LIBRO RAZ LOGICO.pdf

Razonamiento Lógico Matemático Nombramiento y Contrato Docente
1
Mg. Teodoro Yupa M.
ÍNDICE
PRESENTACIÓN………………………………………………………………………………….. 2
REGLA CONJUNTA……………………………………………………………………………… 3
ORDEN DE INFORMACIÓN…………………………………………………………………. 6
SUCESIONES………………………………………………………………………………………. 16
RAZONAMIENTO INDUCTIVO NUMÉRICO Y GRÁFICO………………………… 24
ANÁLISIS COMBINATORIO…………………………………………………………………. 29
VERDADES Y MENTIRAS…………………………………………………………………….. 35
FRACCIONES………………………………………………………………………………………. 41
PORCENTAJES…………………………………………………………………………………….. 50
TEORÍA DE CONJUNTOS - DIAGRAMA DE CARROLL……………………………. 57
INFERENCIA CON PREMISAS………………………………………………………………. 64
PERÍMETROS Y ÁREAS………………………………………………………………………… 77
CERTEZAS…………………………………………………………………………………………… 87
CONTEO DE CUBOS, CARAS Y VISTAS…………………………………………………. 91
PARENTESCOS……………………………………………………………………………………. 97
PLANTEO DE ECUACIONES Y EDADES…………………………………………………. 102
PROPORCIONALIDAD Y REGLA DE TRES……………………………………………… 110
DISTRIBUCIONES NÚMERICAS Y GRÁFICAS………………………………………… 119
MÉTODOS OPERATIVOS (CANGREJO, ROMBO, RECTÁNGULO)………….. 124
ESTADÍSTICA……………………………………………………………………………………… 127
CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD…………………………………………… 137
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS…………………………………………………….. 140
SOLUCIONARIO PRUEBA ÚNICA NACIONAL 2018………………………………. 145
CLAVE DE RESPUESTAS DEL LIBRO……………………………………………………… 155

2
Mg. Teodoro Yupa M.
PRESENTACIÓN
Presentamos a la comunidad magisterial el libro titulado Razonamiento
Lógico Matemático para Docentes, que nace básicamente por una
motivación de la necesidad de contar con un material exclusivo para
enfrentar con éxito las evaluaciones de acceso a nombramiento o
contratos convocados por el Ministerio de Educación.
Es un libro que dista de los tradicionales libros de Razonamiento
Matemático, propia de entidades educativas o útiles para acceso a las
universidades del país. El presente material enfatiza la metodología en
la resolución de problemas; la casi nula utilización de fórmulas, lo que
permite su accesibilidad a todo lector; además un elemento importante
denominado Situaciones Previas, que son un conjunto de problemas que
permitirá tomar confianza con los problemas de mayor demanda
cognitiva.
El libro Presenta una teoría básica de los temas claves en los que evalúa
el Ministerio; problemas resueltos partiendo de lo sencillos hasta
problemas del nivel exigido en la PUN; situaciones previas y problemas
propuestos con sus respectivas respuestas.
Esperamos que el presente trabajo llene los vacíos de bibliografía y de
metodología que carece nuestro mercado, y sea una herramienta útil
para los procesos de evaluación mencionados.

3
Mg. Teodoro Yupa M.
La regla conjunta tiene por objetivo
determinar la relación que existe entre
dos cantidades, conociendo otras
relaciones intermedias.
¿CUÁNDO LO USO?
Lo usamos Cuando en el problema
aparecen varias relaciones de
equivalencia entre objetos, animales u
otras cosas y bajo estas relaciones se
trata de encontrar una incógnita.
¿CÓMO LO USAMOS?
Regla práctica:
Se forma con los datos una serie de
igualdades, procurando que el segundo
miembro de cada igualdad sea de la
misma especie que el primero de la
siguiente y de este modo el segundo
miembro de la última igualdad será de
la misma especie que el primero de la
primera. Se multiplican ordenadamente
estas igualdades y se halla el valor
desconocido.
PROBLEMAS RESUELTOS
Sabiendo que 6 helados cuestan lo
mismo que 5 pasteles y que 2 pasteles
valen s/. 12 ¿Cuántos costará 4
helados?
SOLUCIÓN:
Disponemos los datos según la regla
práctica:
Sabiendo que 4 soles equivalen a un
dólar, que 3 dólares equivalen a 4 libras
esterlinas, que 6 euros equivalen a 5
libras esterlinas. ¿A cuántos soles
equivalen 2 euros?
SOLUCIÓN:
Disponemos los datos según la regla
práctica:
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2
6 helados 5 pasteles
2 pasteles 12 soles
x soles 4 helados
6.2.x 5.12.4
x 20
4 soles 1 dolar
3 dolares 4 Libras
5 libras 6 euros
2 euros soles
x
4.3.5 1. 4 .6
x 5
.2 .x
REGLA CONJUNTA

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Mg. Teodoro Yupa M.
SITUACIONES PREVIAS
NES PREVIAS
Los niños Alberto y Pepe juegan a
intercambiar útiles escolares y
acuerdan las siguientes reglas:
• 1 libro se puede intercambiar por 1
cuaderno y 2 lapiceros.
• 8 lapiceros se pueden intercambiar
por 2 cuadernos.
• Según esta información, si Pepe
tiene 12 lapiceros ¿Cuántos libros
recibirá de Alberto si decide
intercambiarlos?
SOLUCIÓN:
Disponemos los datos según la lectura:
* De la 2da relación obtenemos:
* De la 1ra relación obtenemos:
* Por lo tanto: 12 lapiceros equivalen a
2 libros
En cierta región del país se
intercambian 1kg de papa por 3/4 kg de
yuca y 1 kg de camote. Además, se
intercambian 1 kg de camote por 3 kg
de yuca. ¿Cuántos kilogramos de papa
se pueden intercambiar por 5 kg de
camote?
SOLUCIÓN:
* De la 1ra relación obtenemos:
De aquí, 5 kg de camote equivalen a
4kg de papa.
1) Si dos libros equivalen a 4
cuadernos, ¿a cuántos cuadernos
equivale 1 libro?
___________________________
2) Si por tres chupetes me dan 5
caramelos, ¿Cuántos chupetes
me darán por 10 caramelos?
___________________________
3) Si por 20 sillas dan dos carpetas,
¿Cuántas carpetas recibiré por
100 sillas?
___________________________
4) Por cada 4 sandias Pepe debe
pagar S/. 28, ¿Cuántas sandias
recibirá por S/.14?
___________________________
5) Si por media yuca me dan 2 papas,
¿Cuántas yucas me darán por 8
papas?
___________________________
6) Si por 2 sandias me dan 4 peras y
por cada pera me dan 2 plátanos,
¿Cuántas sandias recibiré por 4
plátanos?
___________________________
1 libro 1 cuaderno y2 lapiceros
8 lapiceros 2 cuadernos
12 libros
x
lapiceros
1 libro 1 cuaderno y 2 lapiceros
4 lapiceros
EJEMPLO 3
8 lapiceros 2 cuadernos 1 cuaderno 4 lapiceros
EJEMPLO 4
1 libro + 2 lapiceros
4 lapiceros
1 libro 6 lapiceros
4 Kg de papa 3 Kg de yuca y 4 kg de camote
* Pero como 1 kg de camote = 3 kg de yuca,
tendremos:
4 Kg de papa 3 Kg de yuca y 4 kg de camote
1 kg de camote
4 kg de papa = 5 kg de camote

5
Mg. Teodoro Yupa M.
7) Un melón equivale a 1/4 Kg de
peras, ¿a cuántas peras equivalen
8 melones?
___________________________
1. Si un lápiz mide 21 cm que equivale
a la medida de 6 clips y una crayola
mide como 4 clips. ¿Cuánto mide la
crayola? (NOMBRAMIENTO 2017)
A) 12 cm
B) 13 cm
C) 15 cm
D) 14 cm
2. En un pueblo africano, por cada 16
espejos, dan 2 diamantes y por cada
6 diamantes dan 4 monedas de oro.
¿Cuántas monedas de oro darán por
36 espejos?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 5
3. En un trueque por un cuadrado se
reciben 4 círculos y por 6 círculos se
reciben 3 triángulos. ¿Cuántos
cuadrados pueden recibirse por 24
triángulos?
A) 12
B) 24
C) 36
D) 28
4. Con 4 plumones se obtienen 6
lapiceros y con 2 lapiceros se
obtienen 4 borradores. ¿Cuántos
borradores se obtendrán con 12
plumones?
A) 36
B) 38
C) 40
D) 50
5. En cierto lugar de la serranía
peruana se acostumbra hacer
trueques. Si 3 alpacas cuestan lo
mismo que 5 caballos y 8 caballos
equivalen a 9 ovejas. ¿Cuántas
alpacas se pueden intercambiar por
15 ovejas?
A) 12
B) 8
C) 16
D) 18
6. En una feria agropecuaria por cada 8
melones dan 5 plátanos, por cada 10
plátanos dan 3 papayas, por 4
papayas dan 1 docena de
manzanas, si 5 manzanas cuestan
S/.16. ¿Cuánto pagaré por 12
melones?
A) 10,5
B) 21,6
C) 20,4
D) 34,5
7. ¿Cuántas pelotas se obtienen con 6
motos?, si con 49 patines se
obtienen 5 bicicletas, con 7 patines
obtenemos 16 pelotas y con dos
motos obtenemos 15 bicicletas.
PROBLEMAS PROPUESTOS

6
Mg. Teodoro Yupa M.
A) 1080
B) 1012
C) 1008
D) 1240
8. Si 7 naranjas equivale a 8 manzanas;
4 mandarinas equivale a 21 bananas
y 3 bananas equivale a 2
melocotones y también que 2
manzanas equivale a 5 mandarinas.
¿Cuántos melocotones darán por el
mismo precio de una docena de
naranjas?
A) 40
B) 120
C) 80
D) 100
9. El trabajo de cuántos hombres
equivaldrá al trabajo de 12 niños, si
el trabajo de 4 niños equivale al de 6
niñas, el de una mujer al de 2 niñas
y el de 3 mujeres al de un hombre.
A) 8
B) 5
C) 3
D) 2
10. En un extraño Mercado se
intercambian 7 baldes por 1/2 kg de
peras y 1/3 kg de manzanas.
Asimismo, 2kg de peras se cambian
por 1 kg de manzana. ¿Cuántos
baldes se podrán intercambiar por 8
peras?
A) 16
B) 24
C) 48
D) 50
Permite ordenar los datos que
inicialmente están desordenados, pero
que guardan toda la información. Para
tal orden debemos relacionarlos entre
si, encontrando correspondencia entre
ellos.
TIPOS DE ORDENAMIENTO:
Lineal(horizontal y vertical), circular y
Cuadro de decisiones.
A.ORDENAMIENTO HORIZONTAL Y
VERTICAL
Este tipo de ordenamiento se usa
cuando en el problema se detectan
palabras como: mayor, menor, mas,
menos, adelante, primero,..etc.
ESTRATEGIA
Se utiliza un segmento de recta
horizontal o vertical, sobre en cual se
Irán ordenando los datos del enunciado.
Puede utilizarse más de una de estas
rectas para la solución.
PROBLEMAS RESUELTOS
Manuel es 4 años menor que Alberto,
Raúl es un año mayor que Pedro, Raúl
es 2 años menor que Juan y Alberto es
7 años mayor que Juan. ¿Cuántos años
menor es Juan que Manuel?
SOLUCIÓN:
Notación: Manuel (M), Alberto (A), Raúl
(R), Pedro (P), Juan (J)
EJEMPLO 1
ORDEN DE INFORMACIÓN

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Mg. Teodoro Yupa M.
El ordenamiento final será:
Respuesta: Juan es tres años
menor que Manuel
El volcán Temboro está ubicado al este
del Sumatra. El volcán Singapur al
oeste del Krakatoa. El Sumatra a su
vez está ubicado al oeste de Singapur.
¿Cuál es el volcán ubicado al oeste?
SOLUCIÓN:
Notación: Temboro(T), Sumatra(Su),
Singapur(Si), Krakatoa(K)
El ordenamiento final será:
Ruth es mayor que Rocío, Maria es
menor que Rocío, pero mayor que que
Juana, y Juana es menor que Bety.
¿Cuál de ellas es la menor de todas?
SOLUCIÓN: Utilizamos el
ordenamiento horizontal:
EJEMPLO 2
❖ Sumatra a su vez está ubicado al
oeste de Singapur
Si
Su
❖ Singapur al oeste del
Krakatoa
K
Si
Si
Su K
T T T
❖ El volcán Temboro se ubica al
este del Sumatra.
EJEMPLO 3
❖ Ruth es mayor que Rocío
Ruth
Rocío
-
+
❖ María es menor que Rocío, pero
mayor que Juana
María
Juana Rocío
❖ Juana es menor que Bety
Juana Bety
A
M
R
P
Raúl es un
año mayor
que Pedro
Manuel es
4 años
menor que
Alberto
J
R
Raúl es 2
años
menor que
Juan
A
J
Alberto es
7 años
mayor que
Juan
❖ Temboro está ubicado
al este del Sumatra
T
Su
A
J
M
P
R

8
Mg. Teodoro Yupa M.
Luego, el ordenamiento final será:(note
que Bety es mayor que Juana)
Rpta. Juana es la menor.
En un edificio de 5 pisos viven las
familias, Flores, Zanabria, Miranda,
Pérez, Islas, cada una en pisos
diferentes.
-Islas vive encima de Zanabria.
-Flores vive lo más alejado de
Miranda.
-Miranda no puede subir las
escaleras.
-Pérez le hubiera gustado vivir en el
último piso.
Son ciertas:
I. Los Zanabria viven en el piso dos.
II. Los Pérez viven en el piso tres.
III. Los Miranda viven en el piso uno.
SOLUCIÓN:
En este caso partimos del dato concreto
y que se puede ubicar sin dificultades,
además interpretamos las premisas.
Con lo considerado el edificio quedaría
así:
Rpta. Sólo se cumple III.
B.ORDENAMIENTO CIRCULAR
Para este tipo de ordenamiento se usan
circuitos cerrados, con forma circular
básicamente. Es importante precisar
que todos los elementos estén mirando
al centro del círculo.
ESTRATEGIA
Aquí la primera persona que ubiques lo
puedes hacer donde sea, pero los
demás deben cumplir las condiciones
del problema, es decir la orientación
que deben seguir.
ALGO QUE DEBES SABER….
M
F
I
Z I
Z
I
Z
P
P
P
M M
F F
R
T
A
D
M
N
E
G
EJEMPLO 4
Flores vive lo
más alejado
de Miranda
Flores vive
en el último
piso
Miranda no
puede subir
las escaleras
Miranda vive
en el primer
piso
Pérez le
hubiera
gustado vivir
en el último
piso
Pérez no
vive en el
último piso

