LÓGICA MATEMÁTICA

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-diego hidalgo burneo- CURSO DE APTITUD NUMÉRICA
dxhidalgoo@utpl.edu.ec | 0981158237 | agosto de 2015
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LÓGICA MATEMÁTICA | 1UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
Figura 1:
Discourse into te night de William Blades.
Nota. Fuente: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Discourse-into-the-night.jpg

Mapaconceptual
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EXPLICACIÓNA
SITUACIÓN INICIALB
ACTIVIDADESC
ACTIVIDAD DE CIERRED
diego hidalgo burneo | agosto de 2015
1. LÓGICA MATEMÁTICA
curso de aptitud numérica
REFERENCIASE

a.explicación
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Utiliza adecuadamente la nomenclatura matemática y los
cuantificadores.
1
Elabora tablas de verdad.2
Aplica las definiciones, características y propiedades de la lógica
matemática a la resolución de problemas.3
Realiza demostraciones directas, por contrapositiva y por reducción
al absurdo.4

b.Situacióninicial
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«La que opera utilizando un lenguaje simbólico artificial y haciendo
abstracción de los contenidos».1
lógica
matemática
1 http://buscon.rae.es/drae/srv/search?id=lh6ixBvbVDXX2Hbd69K0
2 Parte de una anécdota atribuida a Bertrand Russell.
«Si 2 + 2 = 5, entonces yo soy el papa de Roma».2
Figura 2:
Bertrand Russel en 1938.
Nota. Fuente:
https://upload.wikimedia.org/wikipedia
/commons/3/3a/Russell_in_1938.jpg

c.actividades
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 Exposición de fundamentos
teóricos.C.1. ANTICIPACIÓN
 Resolución de ejercicios en
clase.
C.2. CONSTRUCCIÓN
 Resolución de tarea.C.3. CONSOLIDACIÓN

C.1.anticipación
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Nomenclatura matemática1.1.
Cuantificadores1.2.
Operadores (o conectivas)1.3.
Tablas de verdad1.4.
Demostración matemática1.5.

1.1.nomenclaturamatemátic
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http://bit.ly/1MsyHXY

1.2.cuantificadores
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CUANTIFICADOR
UNIVERSAL
Para todo… ∀
Establecen cuántos elementos de un conjunto cumplen con
cierta propiedad.
CUANTIFICADOR
EXISTENCIAL
Existe al menos un… Ǝ
CUANTIFICADOR
EXISTENCIAL ÚNICO
Existe un único… Ǝ!
∀x ∈ A : P(x)
Para todo x perteneciente a A, se cumple P(x)
Ǝx ∈ A : P(x)
Existe al menos un x en A que cumple P(x)
Ǝ!x ∈ A : P(x)
Existe una única x en A que cumple P(x)

1.3.operadores(oconectiv
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Son palabras (o símbolos) que se utilizan para enlazar dos o más
proposiciones atómicas.
CONJUNCIÓN
ʌ
P ʌ Q
Está lloviendo o la calle está mojada.
P QDISYUNCIÓN
INCLUYENTE v
P V Q
DISYUNCIÓN
EXCLUYENTE v
P V Q O bien está lloviendo o bien la calle está mojada.
P Q
siguiente
Está lloviendo y la calle está mojada.1
P Q
1 Los seis ejemplos fueron tomados de https://es.wikipedia.org/wiki/Conectiva_l%C3%B3gica

1.3.operadores(oconectiv
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Si está lloviendo, entonces la calle está mojada.
P QCONDICIONAL
→
P → Q
Está lloviendo si y solo si la calle está mojada.
P QBICONDICIONAL
↔
P ↔ Q
NEGACIÓN
¬¬P | ¬Q No está lloviendo. | La calle no está mojada.
P Q
anterior

1.4.tablasdeverdad
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NEGACIÓN
P ¬Q
V F
F V
CONJUNCIÓN
P ʌ QP Q
V V
V F
F V
F F
V
F
F
F
DISYUNCIÓN
INCLUYENTE
P V QP Q
V V
V F
F V
F F
V
V
V
F
DISYUNCIÓN
EXCLUYENTE
P V QP Q
V V
V F
F V
F F
F
V
V
F
CONDICIONAL
P → QP Q
V V
V F
F V
F F
V
F
V
V
BICONDICIONAL
P ↔ QP Q
V V
V F
F V
F F
V
F
F
V

1.5.demostraciónmatemátic
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DIRECTA
Se obtiene la conclusión luego de combinar lógicamente
axiomas, definiciones y teoremas.
«… o prueba es un argumento deductivo para una afirmación
matemática».1
1 https://es.wikipedia.org/wiki/Demostraci%C3%B3n_matem%C3%A1tica
demostración
matemática
Se obtiene la conclusión
probando que las consecuencias
de su contraria son falsas (para
la premisa).
CONTRAPOSITIVA
INDIRECTA
REDUCCIÓN AL
ABSURDO
Se obtiene la conclusión
(absurda) luego de negar la
premisa (considerada
verdadera).

