

Todos estos términos substituidos en la ecuación de Euler-Lagrange (*) nos lleva a las ecuaciones de Maxwell. Si a
la densidad lagrangiana anterior le agregamos, la densidad lagrangiana de la materia en interacción con el campo
electromagnético viene dado por:
Cuando esta parte se tiene en cuenta también se recupera la expresión para la fuerza de Lorentz.
Aplicaciones en mecánica cuántica
Un artículo influyente, para la introducción del formalismo lagrangiano en la mecánica cuántica, fue el de Paul Dirac
de 1932. El artículo titulado “El lagrangiano en Mecánica Cuántica” comienza de la siguiente manera:
“La mecánica cuántica fue construida sobre la base de la analogía con el hamiltoniano de la mecánica clásica. Esto se
debe a que se encontró que la clásica noción de coordenadas canónicas y momentos es similar a la análoga cuántica,
como resultado del cual la totalidad de la teoría clásica hamiltoniana, la cual es justamente una estructura construida
sobre esta noción, debería ser tomada sobre todos sus detalles en mecánica cuántica.
Ahora tenemos una formulación alternativa para la dinámica clásica, provista por el lagrangiano. Esto requiere
trabajar en términos de coordenadas y velocidades en lugar de coordenadas y momentos. Las dos formulaciones son,
sin embargo, cercanamente relacionadas, pero hay razones para creer que el lagrangiano es el más fundamental.
En primer lugar, el método lagrangiano nos permite conectar juntas todas las ecuaciones del movimiento y
expresarlas como una propiedad estacionaria de una cierta función de acción. (Esta función de acción es justamente
la integral en el tiempo del lagrangiano). No existe un principio de acción correspondiente en términos de las
coordenadas y momentos en la teoría hamiltoniana. En segundo lugar el método lagrangiano puede fácilmente ser
expresado en forma relativista, teniendo en cuenta que la función de acción es invariante relativista; mientras que el
método hamiltoniano es esencialmente de forma no relativista, dado que delimita una variable de tiempo particular
como la conjugada canónica de la función hamiltoniana.
Por estas razones sería deseable tomar la cuestión de lo que corresponde en la teoría cuántica al método lagrangiano
de la teoría clásica. Una pequeña consideración muestra, sin embargo, que uno no puede esperar ser capaz de tomar
las ecuaciones clásicas de Lagrange en una forma directa. Estas ecuaciones involucran derivadas parciales del
lagrangiano respecto a las coordenadas y velocidades y no significa poder tener tales derivadas en mecánica
cuántica.
El sólo proceso de diferenciación que puede realizarse respecto a las variables dinámicas de la mecánica cuántica es
el que forma los corchetes de Poisson y este proceso conduce a la teoría hamiltoniana.
Debemos por lo tanto mirar nuestra teoría cuántica lagrangiana de una manera indirecta. Debemos intentar tomar las
ideas de la teoría lagrangiana clásica, no las ecuaciones de la teoría clásica lagrangiana”.
[1]
Síntesis de aplicaciones en física
Como se vio antes, es posible derivar las ecuaciones de la mecánica clásica como las del electromagnetismo a partir
del lagrangiano respectivo introducido en las ecuaciones de Euler-Lagrange. Por ese camino, es posible ampliar el
lagrangiano de Maxwell para obtener el lagrangiano de Dirac y así obtener, luego, la ecuación relativista de Dirac.
También las ecuaciones de Schrödinger, de Klein-Gordon y de Proca pueden obtenerse por ese método.
Incluso es posible derivar las ecuaciones de Einstein, de la relatividad generalizada, a partir del lagrangiano de
Hilbert-Einstein
[2]

