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35 36COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria
OBJETIVOS:
• Conocer el concepto de región plana y
aprender a calcular su medida en base a la
definición de área.
• Aprender a utilizar las diversas fórmulas del
cálculo de áreas de las principales regiones
planas tales como: Región triangular, región
cuadrangular y región circular.
• Comparar las áreas de las regiones teniendo
en cuenta ciertas características entre ellas.
INTRODUCCIÓN:
Desde tiempos pasados el hombre tenía la
necesidad de medir extensiones superficiales
(terrenos de cultivo, viviendas, territorios, etc.)
con el cuál surge la necesidad de crear una
magnitud de medidas superficiales derivada de la
magnitud de medidas lineales (longitud); a la cual
se le denomina área.
REGIÓN PLANA
Es una porción de plano limitada por una línea
cerrada.
H
Plano H: H
Línea cerrada
Región plana
ÁREA
Es la medida de una región, la cuál resulta de
comparar a dicha región con otra tomada como
unidad (región unitaria).
Convencionalmente se toma como región unitaria
a una región cuadrada (Región limitada por un
cuadrado), donde la longitud de su lado es la
unidad de longitud (m) cuya área es 1 m2
(unidad
de área).
H
Plano H: H
Región unitaria
U
1m
1mB
C
D
A E
Del gráfico: A = K(Au)
Pero: Au = 1m2
∴ A = Km2
ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES
FÓRMULA BÁSICA
El área de una región triangular es igual al
semiproducto de las longitudes de un lado y la
altura relativa a dicho lado.
A H C
B
h
b
En el gráfico:
BH es la altura relativa a AC
Si: AC = b y BH = h
2
bh
A ABC =∆
Observación:
B
H A
C
h
b
BH : altura relativa a AC
2
bh
A ABC =
B
A C
c
b
ACyAB : catetos
2
c.b
A ABC =
FÓRMULA TRIGONOMÉTRICA
El área de una región triángular es igual al
semiproducto de las longitudes de dos lados,
multiplicados con el seno del ángulo
determinado, por dichos lados.
B
A C
θ
c
b
En la figura:
AB = c , AC = b y m ∠ BAC = θ
θ=∆ sen
2
bc
A ABC
Observación:
B
A C
 

∆ ABC: equilátero
AB = BC = AC = 
4
3
A
2
ABC

=∆
FORMULA DE HERÓN
El área de una región triangular es igual a la raíz
cuadrada del producto del semiperímetro de la
región triangular y la diferencia de dicho
semiperímetro con la longitud de cada uno de los
lados.
B
A Cb
ac
En el ∆ ABC:
2
cba
p
++
=
p: semiperímetro de la región ABC
)cp()bp()ap(pA ABC −−−=∆
FÓRMULAS ADICIONALES
S4GE33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4GE33B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
ÁREAS
III
35 36COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria
Con el inradio
B
A C
r
circunferencia inscrita
En la figura:
r : inradio del ∆ ABC
p : semiperímetro de la región ABC
A∆ ABC = pr
Observación:
B
A C
circunferencia inscrita
nm
M
En la figura:
AM = m y MC = n
nmA ABC =
RELACIÓN DE ÁREA EN REGIONES
TRIANGULARES
Consiste en establecer la comparación de las
áreas de regiones triangulares que presentan
ciertas características.
Al trazar una ceviana
B
A C
nm
D
En el ∆ ABC
BD : ceviana interior
n
m
A
A
DBC
ABD
=
∆
∆
Observación:
B
A C
mm
M
En el ∆ ABC
BM : mediana
MBCABM AA ∆∆ =
Triángulos con un ángulo de igual medida
B
A C
b
α
c
N
M L
n
α

En la figura: m ∠ BAC = m ∠ NML = α
n
bc
A
A
MNL
ABC
=
∆
∆
Triángulos con un ángulo suplementario
B
CA
b
β
a
N
LM
n
α
m
En la figura, los ángulos ACB y MLN son
suplementarios, es decir: β + α = 180
n.m
ab
AMNL
ABC
=
∆∆
Triángulos semejantes
B
A Cb
α
β
θ
c a
N
M Ln
α
β
θ
m
En la figura ∆ ABC ∼ MNL
2
2
2
2
2
2
2
MNL
ABC
K
c
n
b
m
a
A
A
====
∆
∆

K : razón de semejanza
ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES
FÓRMULA GENERAL
El área de una región cuadrangular es igual al
semiproducto de las longitudes de sus diagonales,
multiplicado con el seno de la medida del ángulo
determinado por dichas diagonales.
B
C
DA
d1
d2
θ
ABCD : convexo
N
P
LM
β
m
n
MNLP : cóncavo en P
θ= sen.
2
dd
A 21
ABCD
β= sen.
2
mn
A MNLP
ÁREA DE UNA REGIÓN TRAPECIAL
El área de una región trapecial es igual al
producto de la semisuma de las longitudes de las
bases con la longitud de la altura de dicho
trapecio.
m
M N
aB C
h
bA D
S4GE33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4GE33B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
35 36COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria
En el gráfico:
ABCD : trapecio
ADyBC : bases
Entonces:
h
2
ba
A ABCD 




 +
=
Además:
Si MN es la base media del trapecio
ABCD
mhA ABCD =
ÁREA DE UNA REGIÓN
PARALELOGRÁMICA
Región Romboidal
El área de una región romboidal es igual al
producto de las longitudes de un lado y la altura
relativa a dicho lado.
α
B
a
b D H
C
A
h
En la figura:
ABCD : paralelogramo
bhA ABCD =
Además:
α= senabA ABCD
Región Rombal
El área de una región rombal es igual al
semiproducto de las longitudes de sus diagonales.
B
D
CA
m m
m m
d
2
d
1
En la figura:
ABCD : rombo
2
dd
A 21
ABCD =
Región Rectangular
El área de una región rectangular es igual al
producto de sus dimensiones.
B
D
C
A
a
b
En la figura:
ABCD : rectángulo
a y b : dimensiones del rectángulo
abA ABCD =
Región Cuadrada
El área de una región cuadrada es igual al
cuadrado de la longitud de su lado.
B
D
C
A
d