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La suma de dos enteros pares es siempre par.
Considere dos enteros pares x y y
x = 2a y y = 2b definición de número par
x + y = 2a + 2b utilizando las igualdades
x + y = 2(a + b) extrayendo el factor común
Como la suma “x + y” tienen como factor 2, entonces esa suma es
par.

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Si x2 es par, entonces x es par; x ∈ ℤ.
Considere x impar
x = 2a + 1 definición de número impar
x2 = (2a + 1)2 elevando al cuadrado
x2 = 4a2 + 4a + 1 realizando las operaciones
Como “4(a2 + a)” es par, la suma “4(a2 + a) + 1” es impar. Habiendo
considerado x impar, su cuadrado también lo es. Es decir, si se
considera x2 par, x lo debe ser.
x2 = 4(a2 + a) + 1 extrayendo el factor común

volver
Si x2 es par, entonces x es par; x ∈ ℤ.
Considere x impar
x2 + x es impar la suma de un par y un impar es impar
x2 + x = x(x + 1) extrayendo el factor común
x (x + 1) es par porque “x + 1” es par
Como un número no puede ser al tiempo par e impar, se muestra el
absurdo de haber considerado x impar. Es decir, si se considera x2
par, x lo debe ser.
x2 + x es par reemplazando según la
igualdad

C.2.construcción
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RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS
ENUNCIADO
Desarrolle los ejercicios contenidos en el documento “1. LÓGICA MATEMÁTICA
(ejercicios propuestos)” enviado a su correo electrónico.

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RESOLUCIÓN DE TAREA
C.3.consolidación
ENUNCIADO
Desarrolle los ejercicios contenidos en el documento “1. LÓGICA MATEMÁTICA
(ejercicios propuestos)” enviado a su correo electrónico.

D.Actividaddecierre
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 Contenidos teóricos.
 Resolución de ejercicios y tarea.
EVALUACIÓN

E.referencias
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DE LOS CONTENIDOS
 Colaboradores de Wikipedia. (22 de mayo de 2015). Demostración matemática.
Wikipedia, la enciclopedia libre. Recuperado el 29 de julio de 2015 de
https://es.wikipedia.org/wiki/Demostraci%C3%B3n_matem%C3%A1tica
 Colaboradores de Wikipedia. (16 de junio de 2009). Símbolos matemáticos.
Wikipedia, la enciclopedia libre. Recuperado el 27 de julio de 2015 de
https://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:S%C3%ADmbolos_matem%C3%A1ticos
 Grupo Salazar Montiel (2013). Tablas de verdad y su construcción [vídeo].
Disponible en https://www.youtube.com/watch?v=4K5rBPZ5A-g
 Morales, C. (2008). Los métodos de demostración en matemáticas. Tesis previa al
grado de máster en investigación. Universidad de San Carlos de Guatemala.
Recuperado el 29 de julio de 2015 de
http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:MHYgNeRwK3YJ:bi
blioteca.usac.edu.gt/tesis/07/07_1914.pdf+&cd=3&hl=es&ct=clnk&gl=ec
 Real Academia Español. (2001). Lógica matemática en Diccionario de la lengua
española [versión electrónica]. Recuperado el 23 de julio de 2015 de
http://buscon.rae.es/drae/srv/search?id=lh6ixBvbVDXX2Hbd69K0
 Suppes, P. & Hill, S. (1988). Primer curso de lógica matemática. Bogotá: Editorial
Reverté Colombiana.
¿CÓMO CITAR ESTA PRESENTACIÓN?
 Hidalgo Burneo, D. (2015). Lógica matemática [diapositivas]. En Curso de
fortalecimiento de aptitud numérica, desarrollado entre el 30 de julio y el 7 de
agosto de 2015. Loja: Universidad Técnica Particular de Loja.

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