Ecuaciones de Euler-Lagrange en geometría
Las ecuaciones de Euler-Lagrange pueden ser usadas para encontrar fácilmente la ecuación de las curvas geodésicas
en una variedad de Riemann o "espacio curvo". Para ello consideremos un conjunto de coordenadas (x
1
, ...x
n
) sobre
una región abierta U de la variedad de Riemann V
R
donde el tensor métrico viene dado por la expresión:
Puesto que dados dos puntos cualquiera de V
R
las geodésicas son las líneas de mínima longitud entre ellos podemos
plantear el siguiente problema variacional, para el cuadrado de la longitud de una curva:
La minimización de la expresión anterior al ser la raíz una función monótona, es equivalente a la minimización de
una integral de acción donde el lagrangiano sea:
De ahí que la ecuación diferencial de las geodésicas venga dada por:
La ecuación anterior de hecho puede, usando la simetría del tensor métrico, escribirse como:
Que en términos de los símbolos de Christoffel (de primera o segunda especie) sencillamente como:
Donde se han definido los símbolos de Christoffel como a partir de las derivadas del tensor métrico y el tensor
inverso del tensor métrico:
Referencias
[1] “The lagrangian in quantum mechanics” de P.A.M. Dirac en “Quantum Electrodynamics” editado por Julian Schwinger – Dover Publications
Inc. - ISBN 486-60444-6
[2] “Lagrangian Interaction” de Noel A. Doughty – Addison Wesley Publishing Co. – ISBN 0-201-41625-5
Bibliografía
• Gel'fand, Israel (1963). Calculus of Variations. Dover. ISBN 0-486-41448-5.

32
Teoría de números
Serie de los inversos de los números primos
En el siglo III a. C., Euclides demostró la existencia de infinitos números primos. En el siglo XVIII, Leonhard Euler
demostró un resultado aún más profundo:
La suma de los recíprocos de todos los números primos diverge.
Leonhard Euler (1737)
El teorema, es equivalente a demostrar que:
He aquí algunas de las demostraciones de este resultado.
Primera demostración (Demostración original de Euler)
Para empezar, describiremos algunos de los pasos previos usados por Euler en su demostración.
En primer lugar consideró la serie armónica :
Esta serie es claramente divergente (se puede ver en el artículo serie armónica), y por supuesto, también conocido
por Euler.
Usando su fórmula del producto , mostró la existencia de infinitos números primos como sigue:
Aquí, el producto es sobre todos los números primos, o dicho de otra manera, el producto indexa a todos los números
primos. De ahora en adelante, sin que se diga lo contrario, la suma o producto sobre el conjunto de todos los
números primos se representa como p bajo el sumatorio o productorio.
Euler se dio cuenta de que si existía un número finito de primos, entonces el producto de la derecha convergería
claramente, contradiciendo la divergencia de la serie armónica. En lenguaje moderno, se dice que la existencia de
infinidad de números primos está reflejada por el hecho de que la función zeta de Riemann tiene un polo simple en s
= 1.
Demostración
Euler, tomando el producto indicado arriba, llegó a una conclusión.
Tomó logaritmos naturales en ambos miembros de la igualdad, y utilizando las propiedades de las series geométricas
y que la serie de Taylor de log(1-x) es:
entonces:

para una constante C < 1. Puesto que la suma de los recíprocos de los primeros n números enteros positivos es
asintótica a log(n) ( es decir, su ratio se acerca a 1 cuando n se acerca a infinito ) se tiene:
que sustituyendo en la expresión de arriba y despreciando el valor de C cuando n se acerca a infinito, Euler llegó a la
conclusión de que:
Q.E.D.
Es también cierto que Euler comprendía que la suma de los recíprocos de todos los números primos menores que n
es asintótica a log (log(n)) cuando n se aproxima a infinito, y de hecho este es el caso. Euler había llegado a esta
conclusión por métodos cuestionables.
Segunda demostración (Erdős)
Una demostración elemental por reducción a lo absurdo fue descubierta por Paul Erdős y es la siguiente:
Asuma que la suma de los recíprocos de todos los números primos converge:
Defina p
i
como el i -ésimo número primo.
Tenemos que:
Entonces existe un número entero positivo i tal que:
Defina N
i
(x) como:
el número de enteros positivos menores que x que son divisibles únicamente por los i primeros números primos, o
dicho de otra forma, que están formados por factores primos menores o iguales a p
i
. ( el símbolo # significa la
cantidad de números que cumplen la condición )
Cualquiera de esos números puede expresarse como:
concretamente como producto de un cuadrado por un cuadrado libre. Hay 2
i
opciones distintas para la parte del
cuadrado libre y puesto que a lo sumo habrá √x para la parte cuadrática tenemos que:

El número de enteros divisibles por un primo p menores que x es , así que el número de enteros menores que x
que son divisibles por algún primo mayor que p
i
es x - N
i
(x), lo denotaremos como N
*
i
(x) y está acotado por:
Dado que:
es suficiente con encontrar un x tal que N
i
(x) x/2 para llegar a una contradicción ya que N
*
i
(x) es siempre menor
que x/2. Si tomamos la desigualdad:
y considerando la cota máxima que es cuando N
i
(x) = 2
i
√x:
Q.E.D.
Tercera demostración
He aquí otra demostración que da una menor estimación sobre la suma parcial, en particular, muestra como la suma
crece al menos tan rápido como log (log(n)). La demostración es una adaptación de la idea de expansión del
producto de Euler. De aquí en adelante, una suma o producto sobre p siempre representa una suma o producto sobre
un conjunto de números primos específicos.
La demostración se basa en las siguientes cuatro desigualdades:
• Cada número entero positivo i se puede escribir como producto de un cuadrado por un número libre de cuadrados.
Esto da la siguiente desigualdad.
Donde para cada número i entre 1 y n el producto (expandido) contiene la parte del cuadrado libre de i y la suma
contiene la parte del cuadrado de i.
• Una cota superior estimada para el logaritmo natural es:
• Una cota inferior estimada para la función exponencial es:
• El límite superior (usando una serie de la cual conocemos su comportamiento asintótico) para las sumas parciales
es:
Combinando todas las ecuaciones vemos que:

Dividiendo por 2 y tomando el logaritmo natural en ambos miembros nos queda que:
cuando n tiende a infinito obtenemos la misma conclusión que en las anteriores demostraciones. Q.E.D.
Cuarta demostración
De la desigualdad de Dusart (ver teorema de los números primos) tenemos que:
entonces
aplicando el criterio integral a la serie de la izquierda vemos que ésta diverge claramente.
Q.E.D.
Referencias
•
• Euler, Leonhard, Variae observations circa series infinitas, Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 9
(1737), 1744, p. 160-188. Reprinted in Opera Omnia Series I volume 14, p. 216-244.
Enlaces externos
• http://www.EulerArchive.org
[1]
(en inglés)
(1737), 1744, p. 160-188 (Traducido al inglés) [2]
• Ed Sandifer: "How Euler Did It.Infinitely many primes" (en inglés) [3]
• Chris K. Caldwell: "There are infinitely many primes, but, how big of an infinity?" (en inglés) [4]
• Planetmath.org: "Prime harmonic series" (en inglés) [5]
Referencias
[1] http://www.EulerArchive.org
[2] http://dewey.uab.es/lbibiloni/Euler/EulerObservat.pdf
[3] http://www.maa.org/editorial/euler/How%20Euler%20Did%20It%2029%20infinitely%20many%20primes.pdf
[4] http://www.utm.edu/research/primes/infinity.shtml
[5] http://planetmath.org/encyclopedia/PrimeHarmonicSeries.html

Producto de Euler para la función zeta de
Riemann
En 1737 Leonhard Euler demostró un resultado que abrió las puertas de la moderna teoría de números ( teoría
analítica de números ) enunciando el siguiente teorema:
Si s > 1, entonces
Si se toma como variable s, esta serie o producto toma el nombre de función zeta de Riemann y se denota como ζ(s).
Nótese que el producto se extiende sobre todos los números primos. A continuación se dan un par de demostraciones
sobre este resultado, incluida la demostración original de Euler.
Demostración original de Euler
La demostración, escrita en 1737 y publicada en 1744, muestra una forma original de obtener el producto, utilizando
una cierta forma de cribado. Para su obtención solamente se utilizan métodos elementales, con lo cual cualquier
persona con nociones básicas sobre álgebra puede entenderla.
•
• Se escribe
• Se multiplica ambos miembros por , y queda:
•
• Restando la segunda serie a la primera, eliminaremos todos los términos que son múltiplos de 2.
• Si repetimos sobre el siguiente término, , obtenemos:
•
• Restando de nuevo, obtenemos:
• Podemos ver que la parte de la derecha se está cribando, repitiendo este proceso indefidamente:
• Dividiendo ambas partes por todo el producto obtenido que multiplica a ζ(s) obtenemos:
Esto puede escribirse de forma simplificada como producto sobre todos los números primos p:

Para hacer rigurosa esta prueba, sólo es necesario observar que si s es un número complejo tal que Re(s) > 1, el
miembro de la derecha ( el que se está cribando ), tiende a 1,lo cual se muestra inmediatamente de la convergencia
de la serie de Dirichlet para ζ(s).
Otra demostración
Esta demostración, más estricta, es la que se muestra a continuación:
• Cada factor del producto ( dado por un número primo p ), puede ser escrito en forma de serie geométrica así:
• Si s > 1, entonces y la serie converge absolutamente, luego:
• Así pues, se puede coger un número finito de factores, multiplicarlos todos ellos y reagruparlos. Cogiendo todos
los números primos p hasta un número primo límite q, obtenemos que:
• Donde σ es la parte real de s. Por el teorema fundamental de la aritmética, cuando se extiende este producto
parcial, se obtiene la suma correspondiente a los términos , donde n son números naturales que se pueden
representar como producto de números primos menores o iguales que q. La desigualdad resulta del hecho de que
sólo enteros mayores que q no pueden aparecer en la expansión parcial del producto. Puesto que la diferencia
entre el producto parcial y ζ(s) tiende a 0 cuando σ > 1, obtenemos la convergencia en dicha región.
Referencias
•
(1737), 1744, p. 160-188. Reprinted in Opera Omnia Series I volume 14, p. 216-244.
Enlaces externos
• http://www.EulerArchive.org
[1]
(en inglés)
(1737), 1744, p. 160-188 (Traducido al inglés) [2]
• Ed Sandifer: "How Euler Did It.Infinitely many primes" (en inglés) [3]

Teorema de Euler 38
Teorema de Euler
Leonhard Euler (1707-1783).
En teoría de números el teorema de Euler, también conocido como
teorema de Euler-Fermat, es una generalización del pequeño teorema
de Fermat, y como tal afirma una proposición sobre la divisibilidad de
los números enteros. El teorema establece que:
Si a y n son enteros primos relativos, entonces n divide al entero
a
φ(n)
- 1
sin embargo, es más común encontrarlo con notación moderna en la
siguiente forma:
Si a y n son enteros primos relativos, entonces a
φ(n)
≡ 1 (mod n).
donde φ(n) es la función φ de Euler
Función φ de Euler
Si n es un número entero, la cantidad de enteros entre 1 y n que son
primos relativos con n se denota como φ(n):
Valor de n Coprimos con n entre 1 y n Función φ(n)
1 1 1
2 1 1
3 1,2 2
4 1,3 2
5 1,2,3,4 4
6 1,5 2
7 1,2,3,4,5,6 6
8 1,3,5,7 4
9 1,2,4,5,7,8 6
10 1,3,7,9 4
φ(n) +0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9
0+ 1 1 2 2 4 2 6 4 6
10+ 4 10 4 12 6 8 8 16 6 18
20+ 8 12 10 22 8 20 12 18 12 28
30+ 8 30 16 20 16 24 12 36 18 24
40+ 16 40 12 42 20 24 22 46 16 42
50+ 20 32 24 52 18 40 24 36 28 58
60+ 16 60 30 36 32 48 20 66 32 44
70+ 24 70 24 72 36 40 36 60 24 78
80+ 32 54 40 82 24 64 42 56 40 88

Teorema de Euler 39
90+ 24 72 44 60 46 72 32 96 42 60
A la función φ se le conoce como las sigts función φ de Euler. Tal función es multiplicativa: si m y n son primos
relativos, entonces
φ(mn)=φ(m)φ(n).
Podemos verificarlo con la tabla dada arriba:
φ(30) = φ(6)φ(5) =2·4 = 8
Congruencias
El otro concepto involucrado en el teorema de Euler es el de congruencia. En teoría de números, se dice que dos
números a, b son congruentes respecto a un módulo n, cuando n divide al entero a-b. La congruencia de a, b respecto
al módulo n se simboliza como a ≡ b (mod n).
La congruencia de números se comporta de manera similar a una igualdad (formalmente, es una relación de
equivalencia):
• Si a≡b (mod n) entonces: a+c≡b+c (mod n) y ac ≡ bc (mod n) para cualquier entero c. Es decir, se puede sumar o
multiplicar una misma cantidad a ambos lados de una congruencia y se preserva la relación.
• Si a≡b (mod n) y b≡c (mod n) entonces a≡c (mod n). Es otras palabras, la relación es transitiva.
Un ejemplo sencillo para entender la aritmética con congruencias lo proporciona un reloj de manecillas, ya que las
horas en un reloj se comportan como congruencias módulo 12. Por ejemplo, las 15 y las 3 horas son indicadas por la
misma posición en el reloj; esta equivalencia se escribiría como
• 15 ≡ 3 (mod 12)
y se obtiene de que 12 divide a 15-3.
Si ahora el reloj marca las 5, dentro de 30 horas marcará las 11, porque 12 divide a 35-11 =24 y así:
• 5+30 = 35 ≡ 11 (mod 12).
Una particularidad de las congruencias, que la diferencia de la igualdad común es que, aunque podemos sumar o
multiplicar una misma cantidad a ambos lados de una congruencia preservándola, no podemos hacer lo mismo con
una división:
• 6· 4 ≡ 3·4 (mod 6), pues 6 divide a 24-12; sin embargo no es cierto que 6 ≡ 3 (mod 6).
Sin embargo, hay un caso especial en el que sí es posible efectuar tal cancelación: cuando el factor y el módulo son
primos relativos:
• Dado que 5·4 ≡ 5·10 (mod 6) y el máximo común divisor de 5 y 6 es 1 (es decir, son primos relativos), entonces
podemos cancelar el 5 y obtener 4 ≡ 10 (mod 6).
Prueba del teorema de Euler
La prueba original del teorema de Euler, en notación moderna, se desarrolla en los siguientes pasos.