En la figura:
ABCD : cuadrado
2
ABCDA =
También:
2
d
A
2
ABCD =
PRÁCTICA DE CLASE
01.Hallar el área del siguiente triángulo, si su
proyección del lado AB es 3 y el lado
AC = 9.
A
B
C
37°
a) 18 b) 10 c) 9
d) 27 e) 15
02.Hallar el área del triángulo rectángulo ABC.
Si AB = 6 y BC = 9. (Recto en B)
a) 20 b) 22 c) 27
d) 10 e) 15
03.Hallar el área de un triángulo equilátero, si su
altura es 3.
a) 3 b) 35 c) 34
d) 33 e) 32
04.Hallar el área de un triángulo ABC, si sus
lados miden 7 y 16 y su ángulo comprendido
entre dichos lados mide 30°.
a) 24 b) 25 c) 28
d) 23 e) 20
05.En un triángulo rectángulo ABC (m < B = 90°).
Si se traza la altura BH . Si las proyecciones
HCyAH miden 2 y 8 respectivamente.
Calcular el área del triángulo.
a) 10 b) 20 c) 40
d) 15 e) 30
06.Las medidas de los lados de un triángulo son
13, 14 y 15. Calcular el área de la región
triangular.
a) 84 b) 81 c) 27
d) 49 e) 51
07.El lado de un cuadrado mide 24 cm.
¿Cuánto mide el área del círculo que se
encuentra circunscrita al cuadrado?
a) 4π b) 16π c) 22π
d) 32π e) 8π
08.La hipotenusa de un triángulo rectángulo
forma con una cateto un de 37°. Calcular el
área del triángulo si el lado opuesto al ángulo
de 37° mide 6cm.
a) 48 cm2
b) 4 cm2
c) 8 cn2
d) 12 m2
e) 24 cm2
09.El lado de un rombo mide 10 cm y sus
diagonales están en la relación de 3 es a 4.
¿Cuál es su área?
a) 96 m2
b) 10 m2
c) 15 m2
d) 20 m2
e) 18 m2
10.El área de un trapecio es 210 m2
y su altura
mide 6 m. Calcular la longitud de cada una de
las bases si están en relación de 2 es a 5.
a) 50 y 20 m b) 20 y 40 m c) 60 y 10 m
d) 60 y 20 m e) N.a.
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35 36COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria
11.Hallar el área de un cuadrado inscrito es un
círculo de radio 24 cm.
a) 16 cm2
b) 4 cm2
c) 8 cm2
d) 64 cm2
e) N.a.
12.Un rectángulo tiene un área de 216m2
. Su
largo mide 6 metros más que su ancho. Sus
dimensiones serán:
a) 11 y 19 m b) 12 y 18 m c) 27 y 4m
d) 12 y 19 m e) N.a.
13.Hallar el área de un triángulo equilátero si su
altura es 3 .
a) 2
3 µ b) 2
3 µ c)
2
33 µ
d) 2
2
3
µ e) 2
34 µ
14.En un triángulo rectángulo ABC (recto en B),
se traza la altura BH . Si las proyecciones
HCyAH miden 4 y 16
respectivamente. Calcular el área del
triángulo BHC.
a) 32 2
µ b) 64 2
µ c) 30 2
µ
d) 60 2
µ e) 45 2
µ
15.Las medidas de los lados de un triángulo son
10, 12 y 14. Su área de la región triangular
será:
a) 318 2
µ b) 315
2
µ c) 24 2
µ
d) 24 3 2
µ e) 12 3
2
µ
16.En la siguiente figura: Hallar el área de la
región triangular BHC.
B
20
A
30°
CH
a) 150 3 2
µ b) 200 3 2
µ
c) 100 3 2
µ d) 50 3 2
µ
e) N.a.
17.Las bases de un trapecio están en relación de
4 es a 6 y su área es 280m2
. Entonces su
altura es:
a) 56 x m b) 28 x m c) 56 / x m
d) 10 x2
m e) N.a.
18.Hallar el área del triángulo equilátero inscrito
en una circunferencia de radio igual a 5.
a) 375 2
µ b)
4
375
2
µ
c)
4
3 2
µ d)
2
x314 2
µ
e) N.a.
19.En la siguiente figura. Hallar el área del
cuadrado ABCD. ("O" centro de la
circunferencia).
B
A
C
D
12
O
a) 144 2
µ b) 12 2 2
µ c) 288
2
µ
d) 10 2 2
µ e) 5 2
µ
20.Hallar la diagonales de un rombo, sabiendo
que están en relación de 5 es a 2. Además el
área del rombo es 125 m2
.
a) 5 m y 2 m b) 25 m y 10 m
c) 30 m y 12 m d) 40 m y 20 m
e) 25 m y 12 m
EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 01
01. En un triángulo isósceles ABC el lado
desigual AC mide 8cm y el inradio mide 2
cm. Hallar el área del triángulo ABC. (en
cm2
)
a) 32/3 b) 64/3 c) 124
d) 30 e) 16
02.En un triángulo rectángulo ACB, la mediatriz
de la hipotenusa AB interseca el cateto BC en
el punto “E”. Si AB = 20m; AC = 12m.
Hallar el área del cuadrilátero ADEC. (D :
Punto medio de AB )
a)
2
117
b)
2
111
c)
2
137
d)
2
119
e)
2
135
03.Hallar el área de un triángulo cuyos lados
miden 26 m, 18 m y 20 m.
a) 18 m2
b) 9 m2
c) 6 m2
d) 15 m2
e) 12 m2
04.En un cierto triángulo rectángulo la altura
relativa a la hipotenusa mide 2m y la
hipotenusa es los 5/4 de uno de los catetos.
¿Cuál es el área del triángulo?
a) 12 m2
b) 13/3 m2
c) 6 m2
d) 25 m2
e) 25/6 m2
05. Los lados de un rombo son dos radios y dos
cuerdas de un círculo cuyo radio mide 16.
Calcular el área de la región limitada por el
rombo.
a) 64 3 b) 128 c) 256
d) 135 3 e) 128 5
06.En un trapecio, cuyas bases miden 4 y 6 se
trazan paralelas a las bases que trisecan a la
altura que mide 6. Calcular el área de la
región limitada por el trapecio intermedio.
a) 10 b) 7,5 c) 12
d) 9 e) 8
07.Se tiene un trapecio isósceles ABCD, BC //
AD, en el que se trazan la altura BH y la
diagonal BD. Si ABCDS = 16. Calcular
BHDS (S : Área)
a) 12 b) 16 c) 8
d) 6 e) 4
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35 36COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria
08.En la figura ABCD es un paralelogramo y
AMDMPC SS + = 18 , calcular ABPS
A
B C
D
M
P
a) 9 b) 12 c) 12 3
d) 18 e) 24
09. ¿Qué fracción del área del triángulo ABC,
nos representa el área de la región
sombreada?
B
A C
c
b
a
a
b
c
a) 1/6 b) 1/12 c) 1/18
d) 1/8 e) 1/10
10.Dos triángulos semejantes tienen que sus
bases miden 8dm y 3 dm. ¿En qué relación se
encuentran sus áreas?
a) 8/3 b) 16/9 c) 64/3
d) 8/9 e) 64/9
11.En la figura ABCD es un romboide,
BOCS = 9µ2
y PODS = 4µ2
. Calcular el
área de la región ABCD.
A
B C
D
O
P
a) 36 µ2
b) 30 c) 27
d) 38 e) 24
12.En el gráfico, calcular el área de la región
sombreada, si las áreas de las regiones
triangulares MNP y EPF son 4m2
y 9 m2
respectivamente.
(MC // DE)
M N C
P
E F Da
b
a
b
a) 26 m2
b) 18 c) 30
d) 31 e) 32
13.Se tiene un trapecio ABCD (BC // AD) cuya
base mayor AD mide 14 cm y altura 8cm. Si
el área del trapecio es de 80 cm2
. Hallar el
área del triángulo BCD.
a) 48 cm2
b) 24 cm2
c) 30 cm2
d) 12 cm2
e) 36 cm2
14.En un paralelogramo tiene como base 12m y
como altura 3m. Hallar la diagonal del
cuadrado equivalente a dicho paralelogramo.
a) 6 m b) 6 2 m c) 8 m
d) 4 3 m e) 2 6 m
15.En un triángulo ABC se traza la bisectriz
interior BF y sobre ella se ubica el punto “P”.
Calcular la relación de las áreas de las
regiones APB y BPC, si 2AB = 3BC.
a) 3/2 b) 1/2 c) 1
d) 3/4 e) 2/5
TAREA DOMICILIARIA
01.Hallar el área sombreada: ("O" centro de la
circunferencia).
A
B
C
D
4m
O
a) 4π - 8 b) 4 (π – 2 ) c) 4π
d) 8π e) 8 + 4π
02.Hallar el área sombreada:
B
A CD
10 8
50m 2
a) 28 m2
b) 100 m2
c) 25 m2
d) 20 m2
e) 40 m2
03. En la figura ABCD es un paralelogramo.
Area del triángulo BPC = 10, área del
triángulo DPC = 8, área del triángulo APD=
5. Calcular el área del triángulo ABP.
A
B C
P
D
a) 2
4 µ b) 2
7 µ c) 2
5 µ
d) 2
10 µ e) N.a
04.En un triángulo rectángulo, un cateto mide 4
m y la altura relativa a la hipotenusa mide 2, 4
m. Hallar el área de dicho triángulo.
a) 2
m4 b) 2
m8,4 c)
2
m6
d) 2
m4,6 e)
2
m2,7
05.El lado desigual AC de un triángulo
isósceles ABC mide 8 m y el radio del círculo
inscrito es 2 m. Calcular el área de dicho
triángulo.
a)
3
64
b)
7
60
c)
3
49
d)
3
50
e)
3
32
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35 36COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria
CÍRCULO
Es aquella región plana limitada por una
circunferencia.
d
R
O
En el gráfico:
R : radio del círculo d : diámetro
A = πR2
También:
4
d
A
2
π
=
SECTOR CIRCULAR
Es aquella porción de círculo limitada por un
ángulo central y su arco correspondiente.
Lθ
O
R
A
B
En el gráfico:
R : radio del sector circular AOB
θ : medida del ángulo central
º360
R
A
2
AOB
θπ
=
Además:
L : longitud del arco AB
2
R.L
A AOB =
SEGMENTO CIRCULAR
Es aquella porción de círculo determinada por
una cuerda de dicho círculo.
P
θ
O
R
A B
R
R
En el gráfico:
APB: :segmento circular determinado por la
cuerda AB
R : radio
θ : medida del ángulo central
correspondiente al segmento circular
θ−
θπ
= sen
2
R
º360
R
A
22
APB
CORONA CIRCULAR
Es aquella región plana limitada por dos
circunferencias concéntricas.
r
R
A B
T
a
En la figura las circunferencias de radios R y r
determinan la corona circular.
Acorona = π (R2
– r2
)
También:
Si T es punto de tangencia y AB = a
4
a
A
2
corona
π
=
PRÁCTICA DE CLASE
01.Hallar el perímetro de la región sombreada.
2 2
a) 2 π b) 4 π + 1 c) 3 π
d) 2 ( π + 1) e) 2 (π + 2)
02.Hallar el perímetro de la región sombreada.
44
4
a) 2(π + 1) b) 4(π + 2) c) 2π + 1
d) 4(π + 1) e) 2π + 8
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ÁREA DE
REGIONES
35 36COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria
03.Hallar el área de la región sombreada.
6
6
6
6
6
6
a) 12 (π - 3 ) b) 6 ( 2 3 - π)
c) 6 ( 3 3 - π) d) 12 ( 3 + π)
e) 12 ( 3 3 - π)
04.Hallar el área de la región sombreada.
4
4O
A
B
a) 4 (π + 1) b) 4 (π - 2) c) 2 (π + 1)
d) 2 (π + 3) e) 3 (π + 1)
05.Hallar el área de la región sombreada.
6 8
a) 4 (6 - π) b) 4 (π - 2) c) 4 (6 - π)
d) 4 (6 - π) e) 4 (6 - π)
06.Hallar el área de la región sombreada.
C
D
B
A
4
4
a) 24 – 8π b) 24 – 7π c) 32 – 4π
d) 32 – 9π e) 28 – 4π
07.Hallar el área de la región sombreada.
2
2
a) 2(π - 1) b) 2(π - 2) c) 2(π + 1)
d) 3(π - 1) e) 3(π - 2)
08.Hallar el área de la región sombreada.
4
4
a) 10 b) 12 c) 9
d) 8 e) 6
09.Hallar el área de la región sombreada.
2 a
2 aB
A
C
D
a) ( )1a4 2
−π b) ( )1a 2
−π
c) ( )2a4 2
−π d) ( )1a 2
−π
e) ( )2a2 2
−π
10.Hallar el área de la región sombreada.
4
44
a) π + 2 b) 2(π - 1) c) 4(4 - π)
d) 4(π - 2) e) 4(4 - 2π)
11.El área del sector circular es el área del
círculo como:
60ºO
A
B
a) 4: 3 b) 3: 1 c) 5: 2
d) 3: 2 e) 5: 3
12.Hallar el área de la región sombreada.
64
a) 24 - 4π b) 18 - 6π c) 24 - 3π
d) 24 - 7π e) 6 (4 - π)
13.Hallar el área de la parte sombreada en la
siguiente figura: (π = 3, 14)
20 cm
20 cm
B
A
C
D
r
a) 86 2
cm b) 48 2
cm c) 52 2
cm
d) 90 2
cm e) N.a
14.Si ABCD es un cuadrado, AEAC = .
Hallar el área sombreada si el lado del
cuadrado es 10cm.
B E
C
A
D
a) 100 cm2
b) 50 cm2
c) 60 cm2
d) 25 cm2
e) N.a.
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35 36COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria
15.Hallar el área sombreada, si los radios son: R
= 6; r = 4.
r
R
a) 20 π b) 12π c) 16 π
d) 18 π e) N.a.
16.Hallar el área sombreada 4BD = ;
°=12AB ; °=8CD
B
O
A
D
C
a) 20 b) 30 c) 40
d) 50 e) 60
17.Hallar el área sombreada. AB = 60° y R =
12
B
O
A
a) 10 π b) 20 π c) 30 π
d) 35 π e) 24 π
18.¿Qué % del área del cuadrado es el área
sombreada?
a) 50% b) 75% c) 40%
d) 25% e) N.a.
19.En la siguiente figura. Hallar la relación del
área sombreada al área no sombreada.
a) 1/7 b) 1/5 c) ¼
d) 1/3 e) N.a.
20.¿Cuánto vale el área sombreada, de la
siguiente figura. Si ABCD es un cuadrado de
lado 8.
B
A D
C
a) 30 b) 40 c) 32
d) 8 e) 16
EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 02
01.Dado el cuadrado de la figura, sabiendo que
EF // BC y CF = ¼ AD, determine la razón
entre el área de la región sombreada y el área
de la región no sombreada.
A
B
D
C
E F
a) 5 / 11 b) 11/ 5c) 11 / 6
d) 16 / 11 e) 4 / 3
02.Si el área del trapecio ABCD e 80 m2
y M es
punto medio de DC, hallar el área de la parte
sombreada.
A
B C
D
M
a) 2
m50 b) 2
m40 c) 2
m60
d) 2
m70 e) N.a.
03.Hallar el área sombreada en la siguiente
figura. ABCD es un cuadrado de lado 10.
A B
CD
a) π100 b) ( )π425 c)
π+100
d) π−80 e) N.a.
04.Calcular el área de la región sombreada, si el
segmento MB mide 4m.
N O
O` O``
M
a) 4π b) 8π c) 6π
d) π/2 e) 3π
05.Hallar el área de la región sombreada:
4
4 4
a) π + 2 b) 2 ( π - 1 ) c) 4 (4 - π )
d) 4 (π - 2 ) e) 4 ( 4 – 2 π )
06.Calcular el área de la corona circular si
AB = 12m.
A
B
R
r
a) 144m2
b) 72m2
c) 72πm2
d) 36m2
e) 36πm2
07.Hallar el área de la parte sombreada. Si
ABCD es un cuadrado.
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35 36COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria
B C
A D
r=2u
r=2u
a) 2(18 - π)µ2
b) (15 - π)µ2
c) (12 - π)µ2
d) 2(8 - π)µ2
e) (16 - π)µ2
08.Hallar el área de la Región sombreada
a
a a
a
a) a2
(4 - π) b) )2(
2
a 2
π−
c) )4(
4
a 2
π− d)
)3(
3
a 2
π−
e) N.a.
09.Calcular el área de la región sombreada.
A
B
6m
30°
C
a) 10πm2
b) 15πm2
c) 16πm2
d) 18πm2
e) 20πm2
10.El área del sector circular mostrado es:
A
Br = 8u
5u
O
a) 40µ2
b) 20µ2
c) 30µ2
d) 28µ2
e) 36µ2
11.Calcular el área de un círculo inscrito en un
sector circular de 60º de ángulo central y
tiene por área 2
24 µ
a) 2
2 µ b) 2
4 µ c) 2
6 µ
d) 2
8 µ e) 2
10 µ
12.En la figura se tiene un cuadrante con centro
“ O ”. Hallar el área de la región sombreada.
Si m2MBym1AM ==
A
O
M
B
a)
4
7
8
5
−
π
b)
2
7
4
5
−
π
c)
8
7
4
5
−
π
d)
7
8
5
4
−
π
e)
4
7
5
8
−
π
13.En un rectángulo ABCD se inscribe una
semicircunferencia de diámetro AD .
Calcular el área del segmento circular
determinado al unir los puntos medios de
CDyAB . Sabiendo que 6AB =
a) 3615 −π b) 3912 −π
c) 2812 −π d) 3818 −π
e) 3129 −π
14.Sea 





= 10
5
1
;10
5
2
P el
punto donde el círculo y el segmento son
tangentes. El área de la región sombreada es:
Y
P
O
a) 52 −π b)
2
3
−π c) 2 π - 3
d)
22
5 π
− e) N.a
15.Calcular el área de la región sombreada; si
AO = OB = 2 µ.
45º
A BO
a) ( ) 2
1 µ−π b) ( ) 2
2 µ−π c)
( ) 2
3 µ−π
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35 36COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria
d) ( ) 2
4 µ−π e) ( ) 2
32 µ−π
TAREA DOMICILIARIA
01.Calcular el área de la región sombreada:
A C
B
10 cm
6 cm
02.Calcular el área de la región sombreada.
A
C
B10
D
10
10 10
03.Hallar el área de la región sombreada, en:
A
CB 4
D
4
44
4
4 4
4
04.Calcular el área de la región sombreada:
10 10 10
10
10
10
10 10 10
10
10
10
05.Calcular el área de la región sombreada
32 cm E
50 cm
DA
B C
50 cm
50 cm
9 cm
18 cm
DETERMINACIÓN DE UN PLANO
Un plano en el espacio queda determinado por los
siguientes postulantes.
1. Tres puntos no colineales determinan un
plano al cual pertenecen.
A
B
C
2. Dos rectas secantes determinan un plano al
cual pertenecen.
3. Una recta y un punto exterior a ella
determinan un plano.
A
4. Dos rectas paralelas determinan un plano.
POSICIONES RELATIVAS ENTRE 2
FIGURAS DEL ESPACIO
PLANOS
A. Paralelos: No tienen ningún punto en
común.
* P // Q
* φ=∩QP
B. Secantes: Dos planos son secantes
cuando tienen un punto común
necesariamente tienen otro punto común,
en consecuencia tienen una recta común,
dicha recta se denomina recta de
intersección entre dichos planos.
Q
S
AB: Recta de Intersección
A B
C. Coincidentes: La condición necesaria
suficiente para que dos planos coincidan
es que tengan tres puntos comunes, no
colineales.
A
B
C
P
UN PLANO Y UNA RECTA
A. Paralelas: No tienen ningún punto en
común.
B. Secantes: Tienen un punto en común, dichos
puntos se denominan punto de intersección o
traza de la recta con respecto al plano.