9
Mg. Teodoro Yupa M.
PROBLEMAS RESUELTOS
Cinco amigos: "A", "B", "C", "D“ y "E" se
sientan alrededor de una mesa circular
con cinco asientos distribuidos
simétricamente, además:
• "D" no se sienta junto a "B".
• "A" se sienta junto y a la derecha
de "B" y frente a "C".
• "E" no se sienta junto a "C".
¿Quién se sienta junto y a la
derecha de “D"?
SOLUCIÓN:
Rpta. Está sentado C
Cinco estudiantes A, B, C, D, y E se
ubican alrededor de una mesa circular:
A se sienta junto a D; E no se sienta
junto a B; de las afirmaciones.
I. A se sienta junto a B.
II. D se sienta junto a E.
III.C se sienta junto a E.
Son verdaderas:
A) Sólo I B) Sólo III C) I y II
SOLUCIÓN:
Rpta. Sólo cumple III.
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2
A
B
C
"A" se sienta junto y a la derecha de
"B" y frente a "C“(hay 2 posibilidades)
A
B
C
"E" no se sienta
junto a "C".
"D" no se sienta
junto a "B".
Con esto
descartamos la
primera figura y
queda:
Esto completa el
ordenamiento:
A
B
C
E
A
B
C
E D
A se sienta junto a D (Hay 2 posibilidades)
A
D
A
D
A
D
B
E
E no se sienta junto a B (hay 4
posibilidades
Con esto E no podría estar en
medio de las sillas blancas:
A
D
B
E
C A
D
E
B
C
C
A
D
E
B
C

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Mg. Teodoro Yupa M.
Alicia, Beatriz, Carmen, Diana, Edith y
Fiorella se sientan alrededor de una
mesa circular. Se sabe lo siguiente:
• Alicia no se sienta frente a Beatriz.
• Diana se sienta frente a Edith.
• Carmen esta junto a la izquierda
de Alicia.
• Beatriz no está junto a Edith.
SOLUCIÓN:
Como Beatriz no está junto a Edith, la
segunda figura queda descartado.
RPTA. A la izquierda de Fiorella esta
Beatriz
C.ORDENAMIENTO EN CUADRO DE
DESICIONES
En este tipo de problemas entran a tallar
una diversidad de datos. Para este tipo
de ordenamiento se usan tablas de
doble entrada.
ESTRATEGIA
En la columna de la izquierda se anotan
los nombres de las personas y en la fila
horizontal van las cualidades de estas
personas o característica. Se relacional
cuidadosamente marcando con un visto
o un aspa u otra notación adecuada
EJEMPLO 3
Diana se sienta frente a Edith
Diana
Edith
Carmen esta junto a la izquierda
de Alicia.(2 posibilidades)
Diana
Edith
Carmen
Alicia
Diana
Edith
Carmen
Alicia
Alicia no se sienta frente a Beatriz
(2 posibilidades)
Diana
Edith
Beatriz
Fiorella Carmen
Alicia
Diana
Edith
Beatriz
Fiorella
Carmen
Alicia

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Mg. Teodoro Yupa M.
para la coherencia entre los datos de la
tabla.
En una exposición se reúnen tres
amigas, Rosa, Ana y Carmen. Cada una
de ellas tiene consigo a una mascota
diferente: un pavo, una gallina y un
conejo. Luego:
• Rosa le dice a la que tiene la gallina
que la otra tiene el conejo.
• Ana le dice a la que tiene el conejo
que ella come espinacas.
¿Qué mascota tiene Carmen?
SOLUCIÓN:
RPTA. Carmen tiene el conejo
Tres estudiantes universitarios estudian
en universidades diferentes: UNI, San
Marcos y Villareal, además viven en
distritos diferentes: Breña, Lince y
Miraflores. Se sabe que el que vive en
Miraflores estudia en la Villareal. Dos de
ellos se conocen, Fausto y el que
estudia en la UNI siguen en la misma
carrera. Elmer quiere trasladarse a la
UNI. Fausto cruza por Lince para irse a
la Villareal. Gabriel vivía antes en
Breña, entonces es cierto que:
a) Elmer estudia en San Marcos y
vive en Lince.
b) El que vive en Breña estudia en la
Villareal.
c) Gabriel y el que vive en Lince no
están en la UNI
d) En San Marcos estudia el que vive
en Breña
SOLUCIÓN:
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2
Gabriel vivía antes
en Breña
No vive en
Breña.
Fausto cruza por
Lince para irse a
la Villareal
Estudia en
Villareal
Ana le dice a la que tiene el conejo
que ella come espinacas
Ana no tiene el conejo
Rosa le dice a la que tiene la gallina
que la otra tiene el conejo.
Rosa no tiene la gallina ni el conejo,
luego tiene el pavo

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Mg. Teodoro Yupa M.
SITUACIONES PREVIAS
NES PREVIAS
1) Juan es más alto que Pedro, pero
más bajo que Aníbal. ¿Quién es el
más alto?
____________________________
2) Si Pedro está a la izquierda de Juan
y Juan está a la derecha de Beto,
¿Quién está más a la derecha?
¿Quién está más a la izquierda?
____________________________
____________________________
3) Tres personas A, B y C se sientan
simétricamente alrededor de una
mesa circular, no necesariamente
en ese orden. A se sienta junto y a
la derecha de B. ¿Quién se sienta
junto y a la derecha de A?
____________________________
4) Tres amigos Abel, Beto y Carlos
tienen por mascotas a un perro, un
gato y un loro, no necesariamente
en ese orden. Si Abel tiene al loro y
a Carlos no le agrada los ladridos,
¿Quién tiene al gato?
____________________________
ORDENAMIENTO LINEAL
1. Se sabe que:
• Teresa es mayor que Katy.
• Silvia es menor que Julia, quien
es menor que Teresa.
• Katy es menor que Silvia.
¿Quién es la mayor?
A) Katy
B) Teresa
C) Miguel
D) Silvia
2. Miguel y Enrique nacieron el mismo
día. Oliver es menor que Enrique.
Claudio es menor que Oliver, pero
Gerardo es mayor que Miguel. Por lo
tanto, el menor de todos es:
A) Enrique
B) Gerardo
C) Miguel
D) Claudio
3. Cuatro personas: "A", "B", "C" y "D"
viven en un edificio de cuatro pisos,
cada uno en un piso diferente. Se
sabe que:
-"C" vive más arriba que "A".
-"B" vive más arriba que "D".
-"C" vive más abajo que "D".
¿En qué piso vive "C"?
A) 2° piso
Elmer quiere
trasladarse a
la UNI
No Estudia
en la UNI
El que vive en
Miraflores estudia
en la Villareal
Fausto vive
en
Miraflores

13
Mg. Teodoro Yupa M.
B) 3er piso
C) 4° piso
D) 1er piso
4. En una carrera participan 6 personas:
A, B, C, D, E y F si se sabe que: A
llego antes que D, pero 2 puestos
después que F, B llegó
inmediatamente después que A, pero
antes que E. Se puede afirmar que:
I. C llegó en segundo lugar.
II. D llegó antes que E.
III. E llegó en sexto lugar.
a) Solo I
b) I y II
c) I y III
d) Todas
5. Seis amigas: Andrea, Betty, Carla,
Denisse, Erika y Fiorella ocupan los
departamentos de seis pisos de un
edificio, si cada una vive en un piso
diferente, además se sabe que:
• Carla está a tantos pisos de
Betty, como Betty está de Andrea.
• Betty y Erika no están en pisos
adyacentes
• Fiorella está más arriba que
Denisse
• Andrea está en el quinto piso y
Carla en el primero.
¿Quién ocupa el sexto Piso?
A) Fiorella
B) Betty
C) Andrea
D) Erika
6. Por mi casa viven un gordo, un flaco
y un enano que tienen diferentes
temperamentos. Uno para alegre,
otro colérico y el otro triste. Se sabe
que al gordo nunca se le ve reír; el
enano para molesto porque siempre
lo fastidian por su tamaño. Entonces,
es cierto que:
a) Engordo para alegre
b) El flaco para triste
c) El gordo para triste
d) El flaco para alegre
7. José no es mayor que Luis. Miguel
tiene la mitad de la edad de Luis y el
doble de la edad de Ernesto, Ernesto
tiene 3 años menos que José. Por
tanto:
A) Luis no es mayor que José
B) Ernesto no es el menor
C) Miguel no es mayor que José
D) José es menor que Miguel
8. Pablo es 4 cm. más alto que Julio,
Mónica es 3 cm más baja que Julio.
Ricardo es 7 cm. más bajo que Pablo,
Ruth es 4 cm. más baja que Julio.
¿Cuál de las siguientes afirmaciones
son ciertas?
I. Ricardo y Mónica son de la
misma talla.
II. Julio es más alto.
III. Ruth es la más baja.
a) Todas
b) I y II
c) I y III
d) II y III
ORDENAMIENTO CIRCULAR
9. Cuatro amigos se sientan alrededor
de una mesa redonda con 4 sillas
distribuidas simétricamente, se sabe:
➢ Isabel no se sienta junto a Ricardo.
➢ Patricia se sienta junto y a la
derecha de Ricardo.
¿Dónde se sienta José?

14
Mg. Teodoro Yupa M.
A) frente a Patricia
B) frente a Isabel
C) a la izquierda de Ricardo
D) Más de una es correcta
10.Arturo, Beatriz, Carlos, Diana, Edson
y Fiorella se sientan alrededor de una
mesa circular con seis asientos
distribuidos simétricamente.
Además se sabe que:
➢ Diana no se sienta junto a Beatriz.
➢ Carlos no se sienta junto a Edson.
➢ Arturo se sienta junto y a la
izquierda de Beatriz y frente a
Carlos.
¿Quiénes están sentados al lado de
Fiorella?
A) Arturo y Beatriz
B) Beatriz y Carlos
C) Carlos y Diana
D) Diana y Edson
11.Seis amigos: "A", "B", "C", "D", "E" y
"F" se sientan alrededor de una mesa
circular con seis asientos distribuidos
simétricamente, además:
• "D" no se sienta junto a "B".
• "A" se sienta junto y a la derecha
de "B" y frente a "C".
• "E" no se sienta junto a "C".
¿Quién se sienta frente a "F"?
A) A
B) C
C) D
D)E
12.4 amigos se sientan alrededor de una
mesa redonda con 4 sillas
distribuidas simétricamente, se sabe:
• Pilar no se sienta junto a Pamela
• Paola se tienta junto y a la
derecha de Pamela
¿Dónde se sienta Paty?
A) Frente a Paola
B) Frente a Pilar
C) A la izquierda de Pamela
D) A la derecha de Pilar
13.En una reunión se encuentran seis
amigos, Amelia, Bertha, Carmen,
Danilo, Ernesto y Federico, quienes
se sientan en seis sillas igualmente
espaciadas alrededor de una mesa
circular. Sabemos que:
• Dos personas del mismo sexo
no se sientan juntas.
• Bertha se sienta a la derecha de
Federico y junto a él.
• Amelia se sienta frente a
Federico.
• Carmen y Danilo se sientan
juntos
¿Cuáles de las siguientes
afirmaciones son verdaderas?
I. Bertha se sienta junto a Ernesto.
II. Danilo se sienta junto a Amelia.
III. Ernesto se sienta frente a
Amelia.
A) Solo III
B) I y III
C) I y II
D) II y III
14.Cinco amigas y cinco amigos entran
a una cafetería y tienen que juntar 2
mesas circulares con capacidad para
6, perdiéndose así, un asiento en
cada mesa. Hombres y mujeres se
sientan alternadamente, siendo Ana y
Manuel los que se sientan más
distanciados. Entre Ana y Carmen se
encuentra Nicolás, mientras que en la
otra mesa está Pedro, que tiene a su

15
Mg. Teodoro Yupa M.
izquierda a Carmen y opuesto a él,
por el diámetro de su mesa, está
Beatriz. Si en una de las mesas,
Quique y Elena están opuestos por su
diámetro y las dos personas
restantes son Diana y Raúl, ¿quién
está a la izquierda de Manuel y quién
está opuesto a Raúl, por el diámetro
de su mesa?
A) Elena – Carmen
B) Diana – Beatriz
C) Ana – Carmen
D) Elena – Diana
ORDENAMIENTO EN CUADRO DE
DECISIONES
15.Luis, Juan, Javier y Pedro, tienen
diferente ocupación y sabemos que:
-Luis y el profesor están enojados
con Pedro.
-Juan es amigo del albañil.
-El periodista es amigo de Pedro.
-El sastre es muy amigo de Javier
y del albañil.
-Luis desde muy joven es
periodista.
¿Quién es el sastre?
A) Luis
B) Juan
C) Javier
D) Pedro
16.Cuatro amigos Andrés, Beto, Carlos
y Daniel tiene distintas profesiones:
arquitecto, mecánico, civil e
industrial y viven en cuatro distritos
diferentes: San Borja, Miraflores,
Pueblo Libre y Barranco. El
arquitecto vive en Miraflores, Daniel
es civil, el industrial no conoce
Barranco. Ni Daniel ni Carlos vive en
San Borja y Andrés vive en Barranco.
Determinar dónde vive Carlos y que
profesión tiene.
A) Miraflores – Arquitecto
B) Pueblo Libre - Civil
C) San Borja - Industrial
D) Barranco – Mecánico
17.Se encuentran 4 amigos: Miguel,
César, Luis y Ronald; éstos a su vez
son atleta, futbolista, obrero, médico,
aunque no necesariamente en ese
orden. El atleta que es primo de
Miguel es el más joven de todos y
siempre va al cine con César o Luis,
que es el mayor de todos, es vecino
del futbolista, quien a su vez es
millonario, Miguel que es pobre es
cinco años menor que el médico.
¿Cuáles la ocupación de Luis?
A) atleta
B) futbolista
C) obrero
D) médico
18.Un obrero, un empleado y un
estudiante comenta que cada uno
toma una determinada marca de
cerveza diferente:
- Yo tomo Cristal dice el obrero a
José.
- Luis dice que la cerveza que no
duele la cabeza es la Cuzqueña.
- El empleado dice: mi enamorada
y yo tomamos Pilsen porque es
mejor.
- La tercera persona se llama
Mario.
¿Cómo se llama el estudiante y
que toma?
a) José – Pilsen
b) d) Luis - Pilsen
c) Luis – Cuzqueña