Teorema de Euler 40
Pasos generales Ejemplo con n = 8, a = 3
Consideremos el conjunto P de los enteros menores que n y coprimos con n Consideremos el conjunto P = {1,3,5,7}
Multipliquemos cada elemento del conjunto P por a para formar el conjunto Q Construimos el conjunto Q = {3,9,15,21}
Los elementos del conjunto Q son congruentes a los del elemento P (en diferente
orden).
3≡3 (mod 8), 9≡1 (mod 8), 15≡7 (mod 8), 21≡5 (mod 8)
Sea u el producto de los elementos de P, y sea v el producto de los elementos de Q u= 1·3·5·7 = 105, v=3·9·15·21=8505
Los números u y v son congruentes pues sus factores son congruentes: u≡v (mod n) 105≡8505 (mod 8)
El entero v es igual a u multiplicado por a
φ(n)
: v=u·a
φ(n)
v= 3·9·15·21 = (3·1)(3·3)(3·5)(3·7) = 3
4
· (1·3·5·7) =
3
φ(8)
·105
Cancelamos el factor u en la congruencia u≡v (mod n): u≡u·a
φ(n)
(mod n) 105≡3
φ(8)
·105 (mod 8)
Concluimos 1≡aφ(n)
(mod n) 1≡3φ(8)
(mod 8)
Es importante recalcar que la cancelación sólo es posible puesto que u y n son primos relativos. De manera similar,
el tercer paso (los elementos de Q son congruentes a los de P) sólo puede obtenerse debido a que a y n son primos
relativos.
Aplicación del teorema de Euler
Una aplicación del teorema de Euler es en la resolución de ecuaciones de congruencia.
Por ejemplo, se desea encontrar todos los números x que satisfacen
5x ≡ 2 (mod 12)
en otras palabras, todos los números que al multiplicarlos por 5, dejan residuo 2 en la división por 12. O de otra
forma, todos los números x tales que 12 divida a 5x-2.
El teorema de Euler dice que
5
φ(12)
= 5
4
≡ 1 (mod 12)
por lo que, multiplicando ambos lados de la ecuación por 5
3
:
5
3
· 5x ≡5
3
·2 =250 ≡ 10 (mod 12)
5
4
x ≡ 10 (mod 12)
x≡10 (mod 12)
Entonces, la conclusión es que, cualquier número que al dividirse por 12 tenga residuo 10, será una solución de la
ecuación. Se puede verificar con un ejemplo. Si se divide 34 entre 12, el residuo es 10, por lo que x=34 debe
funcionar como solución. Para verificarlo, se divide 34·5=170 entre 12, obtenemos un cociente 14 y un residuo 2,
como se esperaba.