P
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RECTAS Y
35 36
M
N
m
nl
P
xº
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria
C. Recta contenida en el plano: Una recta
pertenece a un plano o está contenida en
dichos planos si tienen dos puntos comunes.
P
A
B 
* ∈H
DOS RECTAS
A. Paralelas: Son dos rectas coplanares
(Pertenecen a un plano) y no se intersectan.
* φ=∩BA
A
B
B. Secantes: Son dos rectas coplanares que
tienen un punto de intersección.
C. Rectas Cruzadas o Alabeadas: Son dos
rectas que no determinan plano alguno.
Las rectas A y B son alabeadas.
a
A
b
TEOREMA DE THALES
Si tres planos paralelos son intersectados por
dos rectas, los segmentos entre los planos
tienen longitudes proporcionales.
a) Si las rectas son coplanares.
A
B
P
C
D
E
F
Q
R
DF
BD
CE
AC
=
RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO
Definición: Si una recta es perpendicular a un
plano es perpendicular a todas las rectas
contenidas en dicho plano.
- A: pie de la perpendicular.
- Si: l ⊥a y l⊥m
- Luego: l⊥ recta b
- Entonces: l ⊥ plano P
- También: l ⊥ recta r
A

a
n
m
b
r
P
CONDICIÓN PARA QUE UNA RECTA SEA
PERPENDICULAR A UN PLANO
La condición necesaria y suficiente para
que una recta sea perpendicular a un plano, es que
dicha recta sea perpendicular a dos rectas
secantes contenidas o paralelas a dicho plano.
(*) Si: l ⊥ a; l ⊥ b
(*) Entonces: l ⊥ plano P

P
a
b
Teorema:
Si una recta es perpendicular a dos rectas secantes
contenidas en un plano; es perpendicular a todas las
rectas contenidas en el plano determinado por las
secantes.
m
n
ba
Q

* a⊥
* b⊥
* Q⊥
* n;m ⊥⊥ 
MENOR DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS
ALABEADAS
Es el segmento perpendicular a ambas rectas alabeadas.
* ⊥MN , MNmMN ⇒⊥ es la
menor distancia; es decir la mínima distancia.
M
m
N

P
TEOREMA DE LAS TRES PERPENDICULARES
M N
m
n l
Pie de la
P
Penpendicular
Q
Si por el pie de una recta perpendicular a un plano,
se traza una segunda perpendicular a una recta
contenida en dicho plano, el pie de la segunda
perpendicular unida con cualquier punto de la recta
perpendicular al plano, determina una recta
perpendicular a la recta contenida en dicho plano.
* l ⊥ plano P, m∈ plano P, MN ⊥ m y Q ∈ l
* Luego: QN ⊥ m → n ⊥ m
Observación:
En cualquiera de los dos casos siempre x = 90°.
a)
* l ⊥ plano P
* n ⊥ recta m
*Luego:
MN ⊥recta
m
* Es decir:
°=90x
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35 36
M N
m
n l
P
xº
COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria
b)
* l ⊥ plano P
* MN ⊥ recta m
* Luego:
n ⊥ recta m
* Es decir:
°=90x
PRÁCTICA DE CLASE
01. Las proyecciones de un segmento de recta
AB sobre un plano “∅” y sobre una
perpendicular al plano contenida en el mismo
plano AB , miden 15 y 8 m. Hallar: AB.
a) 10 b) 12 c) 15
d) 17 e) N.a.
02. Un segmento de recta AB de 26 m, une al
punto “A” del plano “∅” con el punto “B”
del plano “θ” siendo “θ” y “∅” paralelos. La
proyección de AB sobre cualquiera de los
dos planos mide 24m. Hallar la distancia
entre dichos planos.
a) 10m b) 15m c) 20 m
d) 18 m e) N.a.
03. Se tiene dos puntos A y B encima de un
plano ∅ el primero a 8m y el segundo a 4m
de dicho plano, la proyección de AB sobre el
plano mide 9m. Hallar la longitud del menor
camino de A hasta B pasando por un punto
del plano.
a) 10m b) 15m c) 20m
d) 18m e) N.a.
04. Sea el plano P y un segmento exterior; tal
como AB que mide 10m. Si la distancia de
A al plano es de 16m y B al plano es de 8m.
Hallar la longitud de la proyección de AB
sobre el plano P.
a) 8m b) 12m c) 6m
d) 5m e) 7m
05. Dado un cuadrado ABCD cuyo lado mide
4m por B se levanta una perpendicular al
plano determinado por ABCD, hasta el punto
P. Hallar la distancia de P al punto medio de
AD si PB = 5 m.
06. En una circunferencia cuyo radio mide 2m,
se inscribe un triángulo equilátero ABC. Por
“M”, punto medio de AB se levanta una
perpendicular a la circunferencia, hasta el
punto “P”.
Si PM = 4m. Hallar la distancia de P al
vértice C.
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) N.a
07. Se tiene las rectas cruzadas m y n, siendo
AB la distancia mínima entre ellas (A en
m y B en n), se toman C en m y D en n, de
manera que: m ∠ CDB = 90º y además AC =
2. BD. Hallar la medida del ángulo con el que
se cruzan m y n.
a) 40º b) 60º c) 70º
d) 80º e) N.a
08. Por el incentro de un triángulo rectángulo se
levanta una perpendicular al plano del
triángulo, en la cual se toma un punto “P”, tal
que la distancia de “P” al incentro es 2.
Calcular la distancia desde el punto “P” a la
hipotenusa, si los catetos miden 3 y 4.
a) 5 b) 32 c) 3
d) 24 e) N.a
09.En la figura BC y CD pertenecen al
plano α y AD es perpendicular al plano α
. Si AD = 30 y BC = 16. Hallar MN.
A
B
C
D
N
α
M
a) 17 b) 16 c) 15
d) 12 e) N.a
10.Tres planos paralelos determinan sobre una
recta secante L1, los segmentos AE y EB,
sobre otra recta secante L2 los segmentos CF
y FD. Si AB=16m, CD=24m y FD – EB =
2m. Calcule CF.
a) 16 b) 18 c) 19
d) 20 e) N.a
11. ¿Cuántos planos como máximo se pueden
determinar con 10 puntos y 8 rectas?
a) 200 b) 220 c) 228
d) 230 e) N.a
12.En el gráfico AB y CD se cruzan
determinando un ángulo cuya medida es 90º.
Si AM = MC, BN = ND, AB = 10 y CD = 24.
Calcular MN.
A
M
C
B
N
D
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) N.a
13.¿Cuántos planos como máximo se pueden
determinar con 20 puntos?
a) 1144 b) 1240 c) 1140
d) 1232 e) N.a.
14.¿Cuál de las siguientes proposiciones es
verdadera?
a) Todo plano determinado por dos rectas
paralelas a otro plano es siempre paralelo
al otro plano.
b) Si dos rectas son paralelas a un plano son
siempre paralelas entre si.
c) Toda recta paralela a uno de dos planos
que se cortan perpendicularmente es
siempre perpendicular al otro plano.
d) Todo plano perpendicular a una recta
situada en un plano es perpendicular al
plano.
e) Toda recta perpendicular a una recta
contenida en un plano será perpendicular
al plano.
15 Si un plano es paralelo a una recta:
a) Toda perpendicular a la recta será paralela
al plano.
b) Toda recta paralela al plano será paralela
a la recta dada.
c) Todo plano perpendicular al plano dado
será paralela a la recta dada.
d) Toda recta si es perpendicular al plano
tendrá que ser perpendicular a la recta.
e) Toda recta que es perpendicular al plano
tendrá que ser paralela a la recta.
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35 36COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria
16. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?
a) Una recta y un plano perpendicular a una
misma recta son paralelas.
b) Es imposible trazar desde un punto dos
perpendiculares distintas a un mismo
plano.
c) Una recta que es paralela a dos planos
que se cortan es paralela a su
intersección.
d) Una recta que forman ángulos iguales con
otras tres que se pasan por su pie en un
plano es paralela a dicho plano.
e) Si una recta es paralela a un plano
entonces será paralela a todos los planos
paralelos al plano dado.
17.¿Cuál de las siguientes proposiciones es
falsa?
a) Toda recta perpendicular a un plano
perpendicular a cualquier recta contenida
en el plano.
b) Si una recta y un plano son
perpendiculares todo plano que pasa por
la recta es perpendicular al plano.
c) Dos segmentos paralelos que se cortan a
un plano forman con él, ángulos iguales.
d) Por un punto de una recta sólo puede
pasar un plano que sea perpendicular.
e) N.a.
18.¿Cuál de las siguientes proposiciones es
falsa?
a) Si dos planos son paralelos las
intersecciones de estos con un tercero son
paralelas.
b) Por una recta paralela a un plano sólo se
puede trazar un plano perpendicular al
primero.
c) Dos planos perpendiculares a una misma
recta son paralelos entre si.
d) Toda recta paralela a un plano es paralelo
a cualquier recta contenida en dicho
plano.
e) Si una recta M y un plano P son
perpendiculares a una recta L la recta M y
el plano P son paralelas entre si.
19.¿Cuál de las siguientes proposiciones es
falsa?
a) Todos los planos paralelos a un plano dado
son paralelos entre si.
b) Todos los planos paralelos a una recta son
paralelos entre si.
c) Si un plano corta a una de tres rectas
paralelas también corta a las otras dos.
d) Si una recta es paralela a un plano la
paralela trazada a dicha recta por un
punto del plano estará contenida en el
plano.
e) Si un plano es paralelo a una recta toda
paralela a la recta será paralela al plano.
20.¿Cuál de las siguientes proposiciones es
falsa?
a) Dos planos perpendiculares a una misma
recta son paralelas entre si.
b) Si una recta es paralela a una recta
contenida en un plano es paralela al
plano.
c) Si una recta es perpendicular a una recta
contenida en un plano todo plano que
pasa por la primera es perpendicular al
plano que contiene a la segunda.
d) Si dos planos son perpendiculares toda
recta perpendicular a una de ellas es
paralela al otro.
e) Dos rectas perpendiculares a un mismo
plano son paralelos entre si.
EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 03
01.Se tiene una circunferencia de diámetro
EF=10. Por E se levanta la perpendicular DE
al plano de la circunferencia y en esta nueva
curva se toma el punto tal que DA=EF.
Calcular DF si AE=6.
a) 2 41 b) 41 c) 41
d) 82 e) N.a.
02. Se tiene el segmento de recta AB = 8 situado
en un piano T. Desde un punto O de dicho
plano se levanta una perpendicular OP = 12 a
dicho plano tal que AP = BP =13. Calcular la
distancia de O a AB.
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) N.a.
03. Por un punto Q un plano S y un radio 2 se
traza una circunferencia contenida en el plano
y además se levanta la perpendicular QP=5 a
dicho plano. Por un punto B de dicha curva se
traza la tangente BC a dicha curva. Calcular
CP si BC=8.
a) 9 b) 9,6 c) 10
d) 12 e) 11
04. Se tiene un cuadrado ABCD de lado “a”. por
B se traza BP=a perpendicular al plano
ABCD, luego se toma M punto medio de CD.
Calcular el área del triángulo PMO si O es el
centro del cuadrado.
a) a2
b) 5a 2 c) 3a 2
d) 5a2 2 e)
8
5a 2
05. Por el vértice A de un triángulo ABC se traza
la perpendicular AM al plano del triángulo.
Se trazan AP y AQ perpendiculares MB y
MC respectivamente. Hallar el área del
triángulo BMC.
Si PB=6, MQ=5, MP=4 y º030BMˆC
a) 10 b) 12 c) 20
d) 18 e) 15
06. Por un punto A exterior a un plano Q se
trazan las oblicuas AB=20, 320AC = y
la perpendicular AF a dicho plano. Hallar BC
si ABF=60º, ACF=30º y BFC=90º.
a) 10 b) 1010 c) 105
d) 108 e) N.a.
07.Se tiene el segmento de recta AB, exterior a
un plano Q. La proyección de AB sobre dicho
plano mide 15 y AB=17. Calcular la longitud
de la proyección de AB sobre una recta
perpendicular a dicho plano.
a) 7 b) 8 c) 5
d) 3 e) 12
08.Se tienen los puntos A y B situados a uno y
otro lado de un plano. Dichos distan 6 y 2 de
dicho plano respectivamente. Calcular AB si
la proyección de AB sobre dicho plano mide
15.
a) 10 b) 18 c) 17
d) 14 e) 20
09. La distancia entre los puntos A y B es 13 y la
proyección del segmento AB sobre un plano
mide 12. Hallar la diferencia de las alturas de
A y B con relación a dicho plano.
a) 1 b) 2 c)3
d) 4 e) 5
10.La diferencia entre las proyecciones de un
segmento de recta AB sobre un plano Q y
sobre una recta perpendicular al plano es 7 m.
Hallar AB si mide 1m más que su diferencia
al plano Q.
a) 13 b) 14 c) 15
d) 16 e) 20
11.Se tienen dos cuadrados perpendiculares
ABCD y ADEF cuyos lados miden 4. Hallar
BE
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a) 4 b) 34 c) 32
d) 55 e) 5
12. En un diedro AB de 30º se tiene una esfera
que es tangente a las caras en P y Q. Hallar
PQ si la distancia del centro de la esfera a AB
es 12.
a) 56 b) 76 c) 106
d) 103 e) N.a.
13.Se proyecta un triángulo equilátero ABC
sobre un plano P determinándose el triángulo
ABD.
Calcular AD si AB=4 y BAD=45º
a) 22 b) 3 c) 52
d) 23 e) 2
14. Por el vértice A de un triángulo equilátero de
lado 6, se levanta la perpendicular AH al
plano de dicho triángulo y luego se unen H
con B y C. hallar la distancia de A al plano
HBC si el diedro formado por los planos
ABC y HBC mide 60º.
a) 3 b) 4 c) 4,5
d) 5 e) 8
15. Se tiene el cuadrado ABCD y el triángulo
equilátero BEC perpendicular al plano que
contiene al cuadrado. Calcular BC si la
distancia de E al centro del cuadrado es 4.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
TAREA DOMICILIARIA
01.Si una recta es perpendicular a tres rectas
dadas.
a) Las tres rectas dadas tienen que ser
paralelas.
b) Las tres rectas dadas tienen que estar en un
mismo plano que contenga a la
perpendicular.
c) Por las tres rectas dadas no pueden pasar
planos paralelos entre si.
d) Por las tres rectas pueden pasar tres planos
paralelos entre si
e) Las tres rectas tienen que ser secantes.
02.Uno de los catetos de un triángulo isósceles
está contenido en un plano “P” y el otro
forma con dicho plano un ángulo de 45º.
Calcular la medida del ángulo que forma su
hipotenusa con el plano “P”.
a) 45º b) 30º c) 60º
d) arc Sen 1/5 e) arc Cos
4
2
03. Por el centro “O” de un cuadrado ABCD, se
levanta la perpendicular OS a su plano. Si el
lado del cuadrado AB=6 y OS=4. Calcular la
distancia desde “A” al plano SCD.
a)
5
17 b)
2
32 c) 4,8
d) 2,4 e) 3
04. Se tienen las rectas alabeadas “m” y “n”.
Sobre la recta “m” se marcan los puntos A y
E, sobre la recta “n” los puntos B y F de
modo que AB sea la menor distancia entre las
rectas “m” y “n”, además: AB=AE=BF y
ÇFE=AB 3 .
Calcular la medida del ángulo que forman las
rectas “m” y “n” en el espacio.
a) 60º b) 53º c) 90º
d) 30º e) 75º
05. En la figura los segmentos AB y EF son
alabeados y ortogonales. Si ellos miden 12 y
14m respectivamente. Hallar la longitud del
segmento que une los puntos medios de EB y
AF respectivamente.
a) m79 b) 8,2 c) m83
d) 7,8m e) m85
SUPERFICIE POLIÉDRICA.- Es la superficie no
plana determinada por la reunión de cuatro o más
regiones poligonales planas no coplanares de
modo que cualquier par de regiones poligonales,
llamadas caras tienen en común a lo más un lado
llamado arista.
POLIEDRO.- Es la reunión de una superficie
poliédrica con todos sus puntos interiores.
Cara
Arista Vértice
Sección
plana
Diagonal
R
Las intersecciones poligonales planas que lo
limitan a todo poliedro se denominan caras.
Las intersecciones de las regiones planas
poligonales se denomina aristas.
Los puntos en que se cortan las aristas o lados se
llaman vértices.
El segmento que tiene por extremos a dos vértices
que no pertenecen a una misma cara se llama
diagonal.
Se llaman ángulos diedros del poliedro a los
determinados por las caras que tiene una arista
común; y los ángulos. Sólidos o poliédricos, los
determinados por varias caras que tienen un
vértice común.
Se denomina sección plana al plano de la región
poligonal determinada al trazar un plano secante
al poliedro.
A la suma de las áreas de todas sus caras se
entiende como el área de un poliedro.
A la porción del espacio que ocupa un poliedro se
entiende como el volumen del mismo.
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POLIEDRO
35 36COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria
OBSERVACIÓN:
La denominación de un poliedro se hace en
función del número de caras, siendo: Tetaedro al
menor poliedro de 4 caras, pentaedro el poliedro
de 5 caras, exaedro el poliedro de 6 caras, y así
sucesivamente.
POLIEDRO CONVEXO
Es aquel que está limitado por una superficie
poliédrica convexo.
Una superficie poliédrica es convexa si todos los
vértices quedan en un mismo semiespacio
respecto al plano que contiene a cada cara.
Además se tiene que al trazar una recta secante
corta en 2 puntos de intersección a su superficie
poliédrica.
POLIEDRO NO CONVEXO (CÓNCAVO)
Es aquel que esta limitado por una superficie
poliédrica no convexa.
Una superficie poliédrica se llamará no convexa,
si los vértices quedan en uso y otros semiespacio
respecto al plano que contiene a una cara
convenientemente escogida.
Además se
tiene que
al trazar
una recta
secante
corta en
más de 2
puntos de
intersección a su superficie poliédrica.
TEOREMA DE EULER
En todo poliedro convexo el número de caras
aumentado en el número de vértices es igual al
número de aristas más dos.
Si para un poliedro convexo :
C → número de caras
V → número de vértices
A → número de aristas
Entonces se verifica que :
2AVC +=+
TEOREMA
Si un poliedro está formado por R polígonos de n
lados, 1R polígonos de 1n lados, ………
hasta mR polígonos de mn lados. Entonces
el número de sus aristas “A” estará dado por :
2
nxRnxRnxRnxR
A mm2211 ++++
=