16
Mg. Teodoro Yupa M.
d) Mario - Pilsen
19.Almorzaban juntos 3 políticos: el
señor Blanco, el señor Rojo y el
señor Negro, uno de ellos llevaba
corbata blanca, otra roja y el otro,
negra, pero no en el mismo orden.
En un corto diálogo, se escucha que:
➢ El señor de la corbata roja dice:
“es curioso, a pesar de que nuestros
apellidos son los mismos que los
colores de nuestras corbatas,
ninguno lleva su correspondiente”.
➢ El señor Blanco responde: “tiene
usted razón”
¿De que color es la corbata del señor
Negro?
A) negra
B) roja
C) blanca
D) faltan datos
¿Qué es una sucesión?
Una sucesión es un conjunto ordenado
de elementos (números, letras, figuras)
tales que cada uno ocupa un lugar
establecido de modo que se puede
distinguir el primero, el segundo, el
tercero y así sucesivamente, acorde
con una Ley de formación o regla de
recurrencia.
Ejemplos:
• 2, 4, 6, 8, …
• , , , , …
• A, B, C, D, E, …
• lunes, martes, miércoles, …
• Mercurio, Venus, Tierra, Marte, …
• + , x , - , …
¿Cómo se clasifican?
I. Sucesión numérica
Entre las principales tenemos:
SUCESIÓN
NUMÉRICA
LITERAL
GRÁFICA
ARITMÉTICA
GEOMÉTRICA
COMBINADAS
INTERCALADAS
DE INGENIO
COMBINADAS
INTERCALADAS
DE INGENIO
SUCESIONES

17
Mg. Teodoro Yupa M.
CLASES DE SUCESIONES
NUMÉRICAS
De acuerdo a su ley de formación las
sucesiones se pueden clasificar en:
A) SUCESIONES ARITMÉTICAS
Son aquellas en donde sus términos
se forman mediante sumas o restas.
Término Enésimo
El termino enésimo es una expresión
que permite determinar cualquier
término de una secuencia aritmética.
El término enésimo se calcula así:
Donde:
tn = termino enésimo
t1 = primer término
r = razón aritmética
n = número de términos
Forma práctica de encontrar el
termino enésimo:
1º Encontrar la razón
2º Multiplicar la razón por 1, si el
resultado coincide con el primer
término de la progresión el
termino enésimo tendrá la forma
Tn = r.n; pero si no coincide habrá
que añadir o quitarle a este
producto un número(k) de tal
manera que obtengamos el
primer término. Siempre n toma
los valores de las posiciones o
lugares de los términos (n = 1°,2°,
3°,…), en cuyo caso tendrá la
forma rn ± k
Ejemplo: ¿Cuál es el número que
falta en la siguiente serie? ¿Cuál es
el termino enésimo?
7 ; 12 ; 17 ; 22 ; ?
Solución:
En la serie observamos que cada
número aumenta de 5 en 5; es decir
que la ley de formación es constante
y se designa por: +5 (razon), tal como
se indica a continuación.
7 ; 12 ; 17 ; 22 ;
+ 5 + 5 + 5 + 5
Entonces el número que falta es:
22 + 5 = 27. 10
NOMBRE
SUCESIONES
NOTABLES
LEY DE
FORMACIÓ
N
GENERAL
Números
naturales o
de conteo
; n
; ........
;
; 3
2
1 n
pares n
;
; ........
;
; 2
6
4
2 2n
impares ( )
1
2
..........
5
3
1 n-
;
;
; 2n – 1
Cuadrados
perfectos
2
9
4
1 n
;........;
;
; n2
Cubos
perfectos
3
27
8
1 n
;........;
;
; n3
Potencias
de 2 n
;........;
;
;
; 2
16
8
4
2
2n
Productos
binarios
( )
1
12
6
2 +
n
;n
; ........
;
; n(n + 1)
Números
triangulares ( )
2
1
2
4
3
6
2
3
2
3
2
2
1
1
+




n
n
........
...
...
x
x
x
( )
2
1
+
n
n
Tn = t1 + (n -1)r

18
Mg. Teodoro Yupa M.
Para determinar el termino enésimo:
1º.Razón, r= 5
2º.Tn = 5(1) = 5, pero el primer
término es 7, por lo que hay que
añadir 2 unidades.
Finalmente, el termino enésimo será:
Tn = 5n + 2.
Donde n es un número mayor o igual
a 1.
B) Sucesiones Geométricas
Son aquellas en donde sus términos
se forman mediante multiplicaciones
o divisiones.
Ejemplos:
Hallar el número que continua:
1 ; 2; 6; 24; …
Solución:
Término enésimo:
Donde
tn = último término o termino enésimo
t1 = primer término
r = razón geometrica
n = número de términos
OTRAS SUCESIONES
a) Sucesiones combinadas
Ejemplo:
Hallar el valor de “x” en la sucesión:
8; 10; 13; 17; 23; 35; x
+2 +3 +4 +6 +12 +a
+1 +1 +2 +6 +b
x1 x2 x3 xC
1) c se deduce de la relación. Por
producto: C = 4.
2) b = 6 x 4 → b = 24
3) a = 12 + 24 → a = 36
4) x = 35 + a
x = 35 + 36 → x = 71
b) ¿Y si hay sucesiones
intercaladas?
Cuando se presentan dos o más
sucesiones en una sola.
Generalmente tienen seis o más
términos.
Ejemplo:
Hallar los términos que continúan:
2 ; 22 ; 4 ; 20 ; 8 ; 18 ; 10 ; 16; 16 ;
…
Solución:
2 ; 22 ; 4 ; 20 ; 8 ; 18 ; 10 ; 16 ; 16 ; 32 ; 14
-2 -2 -2 -2
x 2
x 2
x 2
x 2
c) ¿Cómo proceder con otras
diferentes a las anteriores?
Cuando la regla de formación no se
refiere a ninguno de los casos
anteriores; en este caso se requiere
mucha imaginación y perseverancia.
Tn = t1.r n-1
1; 2; 6; 24; 120
x 2 x 3 x 4 x 5

19
Mg. Teodoro Yupa M.
Ejemplos:
Hallar el número que continua:
2 , 2 , 2 , 4 , 24, ...
Solución:
2 , 2 , 2 , 4 , 24 , 576
x 1 x 1 x 2 x 6 x 24
x 1 x 2 x3 x4
II. SUCESIONES LITERALES
Los ejercicios sobre sucesiones
alfabéticas se resuelven como si se
trataran sobre sucesiones numéricas.
Para esto le asignamos a cada letra del
alfabeto un número que corresponda
con su posición sobre la recta alfabética
No considere la existencia de las letras
compuestas: ch y ll
En la siguiente sucesión: ¿Qué letra
continua?
C ; G ; K ; Ñ:…….
Solución:
Ubiquemos en la recta alfabética con la
posición que cada letra ocupa en ella,
así:
 a serie será: 3 ; 7 ; 11 ; 15 ; ?
van de 4 en cuatro entonces el siguiente
es: 19, que representa la letra: R.
Entonces la respuesta es “R”.
¿Qué letra sigue en la secuencia?
A; D; H; K; U; …
Solución:
Reemplazando cada letra por el lugar
que ocupa en el alfabeto tenemos
Rpta la letra que sigue es la X.
III. SUCESION GRÁFICA
Las sucesiones gráficas son aquellos
cuyos elementos son figuras y el
siguiente gráfico o figura se determina
a partir de los anteriores.
Ejemplo 1: ¿Qué figuras crees que
sigue en los siguientes?
❖ ….
❖
❖
A
1
B
2
C
3
D
4
E
5
F
6
G
7
H
8
I
9
J
10
K
11
L
12
M
13
N
14
Ñ
15
O
16
P
17
Q
18
R
19
S
20
T
21
U
22
V
23
W
24
X
25
Y
26
Z
27
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2

20
Mg. Teodoro Yupa M.
❖
¿Qué figura sigue en la secuencia?
Solución:
Analizando la figura se observa que:
•La sombra avanza en sentido
antihorario.
• El punto avanza en sentido
antihorario
• El otro punto avanza en sentido
antihorario.
Solución
Analizamos la secuencia para cada
elemento interno:
Por consiguiente, la figura que
continua es:
IV. ANALOGIA GRÁFICA
Se comparan los elementos,
movimientos, etc de la pareja “modelo”
o patrón para aplicarlos a otra que se
nos plantea como problema.
Se tiene la siguiente analogía gráfica:
Según esto marque la alternativa
correcta
EJEMPLO 2
EJEMPLO 1
EJEMPLO 1

21
Mg. Teodoro Yupa M.
Solución:
Si se observa con mucho cuidado, en la
analogía inicial se encuentra que la
figura interior (triangulo) “sale” y
contiene a las figuras restantes (circulo
conteniendo al cuadrado) a la vez que
la figura central mantiene el color
oscuro (cuadrado oscuro).
Por consiguiente, la única alternativa
que cumple estas condiciones es la
alternativa D.
V. TERMINO EXCLUIDO
Dentro de las sucesiones numéricas,
literales o gráficas, se refiere a aquel
elemento que no guarda relación
alguna con las demás.
¿Qué número está equivocado en la
siguiente serie?
2, 3, 8, 13, 18, 23
Solución:
2 3 8 13 18 23
+5 +5
+5
+5
+1
Se observa que “2” no presenta
relación alguna con las demás.
Señale la figura que no tiene relación
con las demás:
(a) (e)
(d)
(c)
(b)
Solución:
Obsérvese que las ranuras de cada
figura están “orientadas” siempre hacia
el lado derecho, excepto la figura de la
alternativa (e) quien se orienta hacia la
izquierda.
Encuentre el término que continua:
1) A, C, E, G,______
2) 1; 4; 7; 10;______
3) ________
4) _____
5) Hallar el séptimo término en:
2; 5; 9; 14;________
6) ¿Qué termino está equivocado?
1; 6; 10; 16; 21; 26
7) ¿Qué figura no corresponde en la
secuencia?
1. Calcular el número que sigue
4 ; 5 ; 6 ; 8 ; 14 ; 38 ; ........
A) 64
B) 96
C) 100
D) 158
2. ¿Qué término continúa?
2 ; 5 ; 11 ; 23 ; 47 ; ........
A B C D
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2
SITUACIONES PREVIAS

22
Mg. Teodoro Yupa M.
A ) 95
B ) 23
C ) 92
D ) 91
3. Calcular el número que falta:
A) 79
B) 32
C) 21
D) 129
4. Halle el término que sigue en la
sucesión
3F ; 6J ; 18N ; 72Q ; ........
A) 360S
B) B)350T
C) C)360U
D) D)340T
5. ¿Qué termino está equivocado en la
siguiente secuencia?
1 2 1
; ; ; 1 ; 3
9 3 3
A)
1
9
B)
2
3
C)
1
3
D) 1
6. ¿Qué letra sigue?
U, T, C, S, N, __
A) N
B) O
C) P
D) Q
7. Halle la letra que sigue: E; H; L; P;_
A) V
B) M
C) T
D) R
8. En la siguiente secuencia de figuras:
Halle el primer término
(NOMBRAMIENTO 2017)
A) B) C) D)
9. ¿Qué figura continua en la secuencia
gráfica?
A B C D
10. Encuentre la figura que continua:
; ; ;
;
;
;

23
Mg. Teodoro Yupa M.
11. Observa la relación entre las dos
primeras figuras. Luego, determina
la figura que se relaciona con la
tercera.
12. Elige la figura que falta si:
13. Hallar el número que sigue en:
1; 1; 2; 3; 5; 8; _
A) 12 B)17 C)13 D)19
14. En la secuencia halle la figura 23:
a) b)
c) d)
15. Indique la alternativa que continua
en la siguiente serie grafica
16. Indique la alternativa que completa la
serie mostrada.
17. Indique la alternativa que completa la
serie mostrada:
a) b) c) d)
. . .
X
X
X X
X
X X X ?
a) b) c) d)

24
Mg. Teodoro Yupa M.
18. ¿Qué figura falta en las siguientes
series graficas propuestas?
19. ¿Qué figura sigue?
RAZONAMIENTO INDUCTIVO
Es un razonamiento que consiste en
obtener conclusiones generales a partir
de premisas que contienen datos
particulares. Por ejemplo, de la
observación repetida de objetos o
acontecimientos de la misma índole se
establece una conclusión para todos los
objetos o eventos de dicha naturaleza.
Es decir:
Para obtener una conclusión general
(fórmula) correcta es importante que los
casos particulares cumplan las
siguientes condiciones.
• Deben ser casos que partan de lo
simple a lo complejo.
• Sus estructuras deben ser
similares, pero a menor escala, a la
que presenta el arreglo o la
expresión original.
• Se deben analizar como mínimo 3
casos particulares.
IMPORTANTE:
En el presente tema es muy común
aplicar el tema de sucesiones, por lo
cual es importante recordar los tipos de
a) b) c) d)
a) b) c) d)
C
A
S
O
I
C
A
S
O
II
C
A
S
O
III
C
A
S
O
G
E
N
E
R
A
L
INDUCCIÓN
Casos Particulares

?
RAZONAMIENTO
INDUCTIVO NUMÉRICO
Y GRÁFICO

25
Mg. Teodoro Yupa M.
sucesiones estudiadas, en particular las
secuencias aritméticas y geométricas.
PROBLEMAS RESUELTOS
Determinar el termino enésimo y el
termino que ocupa la posición 40 de la
siguiente secuencia numérica:
5; 9; 13; 17;……
SOLUCIÓN:
Observamos que la secuencia es una
progresión aritmética de razón 4.
Belinda forma cuadrados reuniendo
cuadraditos en la forma que se muestra
en la figura. ¿Cuántos cuadraditos
tendrá el cuadrado trigésimo?
SOLUCIÓN:
Representamos a través de una
secuencia numérica la cantidad de
cuadraditos que hay en cada figura.
Si con los números del año 2019
formamos una secuencia como la
mostrada:
TACNA2019TACNA2019TACNA2019
…
¿Cuál es la letra o cifra que ocupa el
lugar 100?
SOLUCIÓN:
Nótese que cada frase “TACNA2019”
tiene 9 elementos.
▪ Al Dividir 100 entre 9, obtenemos un
cociente de 11 y residuo 1.
▪ El 11 nos dice que aparecieron 11
veces la frase en mención y el
residuo representa el término que
sigue.
▪ Rpta. La letra que sigue es la T.
Se forma una secuencia de figuras con
palitos de fosforo bajo las siguientes
reglas:
▪ En la primera figura, se usan cuatro
palitos para formar un cuadrado.
▪ En la segunda figura, se usan diez
palitos para formar tres cuadrados
contiguos.
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2
EJEMPLO 3
EJEMPLO 4