Teorema de Euler 41
Relación con el Teorema de Fermat
El Teorema de Euler es una generalización del teorema de Fermat que establece:
Si p es un número primo y a es un entero, entonces p divide al número a
p-1
-1
Pierre de Fermat (1640)
Fermat estableció tal resultado en una carta a Frénicle de Bessy, pero como era usual en él, omitió la prueba del
mismo:
Tout nombre premier mesure infailliblement une des puissances -1 de
quelque progression que ce soit, et l’exposant de la dite puissance est
sous-multiple du nombre premier donné -1. (...) Et cette proposition est
généralement vraie en toutes progressions et en tous nombres premiers; de
quoi je vous envoierois la démonstration, si je n'appréhendois d'être trop
long.
Todo número primo mide una de las potencias menos uno de
cualquier progresión en la que el exponente es un múltiplo del
primo dado menos uno. (...) Y esta proposición es generalmente
cierta para todas las progresiones y todos los números primos;
te enviaría la prueba, si no temiese que es demasiado larga.
Pierre de Fermat
No fue sino hasta que Euler probó su teorema, que quedó demostrado el resultado de Fermat, pues es un corolario
del teorema de Euler. En notación de congruencias, el teorema de Fermat establece que
Si p es un número primo y a es un entero no divisible por p, entonces a
p - 1
≡ 1 (mod p).
Pierre de Fermat (1640)
En la afirmación original de Fermat, no se hace explícita la suposición de que a y p son primos relativos. Dado que si
p es un número primo, todos los números {1,2,3,...,p-1} son primos relativos con p, se cumple que φ(p)=p-1 y por
tanto el teorema de Fermat es una consecuencia directa del teorema de Euler. Por ésta razón al teorema de Euler se le
conoce en ocasiones como teorema de Euler-Fermat.
Referencias
• Andrews, George E. (1994). Number Theory. Dover. 0-486-68252-8.
• Cohn, Harvey (1980). Advanced Number Theory. Dover. 0-486-64023-X.
• Erdős, Paul; Surányi, Janos (2003). Topics in the theory of numbers (2a ed. edición). New York: Springer.
0-387-95320.
• Amabda Bergeron; David White (17). «Transcripción de la carta de Pierre de Fermat a Frénicle de Bessy.
[1]
»
(pdf). Consultado el 24 de septiembre de 2007.
Referencias
[1] http://www.cs.utexas.edu/users/wzhao/fermat2.pdf

Función φ de Euler
Los primeros mil valores de .
La función φ de Euler (también llamada
función indicatriz de Euler) es una función
importante en teoría de números. Si n es un
número entero positivo, entonces φ(n) se
define como el número de enteros positivos
menores o iguales a n y coprimos con n, es
decir, formalmente se puede definir como:
donde |·| significa la cantidad de números
que cumplen la condición.
La función φ es importante principalmente
porque proporciona el tamaño del grupo
multiplicativo de enteros módulo n. Más
precisamente, es el orden del grupo
de unidades del anillo . En efecto,
junto con el teorema de Lagrange de los posibles tamaños de subgrupos de un grupo, proporciona una demostración
del teorema de Euler que dice que para todo a coprimo con n. La función φ juega también
un papel clave en la definición del sistema de cifrado RSA.
Primeras propiedades y cálculo de la función
Se sigue de la definición que , pues el elemento (1) sólo puede ser coprimo consigo mismo. Para otros
números se cumple que:
1. si es primo.
2. si p es primo y k es un número natural. Se demuestra con inducción:
3. es una función multiplicativa condicional: si m y n son primos entre sí, entonces .
La primera propiedad se demuestra fácilmente, porque un número primo es coprimo con todos sus anteriores. Y, por
tanto, existen p-1 elementos coprimos con p.
La segunda propiedad se demuestra por inducción, supongamos que k = 1. Entonces por
la propiedad 1, de manera que se puede escribir como . Se debe demostrar que se cumple
para .
Reescribiendo la identidad, , luego . Como
es la cantidad de números coprimos con , si multiplicamos dicha cantidad por p, el número que es coprimo con
los demás debe aumentar p veces, con lo que .
Con esto, el valor de φ(n) puede calcularse empleando el teorema fundamental de la Aritmética: si
donde los p
j
son números primos distintos, entonces
Esta última fórmula es un producto de Euler y a menudo se escribe como

donde los p son los distintos primos que dividen a n.
Ejemplo de cálculo
Se puede comprobar manualmente que los números coprimos con 36 (o sea, que no son divisibles por 2 ni por 3) son
doce: 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, y 35.
Algunos valores
Representación gráfica de los 100 primeros valores. Nótese que el límite inferior marcado
por la recta y = 4n/15 no es el límite inferior de la función de manera global, sino para
múltiplos de 30.
Los 99 primeros valores de la función
vienen escritos en la siguiente tabla, así
como gráficamente.
+0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9
0+ 1 1 2 2 4 2 6 4 6
10+ 4 10 4 12 6 8 8 16 6 18
20+ 8 12 10 22 8 20 12 18 12 28
30+ 8 30 16 20 16 24 12 36 18 24
40+ 16 40 12 42 20 24 22 46 16 42
50+ 20 32 24 52 18 40 24 36 28 58
60+ 16 60 30 36 32 48 20 66 32 44
70+ 24 70 24 72 36 40 36 60 24 78
80+ 32 54 40 82 24 64 42 56 40 88
90+ 24 72 44 60 46 72 32 96 42 60