OBSERVACIÓN :
Para poliedros cuyas caras son polígonos del
mismo número de lados.
2
nxC
A =
Donde :
A → # de aristas
C → # de caras
n → # de lados de c/cara
TEOREMA
En todo poliedro se cumple que la suma de las
medidas de los ángulos internos de todas sus
caras es igual a 360° multiplicado por el número
de vértices menos dos.
( )∑ −°=∠ 2V360im s
( )∑ −°=∠ CA360im s
Donde :
A → # de aristas
C → # de caras
n → # de vértices
PROPIEDAD
El número de diagonales de un poliedro se
determina así:
DC#ACD# v
2 −−=
( )
DC#A
2
1VV
D# −−
−
=
Donde :
V → # de vértices
A → # de aristas del poliedro
DC → # de diagonales de todas las
caras del poliedro
# D → Número de diagonales del poliedro
v
2C → Combinación del número de
vértices de dos en dos
POLIEDROS REGULARES
Se llama poliedro regular al poliedro cuyas caras
son todas polígonos regulares congruentes,
comprobándose que en cada vértice concurren un
número igual de aristas.
En todo poliedro regular sus ángulos diedros son
congruentes, lo mismo que sus ángulos poliedros.
Todo poliedro regular se puede inscribir o
circunscribir en una esfera, siendo el centro de la
esfera el centro del poliedro regular.
Sólo existen cinco poliedros regulares convexos.
TETAEDRO REGULAR
Limitado por cuatro triángulos equiláteros unidos
de tres en tres.
En un tetraedro regular su altura cae en el centro
de su base, o sea en el baricentro.
a/2
a/2
a
H
a
h
O
Ga
Altura : h =
3
6a
Apotema : OH =
12
6a
Area total : 3a 2
Volumen =
12
2a 3
C = 4 , V = 4 y A = 6
Desarrollo de su superficie lateral
EXAEDRO REGULAR O CUBO
Limitado por seis cuadrados unidos de tres en
tres.
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35 36COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria
a
D
H
O
Apotema :
2
a
OH =
Diagonal : 3aD =
Area Total = 6 2
a
Volumen = 3
a
C = 6 , V = 8y A = 12
Desarrollo de su superficie lateral
OCTAEDRO REGULAR
Limitado por ocho triángulos equiláteros unidos
de cuatro en cuatro.
D
O
H
α
Apotema :
6
6a
OH =
Diagonal : 2aD =
Area Total = 2a32
Volumen =
3
2a 3
C = 8 , V = 6y A = 12
Desarrollo de su superficie lateral
DODECAEDRO REGULAR
Limitado por doce pentágonos regulares unidos
de tres en tres.
O
α
Aislando dos caras de manera conveniente.
O
α
H
Apotema :
10
51125
2
a
OH
+
=
Área Total =
5
525
a15 2 +
Volumen =
10
52147
2
a5 3 +
C = 12 , V = 20 y A = 30
Desarrollo de su superficie lateral
ICOSAEDRO REGULAR
Limitado por veinte triángulos equiláteros unidos
de cinco en cinco.
O
α
Aislando dos caras de manera conveniente.
O
α
H
Apotema :
6
537
2
a
OH
+
=
Área Total = 2a35
Volumen =
2
537
a
6
5 3 +
C = 20 , V = 12 y A = 30
Desarrollo de su superficie lateral
PRACTICA DE CLASE
01.Calcular el área total de un tetraedro regular
de arista “x”
a) 10m b) 19,2m c) 20m
d) 15m e) 21m
02.Si la distancia del punto medio de una de las
caras de un cubo a una de sus diagonales
mide 1 metro. Calcular la arista del sólido.
a) m6 b) m3 c) m7
d) m32 e) N.a.
03.Si la distancia de uno de sus vértices de un
cubo al punto medio de una de las caras
opuestas es de 1 metro. Calcular la arista del
sólido.
a) 6 b)
3
2 c)
3
6
d) 3 e) N.a.
04.Se Tiene un cubo cuya arista mide 1 metro.
Calcular la distancia entre una de las
diagonales del sólido y una de las diagonales
de su cara, sabiendo que estas rectas se
cruzan.
a) m
6
6 b) m
2
3 c) 2
d) 6 e) N.a.
05.Una pirámide tiene 42 aristas. Calcular la
suma de las medidas de los ángulos de todas
sus caras.
a) 7200 b) 700 c)7100
d) 7500 e) 8000
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06.La suma de todos los ángulos de las caras de
un prisma es 20 880.
Calcular su número de aristas.
a) 50 b) 88 c) 90
d) 100 e) 99
07.Calcular el número de aristas de aquel
poliedro, cuyo número de caras es igual al
número de vértices, si además la suma de los
ángulos de sus caras es 2520º.
a) 5 b) 12 c) 16
d) 18 e) 20
08.Calcular el volumen del poliedro formado al
unir los puntos medios de las aristas de un
tetraedro regular de altura 62 .
a) 29 b) 26 c) 36
d) 15 e) 18
09.El número de caras más el número de vértices
y más el número de aristas de un poliedro
convexo es 98. Calcular el número de caras si
la suma de las caras de todos sus ángulos es
7200.
a) 20 b) 28 c) 15
d) 20 e) 18
10.Calcular el área total de un tetraedro regular,
cuyo centro dista de una de sus aristas
u6 .
a) 348 b) 48 c) 243
d) 230 e) 20
11.En un octaedro regular ABCDEF si la
distancia entre los puntos medios de BE y
AD es “a”. Hallar su volumen.
a)
27
6a4 3
b)
27
6a8 3
c)
3
a4 3
d)
27
6a 3
e) N.a.
12.En que relación se encuentran los volúmenes
de un tetraedro regular y un octaedro regular,
si la altura del primer mide igual a la arista
del segundo.
a)
2
3
b)
3
2
c)
28
33
d)
3
28
e) N.a.
13. Se tiene un tetraedro regular de arista “a” si
su proyección sobre un plano perpendicular a
una región de área S. Hallar el volumen del
tetraedro.
a)
3
aS
b)
4
S
c) aS
d)
4
aS
e) N.a.
14. Calcular el número de vértices del poliedro
formado por 6 triángulo, 8 cuadriláteros y 10
pentágonos.
a) 30 b) 32 c) 24
d) 28 e) N.a.
15. un poliedro está formado por 8 triángulos y
“x” cuadriláteros. Hallar x, si el número se
aristas es 28.
a) 8 b) 10 c) 6
d) 12 e) N.a.
16. Hallar el volumen de un tetraedro regular
inscrito en un cubo de arista “a”.
a)
9
33a
b)
3
33a
c)
6
33
a
d)
6
3a
e) N.a.
17. En un tetraedro regular la distancia de un
vértice al baricentro de la cara opuesta mide
“a”, Calcular el área total del tetraedro.
a) 32a b) 33 2a c)
2
32a
d) 34 2a e) N.a
18. En un tetraedro regular el radio de la esfera
circunscrita mide 36m. Hallar el radio de la
esfera inscrita en dicho tetraedro regular.
a) 10 b) 15 c) 24
d) 20 e) 12
19. En la proyección de una cara cualquiera de
un octaedro regular sobre un plano diagonal
que contiene a uno de sus lados es A. hallar el
área del octaedro.
a) A38 b) A32 c) A34
d) A316 e) A36
20. Un poliedro convexo esta formado por 6
cuadriláteros, 8 hexágonos y 4 octágonos.
Calcular el número de vértices.
a) 26 b) 36 d)32
d) 30 e) 28
EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 04
01. El área de la sección hecha en un cubo cuya
arista mide 210 por un plano diagonal
es: (en m2
)
a) 280 b) 282 c) 200
d) 300 e) N.a.
02. El área de un cubo es igual al cuadrado de la
longitud de su diagonal multiplicado por:
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6
03. La suma de las longitudes de todas las aristas
de un cubo es 36 cm. Hallar el volumen del
cubo.
a) 9 b) 16 c) 18
d) 27 e) 81
04. La altura de un tetraedro regular mide 2cm,
Hallar la arista.
a) 62 b) 32 c) 23
d) 6 e) N.a.
05. Hallar la razón entre las áreas totales de un
cubo y un octaedro que tiene como vértices
los puntos centrales de las caras del cubo.
a) 3 b) 23 / c) 32
d) 2 e) N.a.
06. La arista de un cubo mide 2. Hallar el área
del triángulo equilátero determinado al unir
tres vértices no consecutivos del cubo:
a) 32 b) 34 c) 23
d)
2
33 e) 22
07.Una pirámide tiene 500 aristas. ¿Cuántas
caras en total posee?
a) 125 b) 501 c) 251
d) 250 e) 351
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35 36COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria
08.Un poliedro está formado por 10 pentágonos,
15 cuadriláteros y 20 triángulos. ¿Cuántas
aristas tiene?
a) 170 b) 180 c) 85
d) 210 e) 139
09.Un prisma tiene 90 aristas. Hallar la suma de
los ángulos de todas sus caras.
a) 21 500 b) 20 880 c) 12 460
d) 15 600 e) 17 920
10.En un cubo de un metro de arista la distancia
del centro de una cara a cualquiera de los
vértices de la cara opuesta mide:
a) 5m b) 1m c) m
2
6
d) m
2
5
e) 6m
11.Cuatro esferas de radio 10m. Son tangentes
entre si formando una pila triangular (es
decir, una de ellas está sobre las otras tres),
Calcular la altura de la pila.
a) ( )36
3
20
+ b) 40
c) ( )61
3
20
+ d)