26
Mg. Teodoro Yupa M.
▪ En la tercera figura, se usan
dieciséis palitos para formar cinco
cuadrados contiguos.
¿Cuántos palitos se usarán para armar
11 cuadrados contiguos?
SOLUCIÓN:
Formamos los cuadrados según la
información:
Rpta. Para formar 11 cuadrados se
necesitan 34 palitos
Un estudiante recorre un circuito
rectangular cuyos vértices llevan las
letras A,B,C y D. Si el largo de dicho
circuito mide 40m y el ancho 20 metros,
¿a qué vértice llegará luego de haber
recorrido 800 m en el mismo sentido al
haber partido desde el vértice A?
SOLUCIÓN:
Realizamos el gráfico correspondiente:
• Nótese que el circuito ABCDA
tiene una longitud de
20+40+20+40 = 120m
• Dividimos 800 entre 120 para
averiguar el número de vueltas y
la longitud sobrante 800 : 120 da
cociente 6 y residuo 80.
• Osea dio 6 vueltas partiendo
desde A.
• Como le falta avanzar 80m desde
A, llegara al vértice D.
• Rpta. Llegará al vértice D.
1) Observe las siguientes secuencias
y complete cada oración:
a. La cantidad de triángulos en la
figura 4 sería: _______________
b. La cantidad de triángulos en la
figura 5 sería: _______________
c. La figura _________tendría 49
triángulos.
a. La cantidad de círculos en la
figura 4 sería: ______________
b. La cantidad de círculos en la
figura 6 sería: ______________
c.La figura _____tendría 24
círculos.
A
B C
D
20 m
40 m
Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3
EJEMPLO 5
SITUACIONES PREVIAS

27
Mg. Teodoro Yupa M.
NES PREVIAS
a. La cantidad de círculos en la
figura 6 sería: ___________
b. La cantidad de círculos en la
figura 8 sería: ___________
c. La figura ________ tendría 28
círculos.
4) Observe la secuencia y encuentre
la figura que falta en el lugar dado.
a)
La figura en el lugar 22 será:
_________________________
b)
La figura en el lugar 16 será:
_________________________.
1. ¿Cuántas bolitas negras se pueden
contar en la figura número 10 en la
secuencia? (NOMBRAMIENTO
2017)
A) 60
B) 100
C) 130
D) 110
2. En una mesa hexagonal se sientan 6
personas y en 2 mesas
hexagonales se sientan 10
¿cuántas personas se sentarán en 5
mesas hexagonales?
(NOMBRAMIENTO 2017)
A) 21
B) 25
C) 22
D) 24
3. Un albañil construye muros de
ladrillos de la siguiente manera:
(NOMBRAMIENTO 2017)
¿Cuántos ladrillos necesitará para
construir B10?
A) 80
B) 40
C) 55
D) 65
4. Se forma una secuencia de figuras
cuadradas con canicas de acuerdo al
siguiente criterio: Con 4 canicas se
puede formar un cuadrado, con
nueve canicas otro cuadrado más
grande, con 16 canicas se forma un
cuadrado mucho mayor que el
anterior. Si se sigue formando
cuadrados bajo este patrón,
¿Cuántas bolitas se usarán para
formar el décimo cuadrado?
A) 100
B) 121
C) 144
Fig. 3
Fig. 2
Fig. 1
B1 B2 B3 B4

28
Mg. Teodoro Yupa M.
5. ¿Cuántos palitos se requiere para
formar la figura 10?
A) 40
B) 42
C) 84
D) 50
6. Raúl arma figuras sobre el suelo
usando canicas según el orden
siguiente:
• La primera figura solo contiene
una canica
• La segunda figura que tiene
forma triangular, formado por tres
canicas.
• La tercera figura, también de
forma triangular, formado por seis
canicas.
• La cuarta figura también
triangular, formado por 10
canicas.
Si se siguen formando figuras
triangulares después de la cuarta
figura, ¿cuántas canicas usará Raúl
para formar el décimo triangulo?
A) 100
B) 55
C) 60
7. Dada la siguiente secuencia:
MINEDU2019MINEDU2019MINEDU20
19…
Considerando el orden de izquierda
a derecha, ¿cuál es la letra o cifra
que ocupa el lugar 2019?
A) 1
B) 9
C) M
8. Se tiene las siguientes figuras
formadas por segmentos rectilíneos
de 1cm longitud. ¿Cuál es el
perímetro de la figura 2020?
A) 16164 cm
B) 15100 cm
C) 11600 cm
9. ¿En cuántos puntos se cortarán los
triángulos de la figura Nº 20?
A) 38
B) 75
C) 10
D) 20
10.Se conoce la siguiente sucesión:
W(1) = 1 x 2
W(2) = 2 + 3
W(3) = 3 x 4
W(4) = 4 + 5
Calcular el valor de W(22)
a) 50
F(1) F(2) F(3) F(4)

29
Mg. Teodoro Yupa M.
b) 75
c) 10
d) 45
11.¿Cuántos triangulitos se podrá
contar en le figura 50?
a) 2000
b) 200
c) 2500
d) 100
12.¿Cuántas bolitas hay en la figura
10?
a) 150 b) 50 c) 90 d) 100
13. Halle el número de cuadrados que
hay en la figura 10.
a) 19 b) 21 c) 25 d) 23
14. Determine la cantidad de círculos
no sombreados en la posición 20:
Posición 1 posición 2 posición 3
A) 211 B)210 C)201 D)190
INTRODUCCIÓN
Una de las interrogantes que con mayor
frecuencia se plantea es ¿de cuántas
maneras distintas puede presentarse
determinada situación?
Las Técnicas de Conteo o también
denominadas como Análisis
Combinatorio permiten calcular de
forma más fácil el número TOTAL DE
OCURRENCIAS COMO resultado de
un experimento.
Las Técnicas de Conteo facilitan el
recuento de sucesos para:
• No hacer una lista de uno a uno de
los objetos o sujetos que componen
una colección grande.
• Describir eventos difíciles de
organizar.
• Enumerar las posibilidades de
organizar un evento.
PRINCIPIO DE LA
MULTIPLICACIÓN
Principio de multiplicación: Si un suceso
cualquiera puede ocurrir de m maneras
diferentes y, después que ha ocurrido
de una cualquiera de esas maneras, un
segundo suceso puede ocurrir de n
maneras diferentes, entonces los dos
sucesos, en ese orden, pueden ocurrir
de m.n maneras.
F(1) F(2) F(3)
EJEMPLO 1
ANALISIS
COMBINATORIO

30
Mg. Teodoro Yupa M.
Me levanto por la mañana y al abrir mi
armario observo que tengo:
Solución1
utilizando el diagrama del árbol
N° total de formas de vestirme = 12
Solución 2
Por el principio de la multiplicación:
N° total de formas de vestirme = 2 x 3
x 2 =12.
I. PRINCIPIO DE LA ADICIÓN
Si una tarea o acción puede realizarse
de m formas diferentes, y otra tarea o
acción puede realizarse de n formas
diferentes, pero de modo que no es
posible realizarlas simultáneamente,
entonces, tendremos m+n formas
diferentes de realizar una de ellas.
¿Cómo cruzo el rio?
Se desea cruzar un río, para ello se
dispone de 3 botes, 2 lanchas y 1
deslizador. ¿De cuántas formas se
puede cruzar el río utilizando los medios
de transporte señalados?
Solución
Aplicando el principio de adición se
tiene:
N° total de formas de cruzar =3+2+1=6
1° 2° 3°
Pantalones Camisas Zapatos
2
3
2
EJEMPLO 1
RECUERDA
• Si se desea que se realicen los
eventos A y B , entonces se
utiliza el principio de
multiplicación (x)
• Si se desea que se realicen los
eventos A ó B , entonces se
utiliza el principio de adición (+)

31
Mg. Teodoro Yupa M.
II. PERMUTACIÓN
La Permutación menciona a los
posibles ordenamientos de aquellos
elementos que forman parte de un
conjunto. Esto quiere decir que una
permutación es un cambio de la manera
en la que se disponen los elementos.
Ejemplo 1
Con las letras de la palabra AMO,
¿Cuántas palabras con o sin sentido
pueden formarse con dos letras?
Solución 1
Formamos todas las parejas posibles
entre las tres letras:
Solución 2
Usando el principio de multiplicación:
# Maneras = 3 x 2= 6
(Tomar en cuenta las
letras que se repiten)
Con las letras de la palabra ALA,
¿Cuántas palabras con o sin sentido
pueden formarse?
Solución
Con la primera letra(A) con las otra dos
obtenemos: ALA, AAL
Con la segunda letra(L) con las otra
dos obtenemos: LAA
Sólo es posible formar estas palabras.
Luego la respuesta será 3 palabras.
En una carrera de 400 metros participan
5 atletas. ¿De cuántas formas distintas
podrán ser premiados los tres primeros
lugares con medalla de oro, plata y
bronce?
Solución:
# Maneras = 5 x 4 x 3 = 60
ORO PLATA BRONCE
3
4
5
EJEMPLO 2
EJEMPLO 3
EJEMPLO 4
EXPLICACIÓN
• El primer casillero puede ser
ocupado por cualquiera de las tres
letras, existiendo 3 posibilidades
• El segundo casillero puede ser
ocupado por cualquiera de las
otras dos letras restantes,
existiendo
EXPLICACIÓN
• El primer casillero (MEDALLA DE ORO)
puede ser ocupado por cualquiera de los
5 atletas, existiendo 5 posibilidades.
• El segundo casillero (MEDALLA DE
PLATA) puede ser ocupado por
cualquiera de los cuatro atletas
restantes, existiendo 4 posibilidades
• El tercer casillero (MEDALLA DE
BRONCE) puede ser ocupado por
cualquiera de los tres atletas restantes,
existiendo 3 posibilidades.

32
Mg. Teodoro Yupa M.
(Tomar en cuenta las letras que se
repiten)
¿De cuantas formas pueden sentarse
3 personas A, B y C alrededor de una
mesa circular?
Solución
En un principio calculamos el número
de permutaciones lineales de 3
elementos:
Al realizar la disposición de estas
personas en la mesa circular, tenemos:
Primera disposición: (sentido horario)
Segunda disposición: (sentido
antihorario)
Notamos que las 3 formas de la primera
disposición son la mismas, ya que cada
persona tiene a la izquierda, a la
derecha y al frente a la misma persona.
Lo mismo sucede en la 2da disposición.
Por lo que se debe contar un sólo
arreglo de cada disposición.
Esta forma equivale a aplicar de forma
sencilla el principio de multiplicación
(solo para disposiciones circulares)
pero con un elemento menos. Así:
III. COMBINACIONES
Se denominan combinaciones
al número de grupos diferentes de “n”
elementos que se pueden formar a
partir de un grupo inicial de “m”
elementos.
Una nota característica de las
combinaciones, y que les diferencia de
las variaciones, es que el orden no
importa.
Por ejemplo: si a partir de las 5 vocales
formamos grupos de 3 vocales, el grupo
“A – E – I” es igual que el grupo “A – I –
E” por lo que tan sólo computan 1 vez.
De un grupo de 3 estudiantes A, B y C
¿de cuantas formas podemos elegir
grupos de dos estudiantes?
Solución
Elegimos los grupos: (Inicialmente lo
tratamos como permutaciones)
• Pero: El grupo (AB) es lo mismo
que el grupo (BA) ya que lo
integran las mismas personas.
• Análogamente sucede con (AC) y
(CA) como con (BC) y (CB).
EJEMPLO 1

33
Mg. Teodoro Yupa M.
Por lo tanto, solo debemos contar uno
solo de cada repetición.
La respuesta: Podemos formar(elegir)
de 3 maneras grupos de 2 estudiantes.
Si se organiza un concurso entre 4
equipos de tal manera que cada equipo
compite con otro una sola vez, ¿cuántos
encuentros se deben programar?
Solución
Rpta. Se deben jugar 3+2+1 = 6
encuentros
1. Tengo 2 lapiceros de tinta negra y
una de tinta azul. Si necesito un
lapicero, ¿de cuántas formas podré
elegir un lapicero?
____________________________
2. ¿Cuántas estrechadas de mano se
darán 3 personas si todos ellos son
corteses entre sí?
____________________________
____________________________
3. ¿De cuántas formas se pueden
sentar 2 personas en una banca
con dos espacios disponibles?
____________________________
____________________________
4. Si tengo 2 corbatas y 1 camisa, ¿de
cuantas formas puedo elegir vestir
camisa y corbata?
____________________________
____________________________
5. ¿Cuántas ensaladas de verduras
puedo obtener teniendo una
zanahoria, una coliflor y una
beterraga?
____________________________
____________________________
6. ¿Cuántas formas de viajar existen
entre dos ciudades para los cuales
hay 2 rutas en avión y 2 rutas
terrestres?____________________
____________________________
7. ¿De cuántas formas se pueden
elegir un Alcalde de un aula
estudiantil con 3 candidatos
disponibles?__________________
____________________________
1. Ana desea viajar de Tacna a
Arequipa y tiene a su disposición 2
líneas aéreas y 3 líneas terrestres.
¿De cuántas maneras distintas
puede realizar el viaje?
2 Líneas
3 Rutas
EJEMPLO 2
SITUACIONES PREVIAS

34
Mg. Teodoro Yupa M.
A) 6
B) 8
C) 7
D) 5
2. Un comité docente, formado por 5
aritméticos, 3 algebraicos y 4
geométricos, estudian nuevas
metodologías educativas. Si el
comité ha recibido la invitación de
impartir una conferencia al respecto.
¿De cuántas maneras puede el
comité enviar un representante a
dicho evento?
A) 60
B) 16
C) 12
D) 15
3. Un grupo escolar formado por 13
niñas y 11 niños desea elegir su
presidente. ¿De cuántas maneras
puede ser elegido?
A) 12
B) 23
C) 30
D) 24
4. Elvis posee 3 camisas, 3 pantalones
y 2 pares de zapatos, todas prendas
diferentes. ¿De cuántas maneras
distintas puede lucir una vestimenta
constituida por camisa, pantalón y
zapatos?
A) 10
B) 18
C) 17
D) 15
5. Con tres varones y cuatro señoritas,
¿cuántos equipos de natación
diferentes pueden formarse si estos
deben ser mixtos y de dos
integrantes?
A) 12
B) 18
C) 14
D) 15
6. Una ama de casa tiene 3 frutas:
manzana, fresa y piña. ¿Cuántos
sabores diferentes de jugo podrá
preparar con estas frutas?
A) 3
B) 6
C) 7
D) 5
7. ¿De cuantas formas se pueden
sentar 4 personas alrededor de una
mesa circular?
A) 4
B) 12
C) 10
D) 6
8. Al lanzar un dado y una moneda,
¿cuántos resultados distintos se
pueden obtener?
A) 4
B) 6
C) 8
D) 12
9. Las personas que asistieron a una
reunión se estrecharon la mano. La
pregunta es la siguiente ¿cuantas

