El documento resume la ley de Gauss en el magnetismo. Explica que a diferencia del flujo eléctrico, el flujo magnético a través de cualquier superficie cerrada siempre es igual a cero. Esto significa que los polos magnéticos aislados no existen, aunque continúan las investigaciones teóricas sobre su posible existencia.

1. 784 Capítulo 29 Fuentes del campo magnético
29.5 Ley de Gauss en el magnetismo
El flujo asociado con un campo magnético se define de manera similar a la utilizada
para definir el flujo eléctrico (véase la ecuación 23.4). Imagine un elemento de área
dA sobre una superficie de forma arbitraria, como se muestra en la figura 29.19. Si el
campo magnético en este elemento es B
S
, el flujo magnético a través del elemento es
B
S
?dA
S
, donde dA
S
es un vector perpendicular a la superficie y que tiene una magnitud
igual al área dA. Por tanto, el flujo magnético total FB
a través de la superficie es
FB
; # B
S
? dA
S
(29.18)
Considere el caso especial de un plano de área A en un campo uniforme B
S
que
forma un ángulo u con dA
S
. El flujo magnético a través del plano en este caso es
FB
5 BA cos (29.19)
Si el campo magnético es paralelo al plano, como en la figura 29.20a, entonces u =
90° y el flujo a través del plano es igual a cero. Si el campo es perpendicular al plano,
como en la figura 29.20b, entonces u = 0 y el flujo a través del plano es BA (el valor
máximo).
La unidad del flujo magnético es T ∙ m2
, la cual se define como un weber (Wb);
1 Wb = 1 T ∙m2
.
a
d
El flujo a través del plano es igual
a cero cuando el campo magnético
es paralelo a la superficie del plano.
A
S
B
S
b
dA
S
B
S
El flujo a través del plano es máximo
cuando el campo magnético
es perpendicular al plano.
Definición de flujo magnético
B
S
u
d A
S
Figura 29.19 El flujo magnético a
través de un elemento de área dA es
B
S
?dA
S
5 B dA cos u, donde d A
S
es un
vector perpendicular a la superficie.
Figura 29.20 Flujo magnético a
través de un plano que yace en un
campo magnético.
b
r
I
c a
dr
Figura 29.21 (Ejemplo 29.7) El
campo magnético debido al alambre
que conduce una corriente I no es
uniforme sobre la espira rectangular
Ejemplo 29.7 Flujo magnético a través de una espira rectangular
Una espira rectangular de ancho a y longitud b se ubica cerca de un alambre largo
que conduce una corriente I (figura 29.21). La distancia entre el alambre y el lado
más cercano de la espira es c. El alambre es paralelo al lado largo de la espira.
Encuentre el flujo magnético total a través de la espira debido a la corriente en el
alambre.
S O L U C I Ó N
Conceptualizar Como se vio en la sección 29.3, las líneas del campo magnético
debido al cable serán círculos, muchos de los cuales pasarán a través de la espira rec-
tangular. Se sabe que la magnitud del campo magnético es una función de la distan-
cia r desde un alambre largo. Por tanto, el campo magnético varía por toda el área de
la espira rectangular.
Categorizar Ya que el campo magnético varía por toda el área de la espira, debe inte-
grar de principio a fin esta área para encontrar el flujo total. Esto lo identifica como
un problema de análisis.
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2. 29.5 Ley de Gauss en el magnetismo 785
En el capítulo 23 se llegó a la conclusión de que el flujo eléctrico a través de una
superficie cerrada que rodea una carga neta es proporcional a dicha carga (ley de
Gauss). En otras palabras, el número de líneas de campo eléctrico que salen de la
superficie depende únicamente de la carga neta que se encuentra en su interior. Esta
propiedad se basa en el hecho de que las líneas de campo eléctrico se originan y ter-
minan en cargas eléctricas.
La situación es muy diferente para los campos magnéticos, que son continuos y
forman espiras cerradas. En otras palabras, las líneas de campo magnético de una
corriente en la figura 29.3 y de un imán de barra en la figura 29.22 no empiezan ni ter-
minan en ningún punto. Observe que para cualquier superficie cerrada, como la que
dibujan las líneas discontinuas de la figura 29.22, el número de líneas que entran a la
superficie es igual al número de líneas que salen de ella; por tanto, el flujo magnético
neto es igual a cero. En contraste, para una superficie cerrada que rodea una carga de
un dipolo eléctrico (figura 29.23), el flujo eléctrico neto no es igual a cero.
FB
5 # B
S
? dA
S
5 # B dA 5 # 0
I
2 r
dA
FB
5 # 0
I
2 r
b dr 5
0
Ib
2 #
dr
r
FB
5
0
Ib
2 #
a1c
c
dr
r
5
0
Ib
2
ln r*
a1c
c
5
0
Ib
2
ln Sa 1 c
c D5
0
Ib
2
ln S1 1
a
cD
N
S
El flujo magnético neto
a través de una superficie
cerrada que rodea a uno
de los polos o cualquier
otra superficie cerrada
es igual a cero.
El flujo eléctrico a
través de la superficie
cerrada que rodea
una de las cargas no
es igual a cero.
Figura 29.22 Las líneas de campo magnético de
un imán de barra forman espiras cerradas. (La
línea discontinua representa la intersección de la
superficie cerrada con la página.)
Figura 29.23 Las líneas de campo eléctrico que
rodean un dipolo eléctrico parten de la carga posi-
tiva y terminan en la negativa.
29.7 cont inuaci ón
Analizar Observe que B
S
es paralelo a dA
S
en cualquier
punto dentro de la espira, encuentre el flujo magnético a
través del área rectangular mediante la ecuación 29.18 e
incorpore la ecuación 29.14 para el campo magnético:
Exprese el elemento de área (la tira de color canela en la
figura 29.21) como dA = b dr y sustituya:
Integre desde r = c hasta r = a + c:
Finalizar Observe cómo el flujo depende del tamaño de la espira. Incrementar a o b aumenta el flujo como se esperaba. Si c se
vuelve tan grande tal que la espira esté muy alejada del alambre, el flujo tiende a cero, también como se esperaba. Si c tiende
a cero, el flujo se vuelve infinito. En principio, este valor infinito se presenta porque el campo se vuelve infinito en r = 0 (si
supone un alambre infinitamente delgado). Esto no ocurrirá en la realidad porque el grosor del alambre evita que el extremo
izquierdo de la espira llegue a r = 0.
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3. 786 Capítulo 29 Fuentes del campo magnético
La ley de Gauss en el magnetismo establece que
el flujo magnético neto a través de cualquier superficie cerrada siempre es igual a
cero:
$ B
S
? dA
S
5 0 (29.20)
Ley de Gauss en el magnetismo
Esto significa que los polos magnéticos aislados (monopolos) nunca han sido detec-
tados y por tanto no existen. Sin embargo los científicos continúan la investigación
y ciertas teorías han tenido éxito al explicar el comportamiento físico fundamental
sugiriendo la posible existencia de monopolos magnéticos.
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