+
3
2
320
e) ( )35
3
40
+
12. Hallar el área total de un tetraedro regular,
siendo la suma de las longitudes de sus aristas
36 cm. (en cm2
)
a) 36 b) 36 c)24
d) 336 e) 324
13.En un poliedro, la suma del número de caras,
vértices y aristas es 32. Calcule el número de
aristas de dicho poliedro.
a) 12 b)13 c) 14
d)15 e) 16
14.En un tetraedro regular A-BCD, M es punto
medio de su respectiva altura AH, H es el pie
de dicha altura. Calcule la m < DMB
a) 45º b) 30º c) 90º
d) 60º e) 53º
15.En un tetraedro regular A-BCD cuya arista
mide 2m, Calcule el área de la región
cuadrangular cuyos vértices son puntos
medios de AB , AD , DC y CB
respectivamente.
a) 1m2
b) 2m2
c) 22m
d) 3m2
e) 1,5m2
TAREA DOMICILIARIA
01.Calcular la suma de las medidas de los
ángulos internos de un poliedro. Si el
poliedro tiene 6 vértices.
02.Hallar el área total de un tetraedro regular, si
su altura es 64 .
03.Hallar el volumen de un tetraedro regular, si
su altura es 32 .
04.Hallar el Área total y Volumen de un cubo, si
su diagonal es 3 .
05.Si el área total de un octaedro regular es
38 Hallar su Volumen.
SOLUCIONARIO
Nº
Ejercicios Propuestos
01 02 03 04
01. B B A E
02. A D A C
03. B B B D
04. E A E D
05. E C C C
06. C E B C
07. C D B C
08. D C C C
09. D B C B
10. E B A C
11. B B B A
12. C A C D
13. B D A D
14. B D C C
15. A B D A
16.
17.
18.
19.
20.
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Geometria 4° 3 b