35
Mg. Teodoro Yupa M.
personas asistieron sabiendo que
hubo 15 apretones de manos?
A) 7
B) 8
C) 6
D) 5
10.Una organización estudiantil tiene
que elegir un delegado y un
subdelegado. Hay 7 candidatos.
¿Cuántas combinaciones se pueden
hacer con los candidatos para
realizar la selección?
a) 21
b) 49
c) 42
d) 50
11.¿Cuántos saludos se pueden
intercambiar entre sí 12 personas, si
cada una sólo saluda una vez a cada
una de las otras?
A) 11
B) 12
C) 24
D) 66
12.De una ciudad A a otra B hay 6
caminos diferentes ¿De cuántas
maneras se puede hacer el viaje de
ida y vuelta, si en el regreso no
puede tomar el camino de ida?
a) 12
b) 42
c) 25
d) 30
El tema de mentiras y verdades es la
parte importante de la lógica
matemática que permite descifrar
acertijos sobre veraces y mentirosos, es
decir, identificar a los personajes
hipotéticos que dicen siempre la verdad
o siempre mienten, a partir de sus
afirmaciones o de terceros.
Para resolver este tipo de juegos
lógicos utilizaremos un método general
que es el «principio de suposición»,
pero existen otros dos alternativos que
servirán solo para determinados
problemas: el «principio de
contradicción» y el «principio de
equivalencia», veamos:
EL PRINCIPIO DE SUPOSICIÓN:
consiste en asumir, a manera de
hipótesis, una posible solución como
correcta. Se conserva aquella que
cumpla con las condiciones del
problema y se descarta las demás.
PRINCIPIO DE CONTRADICCIÓN:
Consiste en identificar entre las
proposiciones dadas, dos que sean
totalmente opuestas (contradictorias),
entonces ellas tendrán diferentes
valores de verdad (V – F ó F – V).
PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA:
Consiste en reconocer entre las
proposiciones dadas, dos que sean
equivalentes, ósea dos que afirmen lo
mismo, por lo tanto ellas tendrán el
mismo valor de verdad (V – V ó F –F).
A B
VERDADES Y MENTIRAS

36
Mg. Teodoro Yupa M.
PROBLEMAS RESUELTOS
Cuatro amigos son interrogados sobre
un delito, obteniéndose la siguiente
versión:
Marco : “Fue Luis”
Leonardo :”Luis miente”
Ignacio :”yo no fui, soy
inocente”
Luis :” El delito lo cometió
Leonardo”
Si solo uno de ellos dice la verdad,
¿Quién cometió el delito?
A) Marco B) Leonardo C) Ignacio
D) Luis
SOLUCIÓN:
Primer método:
• La contradicción fuerte se presenta
entre Leonardo y Luis, luego la
relación V-F o F-V se presentará
únicamente entre.
• Tanto Marco como Ignacio dicen
falsedades(F). Analizando el caso
particular de lo que dice Ignacio,
notamos que él es el culpable del
delito.
Respuesta: Ignacio es el culpable.
Segundo método:
Usamos una tabla, asignamos valores
de verdad (Leonardo = V, Luis = F)
Completamos el cuadro con los valores
de verdad asumidos:
Respuesta: Ignacio es el culpable.
Pedro, Carlos, Alberto y Luís tienen 20,
5, 4 y 2 soles, no necesariamente en
ese orden. Además cada uno dijo:
• Pedro: “yo tengo más que Carlos”
• Carlos: “yo tengo el doble que
Luis”
• Alberto: “yo tengo 2 soles”
• Luís: “yo tengo 4 soles”
Si solamente es falsa una de estas
afirmaciones, ¿Quién miente y cuanto
tiene Pedro?
SOLUCIÓN:
Carlos y Luis se contradicen ya que las
dos personas hacen referencia a una
misma cantidad de dinero(S/.4); luego
uno de ellos miente y el otro dice la
verdad.
Además según el problema, uno sólo
miente y éste es o Carlos o Luis; luego
Pedro y Alberto dicen la verdad,
V o F
Marco : “Fue Luis” F
Leonardo:”Luis miente” V
Ignacio:”yo no fui, soy inocente” F
Luis:” El delito lo cometió
Leonardo”
F
V o F Culpable
Marco : “Fue Luis” F NO
Leonardo:”Luis miente” V NO
Ignacio:”yo no fui, soy
inocente”
F SI
Luis:” El delito lo cometió
Leonardo”
F NO
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2

37
Mg. Teodoro Yupa M.
Completamos el cuadro analizando los
valores de verdad de cada personaje.
Luego quién miente es Carlos y Pedro
tiene S/.20.
IMPORTANTE: Nuestra suposición
para Carlos y Luis(F-V) es válida pues
“cuadran” los datos; si no fuera así
intercambiaríamos el valor de verdad a
(V-F).
Se tiene la siguiente conversación:
- Lito dice: Pepe miente
- Pepe dice: José miente
- José dice: Lito y Pepe mienten
Según estas afirmaciones, ¿se puede
decir quiénes mienten?
SOLUCIÓN:
No se observa contradicciones entre las
proposiciones, entonces evaluaremos
haciendo uso el principio de suposición.
Iniciamos asumiendo valores de
verdad.
Primera Posibilidad:
• Como Lito dice la verdad, es cierto
que Pepe miente.
• Dado que Pepe miente, entonces
José no debe mentir. Pero esto es
falso ya que José miente.
Segunda Posibilidad:
• Como Lito miente, entonces Pepe
no debe mentir. Y esto es cierto en
la segunda línea.
• Dado que Pepe dice la verdad,
entonces José debe mentir, lo cual
es correcto en la tercera línea.
Por lo tanto, al “cuadrar los datos”,
LITO y JOSÉ mienten.
Ernesto dice la verdad los días lunes,
miércoles y viernes, pero miente los
demás días de la semana. Un día
Ernesto dijo:
“Mañana yo diré la verdad”
¿Qué día era cuando dijo esto?
SOLUCIÓN:
Frase: “Mañana yo diré la verdad”
El problema queda reducido al
siguiente cuadro:
• No puede ser el día lunes ya que al
decir la verdad los lunes, el día
martes no dice la verdad, sino
miente.
• Tampoco puede ser el martes. Los
martes miente y si miente la frase
EJEMPLO 3
EJEMPLO 4

38
Mg. Teodoro Yupa M.
sería falsa. Pero los miércoles dice
la verdad.
• Siguiendo el mismo mecanismo
llegamos al día sábado; donde se
cumple la frase.
Tres alumnos dan un examen de tres
preguntas en el que se respondía
verdadero (V) o falso (F), se sabe que
uno de ellos acertó todas las preguntas,
y nadie todas las respuestas erradas.
Para mayor información un cuadro.
¿Cuál o cuáles de las afirmaciones son
ciertas?
I.Pedro tuvo más aciertos que Juan.
II.Carlos tuvo un error.
III.Juan tuvo menos errores que
Carlos.
SOLUCIÓN:
Analizando el cuadro, identificamos a
Pedro como el que acertó todas las
preguntas y el resto por lo menos acertó
en uno.
• Juan tuvo un acierto y dos
erradas.
• Carlos tuvo dos acierto y una
errada.
Analizando:
I.Verdadero
II.Verdadero
III.Falso
1) Carlos dice: “yo tengo 14 años”,
María dice “Carlos no tiene 14 años”
Berta dice “Carlos y María dicen la
verdad”. ¿Quiénes se contradicen
fuertemente?
____________________________
2) Juan al conversar con Pablo le dice:
“Hoy no mentiré”, pero Pablo dice
“tú siempre mientes”; a su vez
Interviene Raúl y dice “Ambos
mienten”. ¿Quiénes se contradicen
fuertemente?
___________________________
3) Si José dice: “Yo estudio muchas
horas durante el día”. Pero José
miente al decir esto. Luego José:
____________________________
4) Beto siempre miente los días
martes y el resto de días dice la
verdad. Un día dijo “mañana
mentiré”. ¿Qué día fue en el que
dijo tal
frase?_______________________
5) Si la siguiente frase es falsa,
“No aprobaré el examen”, Escriba
un enunciado equivalente:
____________________________
6) Rosa, Marleni y Cintia van al cine y
tienen la siguiente conversación:
- Rosa: “Yo soy mayor de edad”.
- Marleni: “Rosa miente”.
- Cintia: “Marleni es menor de
edad”. ¿Quiénes se contradicen de
manera fuerte?
____________________________
EJEMPLO 5
SITUACIONES PREVIAS

39
Mg. Teodoro Yupa M.
7) Cuatro personas (Alberto, Boris,
Carlos y Daniel) reciben cierto
dinero para iniciar un negocio (tres,
cinco, siete y nueve mil soles, no
precisamente distribuido en ese
orden). Del grupo, sólo uno de ellos
miente. Se necesita saber
exactamente cuánto recibió cada
uno, si éstos manifiestan:
- Alberto: «Carlos» recibió nueve
mil soles.
- Boris: Yo recibí siete mil soles.
- Carlos: «Alberto» recibió 5 mil
soles.
- Daniel: «Carlos» recibió siete mil
soles.
¿Quiénes se contradicen de
manera fuerte?
___________________________
1. Una madre preguntó a sus hijos
“¿quién se ha comido los chocolates
que compré?” (NOMBRAMIENTO
2017)
• Isabel: “Enrique se comió los
chocolates”
• Enrique: “Federico se comió
los chocolates”
• Federico: “Enrique miente al
decir que yo me
comí los chocolates”
• Doris: “Yo no podría
haber comido los
chocolates”.
De los cuatro hijos uno solo dice la
verdad, entonces
¿quién se comió los chocolates?
A) Isabel
B) Enrique
C) Federico
D) Doris
2. Jesús donó un juguete diferente a 4
niñas de un albergue, una bicicleta,
una muñeca, una patineta y una
pelota. Cada una dijo lo siguiente:
Ana : “Yo recibí una pelota”.
Lucía : “Yo recibí una muñeca”.
Laura : “Ana recibió una bicicleta”.
Ivana : “Yo recibí una bicicleta”.
Si sólo una de ellas miente. ¿Qué
juguete recibió Laura?
A) Pelota
B) Patineta
C) Bicicleta
D) Muñeca
3. En la casa del profesor Alberto hay
tres cofres con tres carteles (uno de
plata, otro de bronce y otro de
madera) y saben que en uno de ellos
está el ansiado tesoro. Si en la tapa
de cada cofre hay un mensaje:
¿En cuáles de los cofres no está el
tesoro, si uno de los tres mensajes
es correcto?
A) plata y bronce
B) solo bronce
C) bronce y madera

40
Mg. Teodoro Yupa M.
D) plata y madera
4. Cuatro alumnos son acusados de
haberse comido la manzana del
profesor al ser entrevistados por el
director afirman:
- Marco: Juan se la comió.
- Juan: Sonia se la comió
- Liliana: Yo no fui.
- Sonia: Juan miente
Se sabe que tres de ellos mienten y
el otro dice la verdad. Determine
quién se comió la manzana y quien
dice la verdad.
A) Marco; Sonia
B) Liliana; Sonia
C) Juan; Liliana
D) Sonia; Juan
5. En un concurso de matemática se
presentaron cuatro alumnas, las
cuales respondieron con verdadero
(V) o falso (F) a las preguntas de un
examen de cuatro problemas,
obteniéndose las siguientes
respuestas:
Si se sabe que una contestó todas
las preguntas correctamente, otra
falló sólo en una, otra falló en dos y
una se equivocó en todas, ¿quién
ganó el concurso
y quién quedó en tercer lugar,
respectivamente?
A) Ana y Carla
B) María y Carla
C) Ana y María
D) María y Janina
6. Magaly, amiga de Alejandro, siempre
miente los días martes, jueves y
sábados; los demás días dice la
verdad. Se dá el siguiente diálogo:
• Magaly :¿Alejandro vamos al
cine?
• Alejandro :No
• Magali :¿Por qué no si hoy
es sábado?
• Alejandro : No, tal vez mañana
• Magali :Mañana no puedo,
porque será miércoles y tengo
que estudiar.
¿En que día de la semana se
produjo dicho diálogo?
A) lunes
B) martes
C) jueves
D) viernes
7. Doris, Ross y Pina sostienen la
siguiente conversación.
• Ross: No he encontrado aún mi
cantante preferido.
• Doris : Yo tampoco he
encontrado a mi cantante
preferido.
• Pina : Doris miente.
• Ross : Pina dice la verdad.
Si Ross es la única que en realidad
ha encontrado a su cantante
preferido ¿quién o quiénes mienten?
A) solo Ross
B) solo Pina
C) Ross y Pina

41
Mg. Teodoro Yupa M.
D) Doris y Ross
8. Al consultarle al profesor Petter
sobre por su día de cumpleaños el
responde con los siguientes
enunciados:
• Mi cumple es el martes.
• Mi cumple no es el miércoles.
• Mi cumple es el jueves
• Mi cumple no es el martes.
• Mi cumple es el viernes.
Si solo uno de las afirmaciones
anteriores es cierta, ¿Qué día es el
cumpleaños de Petter?
a) El lunes
b) El martes
c) El miércoles
d) El viernes
9. Tres amigas sostienen la siguiente
conversación:
A: Yo aprobé Química
B: Yo también
C: A miente
Si se sabe que solo una aprobó
Química y que solo una miente,
¿quién miente y quién aprobó
respectivamente?
A) B-A
B) A-C
C) C-B
D) A-B
FRACCIÓN
Es aquel número racional que no es
entero. (División indicada de 2 enteros
no nulos a y b en la que a no es múltiplo
de b).
Interpretación gráfica de una fracción
RELACION PARTE – TODO
Es una comparación de una cantidad
respecto a un todo.
a)

=
7
4
F
7
1
7
1
7
1
7
1
7
1
7
1
7
1
4 partes
7 partes
FRACCIONES

42
Mg. Teodoro Yupa M.
Fracción de Fracción:
"El total se divide en tres partes iguales"
*
A una de las partes
iguales se divide en
2 partes iguales
Cada una de las partes ( ) representa:
*
*
1
2
de 1
3
es 1
6
FRACCIONES EQUIVALENTES
OBSERVACION: Cuando a la unidad
se le quita o aumenta una fracción, se
puede analizar de la siguiente manera.