Propiedades
• El valor de φ(n) es igual al orden del grupo de las unidades del anillo Z/nZ (véase aritmética modular). Esto,
junto con el teorema de Lagrange, proporciona una demostración del teorema de Euler.
• φ(n) también es igual al número de generadores del grupo cíclico C
n
(y por ello también es igual al grado del
polinomio ciclotómico Φ
n
). Como cada elemento de C
n
genera un subgrupo cíclico y los subgrupos de C
n
son de
la forma C
d
donde d divide a n (notación: d|n), se tiene que
donde la suma es de todos los divisores positivos d de n.
De esta manera, se puede emplear la fórmula de inversión de Möbius para «invertir» esta suma y obtener otra
fórmula para φ(n):
donde μ es la usual función de Möbius definida sobre los enteros positivos.
• La siguiente fórmula es de una serie de Dirichlet que genera un grupo cíclico φ(n):
Referencias
Enlaces externos
• Weisstein, Eric W. « Euler's Totient Function (http://mathworld.wolfram.com/TotientFunction.html)» (en
inglés). MathWorld. Wolfram Research.
• EulerPhifunction (http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=196) en PlanetMath

45
Teoría de grafos y geometría
Problema de los puentes de Königsberg
Coordenadas: 54°42′12″N 20°30′56″E
[1]
Mapa de Königsberg en la época de Leonhard Euler, que muestra dónde se
encontraban los siete puentes (en verde claro) y las ramas del río (en celeste).
El problema de los puentes de
Königsberg, también llamado más
específicamente problema de los siete
puentes de Königsberg, es un célebre
problema matemático, resuelto por
Leonhard Euler en 1736 y cuya resolución
dio origen a la teoría de grafos.
[]
Su nombre
se debe a Königsberg, el antiguo nombre
que recibía la ciudad rusa de Kaliningrado,
que durante el siglo XVIII formaba parte de
Prusia Oriental, como uno de los ducados
del Reino de Prusia.
Esta ciudad es atravesada por el río
Pregolya, el cual se bifurca para rodear con
sus brazos a la isla Kneiphof,
[]
dividiendo el
terreno en cuatro regiones distintas, las que
entonces estaban unidas mediante siete
puentes llamados Puente del herrero, Puente conector, Puente verde, Puente del mercado, Puente de madera,
Puente alto y Puente de la miel.
[]
El problema fue formulado en el siglo XVIII y consistía en encontrar un recorrido
para cruzar a pie toda la ciudad, pasando sólo una vez por cada uno de los puentes, y regresando al mismo punto de
inicio.
[2]
Contextualización del problema
Leonhard Euler llegó a Prusia en 1741, a la edad de 34 años, donde vivió hasta 1766 para luego regresar a San
Petersburgo. Durante esos años trabajó en la Academia Prusiana de las Ciencias, donde desarrolló una prolífica
carrera como investigador.
[]
Euler fue contemporáneo de varios otros famosos matemáticos y pensadores
procedentes de aquella ciudad, tales como Immanuel Kant, Johann Georg Hamann y Christian Goldbach, por lo que
Königsberg fue en ese tiempo un importante epicentro científico.
Es en este ambiente y por estos años en que surge la formulación del problema de los puentes de Königsberg,
propagándose a modo de juego y de trivia matemática entre los intelectuales de la época.