  • 1. 35 36COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria OBJETIVOS: • Conocer el concepto de región plana y aprender a calcular su medida en base a la definición de área. • Aprender a utilizar las diversas fórmulas del cálculo de áreas de las principales regiones planas tales como: Región triangular, región cuadrangular y región circular. • Comparar las áreas de las regiones teniendo en cuenta ciertas características entre ellas. INTRODUCCIÓN: Desde tiempos pasados el hombre tenía la necesidad de medir extensiones superficiales (terrenos de cultivo, viviendas, territorios, etc.) con el cuál surge la necesidad de crear una magnitud de medidas superficiales derivada de la magnitud de medidas lineales (longitud); a la cual se le denomina área. REGIÓN PLANA Es una porción de plano limitada por una línea cerrada. H Plano H: H Línea cerrada Región plana ÁREA Es la medida de una región, la cuál resulta de comparar a dicha región con otra tomada como unidad (región unitaria). Convencionalmente se toma como región unitaria a una región cuadrada (Región limitada por un cuadrado), donde la longitud de su lado es la unidad de longitud (m) cuya área es 1 m2 (unidad de área). H Plano H: H Región unitaria U 1m 1mB C D A E Del gráfico: A = K(Au) Pero: Au = 1m2 ∴ A = Km2 ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES FÓRMULA BÁSICA El área de una región triangular es igual al semiproducto de las longitudes de un lado y la altura relativa a dicho lado. A H C B h b En el gráfico: BH es la altura relativa a AC Si: AC = b y BH = h 2 bh A ABC =∆ Observación: B H A C h b BH : altura relativa a AC 2 bh A ABC = B A C c b ACyAB : catetos 2 c.b A ABC = FÓRMULA TRIGONOMÉTRICA El área de una región triángular es igual al semiproducto de las longitudes de dos lados, multiplicados con el seno del ángulo determinado, por dichos lados. B A C θ c b En la figura: AB = c , AC = b y m ∠ BAC = θ θ=∆ sen 2 bc A ABC Observación: B A C    ∆ ABC: equilátero AB = BC = AC =  4 3 A 2 ABC  =∆ FORMULA DE HERÓN El área de una región triangular es igual a la raíz cuadrada del producto del semiperímetro de la región triangular y la diferencia de dicho semiperímetro con la longitud de cada uno de los lados. B A Cb ac En el ∆ ABC: 2 cba p ++ = p: semiperímetro de la región ABC )cp()bp()ap(pA ABC −−−=∆ FÓRMULAS ADICIONALES S4GE33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4GE33B “El nuevo símbolo de una buena educación...." ÁREAS III
  • 2. 35 36COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria Con el inradio B A C r circunferencia inscrita En la figura: r : inradio del ∆ ABC p : semiperímetro de la región ABC A∆ ABC = pr Observación: B A C circunferencia inscrita nm M En la figura: AM = m y MC = n nmA ABC = RELACIÓN DE ÁREA EN REGIONES TRIANGULARES Consiste en establecer la comparación de las áreas de regiones triangulares que presentan ciertas características. Al trazar una ceviana B A C nm D En el ∆ ABC BD : ceviana interior n m A A DBC ABD = ∆ ∆ Observación: B A C mm M En el ∆ ABC BM : mediana MBCABM AA ∆∆ = Triángulos con un ángulo de igual medida B A C b α c N M L n α  En la figura: m ∠ BAC = m ∠ NML = α n bc A A MNL ABC = ∆ ∆ Triángulos con un ángulo suplementario B CA b β a N LM n α m En la figura, los ángulos ACB y MLN son suplementarios, es decir: β + α = 180 n.m ab AMNL ABC = ∆∆ Triángulos semejantes B A Cb α β θ c a N M Ln α β θ m En la figura ∆ ABC ∼ MNL 2 2 2 2 2 2 2 MNL ABC K c n b m a A A ==== ∆ ∆  K : razón de semejanza ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES FÓRMULA GENERAL El área de una región cuadrangular es igual al semiproducto de las longitudes de sus diagonales, multiplicado con el seno de la medida del ángulo determinado por dichas diagonales. B C DA d1 d2 θ ABCD : convexo N P LM β m n MNLP : cóncavo en P θ= sen. 2 dd A 21 ABCD β= sen. 2 mn A MNLP ÁREA DE UNA REGIÓN TRAPECIAL El área de una región trapecial es igual al producto de la semisuma de las longitudes de las bases con la longitud de la altura de dicho trapecio. m M N aB C h bA D S4GE33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4GE33B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  • 3. 35 36COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria En el gráfico: ABCD : trapecio ADyBC : bases Entonces: h 2 ba A ABCD       + = Además: Si MN es la base media del trapecio ABCD mhA ABCD = ÁREA DE UNA REGIÓN PARALELOGRÁMICA Región Romboidal El área de una región romboidal es igual al producto de las longitudes de un lado y la altura relativa a dicho lado. α B a b D H C A h En la figura: ABCD : paralelogramo bhA ABCD = Además: α= senabA ABCD Región Rombal El área de una región rombal es igual al semiproducto de las longitudes de sus diagonales. B D CA m m m m d 2 d 1 En la figura: ABCD : rombo 2 dd A 21 ABCD = Región Rectangular El área de una región rectangular es igual al producto de sus dimensiones. B D C A a b En la figura: ABCD : rectángulo a y b : dimensiones del rectángulo abA ABCD = Región Cuadrada El área de una región cuadrada es igual al cuadrado de la longitud de su lado. B D C A d   En la figura: ABCD : cuadrado 2 ABCDA = También: 2 d A 2 ABCD = PRÁCTICA DE CLASE 01.Hallar el área del siguiente triángulo, si su proyección del lado AB es 3 y el lado AC = 9. A B C 37° a) 18 b) 10 c) 9 d) 27 e) 15 02.Hallar el área del triángulo rectángulo ABC. Si AB = 6 y BC = 9. (Recto en B) a) 20 b) 22 c) 27 d) 10 e) 15 03.Hallar el área de un triángulo equilátero, si su altura es 3. a) 3 b) 35 c) 34 d) 33 e) 32 04.Hallar el área de un triángulo ABC, si sus lados miden 7 y 16 y su ángulo comprendido entre dichos lados mide 30°. a) 24 b) 25 c) 28 d) 23 e) 20 05.En un triángulo rectángulo ABC (m < B = 90°). Si se traza la altura BH . Si las proyecciones HCyAH miden 2 y 8 respectivamente. Calcular el área del triángulo. a) 10 b) 20 c) 40 d) 15 e) 30 06.Las medidas de los lados de un triángulo son 13, 14 y 15. Calcular el área de la región triangular. a) 84 b) 81 c) 27 d) 49 e) 51 07.El lado de un cuadrado mide 24 cm. ¿Cuánto mide el área del círculo que se encuentra circunscrita al cuadrado? a) 4π b) 16π c) 22π d) 32π e) 8π 08.La hipotenusa de un triángulo rectángulo forma con una cateto un de 37°. Calcular el área del triángulo si el lado opuesto al ángulo de 37° mide 6cm. a) 48 cm2 b) 4 cm2 c) 8 cn2 d) 12 m2 e) 24 cm2 09.El lado de un rombo mide 10 cm y sus diagonales están en la relación de 3 es a 4. ¿Cuál es su área? a) 96 m2 b) 10 m2 c) 15 m2 d) 20 m2 e) 18 m2 10.El área de un trapecio es 210 m2 y su altura mide 6 m. Calcular la longitud de cada una de las bases si están en relación de 2 es a 5. a) 50 y 20 m b) 20 y 40 m c) 60 y 10 m d) 60 y 20 m e) N.a. S4GE33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4GE33B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  • 4. 35 36COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria 11.Hallar el área de un cuadrado inscrito es un círculo de radio 24 cm. a) 16 cm2 b) 4 cm2 c) 8 cm2 d) 64 cm2 e) N.a. 12.Un rectángulo tiene un área de 216m2 . Su largo mide 6 metros más que su ancho. Sus dimensiones serán: a) 11 y 19 m b) 12 y 18 m c) 27 y 4m d) 12 y 19 m e) N.a. 13.Hallar el área de un triángulo equilátero si su altura es 3 . a) 2 3 µ b) 2 3 µ c) 2 33 µ d) 2 2 3 µ e) 2 34 µ 14.En un triángulo rectángulo ABC (recto en B), se traza la altura BH . Si las proyecciones HCyAH miden 4 y 16 respectivamente. Calcular el área del triángulo BHC. a) 32 2 µ b) 64 2 µ c) 30 2 µ d) 60 2 µ e) 45 2 µ 15.Las medidas de los lados de un triángulo son 10, 12 y 14. Su área de la región triangular será: a) 318 2 µ b) 315 2 µ c) 24 2 µ d) 24 3 2 µ e) 12 3 2 µ 16.En la siguiente figura: Hallar el área de la región triangular BHC. B 20 A 30° CH a) 150 3 2 µ b) 200 3 2 µ c) 100 3 2 µ d) 50 3 2 µ e) N.a. 17.Las bases de un trapecio están en relación de 4 es a 6 y su área es 280m2 . Entonces su altura es: a) 56 x m b) 28 x m c) 56 / x m d) 10 x2 m e) N.a. 18.Hallar el área del triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio igual a 5. a) 375 2 µ b) 4 375 2 µ c) 4 3 2 µ d) 2 x314 2 µ e) N.a. 19.En la siguiente figura. Hallar el área del cuadrado ABCD. ("O" centro de la circunferencia). B A C D 12 O a) 144 2 µ b) 12 2 2 µ c) 288 2 µ d) 10 2 2 µ e) 5 2 µ 20.Hallar la diagonales de un rombo, sabiendo que están en relación de 5 es a 2. Además el área del rombo es 125 m2 . a) 5 m y 2 m b) 25 m y 10 m c) 30 m y 12 m d) 40 m y 20 m e) 25 m y 12 m EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 01 01. En un triángulo isósceles ABC el lado desigual AC mide 8cm y el inradio mide 2 cm. Hallar el área del triángulo ABC. (en cm2 ) a) 32/3 b) 64/3 c) 124 d) 30 e) 16 02.En un triángulo rectángulo ACB, la mediatriz de la hipotenusa AB interseca el cateto BC en el punto “E”. Si AB = 20m; AC = 12m. Hallar el área del cuadrilátero ADEC. (D : Punto medio de AB ) a) 2 117 b) 2 111 c) 2 137 d) 2 119 e) 2 135 03.Hallar el área de un triángulo cuyos lados miden 26 m, 18 m y 20 m. a) 18 m2 b) 9 m2 c) 6 m2 d) 15 m2 e) 12 m2 04.En un cierto triángulo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa mide 2m y la hipotenusa es los 5/4 de uno de los catetos. ¿Cuál es el área del triángulo? a) 12 m2 b) 13/3 m2 c) 6 m2 d) 25 m2 e) 25/6 m2 05. Los lados de un rombo son dos radios y dos cuerdas de un círculo cuyo radio mide 16. Calcular el área de la región limitada por el rombo. a) 64 3 b) 128 c) 256 d) 135 3 e) 128 5 06.En un trapecio, cuyas bases miden 4 y 6 se trazan paralelas a las bases que trisecan a la altura que mide 6. Calcular el área de la región limitada por el trapecio intermedio. a) 10 b) 7,5 c) 12 d) 9 e) 8 07.Se tiene un trapecio isósceles ABCD, BC // AD, en el que se trazan la altura BH y la diagonal BD. Si ABCDS = 16. Calcular BHDS (S : Área) a) 12 b) 16 c) 8 d) 6 e) 4 S4GE33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4GE33B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  • 5. 35 36COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria 08.En la figura ABCD es un paralelogramo y AMDMPC SS + = 18 , calcular ABPS A B C D M P a) 9 b) 12 c) 12 3 d) 18 e) 24 09. ¿Qué fracción del área del triángulo ABC, nos representa el área de la región sombreada? B A C c b a a b c a) 1/6 b) 1/12 c) 1/18 d) 1/8 e) 1/10 10.Dos triángulos semejantes tienen que sus bases miden 8dm y 3 dm. ¿En qué relación se encuentran sus áreas? a) 8/3 b) 16/9 c) 64/3 d) 8/9 e) 64/9 11.En la figura ABCD es un romboide, BOCS = 9µ2 y PODS = 4µ2 . Calcular el área de la región ABCD. A B C D O P a) 36 µ2 b) 30 c) 27 d) 38 e) 24 12.En el gráfico, calcular el área de la región sombreada, si las áreas de las regiones triangulares MNP y EPF son 4m2 y 9 m2 respectivamente. (MC // DE) M N C P E F Da b a b a) 26 m2 b) 18 c) 30 d) 31 e) 32 13.Se tiene un trapecio ABCD (BC // AD) cuya base mayor AD mide 14 cm y altura 8cm. Si el área del trapecio es de 80 cm2 . Hallar el área del triángulo BCD. a) 48 cm2 b) 24 cm2 c) 30 cm2 d) 12 cm2 e) 36 cm2 14.En un paralelogramo tiene como base 12m y como altura 3m. Hallar la diagonal del cuadrado equivalente a dicho paralelogramo. a) 6 m b) 6 2 m c) 8 m d) 4 3 m e) 2 6 m 15.En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior BF y sobre ella se ubica el punto “P”. Calcular la relación de las áreas de las regiones APB y BPC, si 2AB = 3BC. a) 3/2 b) 1/2 c) 1 d) 3/4 e) 2/5 TAREA DOMICILIARIA 01.Hallar el área sombreada: ("O" centro de la circunferencia). A B C D 4m O a) 4π - 8 b) 4 (π – 2 ) c) 4π d) 8π e) 8 + 4π 02.Hallar el área sombreada: B A CD 10 8 50m 2 a) 28 m2 b) 100 m2 c) 25 m2 d) 20 m2 e) 40 m2 03. En la figura ABCD es un paralelogramo. Area del triángulo BPC = 10, área del triángulo DPC = 8, área del triángulo APD= 5. Calcular el área del triángulo ABP. A B C P D a) 2 4 µ b) 2 7 µ c) 2 5 µ d) 2 10 µ e) N.a 04.En un triángulo rectángulo, un cateto mide 4 m y la altura relativa a la hipotenusa mide 2, 4 m. Hallar el área de dicho triángulo. a) 2 m4 b) 2 m8,4 c) 2 m6 d) 2 m4,6 e) 2 m2,7 05.El lado desigual AC de un triángulo isósceles ABC mide 8 m y el radio del círculo inscrito es 2 m. Calcular el área de dicho triángulo. a) 3 64 b) 7 60 c) 3 49 d) 3 50 e) 3 32 S4GE33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4GE33B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  • 6. 35 36COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria CÍRCULO Es aquella región plana limitada por una circunferencia. d R O En el gráfico: R : radio del círculo d : diámetro A = πR2 También: 4 d A 2 π = SECTOR CIRCULAR Es aquella porción de círculo limitada por un ángulo central y su arco correspondiente. Lθ O R A B En el gráfico: R : radio del sector circular AOB θ : medida del ángulo central º360 R A 2 AOB θπ = Además: L : longitud del arco AB 2 R.L A AOB = SEGMENTO CIRCULAR Es aquella porción de círculo determinada por una cuerda de dicho círculo. P θ O R A B R R En el gráfico: APB: :segmento circular determinado por la cuerda AB R : radio θ : medida del ángulo central correspondiente al segmento circular θ− θπ = sen 2 R º360 R A 22 APB CORONA CIRCULAR Es aquella región plana limitada por dos circunferencias concéntricas. r R A B T a En la figura las circunferencias de radios R y r determinan la corona circular. Acorona = π (R2 – r2 ) También: Si T es punto de tangencia y AB = a 4 a A 2 corona π = PRÁCTICA DE CLASE 01.Hallar el perímetro de la región sombreada. 2 2 a) 2 π b) 4 π + 1 c) 3 π d) 2 ( π + 1) e) 2 (π + 2) 02.Hallar el perímetro de la región sombreada. 44 4 a) 2(π + 1) b) 4(π + 2) c) 2π + 1 d) 4(π + 1) e) 2π + 8 S4GE33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4GE33B “El nuevo símbolo de una buena educación...." ÁREA DE REGIONES