43
Mg. Teodoro Yupa M.
COMPRARACIÓN DE FRACCIONES:
• Si las fracciones son homogéneas
basta comparar los
denominadores.
• Si las fracciones que tienen igual
numerador, es mayor el que tiene
menor denominador.
• Para cualquier fracción, se
cumple:
Ejemplo:
¿Qué fracción es mayor?
Solución:
Como 10 < 12, Luego 4/5 es mayor
que 2/3.
OPERACIONES BÁSICAS CON
FRACCIONES
Suma y diferencia de fracciones
a) Fracciones Homogéneas:
Se suman y / o restan los numeradores
y se coloca el mismo denominador.
Así :
b) Fracciones Heterogéneas:
Se saca el m.c.m de los denominadores
éste se divide por cada denominador y
se multiplica por cada numerador,
finalmente se suman o restan los
numeradores y se coloca el mismo
denominador.
Así :
45
31
45
35
36
30
9
7
5
4
3
2
=
−
+
=
−
+
Multiplicación
REGLA :
Para multiplicar fracciones, los
numeradores y denominadores entre
sí; luego se simplifica el resultado.
División
REGLA:
Para dividir dos fracciones, se
multiplica la primera por la inversa de
la segunda
¿Cómo resolvemos un problema de
fracciones?
6 7 19 19
, , elmayores :
8 8 8 8

5 5 5 5
, , elmayores :
6 9 16 6

a.d b.c
7
6
7
1
7
5
=
+
4
1
4
2
4
3
=
−

44
Mg. Teodoro Yupa M.
En primer lugar, antes de comenzar a
practicar este tipo de problemas
debemos tener en cuenta una serie de
consejos que nos serán útiles.
Para resolver un problema debemos:
• Realizaremos un dibujo de barras o
una tabla, identificando la unidad.
• Identificamos en cada
representación gráfica cada fracción
de la unidad.
• Dibujamos, sombreando, la fracción
de la unidad con relación a los datos.
• El siguiente paso es resolver las
operaciones oportunas.
• Por último y muy importante,
debemos interpretar la solución.
PROBLEMAS RESUELTOS
Los 7/9 del sueldo de José son s/.
2800 ¿Cuál es el sueldo de José?
SOLUCION:
• Representamos los 7/9, que es el
sueldo de José.
• Completamos casilleros:
El sueldo de José es: 400 x 9 = S/.
3600
De los vecinos de la casa de Rosa, 2/7
son rubios y la cuarta parte de estos
tienen los ojos azules. Sabiendo que
hay 6 vecinos con los ojos azules.
¿Cuántos vecinos hay en la casa de
Rosa?
SOLUCIÓN
• Representamos los 2/7 que son
rubios:
• Dividimos la fracción de los rubios
en 4 partes y señalamos 1/4 de los
ojos azules:
Para determinar el total de vecinos
completamos los valores:
Luego el número total de vecinos de
Rosa es 7 x 12 = 84.
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2

45
Mg. Teodoro Yupa M.
Un recipiente está lleno de agua hasta
los 4/5 de su capacidad. Se saca la
mitad del agua que contiene. Si la
capacidad del recipiente es de 80 litros,
¿cuántos litros quedan en el recipiente?
SOLUCIÓN:
• Representamos los 4/5 de agua:
• Extraemos la mitad y queda..
• Distribuimos los 80 litros:
Luego en el recipiente quedan 16x3 =
48 litros.
Una persona sale de compras. Gasta
los 3/7 de su dinero en el
supermercado; después ½ de lo que le
queda en una tienda de regalos y,
finalmente, 1/2 de lo restante en una
librería. Si le quedan 12 soles. ¿Cuánto
dinero tenía la salir de la casa?
SOLUCIÓN:
• Gasta 3/7 en el mercado:
• Gasta 1/2 de lo que le queda en
negocios:
• Gasta 1/2 del restante en librería:
• Queda S/12.
Luego salió de su casa con12x7 = 84
soles.
Una fuerte lluvia daña parte de la
cosecha de este verano. En la finca de
Juan 7 de cada 12 tomates están
dañados y en la de Pedro 4 de cada 9.
¿En qué huerta se han dañado más
tomates?
SOLUCIÓN:
EJEMPLO 4
EJEMPLO 5
EJEMPLO 3

46
Mg. Teodoro Yupa M.
La huerta de Juan se afectó más.
Si las horas transcurridas del día de hoy
es igual a los 3/5 de lo que falta por
transcurrir, ¿Qué hora será en este
momento?
SOLUCIÓN:
Lo transcurrido es igual a los 3/5 de lo
que falta transcurrir:
Completamos el rectángulo:
La hora en este momento es 9 am
(horas transcurridas).
De un barril de vino que se encontraba
lleno, se saca la mitad; luego se saca la
mitad de lo que quedaba y luego un
cuarto del resto. Si aún quedan 6 litros;
¿Cuántos litros había inicialmente?
SOLUCIÓN:
Realizando las particiones sucesivas
para las fracciones comprometidas
resulta:
De donde se observa que inicialmente
habían 16 + 8 +(2+2+2+2) = 32 litros.
3 3 3
3
3
3
3
3
2
EJEMPLO 6
Los 3/5 de lo que falta por transcurrir:
EJEMPLO 7
El día de 24 horas será
así:
24 h
Trascurridas No transcurridas

47
Mg. Teodoro Yupa M.
1) Usando la barra mostrada,
Representa: La mitad de 1/3.
2) Representa: “Los 2/3 de un aula
son hombres y la mitad de estos
son honestos”.
3) Representa: Matías tiene 4
álbumes, tres sobre fútbol y uno
sobre autos. ¿Qué fracción de
álbumes de fútbol tiene?
4) Si me como las tres cuartas partes
de una manzana, ¿qué parte
queda?
________________________
5) Si a la cantidad de dinero que
tengo le añado su mitad, ¿Cuánto
tendré ahora? (en fracción)
___________________________
6) Si gasto la mitad de mi dinero en
comprar lapiceros; luego la mitad
de lo restante, ¿Qué fracción de
dinero me queda?
___________________________
7) Dos hermanos reciben propinas
de su padre, el mayor recibe los
2/3 y el menor recibe 1/2 del
dinero que dispone el padre.
¿Quién recibe más dinero?
___________________________
8) Un deposito tiene 20 litros de
agua, lo que representa los 1/3 de
la capacidad del recipiente.
¿Cuánta agua falta añadir para
llenar completamente el deposito?
___________________________
9) Se quiere distribuir 8 litros de un
líquido en envases pequeños de
1/8 de litro de capacidad. ¿cuantos
envases serán necesarios?
___________________________
10)Un alumno gasta 1/3 del dinero
que tiene, luego gasta la mitad
más, ¿Qué fracción de dinero le
queda?
___________________________
1. Se tienen dos jarras iguales con
agua. Una tiene ½ de litro y la otra
1/3 de litro. ¿Qué cantidad de agua
se tendrá en total?
2. Marisol sirvió tres cuartas partes de
agua en un vaso. ¿Cuál de los
siguientes dibujos representa la
cantidad de agua que Marisol sirvió?
SITUACIONES PREVIAS

48
Mg. Teodoro Yupa M.
3. De los S/.20 que tengo, pierdo en un
juego los 2/5 de lo que tengo ¿cuánto
tengo ahora?
A) S/.12
B) S/.11
C) S/.10
D) S/.8
4. Del siguiente hexágono regular
¿Qué parte representa la región
sombreada?
5. ¿Qué fracción de 18 es 12?
A)2/3
B)1/3
C)3/4
D)3/2
6. Juan tenía s/.25 y gastó s/.15. ¿Qué
fracción de su dinero ha gastado?
A) 3/4
B) 2/5
C) 3/5
D) 3/8
7. Los 2/3 de los miembros de un club
son mujeres, 1/4 de los hombres
están casados. Si hay 9 hombres
solteros, ¿cuántas mujeres hay en
total?
A) 24
B) 36
C) 9
D) 15
8. Una persona inicialmente toma 16
metros de una varilla larga. Luego
toma los 2/3 del resto de esta varilla
y observa que las partes que toma
tienen la misma longitud. Hallar
entonces la longitud total de la varilla.
A) 32
B) 40
C) 45
D) 39
9. Un padre entrega a sus hijos una
bolsa con cierta cantidad de canicas.
El mayor coge la tercera parte; luego,
el segundo coge la tercera parte de
lo que quedaba y, finalmente, el
menor coge la tercera parte de lo que
quedaba hasta ese momento y se da
cuenta de que aún quedan en la
bolsa 16 canicas. ¿Cuántas canicas
había en la bolsa?
A) 27
B) 54
C) 51
D) 81
10.Un diseñador de cerámicas
presenta la propuesta mostrada en
la figura.

49
Mg. Teodoro Yupa M.
La fracción que representa el área
sombreada respecto al área total en
la figura es:
A) 12/48
B) 12/36
C) 6/32
D) 6/16
11.Elena compró 4 1/2 kilogramos de
arroz y los colocó en bolsas de 1/4
kg. ¿Cuántas bolsas obtuvo con esa
cantidad de arroz?
A) 4 bolsas.
B) 18 bolsas
C) 4 1/4 bolsas.
D) 16 1/2 bolsas
12.Doña Camila tiene un negocio de
venta de picarones. Ella los prepara
con la siguiente receta:
Cierto día vio que tenía 3 1/4 kg de
zapallo. ¿Cuántos kg de harina de
trigo necesita para la preparación de
picarones con esa cantidad de
zapallo?
A) 6 ½ kg
B) 3 ½ kg
C) 3/4 kg
D) 1/2 kg
13.En la figura (triángulo equilátero)
¿Qué fracción de lo sombreado es lo
no sombreado?
14.Un triángulo equilátero se dividió en
triángulos iguales como muestra la
figura I. Luego, uno de estos
triángulos volvió a dividirse en
triángulos iguales como muestra la
figura II. ¿Qué parte del triángulo
grande representa la parte
sombreada?
A) 1/16
B) 3/16
C) 3/7
D) 3/4

50
Mg. Teodoro Yupa M.
15.Silvana comenta con Johanna
después del examen de
nombramiento, resolví
4
3
de lo que
no resolví. ¿Qué fracción del
examen no resolvió Silvana?
a)
5
2
b)
4
1
c)
3
1
d)
7
4
16.Dos tercios de los profesores de un
colegio son mujeres, 12 de los
profesores varones son solteros,
mientras que los 3/5 de los mismos
son casados. ¿Cuál es el número de
docentes?
a) 80
b) 90
c) 60
d) 70
• La expresión “Por ciento” viene de
la frase latina “Percentum”, y de
ella deriva la palabra porcentaje.
• Se denomina porcentaje o tanto
por ciento, al número de unidades
que se toma de cada 100.
• Si decimos “el 70 por ciento de las
respuestas de una prueba son
concretas”. Queremos significar
que de 100 preguntas, 70 son
correctas. Se podrá usar 70/100
en vez de la frase “70 por ciento”.
• La frase “por ciento” se usa
cuando una razón está expresada
con un denominador 100.
• En vez de la expresión “por ciento”
se usa el símbolo %. Este símbolo
es una abreviatura de 1/100.
Nota: Todo número puede ser
expresado como un porcentaje,
multiplicado dicho número x 100%
Ejemplos
100
1
x
70
100
70
ciento
por
70 =
=
%
70
100
1
x
70
100
70
=
= %
25
100
1
x
25
100
25
=
=
• 1 = 1x 100 % = 100%
• 2 = 2x 100 % = 200%
• 4 = 4x 100 % = 400%
PORCENTAJES

51
Mg. Teodoro Yupa M.
Nota: Se puede sumar o restar
porcentajes de una misma cantidad.
Una cantidad más su 30% = 130% de
la cantidad
Mi edad aumentada en su 23% = 123%
de mi edad
PROBLEMAS RESUELTOS
En mi clase, de 30 que
somos en total, 12 son mujeres. ¿Qué
porcentaje representan las chicas?
SOLUCION 1: (Por regla de tres)
SOLUCION 2:(Por método de barras)
Las chicas representan el 40%.
En mi clase hay 12 mujeres y
representan el 40% del total. ¿Cuántos
somos en total?
SOLUCION 1:(Por regla de tres)
En total hay 30 estudiantes en la clase.
SOLUCION 2:(Por método de barras)
En total seremos: 12 + 12 + 6 = 30
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2
APLICACIONES COMERCIALES
Precio de Venta = Precio de costo +
Ganancia
Precio de Venta = Precio de costo -
Pérdida
PV = PC +
G
PV = PC -
P
Precio de Venta = Precio de Lista -
Descuento
PV = PL - D

52
Mg. Teodoro Yupa M.
¿El 25% de qué número representa el
valor de 60?
SOLUCION 1: (Por regla de tres)
SOLUCION 2: (Por método de barras)
Según el problema, el 25% representa
a 60:
Luego el total o el número es 4 x 60 =
240
Si tuviera 20% más de la edad que
tengo tendría 48 años. ¿Qué edad
tengo en la actualidad?
SOLUCIÓN 1: (Por regla de tres)
Si tuviera 20% más de la edad, mi
edad será el 120%.
SOLUCIÓN 2: (Por método de barras)
Mi edad actual representa el 100%. Si
tuviera 20% más, tendría el 120%.
• Representamos el 120%:
• La edad actual representa el
100%:
La edad actual es 8 x 5= 40 años.
Si vendiera mi libro de razonamiento
matemático en un 30% menos costaría
14 soles ¿Cuál es el precio real del
libro?
SOLUCION 2: (Por método de barras)
El costo real representa el 100%. Si
vendiera a 30% menos, lo estoy
vendiendo al 70%.
• Representamos el 70%:
• El costo real representa el 100%:
EJEMPLO 3
EJEMPLO 4
EJEMPLO 5