Análisis y solución del problema
Leonhard Euler (1707 - 1783), famoso matemático que
resolvió el problema en 1736, dando origen a la teoría
de grafos. Retrato de 1753.
El problema, formulado originalmente de manera informal,
consistía en responder a la siguiente pregunta:
Dado el mapa de Königsberg, con el río Pregolya dividiendo
el plano en cuatro regiones distintas, que están unidas a
través de los siete puentes, ¿es posible dar un paseo
comenzando desde cualquiera de estas regiones, pasando
por todos los puentes, recorriendo sólo una vez cada uno, y
regresando al mismo punto de partida?
La respuesta es negativa, es decir, no existe una ruta con estas
características. El problema puede resolverse aplicando un método
de fuerza bruta, lo que implica probar todos los posibles recorridos
existentes. Sin embargo, Euler en 1736 en su publicación «Solutio
problematis ad geometriam situs pertinentis»
[]
demuestra una
solución generalizada del problema, que puede aplicarse a
cualquier territorio en que ciertos accesos estén restringidos a
ciertas conexiones, tales como los puentes de Königsberg.
Para dicha demostración, Euler recurre a una abstracción del
mapa, enfocándose exclusivamente en las regiones terrestres y las
conexiones entre ellas. Cada puente lo representó mediante una
línea que unía a dos puntos, cada uno de los cuales representaba una región diferente. Así el problema se reduce a
decidir si existe o no un camino que comience por uno de los puntos azules, transite por todas las líneas una única
vez, y regrese al mismo punto de partida.
→ →
Demostración
Euler determinó, en el contexto del problema, que los puntos intermedios de un recorrido posible necesariamente han
de estar conectados a un número par de líneas. En efecto, si llegamos a un punto desde alguna línea, entonces el
único modo de salir de ese punto es por una línea diferente. Esto significa que tanto el punto inicial como el final
serían los únicos que podrían estar conectados con un número impar de líneas. Sin embargo, el requisito adicional
del problema dice que el punto inicial debe ser igual al final, por lo que no podría existir ningún punto conectado con
un número impar de líneas.
[3]
En particular, como en este diagrama los cuatro puntos poseen un número impar de líneas incidentes (tres de ellos
inciden en tres líneas, y el restante incide en cinco), entonces se concluye que es imposible definir un camino con las
características buscadas.

Repercusiones
Esta abstracción del problema ideada por Euler dio pie a la primera noción de grafo, que es un tipo de estructura de
datos utilizada ampliamente en matemática discreta y en ciencias de la computación. A los puntos se les llama
vértices y a las líneas aristas. Al número de aristas incidentes a un vértice se le llama el grado de dicho vértice.
Específicamente, un diagrama como el de la abstracción del mapa de Königsberg representa un multigrafo no
dirigido sin bucles.
En la teoría de grafos, existe un concepto llamado ciclo euleriano, llamado así justamente en honor a Leonhard
Euler, que representa cualquier camino dentro de un grafo particular, capaz de recorrer todas las aristas una única
vez, regresando finalmente al mismo vértice original. En coloración de grafos, una subárea de la teoría de grafos, la
resolución de este problema constituye además el primer teorema de los grafos planares.
[4]
Por otra parte, la publicación de Euler es la primera que hace alusión a una geometría en que sólo interesan las
propiedades estructurales de los objetos, y no sus medidas, como tradicionalmente se hace. El matemático llama a
esta nueva manera de ver los objetos geométricos «geometriam situs», término que hoy se traduce como topología,
[]
área actual de la matemática cuyo origen directo puede situarse en la resolución de este problema.
[5]
El problema original en la actualidad
Puente de la Miel sobre el río Pregolya en Kaliningrado.
Dos de los siete puentes originales fueron destruidos
por el bombardeo de Königsberg durante la Segunda
Guerra Mundial. Otros dos fueron posteriormente
demolidos y reemplazados por carreteras modernas.
Los tres puentes restantes aún permanecen en pie,
aunque sólo dos de ellos desde la época de Euler, pues
uno fue reconstruido en 1935.
[6]
Por lo tanto, en la actualidad sólo existen cinco puentes
en Kaliningrado, distribuidos de tal manera que ahora
es posible definir un camino euleriano, es decir, una
ruta que comienza en una isla y termina en otra; pero
no todavía un ciclo euleriano, es decir, que la ruta
comience y termine en el mismo lugar, lo cual era
necesario para cumplir con las condiciones iniciales del
problema.
[7]
Notas
[1] http://toolserver.org/~geohack/geohack.php?pagename=Problema_de_los_puentes_de_K%C3%B6nigsberg&language=es&
params=54_42_12_N_20_30_56_E_region:RU_source:nlwiki
[3] En realidad, en estos recorridos, llamados ciclos eulerianos, no pueden existir puntos con un número impar de líneas incidentes. Solo en el
caso de los caminos eulerianos, donde se acepta que el punto inicial y el final sean distintos, puede darse que únicamente éstos tengan un
número impar de líneas incidentes. Euler sólo caracterizó formalmente los caminos eulerianos; la caracterización formal de ciclo euleriano la
hizo Carl Hierholzer más tarde, en 1873, lo que no impide que la demostración de Euler sea general y correcta.
Fuente:
[5] Pappas, T. "Königsberg Bridge Problem & Topology." The Joy of Mathematics. San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, pp. 124-125, 1989.

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