  • 7. 35 36COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria 03.Hallar el área de la región sombreada. 6 6 6 6 6 6 a) 12 (π - 3 ) b) 6 ( 2 3 - π) c) 6 ( 3 3 - π) d) 12 ( 3 + π) e) 12 ( 3 3 - π) 04.Hallar el área de la región sombreada. 4 4O A B a) 4 (π + 1) b) 4 (π - 2) c) 2 (π + 1) d) 2 (π + 3) e) 3 (π + 1) 05.Hallar el área de la región sombreada. 6 8 a) 4 (6 - π) b) 4 (π - 2) c) 4 (6 - π) d) 4 (6 - π) e) 4 (6 - π) 06.Hallar el área de la región sombreada. C D B A 4 4 a) 24 – 8π b) 24 – 7π c) 32 – 4π d) 32 – 9π e) 28 – 4π 07.Hallar el área de la región sombreada. 2 2 a) 2(π - 1) b) 2(π - 2) c) 2(π + 1) d) 3(π - 1) e) 3(π - 2) 08.Hallar el área de la región sombreada. 4 4 a) 10 b) 12 c) 9 d) 8 e) 6 09.Hallar el área de la región sombreada. 2 a 2 aB A C D a) ( )1a4 2 −π b) ( )1a 2 −π c) ( )2a4 2 −π d) ( )1a 2 −π e) ( )2a2 2 −π 10.Hallar el área de la región sombreada. 4 44 a) π + 2 b) 2(π - 1) c) 4(4 - π) d) 4(π - 2) e) 4(4 - 2π) 11.El área del sector circular es el área del círculo como: 60ºO A B a) 4: 3 b) 3: 1 c) 5: 2 d) 3: 2 e) 5: 3 12.Hallar el área de la región sombreada. 64 a) 24 - 4π b) 18 - 6π c) 24 - 3π d) 24 - 7π e) 6 (4 - π) 13.Hallar el área de la parte sombreada en la siguiente figura: (π = 3, 14) 20 cm 20 cm B A C D r a) 86 2 cm b) 48 2 cm c) 52 2 cm d) 90 2 cm e) N.a 14.Si ABCD es un cuadrado, AEAC = . Hallar el área sombreada si el lado del cuadrado es 10cm. B E C A D a) 100 cm2 b) 50 cm2 c) 60 cm2 d) 25 cm2 e) N.a. S4GE33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4GE33B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  • 8. 35 36COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria 15.Hallar el área sombreada, si los radios son: R = 6; r = 4. r R a) 20 π b) 12π c) 16 π d) 18 π e) N.a. 16.Hallar el área sombreada 4BD = ; °=12AB ; °=8CD B O A D C a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60 17.Hallar el área sombreada. AB = 60° y R = 12 B O A a) 10 π b) 20 π c) 30 π d) 35 π e) 24 π 18.¿Qué % del área del cuadrado es el área sombreada? a) 50% b) 75% c) 40% d) 25% e) N.a. 19.En la siguiente figura. Hallar la relación del área sombreada al área no sombreada. a) 1/7 b) 1/5 c) ¼ d) 1/3 e) N.a. 20.¿Cuánto vale el área sombreada, de la siguiente figura. Si ABCD es un cuadrado de lado 8. B A D C a) 30 b) 40 c) 32 d) 8 e) 16 EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 02 01.Dado el cuadrado de la figura, sabiendo que EF // BC y CF = ¼ AD, determine la razón entre el área de la región sombreada y el área de la región no sombreada. A B D C E F a) 5 / 11 b) 11/ 5c) 11 / 6 d) 16 / 11 e) 4 / 3 02.Si el área del trapecio ABCD e 80 m2 y M es punto medio de DC, hallar el área de la parte sombreada. A B C D M a) 2 m50 b) 2 m40 c) 2 m60 d) 2 m70 e) N.a. 03.Hallar el área sombreada en la siguiente figura. ABCD es un cuadrado de lado 10. A B CD a) π100 b) ( )π425 c) π+100 d) π−80 e) N.a. 04.Calcular el área de la región sombreada, si el segmento MB mide 4m. N O O` O`` M a) 4π b) 8π c) 6π d) π/2 e) 3π 05.Hallar el área de la región sombreada: 4 4 4 a) π + 2 b) 2 ( π - 1 ) c) 4 (4 - π ) d) 4 (π - 2 ) e) 4 ( 4 – 2 π ) 06.Calcular el área de la corona circular si AB = 12m. A B R r a) 144m2 b) 72m2 c) 72πm2 d) 36m2 e) 36πm2 07.Hallar el área de la parte sombreada. Si ABCD es un cuadrado. S4GE33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4GE33B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  • 9. 35 36COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria B C A D r=2u r=2u a) 2(18 - π)µ2 b) (15 - π)µ2 c) (12 - π)µ2 d) 2(8 - π)µ2 e) (16 - π)µ2 08.Hallar el área de la Región sombreada a a a a a) a2 (4 - π) b) )2( 2 a 2 π− c) )4( 4 a 2 π− d) )3( 3 a 2 π− e) N.a. 09.Calcular el área de la región sombreada. A B 6m 30° C a) 10πm2 b) 15πm2 c) 16πm2 d) 18πm2 e) 20πm2 10.El área del sector circular mostrado es: A Br = 8u 5u O a) 40µ2 b) 20µ2 c) 30µ2 d) 28µ2 e) 36µ2 11.Calcular el área de un círculo inscrito en un sector circular de 60º de ángulo central y tiene por área 2 24 µ a) 2 2 µ b) 2 4 µ c) 2 6 µ d) 2 8 µ e) 2 10 µ 12.En la figura se tiene un cuadrante con centro “ O ”. Hallar el área de la región sombreada. Si m2MBym1AM == A O M B a) 4 7 8 5 − π b) 2 7 4 5 − π c) 8 7 4 5 − π d) 7 8 5 4 − π e) 4 7 5 8 − π 13.En un rectángulo ABCD se inscribe una semicircunferencia de diámetro AD . Calcular el área del segmento circular determinado al unir los puntos medios de CDyAB . Sabiendo que 6AB = a) 3615 −π b) 3912 −π c) 2812 −π d) 3818 −π e) 3129 −π 14.Sea       = 10 5 1 ;10 5 2 P el punto donde el círculo y el segmento son tangentes. El área de la región sombreada es: Y P O a) 52 −π b) 2 3 −π c) 2 π - 3 d) 22 5 π − e) N.a 15.Calcular el área de la región sombreada; si AO = OB = 2 µ. 45º A BO a) ( ) 2 1 µ−π b) ( ) 2 2 µ−π c) ( ) 2 3 µ−π S4GE33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4GE33B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  • 10. 35 36COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria d) ( ) 2 4 µ−π e) ( ) 2 32 µ−π TAREA DOMICILIARIA 01.Calcular el área de la región sombreada: A C B 10 cm 6 cm 02.Calcular el área de la región sombreada. A C B10 D 10 10 10 03.Hallar el área de la región sombreada, en: A CB 4 D 4 44 4 4 4 4 04.Calcular el área de la región sombreada: 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 05.Calcular el área de la región sombreada 32 cm E 50 cm DA B C 50 cm 50 cm 9 cm 18 cm DETERMINACIÓN DE UN PLANO Un plano en el espacio queda determinado por los siguientes postulantes. 1. Tres puntos no colineales determinan un plano al cual pertenecen. A B C 2. Dos rectas secantes determinan un plano al cual pertenecen. 3. Una recta y un punto exterior a ella determinan un plano. A 4. Dos rectas paralelas determinan un plano. POSICIONES RELATIVAS ENTRE 2 FIGURAS DEL ESPACIO PLANOS A. Paralelos: No tienen ningún punto en común. * P // Q * φ=∩QP B. Secantes: Dos planos son secantes cuando tienen un punto común necesariamente tienen otro punto común, en consecuencia tienen una recta común, dicha recta se denomina recta de intersección entre dichos planos. Q S AB: Recta de Intersección A B C. Coincidentes: La condición necesaria suficiente para que dos planos coincidan es que tengan tres puntos comunes, no colineales. A B C P UN PLANO Y UNA RECTA A. Paralelas: No tienen ningún punto en común. B. Secantes: Tienen un punto en común, dichos puntos se denominan punto de intersección o traza de la recta con respecto al plano.  P S4GE33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4GE33B “El nuevo símbolo de una buena educación...." RECTAS Y
  • 11. 35 36 M N m nl P xº COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria C. Recta contenida en el plano: Una recta pertenece a un plano o está contenida en dichos planos si tienen dos puntos comunes. P A B  * ∈H DOS RECTAS A. Paralelas: Son dos rectas coplanares (Pertenecen a un plano) y no se intersectan. * φ=∩BA A B B. Secantes: Son dos rectas coplanares que tienen un punto de intersección. C. Rectas Cruzadas o Alabeadas: Son dos rectas que no determinan plano alguno. Las rectas A y B son alabeadas. a A b TEOREMA DE THALES Si tres planos paralelos son intersectados por dos rectas, los segmentos entre los planos tienen longitudes proporcionales. a) Si las rectas son coplanares. A B P C D E F Q R DF BD CE AC = RECTA PERPENDICULAR A UN PLANO Definición: Si una recta es perpendicular a un plano es perpendicular a todas las rectas contenidas en dicho plano. - A: pie de la perpendicular. - Si: l ⊥a y l⊥m - Luego: l⊥ recta b - Entonces: l ⊥ plano P - También: l ⊥ recta r A  a n m b r P CONDICIÓN PARA QUE UNA RECTA SEA PERPENDICULAR A UN PLANO La condición necesaria y suficiente para que una recta sea perpendicular a un plano, es que dicha recta sea perpendicular a dos rectas secantes contenidas o paralelas a dicho plano. (*) Si: l ⊥ a; l ⊥ b (*) Entonces: l ⊥ plano P  P a b Teorema: Si una recta es perpendicular a dos rectas secantes contenidas en un plano; es perpendicular a todas las rectas contenidas en el plano determinado por las secantes. m n ba Q  * a⊥ * b⊥ * Q⊥ * n;m ⊥⊥  MENOR DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS ALABEADAS Es el segmento perpendicular a ambas rectas alabeadas. * ⊥MN , MNmMN ⇒⊥ es la menor distancia; es decir la mínima distancia. M m N  P TEOREMA DE LAS TRES PERPENDICULARES M N m n l Pie de la P Penpendicular Q Si por el pie de una recta perpendicular a un plano, se traza una segunda perpendicular a una recta contenida en dicho plano, el pie de la segunda perpendicular unida con cualquier punto de la recta perpendicular al plano, determina una recta perpendicular a la recta contenida en dicho plano. * l ⊥ plano P, m∈ plano P, MN ⊥ m y Q ∈ l * Luego: QN ⊥ m → n ⊥ m Observación: En cualquiera de los dos casos siempre x = 90°. a) * l ⊥ plano P * n ⊥ recta m *Luego: MN ⊥recta m * Es decir: °=90x S4GE33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4GE33B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  • 12. 35 36 M N m n l P xº COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria b) * l ⊥ plano P * MN ⊥ recta m * Luego: n ⊥ recta m * Es decir: °=90x PRÁCTICA DE CLASE 01. Las proyecciones de un segmento de recta AB sobre un plano “∅” y sobre una perpendicular al plano contenida en el mismo plano AB , miden 15 y 8 m. Hallar: AB. a) 10 b) 12 c) 15 d) 17 e) N.a. 02. Un segmento de recta AB de 26 m, une al punto “A” del plano “∅” con el punto “B” del plano “θ” siendo “θ” y “∅” paralelos. La proyección de AB sobre cualquiera de los dos planos mide 24m. Hallar la distancia entre dichos planos. a) 10m b) 15m c) 20 m d) 18 m e) N.a. 03. Se tiene dos puntos A y B encima de un plano ∅ el primero a 8m y el segundo a 4m de dicho plano, la proyección de AB sobre el plano mide 9m. Hallar la longitud del menor camino de A hasta B pasando por un punto del plano. a) 10m b) 15m c) 20m d) 18m e) N.a. 04. Sea el plano P y un segmento exterior; tal como AB que mide 10m. Si la distancia de A al plano es de 16m y B al plano es de 8m. Hallar la longitud de la proyección de AB sobre el plano P. a) 8m b) 12m c) 6m d) 5m e) 7m 05. Dado un cuadrado ABCD cuyo lado mide 4m por B se levanta una perpendicular al plano determinado por ABCD, hasta el punto P. Hallar la distancia de P al punto medio de AD si PB = 5 m. 06. En una circunferencia cuyo radio mide 2m, se inscribe un triángulo equilátero ABC. Por “M”, punto medio de AB se levanta una perpendicular a la circunferencia, hasta el punto “P”. Si PM = 4m. Hallar la distancia de P al vértice C. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) N.a 07. Se tiene las rectas cruzadas m y n, siendo AB la distancia mínima entre ellas (A en m y B en n), se toman C en m y D en n, de manera que: m ∠ CDB = 90º y además AC = 2. BD. Hallar la medida del ángulo con el que se cruzan m y n. a) 40º b) 60º c) 70º d) 80º e) N.a 08. Por el incentro de un triángulo rectángulo se levanta una perpendicular al plano del triángulo, en la cual se toma un punto “P”, tal que la distancia de “P” al incentro es 2. Calcular la distancia desde el punto “P” a la hipotenusa, si los catetos miden 3 y 4. a) 5 b) 32 c) 3 d) 24 e) N.a 09.En la figura BC y CD pertenecen al plano α y AD es perpendicular al plano α . Si AD = 30 y BC = 16. Hallar MN. A B C D N α M a) 17 b) 16 c) 15 d) 12 e) N.a 10.Tres planos paralelos determinan sobre una recta secante L1, los segmentos AE y EB, sobre otra recta secante L2 los segmentos CF y FD. Si AB=16m, CD=24m y FD – EB = 2m. Calcule CF. a) 16 b) 18 c) 19 d) 20 e) N.a 11. ¿Cuántos planos como máximo se pueden determinar con 10 puntos y 8 rectas? a) 200 b) 220 c) 228 d) 230 e) N.a 12.En el gráfico AB y CD se cruzan determinando un ángulo cuya medida es 90º. Si AM = MC, BN = ND, AB = 10 y CD = 24. Calcular MN. A M C B N D a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) N.a 13.¿Cuántos planos como máximo se pueden determinar con 20 puntos? a) 1144 b) 1240 c) 1140 d) 1232 e) N.a. 14.¿Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera? a) Todo plano determinado por dos rectas paralelas a otro plano es siempre paralelo al otro plano. b) Si dos rectas son paralelas a un plano son siempre paralelas entre si. c) Toda recta paralela a uno de dos planos que se cortan perpendicularmente es siempre perpendicular al otro plano. d) Todo plano perpendicular a una recta situada en un plano es perpendicular al plano. e) Toda recta perpendicular a una recta contenida en un plano será perpendicular al plano. 15 Si un plano es paralelo a una recta: a) Toda perpendicular a la recta será paralela al plano. b) Toda recta paralela al plano será paralela a la recta dada. c) Todo plano perpendicular al plano dado será paralela a la recta dada. d) Toda recta si es perpendicular al plano tendrá que ser perpendicular a la recta. e) Toda recta que es perpendicular al plano tendrá que ser paralela a la recta. S4GE33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4GE33B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  • 13. 35 36COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria 16. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa? a) Una recta y un plano perpendicular a una misma recta son paralelas. b) Es imposible trazar desde un punto dos perpendiculares distintas a un mismo plano. c) Una recta que es paralela a dos planos que se cortan es paralela a su intersección. d) Una recta que forman ángulos iguales con otras tres que se pasan por su pie en un plano es paralela a dicho plano. e) Si una recta es paralela a un plano entonces será paralela a todos los planos paralelos al plano dado. 17.¿Cuál de las siguientes proposiciones es falsa? a) Toda recta perpendicular a un plano perpendicular a cualquier recta contenida en el plano. b) Si una recta y un plano son perpendiculares todo plano que pasa por la recta es perpendicular al plano. c) Dos segmentos paralelos que se cortan a un plano forman con él, ángulos iguales. d) Por un punto de una recta sólo puede pasar un plano que sea perpendicular. e) N.a. 18.¿Cuál de las siguientes proposiciones es falsa? a) Si dos planos son paralelos las intersecciones de estos con un tercero son paralelas. b) Por una recta paralela a un plano sólo se puede trazar un plano perpendicular al primero. c) Dos planos perpendiculares a una misma recta son paralelos entre si. d) Toda recta paralela a un plano es paralelo a cualquier recta contenida en dicho plano. e) Si una recta M y un plano P son perpendiculares a una recta L la recta M y el plano P son paralelas entre si. 19.¿Cuál de las siguientes proposiciones es falsa? a) Todos los planos paralelos a un plano dado son paralelos entre si. b) Todos los planos paralelos a una recta son paralelos entre si. c) Si un plano corta a una de tres rectas paralelas también corta a las otras dos. d) Si una recta es paralela a un plano la paralela trazada a dicha recta por un punto del plano estará contenida en el plano. e) Si un plano es paralelo a una recta toda paralela a la recta será paralela al plano. 20.¿Cuál de las siguientes proposiciones es falsa? a) Dos planos perpendiculares a una misma recta son paralelas entre si. b) Si una recta es paralela a una recta contenida en un plano es paralela al plano. c) Si una recta es perpendicular a una recta contenida en un plano todo plano que pasa por la primera es perpendicular al plano que contiene a la segunda. d) Si dos planos son perpendiculares toda recta perpendicular a una de ellas es paralela al otro. e) Dos rectas perpendiculares a un mismo plano son paralelos entre si. EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 03 01.Se tiene una circunferencia de diámetro EF=10. Por E se levanta la perpendicular DE al plano de la circunferencia y en esta nueva curva se toma el punto tal que DA=EF. Calcular DF si AE=6. a) 2 41 b) 41 c) 41 d) 82 e) N.a. 02. Se tiene el segmento de recta AB = 8 situado en un piano T. Desde un punto O de dicho plano se levanta una perpendicular OP = 12 a dicho plano tal que AP = BP =13. Calcular la distancia de O a AB. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) N.a. 03. Por un punto Q un plano S y un radio 2 se traza una circunferencia contenida en el plano y además se levanta la perpendicular QP=5 a dicho plano. Por un punto B de dicha curva se traza la tangente BC a dicha curva. Calcular CP si BC=8. a) 9 b) 9,6 c) 10 d) 12 e) 11 04. Se tiene un cuadrado ABCD de lado “a”. por B se traza BP=a perpendicular al plano ABCD, luego se toma M punto medio de CD. Calcular el área del triángulo PMO si O es el centro del cuadrado. a) a2 b) 5a 2 c) 3a 2 d) 5a2 2 e) 8 5a 2 05. Por el vértice A de un triángulo ABC se traza la perpendicular AM al plano del triángulo. Se trazan AP y AQ perpendiculares MB y MC respectivamente. Hallar el área del triángulo BMC. Si PB=6, MQ=5, MP=4 y º030BMˆC a) 10 b) 12 c) 20 d) 18 e) 15 06. Por un punto A exterior a un plano Q se trazan las oblicuas AB=20, 320AC = y la perpendicular AF a dicho plano. Hallar BC si ABF=60º, ACF=30º y BFC=90º. a) 10 b) 1010 c) 105 d) 108 e) N.a. 07.Se tiene el segmento de recta AB, exterior a un plano Q. La proyección de AB sobre dicho plano mide 15 y AB=17. Calcular la longitud de la proyección de AB sobre una recta perpendicular a dicho plano. a) 7 b) 8 c) 5 d) 3 e) 12 08.Se tienen los puntos A y B situados a uno y otro lado de un plano. Dichos distan 6 y 2 de dicho plano respectivamente. Calcular AB si la proyección de AB sobre dicho plano mide 15. a) 10 b) 18 c) 17 d) 14 e) 20 09. La distancia entre los puntos A y B es 13 y la proyección del segmento AB sobre un plano mide 12. Hallar la diferencia de las alturas de A y B con relación a dicho plano. a) 1 b) 2 c)3 d) 4 e) 5 10.La diferencia entre las proyecciones de un segmento de recta AB sobre un plano Q y sobre una recta perpendicular al plano es 7 m. Hallar AB si mide 1m más que su diferencia al plano Q. a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 20 11.Se tienen dos cuadrados perpendiculares ABCD y ADEF cuyos lados miden 4. Hallar BE S4GE33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4GE33B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  • 14. 