53
Mg. Teodoro Yupa M.
El precio real del libro es 2x10 = S/.20.
Una persona vendió un artículo en S/
480 ganando el 20% del costo, y cuál
fue su precio de costo?
SOLUCIÓN 2: (Por método de barras)
El costo real representa el 100%. Si
gana el 20% el precio de venta será del
120%.
• Representamos el 20% de
ganancia sobre el costo:
• Distribuimos los S/.480:
El costo fue de 80x5 = S/.400
En una fábrica trabajan 250 personas
donde el 80% son hombres ¿Cuántas
mujeres deben contratarse para que el
60% del personal sean ahora mujeres?
SOLUCIÓN:
• Representamos el 80% de
hombres:
• Representamos el nuevo
porcentaje de mujeres:60%
Deben contratarse 150 mujeres.
Dos vacas fueron vendidas en S/ 6 000
cada una. Si en la primera se ganó el
25% y en la segunda se perdió el 25%,
determinar si hubo ganancia o pérdida y
cuánto.
SOLUCIÓN
• Representamos la venta, ganando
el 25%:
EJEMPLO 6
EJEMPLO 7
EJEMPLO 8

54
Mg. Teodoro Yupa M.
SITUACIONES PREVIAS
NES PREVIAS
• Representamos la venta,
perdiendo el 25%
Hubo una pérdida de 2000 -1200= S/.
800.
1) El 20% de 40 es:_____________
2) ¿Qué porcentaje es 40 de 80?
___________________________
3) Si tengo S/.40 y me gasto la mitad.
¿Qué porcentaje representa lo que
me queda?
___________________________
4) De los 800 alumnos de un
colegio, han ido de viaje 600.
¿Qué porcentaje de alumnos
ha ido de viaje?
________________________
5) Al comprar un celular que
cuesta S/. 800 me descuentan
el 20%, ¿Cuánto tengo que
pagar?
________________________
6) Una persona pierde el 30% de su
dinero, ¿Qué porcentaje de dinero
le queda?
___________________________
7) Una persona incrementa su
capital en 10%. ¿Qué porcentaje
de dinero tiene ahora?
___________________________
8) En una clase de 30 alumnos y
alumnas, hoy han faltado 6. ¿Cuál
ha sido el porcentaje de
ausencias?
___________________________
9) El 75% de una cantidad
representada en fracción es:
___________________________
10)El 25% del 50% de 160 es...
___________________________
1. Jorge tiene un USB donde el
60% están guardados información
personal del cual 30% son fotos.
¿Qué porcentaje del total representa
lo almacenado por fotos?
(NOMBRAMIENTO 2017)
A) 18%
B) 20%
C) 25%
D) 30%
2. Tres cuadros se vendieron a S/. 486
cada uno. En uno de ellos se ganó
un 20% y en cada uno de los otros
dos se perdió un 10%. ¿Cuál fue el
resultado final de este negocio?
A) Se ganó 27 soles
B) Se perdió 10 soles
C) Se perdió 27 soles

55
Mg. Teodoro Yupa M.
D) No se ganó ni se perdió
3. Un agricultor en el Sur del Perú llegó
a cosechar 12 000 Kg de papa, luego
de que una tormenta de granizo le
estropeara el 40% de su cosecha.
¿Cuántos kilogramos esperaba
recoger si no hubiera ocurrido la
tormenta?
A) 20 000
B) 18 000
C) 15 000
D) 10 000
4. En la UNMSM el 30% de los alumnos
son mujeres, si el 20% de mujeres y
el 30% de los hombres salen de
paseo ¿Qué porcentaje de los
alumnos de la UNMSM fue al paseo?
a) 25%
b) 27%
c) 29%
d) 31%
5. En el Colegio hay 5 hinchas de Boca.
Si en total hay 20 chicos y de ellos,
18 son hinchas de algún club, ¿Qué
porcentaje de chicos de ese curso
son hinchas de Boca?
A) 20%
B) 18%
C) 30%
D) 25 %
6. ¿Qué porcentaje de la región
sombreada es la región no
sombreada?
a) 50%
b) 100%
c) 40%
d) 30%
7. En una reunión el 40% del total de
personas son mayores de edad. Si
se retiran la mitad de éstos. ¿Qué
tanto por ciento representan los
menores de edad del nuevo total?
a) 70%
b) 75%
c) 80%
d) 85%
8. Una señora va al mercado, donde al
comprar un cierto número de
naranjas le regalan un 5% de las que
compró, obteniendo así 420
naranjas. ¿Cuántas naranjas
compró?
a) 200
b) 300
c) 400
d) 360
9. Si al vender uno de mis libros en 28
Soles gano 8 soles ¿Cuál es el tanto
por ciento de las ganancias?
A) 20%
B) 30%
C) 40%

56
Mg. Teodoro Yupa M.
D) 50%
10.Una casa comercial vende un
televisor en 120 dólares perdiendo
en la venta 5 dólares. ¿Qué tanto
por ciento perdió?
A) 2%
B) 3%
C) 4%
D) 5%
11.En la academia el 40% son mujeres,
el 30% de mujeres y el 70% de
hombres van de paseo, luego el
porcentaje de alumnos que no va al
paseo-es
a) 46%
b) 54%
c) 42%
d) 58 %
12.En el puesto de “DOÑA ELVIRA” se
vende el pollo entero y por presas
según esta lista:
Pierna………………..S/. 8,00 el kg.
Pechuga……………..S/. 9,50 el kg
Alas……….…..……..S/. 5,50 el kg.
Menudencia…………S/. 4,00 el kg.
Con motivos de fiestas Patrias, doña
Elvira, por compras que superen los
S/. 10,00 hace un descuento del
10% sobre el monto total. Un cliente
compró 1 kg de alas y 3/4 kg de
pierna. ¿Cuánto pagará por esta
compra?
a)S/. 5,50
b)S/. 6,50
c) S/. 10,35
d)S/. 11,50
13.En un pueblo hubo una epidemia
afectando al 20% de la población de
las cuales murieron el 60%
quedando de los afectados 40
personas. ¿Cuántas personas había
en el pueblo?
A) 500
B) 1000
C) 502
D) 559
14.En el mercadillo 28 de Julio, un
vendedor aumentó el precio de uno
de sus artículos en el 30% de su
precio de costo. Pero al momento de
la venta tuvo que hacer un
descuento del 20% para convencer
al comprador. ¿Qué pasó en esta
venta?
A) El vendedor ganó el 10%
B) El vendedor perdió el 10%
C) El vendedor ganó el 4%
D) El vendedor perdió el 4%

57
Mg. Teodoro Yupa M.
NOCIÓN DE CONJUNTO
Un conjunto es la reunión, colección o
agrupación de objetos que tienen
características similares, a estos
objetos se les denomina ELEMENTOS
de un conjunto. Para simbolizar
conjuntos se emplean las letras
mayúsculas A, B, C,… y sus elementos
separados por coma o punto y coma, y
encerrados entre llaves, por ejemplo:
A={T,A,C,N, A}
B={2;6;8;9;10}
C={Los departamentos del Perú}
DETERMINACION DE CONJUNTOS
• Por extensión: Un conjunto esta por
extensión cuando se observa todo y
cada uno de sus elementos de un
conjunto, enumerándolos o
indicándolos en forma sobre
entendida:
Ej.: A={1,2,3,4}
B={1,4,9,16,25,36}
• Por comprensión: Un conjunto está
determinado por comprensión
cuando sus elementos se
caracterizan mediante una
propiedad común.
Ej.: de los ejemplos anteriores
 
 
/ 4
/ 5
A x x N x
B x x N x
=   
=   
RELACION DE PERTENENCIA:
Un elemento pertenece a un conjunto si
forma parte de ella. Además se dice que
pertenece ( ∈ ) a dicho conjunto, en
caso contrario “no pertenece” ( ∉ ) a
dicho conjunto. La relación de
pertenencia se da entre un elemento y
un conjunto sabiendo que un elemento
puede tener forma de conjunto.
Ejemplo: Dado el conjunto A
 
 
A 2;3; 5;6
=
Así diremos que:
 
2 A 4 A
3 A 5 A
5;6 A 6 A
 
 
 
RELACION ENTRE CONJUNTOS
A) INCLUSION: Se dice que A esta
incluido en el conjunto B ( ⊂ ) ,
si todos los elementos de A
pertenecen a B.
Esta denotado por ( ⊂ ).
Se lee: A esta incluido en B
A esta contenido en B
A es subconjunto de B
B) Conjuntos iguales: Dos
conjuntos son iguales (=) si tienen
los mismos elementos sin importar
el orden. Se denota
A B A B B A
=    
C) Conjuntos comparables: Dos
conjuntos son comparables solo
cuando uno de ellos está incluido
en el otro, es decir:
A B B A
   .
D) Conjuntos disjuntos: Dos
conjuntos son disjuntos son
TEORIA DE CONJUNTOS

58
Mg. Teodoro Yupa M.
disjuntos cuando no tienen ningún
elemento en común.
CLASES DE CONJUNTOS:
A) Conjunto Unitario: También
llamado singleton, es aquel que
tiene un solo elemento.
B) Conjunto Nulo o vacío: Conjunto
que no tiene elementos. Este
conjunto tiene la particularidad de
ser subconjunto de todo conjunto
C) Conjunto finito: Es aquel cuya
cantidad de elementos es limitada;
es decir se puede contar desde el
primer hasta el último.
D) Conjunto Infinito: Cuyo número
de elementos es ilimitado.
E) Conjunto Universal (U): Es aquel
conjunto que contiene todos los
demás conjuntos, simbolizado por
la letra U. No existe un conjunto
universal absoluto.
REPRESENTACIÓN GRAFICA DE
CONJUNTOS
Los conjuntos se pueden graficar por
medio de: Diagrama de Venn-Euler,
Diagrama de lewis-Carroll, Diagrama
Sagital
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
A)Unión ( A B
 ): La unión de dos
conjuntos A y B es el conjunto
formado por la agrupación de
todos los elementos de A con
todos los elementos de B.
B)Intersección ( A B
 ): La
intersección de dos conjuntos A y
B es el conjunto formado por los
elementos que pertenecen a los
dos conjuntos a la vez.
(Elementos comunes a ambos).
C) Diferencia (A-B): La diferencia
de dos conjuntos A y B (en ese
orden) es el conjunto formado por
los elementos que pertenecen a A
pero no a B.
D) Diferencia Simétrica: ( A B
 ):
La diferencia simétrica de dos
conjuntos A y B es el conjunto
formado por los elementos que
pertenecen a A o B pero no a
ambos.
U
A B
U
A B
U
A B

59
Mg. Teodoro Yupa M.
E)Complemento de un conjunto
(A’), ( C
A ): Conjunto cuyos
elementos pertenecen al universo
pero no al conjunto A.
(La parte sombreada)
PROBLEMAS RESUELTOS
La parte sombreada del diagrama
representa a :
SOLUCION:
Obsérvese que la parte sombreada
corresponde a la diferencia del
conjunto M con la unión de los
conjuntos K y L en ese orden.
Luego la respuesta es la alternativa D.
¿Qué representa la parte sombreada?
SOLUCION:
Se observa que la parte sombreada
corresponde a la diferencia de la unión
menos la intersección de los conjuntos
A y B.
Luego la respuesta es la opción C.
De un grupo de 65 alumnos:
• 30 prefieren lenguaje
• 40 prefieren matemática
• 5 prefieren otros cursos
¿Cuántos prefieren Matemática y
Lenguaje?
SOLUCIÓN
Según la lectura del problemas
básicamente intervienen 2 conjuntos;
los que estudian lenguaje(L) y los que
prefieren matemática (M).
Ubicamos las cantidades en el
diagrama iniciando con los casilleros
comunes(intersección de tres o dos
U
A B
U
A
K
L M
A) M – (K  L)
B) M  (K – L)
C) M  (L – K)
D) M – (K  L)
A
B
A) A  B
B) A  B
C) (A  B) – (A  B)
D) (A  B) – (A  B)
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2
EJEMPLO 3

60
Mg. Teodoro Yupa M.
conjuntos) para luego completar con los
conjuntos particulares.
Tenemos el diagrama:
Prefieren Matemática y Lenguaje: 5
Se encuestaron a 180 amas de casa
sobre sus preferencias por los canales
de televisión A, B, C obteniendo los
siguientes resultados
110 ven el canal A
120 ven el canal B
130 ven el canal C
66 ven los canales A y C
78 ven los canales A y B
90 ven los canales B y C
52 ven los tres canales
Responde a las siguientes preguntas:
• ¿Cuántas amas de casa no ven
ninguno de estos canales?
• ¿Cuántas amas de casa ven
solamente el canal A?
solamente el canas B?
solamente el canas C?
solamente uno de estos canales?
• ¿Cuántas amas de casa ven el
canal A pero no el canal B?
SOLUCIÓN
Disponemos los datos en el diagrama:
• ¿Cuántas amas de casa no ven
ninguno de estos canales? 2.
solamente el canal A? 18.
solamente el canas B? 4.
solamente el canas C? 26.
solamente uno de estos canales?
48.
canal A pero no el canal B? 32.
canal B pero no el canal C? 30.
solamente dos canales? 78.
• ¿Cuántas amas de casa ven por lo
menos dos canales? 130.
canal A o el canal B pero no el
canal C? 48.
Se entrevistó a un grupo de x personas
acerca de la preferencia por las marcas
de lapiceros A, B o C, obteniéndose los
siguientes resultados.
2 no prefieren ni A ni B ni C.
2 prefieren A, B y C
7 solo prefieren C
5 solo prefieren B
16 prefieren B o C pero no A
EJEMPLO 4
EJEMPLO 5

61
Mg. Teodoro Yupa M.
10 prefieren A y C
10 prefieren A pero no B
3 prefieren A y B pero no C
¿Cuánto vale x?
SOLUCIÓN
Cuando trabajamos con conjuntos
disjuntos, utilizamos diagramas de
Carroll, que son cuadros de doble
entrada usados para organizar datos en
la solución de problemas en los que se
establecen relaciones dobles.
En un grupo de 120 damas, 48 son
rubias, 44 son morenas y el resto son
pelirrojas, 62 tienen ojos azules, las
otras ojos cafés. Existen 15 rubias de
ojos azules, 16 pelirrojas de ojos azules.
¿Cuántas morenas de ojos cafés hay en
el grupo?
SOLUCIÓN
Como conjuntos tenemos a las rubias,
morenas y pelirrojas; como
características tenemos a ojos azules y
ojos cafés.
Ubicamos los datos sobre el tablero y
obtenemos
Luego las morenas de ojos café son
13.
Se pregunta a los niños y niñas de sexto
grado sobre la bebida que prefieren,
entre agua, gaseosa y jugo. De los 68
estudiantes encuestados, 26 prefieren
agua y de ellos, 9 son niños. Si 14 niños
prefieren Jugo y a 6 de las 37 niñas le
gusta la gaseosa. ¿cuántas niñas
prefieren agua y cuántas jugo?
SOLUCIÓN
Disponemos los datos:
Hay 17 niñas que prefieren agua y 14
que prefieren jugo.
AZUL CAFÉ
RUBIAS
MORENAS
PELIRROJAS
TOTAL
TOTAL
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2
DIAGRAMAS DE CARROLL