35 36COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria a) 4 b) 34 c) 32 d) 55 e) 5 12. En un diedro AB de 30º se tiene una esfera que es tangente a las caras en P y Q. Hallar PQ si la distancia del centro de la esfera a AB es 12. a) 56 b) 76 c) 106 d) 103 e) N.a. 13.Se proyecta un triángulo equilátero ABC sobre un plano P determinándose el triángulo ABD. Calcular AD si AB=4 y BAD=45º a) 22 b) 3 c) 52 d) 23 e) 2 14. Por el vértice A de un triángulo equilátero de lado 6, se levanta la perpendicular AH al plano de dicho triángulo y luego se unen H con B y C. hallar la distancia de A al plano HBC si el diedro formado por los planos ABC y HBC mide 60º. a) 3 b) 4 c) 4,5 d) 5 e) 8 15. Se tiene el cuadrado ABCD y el triángulo equilátero BEC perpendicular al plano que contiene al cuadrado. Calcular BC si la distancia de E al centro del cuadrado es 4. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 TAREA DOMICILIARIA 01.Si una recta es perpendicular a tres rectas dadas. a) Las tres rectas dadas tienen que ser paralelas. b) Las tres rectas dadas tienen que estar en un mismo plano que contenga a la perpendicular. c) Por las tres rectas dadas no pueden pasar planos paralelos entre si. d) Por las tres rectas pueden pasar tres planos paralelos entre si e) Las tres rectas tienen que ser secantes. 02.Uno de los catetos de un triángulo isósceles está contenido en un plano “P” y el otro forma con dicho plano un ángulo de 45º. Calcular la medida del ángulo que forma su hipotenusa con el plano “P”. a) 45º b) 30º c) 60º d) arc Sen 1/5 e) arc Cos 4 2 03. Por el centro “O” de un cuadrado ABCD, se levanta la perpendicular OS a su plano. Si el lado del cuadrado AB=6 y OS=4. Calcular la distancia desde “A” al plano SCD. a) 5 17 b) 2 32 c) 4,8 d) 2,4 e) 3 04. Se tienen las rectas alabeadas “m” y “n”. Sobre la recta “m” se marcan los puntos A y E, sobre la recta “n” los puntos B y F de modo que AB sea la menor distancia entre las rectas “m” y “n”, además: AB=AE=BF y ÇFE=AB 3 . Calcular la medida del ángulo que forman las rectas “m” y “n” en el espacio. a) 60º b) 53º c) 90º d) 30º e) 75º 05. En la figura los segmentos AB y EF son alabeados y ortogonales. Si ellos miden 12 y 14m respectivamente. Hallar la longitud del segmento que une los puntos medios de EB y AF respectivamente. a) m79 b) 8,2 c) m83 d) 7,8m e) m85 SUPERFICIE POLIÉDRICA.- Es la superficie no plana determinada por la reunión de cuatro o más regiones poligonales planas no coplanares de modo que cualquier par de regiones poligonales, llamadas caras tienen en común a lo más un lado llamado arista. POLIEDRO.- Es la reunión de una superficie poliédrica con todos sus puntos interiores. Cara Arista Vértice Sección plana Diagonal R Las intersecciones poligonales planas que lo limitan a todo poliedro se denominan caras. Las intersecciones de las regiones planas poligonales se denomina aristas. Los puntos en que se cortan las aristas o lados se llaman vértices. El segmento que tiene por extremos a dos vértices que no pertenecen a una misma cara se llama diagonal. Se llaman ángulos diedros del poliedro a los determinados por las caras que tiene una arista común; y los ángulos. Sólidos o poliédricos, los determinados por varias caras que tienen un vértice común. Se denomina sección plana al plano de la región poligonal determinada al trazar un plano secante al poliedro. A la suma de las áreas de todas sus caras se entiende como el área de un poliedro. A la porción del espacio que ocupa un poliedro se entiende como el volumen del mismo. S4GE33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4GE33B “El nuevo símbolo de una buena educación...." POLIEDRO
  • 15. 35 36COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria OBSERVACIÓN: La denominación de un poliedro se hace en función del número de caras, siendo: Tetaedro al menor poliedro de 4 caras, pentaedro el poliedro de 5 caras, exaedro el poliedro de 6 caras, y así sucesivamente. POLIEDRO CONVEXO Es aquel que está limitado por una superficie poliédrica convexo. Una superficie poliédrica es convexa si todos los vértices quedan en un mismo semiespacio respecto al plano que contiene a cada cara. Además se tiene que al trazar una recta secante corta en 2 puntos de intersección a su superficie poliédrica. POLIEDRO NO CONVEXO (CÓNCAVO) Es aquel que esta limitado por una superficie poliédrica no convexa. Una superficie poliédrica se llamará no convexa, si los vértices quedan en uso y otros semiespacio respecto al plano que contiene a una cara convenientemente escogida. Además se tiene que al trazar una recta secante corta en más de 2 puntos de intersección a su superficie poliédrica. TEOREMA DE EULER En todo poliedro convexo el número de caras aumentado en el número de vértices es igual al número de aristas más dos. Si para un poliedro convexo : C → número de caras V → número de vértices A → número de aristas Entonces se verifica que : 2AVC +=+ TEOREMA Si un poliedro está formado por R polígonos de n lados, 1R polígonos de 1n lados, ……… hasta mR polígonos de mn lados. Entonces el número de sus aristas “A” estará dado por : 2 nxRnxRnxRnxR A mm2211 ++++ =  OBSERVACIÓN : Para poliedros cuyas caras son polígonos del mismo número de lados. 2 nxC A = Donde : A → # de aristas C → # de caras n → # de lados de c/cara TEOREMA En todo poliedro se cumple que la suma de las medidas de los ángulos internos de todas sus caras es igual a 360° multiplicado por el número de vértices menos dos. ( )∑ −°=∠ 2V360im s ( )∑ −°=∠ CA360im s Donde : A → # de aristas C → # de caras n → # de vértices PROPIEDAD El número de diagonales de un poliedro se determina así: DC#ACD# v 2 −−= ( ) DC#A 2 1VV D# −− − = Donde : V → # de vértices A → # de aristas del poliedro DC → # de diagonales de todas las caras del poliedro # D → Número de diagonales del poliedro v 2C → Combinación del número de vértices de dos en dos POLIEDROS REGULARES Se llama poliedro regular al poliedro cuyas caras son todas polígonos regulares congruentes, comprobándose que en cada vértice concurren un número igual de aristas. En todo poliedro regular sus ángulos diedros son congruentes, lo mismo que sus ángulos poliedros. Todo poliedro regular se puede inscribir o circunscribir en una esfera, siendo el centro de la esfera el centro del poliedro regular. Sólo existen cinco poliedros regulares convexos. TETAEDRO REGULAR Limitado por cuatro triángulos equiláteros unidos de tres en tres. En un tetraedro regular su altura cae en el centro de su base, o sea en el baricentro. a/2 a/2 a H a h O Ga Altura : h = 3 6a Apotema : OH = 12 6a Area total : 3a 2 Volumen = 12 2a 3 C = 4 , V = 4 y A = 6 Desarrollo de su superficie lateral EXAEDRO REGULAR O CUBO Limitado por seis cuadrados unidos de tres en tres. S4GE33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4GE33B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  • 16. 35 36COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria a D H O Apotema : 2 a OH = Diagonal : 3aD = Area Total = 6 2 a Volumen = 3 a C = 6 , V = 8y A = 12 Desarrollo de su superficie lateral OCTAEDRO REGULAR Limitado por ocho triángulos equiláteros unidos de cuatro en cuatro. D O H α Apotema : 6 6a OH = Diagonal : 2aD = Area Total = 2a32 Volumen = 3 2a 3 C = 8 , V = 6y A = 12 Desarrollo de su superficie lateral DODECAEDRO REGULAR Limitado por doce pentágonos regulares unidos de tres en tres. O α Aislando dos caras de manera conveniente. O α H Apotema : 10 51125 2 a OH + = Área Total = 5 525 a15 2 + Volumen = 10 52147 2 a5 3 + C = 12 , V = 20 y A = 30 Desarrollo de su superficie lateral ICOSAEDRO REGULAR Limitado por veinte triángulos equiláteros unidos de cinco en cinco. O α Aislando dos caras de manera conveniente. O α H Apotema : 6 537 2 a OH + = Área Total = 2a35 Volumen = 2 537 a 6 5 3 + C = 20 , V = 12 y A = 30 Desarrollo de su superficie lateral PRACTICA DE CLASE 01.Calcular el área total de un tetraedro regular de arista “x” a) 10m b) 19,2m c) 20m d) 15m e) 21m 02.Si la distancia del punto medio de una de las caras de un cubo a una de sus diagonales mide 1 metro. Calcular la arista del sólido. a) m6 b) m3 c) m7 d) m32 e) N.a. 03.Si la distancia de uno de sus vértices de un cubo al punto medio de una de las caras opuestas es de 1 metro. Calcular la arista del sólido. a) 6 b) 3 2 c) 3 6 d) 3 e) N.a. 04.Se Tiene un cubo cuya arista mide 1 metro. Calcular la distancia entre una de las diagonales del sólido y una de las diagonales de su cara, sabiendo que estas rectas se cruzan. a) m 6 6 b) m 2 3 c) 2 d) 6 e) N.a. 05.Una pirámide tiene 42 aristas. Calcular la suma de las medidas de los ángulos de todas sus caras. a) 7200 b) 700 c)7100 d) 7500 e) 8000 S4GE33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4GE33B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  • 17. 35 36COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria 06.La suma de todos los ángulos de las caras de un prisma es 20 880. Calcular su número de aristas. a) 50 b) 88 c) 90 d) 100 e) 99 07.Calcular el número de aristas de aquel poliedro, cuyo número de caras es igual al número de vértices, si además la suma de los ángulos de sus caras es 2520º. a) 5 b) 12 c) 16 d) 18 e) 20 08.Calcular el volumen del poliedro formado al unir los puntos medios de las aristas de un tetraedro regular de altura 62 . a) 29 b) 26 c) 36 d) 15 e) 18 09.El número de caras más el número de vértices y más el número de aristas de un poliedro convexo es 98. Calcular el número de caras si la suma de las caras de todos sus ángulos es 7200. a) 20 b) 28 c) 15 d) 20 e) 18 10.Calcular el área total de un tetraedro regular, cuyo centro dista de una de sus aristas u6 . a) 348 b) 48 c) 243 d) 230 e) 20 11.En un octaedro regular ABCDEF si la distancia entre los puntos medios de BE y AD es “a”. Hallar su volumen. a) 27 6a4 3 b) 27 6a8 3 c) 3 a4 3 d) 27 6a 3 e) N.a. 12.En que relación se encuentran los volúmenes de un tetraedro regular y un octaedro regular, si la altura del primer mide igual a la arista del segundo. a) 2 3 b) 3 2 c) 28 33 d) 3 28 e) N.a. 13. Se tiene un tetraedro regular de arista “a” si su proyección sobre un plano perpendicular a una región de área S. Hallar el volumen del tetraedro. a) 3 aS b) 4 S c) aS d) 4 aS e) N.a. 14. Calcular el número de vértices del poliedro formado por 6 triángulo, 8 cuadriláteros y 10 pentágonos. a) 30 b) 32 c) 24 d) 28 e) N.a. 15. un poliedro está formado por 8 triángulos y “x” cuadriláteros. Hallar x, si el número se aristas es 28. a) 8 b) 10 c) 6 d) 12 e) N.a. 16. Hallar el volumen de un tetraedro regular inscrito en un cubo de arista “a”. a) 9 33a b) 3 33a c) 6 33 a d) 6 3a e) N.a. 17. En un tetraedro regular la distancia de un vértice al baricentro de la cara opuesta mide “a”, Calcular el área total del tetraedro. a) 32a b) 33 2a c) 2 32a d) 34 2a e) N.a 18. En un tetraedro regular el radio de la esfera circunscrita mide 36m. Hallar el radio de la esfera inscrita en dicho tetraedro regular. a) 10 b) 15 c) 24 d) 20 e) 12 19. En la proyección de una cara cualquiera de un octaedro regular sobre un plano diagonal que contiene a uno de sus lados es A. hallar el área del octaedro. a) A38 b) A32 c) A34 d) A316 e) A36 20. Un poliedro convexo esta formado por 6 cuadriláteros, 8 hexágonos y 4 octágonos. Calcular el número de vértices. a) 26 b) 36 d)32 d) 30 e) 28 EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 04 01. El área de la sección hecha en un cubo cuya arista mide 210 por un plano diagonal es: (en m2 ) a) 280 b) 282 c) 200 d) 300 e) N.a. 02. El área de un cubo es igual al cuadrado de la longitud de su diagonal multiplicado por: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 03. La suma de las longitudes de todas las aristas de un cubo es 36 cm. Hallar el volumen del cubo. a) 9 b) 16 c) 18 d) 27 e) 81 04. La altura de un tetraedro regular mide 2cm, Hallar la arista. a) 62 b) 32 c) 23 d) 6 e) N.a. 05. Hallar la razón entre las áreas totales de un cubo y un octaedro que tiene como vértices los puntos centrales de las caras del cubo. a) 3 b) 23 / c) 32 d) 2 e) N.a. 06. La arista de un cubo mide 2. Hallar el área del triángulo equilátero determinado al unir tres vértices no consecutivos del cubo: a) 32 b) 34 c) 23 d) 2 33 e) 22 07.Una pirámide tiene 500 aristas. ¿Cuántas caras en total posee? a) 125 b) 501 c) 251 d) 250 e) 351 S4GE33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4GE33B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  • 18. 35 36COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria 08.Un poliedro está formado por 10 pentágonos, 15 cuadriláteros y 20 triángulos. ¿Cuántas aristas tiene? a) 170 b) 180 c) 85 d) 210 e) 139 09.Un prisma tiene 90 aristas. Hallar la suma de los ángulos de todas sus caras. a) 21 500 b) 20 880 c) 12 460 d) 15 600 e) 17 920 10.En un cubo de un metro de arista la distancia del centro de una cara a cualquiera de los vértices de la cara opuesta mide: a) 5m b) 1m c) m 2 6 d) m 2 5 e) 6m 11.Cuatro esferas de radio 10m. Son tangentes entre si formando una pila triangular (es decir, una de ellas está sobre las otras tres), Calcular la altura de la pila. a) ( )36 3 20 + b) 40 c) ( )61 3 20 + d)         + 3 2 320 e) ( )35 3 40 + 12. Hallar el área total de un tetraedro regular, siendo la suma de las longitudes de sus aristas 36 cm. (en cm2 ) a) 36 b) 36 c)24 d) 336 e) 324 13.En un poliedro, la suma del número de caras, vértices y aristas es 32. Calcule el número de aristas de dicho poliedro. a) 12 b)13 c) 14 d)15 e) 16 14.En un tetraedro regular A-BCD, M es punto medio de su respectiva altura AH, H es el pie de dicha altura. Calcule la m < DMB a) 45º b) 30º c) 90º d) 60º e) 53º 15.En un tetraedro regular A-BCD cuya arista mide 2m, Calcule el área de la región cuadrangular cuyos vértices son puntos medios de AB , AD , DC y CB respectivamente. a) 1m2 b) 2m2 c) 22m d) 3m2 e) 1,5m2 TAREA DOMICILIARIA 01.Calcular la suma de las medidas de los ángulos internos de un poliedro. Si el poliedro tiene 6 vértices. 02.Hallar el área total de un tetraedro regular, si su altura es 64 . 03.Hallar el volumen de un tetraedro regular, si su altura es 32 . 04.Hallar el Área total y Volumen de un cubo, si su diagonal es 3 . 05.Si el área total de un octaedro regular es 38 Hallar su Volumen. SOLUCIONARIO Nº Ejercicios Propuestos 01 02 03 04 01. B B A E 02. A D A C 03. B B B D 04. E A E D 05. E C C C 06. C E B C 07. C D B C 08. D C C C 09. D B C B 10. E B A C 11. B B B A 12. C A C D 13. B D A D 14. B D C C 15. A B D A 16. 17. 18. 19. 20. S4GE33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4GE33B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  • 19. 35 36COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria GEOMETRÍA 4to. Año Secundaria S4GE33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4GE33B “El nuevo símbolo de una buena educación...."