62
Mg. Teodoro Yupa M.
SITUACIONES PREVIAS
NES PREVIAS
1) Dos conjuntos son disjuntos
cuando:
_____________________________
2) Un conjunto A está incluido en otro
B cuando:
____________________________
3) La parte sombreada corresponde a
la operación de:_______________
4) ¿Qué operación representa el
siguiente diagrama?
5) ¿Qué operación representa el
siguiente diagrama?
6) Del siguiente esquema:
Escriba la zona que corresponde a
los enunciados siguientes:
a) Solamente P:_____________
b) P y Q:___________________
c) Solamente Q y R:__________
d) P, Q y R:_________________
e) Q pero no R:______________
f) P y Q pero no R:___________
7) Complete los casilleros el diagrama
de Lewis y responda:
a) ¿Cuántos niños no juegan?
______________________
b) ¿Cuántas niñas no juegan?
______________________
c) ¿Cuántos juegan?
______________________
d) ¿Cuántas niñas hay en el grupo?
______________________
e) ¿Cuántos no juegan?
______________________
DIAGRAMAS DE VENN:
1. De 50 estudiantes encuestados:
20 practican sólo fútbol
12 practican fútbol y natación
10 no practican ninguno de estos
deportes
¿Cuántos practican natación y
cuántos sólo natación?
A) 20 y 12
B) 32 y 28
C) 20 y 8
D) 32 y 20
2. De un grupo de estudiantes que
llevan por lo menos uno de los tres
cursos que se indican se sabe que:
70 estudian inglés
P Q
P
Q
P M
P Q
R
A C
E
F
B
D
JUEGAN NO JUEGAN TOTAL
TOTAL
NIÑOS
NIÑAS
30
80
20
10

63
Mg. Teodoro Yupa M.
40 estudian química
40 estudian matemática
15 estudian matemática y química
20 estudian matemática e inglés
25 estudian inglés y química
5 estudian los tres cursos.
¿Cuántos son los alumnos en total?
A) 142
B) 120
C) 95
D) 85
3. En una reunión de profesores de
ciencias; 47 eran de matemática; 40
eran sólo de Física; 4 no enseñaban
ninguno de estos cursos. ¿Cuántos
profesores integraban la reunión?
A) 47
B) 40
C) 91
D) 50
4. De 75 alumnos de un aula, los 3/5
usan reloj. 1/3 de los alumnos sólo
usa anteojos; los 2/5 usa anteojos y
reloj. ¿Cuántos no usan anteojos ni
reloj?
A) 7
B) 5
C) 1
D) 4
5. Entre 97 personas que consumen
hamburguesas se observaron las
siguientes preferencias en cuanto al
consumo de mayonesa y Ketchup;
57 consumen mayonesa; 45
consumen Ketchup; 10 no consumen
ninguna de estas salsas. ¿Cuántos
consumen mayonesa pero no
Ketchup?
A) 42
B) 46
C) 38
D) 50
DIAGRAMA DE CARROLL
6. En un concurso hay 84 alumnos de
los cuales 12 son mujeres que
estudian en colegio particular y 16
varones que estudian en estatal, si
hay tantas mujeres como varones.
Entonces ¿cuántos están estudiando
en colegios estatales?
(NOMBRAMIENTO 2017)
A) 42
B) 46
C) 38
D) 50
7. De un grupo de 80 niños y niñas, los
que cantan son tantos como los que
no lo hacen. Si las niñas que cantan
son 20 y los niños que no cantan son
34, ¿cuántos niños y cuántas niñas
conforman el grupo?
A) 38y 42
B) 56 y24
C) 54 y 26
D) 40 y 40
8. Para los votantes de una cierta
comunidad de 300 personas se
tiene que:
- 110 son mayores de 20 años
- 120 son mujeres y 50 mujeres son
mayores de 20 años
Determine el número de votantes
hombres menores que 20 años.
Niños Niñas TOTAL
TOTAL
Cantan
No Cantan

64
Mg. Teodoro Yupa M.
A) 130
B) 120
C) 160
D) 90
9. Una empresa convoca a 90 jóvenes
de 15, 16 y 17 años. De ellos. 5O son
varones. 30 tienen 15 años y 25
tienen 16 años. Si 18 son varones de
16 años y 16 son mujeres de 17
años, ¿cuántos son varones de 15
años?
A) 19
B) 13
C) 18
D) 17
10. De 320 personas, adultos,
jóvenes y niños, sobre una encuesta
de los productos A, B Y C. se tiene
que 110 prefieren B y 95, C; de todos
los niños, 64 prefieren A y 28, B. De
los 130 Jóvenes, 58 prefieren B; y de
todos los adultos, 17 prefieren A y 46,
C. ¿Cuántos niños prefieren C.?
A) 15
B) 11
C)16
D) 17
11. En un aula de 75 alumnos de una
Institución Educativa, el 32% son
mujeres. Al 64% del salón la
biblioteca les presta su libro de
aritmética y 8 mujeres tuvieron que
comprar el libro. ¿Cuántos hombres
prestaron el libro de aritmética, si
todos los alumnos tienen libros?
a) 25
b) 28
c) 32
d) 38
El razonamiento inductivo
El razonamiento inductivo se
caracteriza por llegar a una conclusión
general (mediante una conjetura), a
partir de observaciones repetidas de
casos específicos o particulares.
Por ejemplo:
Premisas:
• He observado el cuervo número 1
y era de color negro.
• El cuervo número 2 también era
negro.
• El cuervo número 3 también era
negro.
Conclusión: Luego, todos los cuervos
son negros.
Razonamiento deductivo
El razonamiento deductivo se
caracteriza por la aplicación de
principios o leyes generales a casos
particulares.
Por ejemplo:
Todos los jueces son honestos, Carlos
es juez. Por lo tanto, se infiere que
Carlos es honesto.
LÓGICA DE PREDICADOS
La lógica de predicados descompone la
proposición en sus dos componentes
básicas (sujeto y predicado) y cuantifica
al sujeto, introduciendo símbolos para el
sujeto, para el predicado y para los
cuantificadores "todos" y "alguno",
además de un símbolo de relación entre
sujeto y predicado.
INFERENCIA CON PREMISAS
(SILOGISMOS)

65
Mg. Teodoro Yupa M.
Ejemplo:
Todos los tacneños son peruanos.
Esta proposición llamada proposición
categórica presenta los siguientes
términos principales:
Además del cuantificador literal “todos”
que indica que el conjunto “tacneños”
está incluido totalmente en el conjunto
predicado peruano.
LAS PROPOSICIONES O
PREDICADOS CATEGÓRICOS
Es una proposición que afirma o niega
que todos o algunos de los miembros
de una categoría (el término sujeto)
están incluidos en otra (el término
predicado).
TIPOS DE PROPOSICIONES
CATEGORICAS
(CUANTIFICADORES)
1. Universal afirmativo: “Todos los
mamíferos son vertebrados”
En esta proposición la clase o
conjunto de los mamíferos está
incluida totalmente en la clase o
conjunto de los vertebrados.
2. Universal negativo: “Ningún
insecto es vertebrado”. Esta
proposición expresa la exclusión
total entre la clase insecto y la clase
“vertebrado”.
3. Particular afirmativo: “Algunos
profesores son matemáticos”.
En este caso la clase de los
profesores está incluida parcial-
mente en la clase de los
matemáticos.
4. Particular negativo: “Algunas
líneas no son rectas”.
En esta proposición el conjunto de
las “líneas” está excluido
parcialmente del conjunto de las
“rectas”.
Formas típicas.- En la lógica
tradicional las proposiciones
categóricas se expresan en las
llamadas cuatro formas típicas
siguientes:
• Todo S es P
• Ningún S es P
• Algún S es P
• Algún S no es P
Características:
• Tienen cuantificador: Todo,
ningún, algún.
• Sujeto, que se representa como
(S).
• Verbo copulativo, que puede ser
expresado en distintos tiempos.
• Predicado, que se representa
como (P)
Término sujeto: tacneños
Término predicado:
peruanos

66
Mg. Teodoro Yupa M.
Cuantificador Universal Afirmativo
El conjunto de “hombres” está
incluido en el conjunto de “guapos”
(inclusión)
Cuantificador Universal Negativo
Está representada por una relación de
exclusión a través de dos conjuntos
disjuntos.
Cuantificador Particular Afirmativo
Está representado por una relación de
intersección.
Cuantificador Particular Negativo
La grafica muestra que por lo menos
un elemento de S esta fuera del
conjunto P.
NEGACION DE LAS
PROPOSICIONES CATEGORICAS.
Se debe tomar en cuenta lo siguiente:
En forma práctica se tiene:
Negativo
neral como:
hemio
P
relación de exclusión a través de dos
P
S
Bohemio
Profesor
NEGACIÓN DE LAS PROPOSICIONES CATEGOR
Se debe tomar en cuenta lo siguiente:
 (todos) = algunos...no
 (ningún) = algunos
 (algunos) = ningún
 (algunos...no) = todos
Se representa en forma general como:
Ningún S es P
Ejemplo :
Ningún profesor es bohemio
S P
Esta representada por una relación de exclusión a través de dos
conjuntos disjuntos.
P
S
Bohemio
Profesor
Se representa en forma general como:
Ningún S es P
Ejemplo :
Ningún profesor es bohemio
S P
Esta representada por una relación de exclusión a través de dos
conjuntos disjuntos.
P
S
Bohemio
Profesor
Cuantificador Particular Afirmativa
Se representa en forma general como :
Algunos S son P
Está representado por una relación de Intersección.
Cuantificador Particular negativo
En forma general se representa como :
Algún S no es P
La gráfica muestra que por lo menos un elemento de
fuera del conjunto P.

67
Mg. Teodoro Yupa M.
SILOGISMOS E INFERENCIA
LOGICA (ARGUMENTOS
LÓGICOS)
Todo argumento posee una estructura
que está formada por las premisas y la
conclusión. Sin embargo, tomada
aisladamente ninguna proposición es
en sí misma una premisa o una
conclusión.
Una proposición es una premisa sólo
cuando aparece como un supuesto de
un razonamiento y una proposición es
una conclusión cuando aparece en un
razonamiento en el que se afirma que
se desprende de las proposiciones que
aparecen como premisas.
En los argumentos existe una conexión
lógica o un paso de las premisas a la
conclusión, esa conexión se llama
inferencia y sobre ella se apoya el
argumento.
ELEMENTOS DEL SILOGISMO
• Un término sujeto S.
• Un término predicado P.
• Un término medio M.
• Un antecedente, el cual consta
de dos juicios llamados premisas.
• Un consecuente, el juicio
resultante como conclusión
ESTRUCTURA DEL SILOGISMO
• Premisa mayor, juicio en el que se
encuentra el término mayor o
predicado de la conclusión, P,
comparado con el término medio
M.
• Premisa menor, juicio en el que se
encuentra el término menor o
sujeto de la conclusión, S,
comparado con el término medio
M.
• Consecuente, un juicio de
conclusión al que se llega, el cual
afirma (une) o niega (separa) la
relación entre S y P.
Ejemplo:
Todos los mamíferos son
vertebrados
Todas las ballenas son mamíferos
Luego:
Todas las ballenas son vertebrados
Término mayor: (P) “vertebrados”
Término menor: (S) “ballenas”
Término medio: (M) “mamífero”
REGLAS DEL SILOGISMO
A. REGLAS PARA LOS TÉRMINOS
• Todo silogismo debe tener sólo
tres términos P, S y M,
• El término medio se repite en las
dos premisas.
• El término medio no puede entrar
en la conclusión
• El término medio ha de tomarse
en su extensión universal por lo
menos en una de las premisas
• En la conclusión los términos
mayor y menor no deben tener
más extensión que las premisas
B. REGLAS DE LAS PREMISAS
• De dos premisas afirmativas se
concluye otra afirmativa

68
Mg. Teodoro Yupa M.
• En la conclusión debe estar la
premisa más débil, siendo la
particular más débil que la
afirmativa.
• De dos premisas negativas
universales, nada se concluye.
• De dos premisas particulares,
nada se concluye
REGLAS DE INFERENCIA
MODUS (MODOS)

69
Mg. Teodoro Yupa M.
PROBLEMAS RESUELTOS
La negación del enunciado “Algunos
estudiantes son deshonestos” es.
a) Todos los estudiantes son
deshonestos.
b) Todos los estudiantes son honestos.
c) Algunos estudiantes son honestos.
d) No todos los estudiantes son
deshonestos.
SOLUCIÓN:
-Se identifica el tipo de cuantificador y
el predicado.
-Se niegan ambos elementos.
La negación será:
“todos los estudiantes son honestos”
Encuentre la notación conjuntista de:
No todas las Matemáticas son
aburridas
.H.P.)
B
C
C

→
→
A
B
A
− 
− 
− 
Ejemplo 2:
Estudias si y sólo si te
esfuerzas
te esfuerzas si y sólo si triunfas
Luego; estudia si y sólo si
triunfas
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2
5.Silogismo Hipotético Puro (S.H.P.)
Estructuras:
A B
B C
A C
→
→
→
A B
B C
A C



A B
B C
A C

→
→
A
B
A
− 
− 
− 
Ejemplo 1:
Si llueve, hay cosecha
si hay cosecha, hay
producción
Luego; si llueve, hay
producción
Ejemplo 2:
Estudias si y
esfuerzas
te esfuerzas si y s
Luego; estudia s
triunfas
5.Silogismo Hipotético Puro (S.H.P.)
Estructuras:
A B
B C
A C
→
→
→
A B
B C
A C



A B
B C
A C

→
→
A
B
A
− 
− 
− 
Ejemplo 1:
Si llueve, hay cosecha
si hay cosecha, hay
producción
Luego; si llueve, hay
producción
Ejemplo 2:
Estudias si y sólo si te
esfuerzas
te esfuerzas si y sólo si triunfas
Luego; estudia si y sólo si
triunfas

70
Mg. Teodoro Yupa M.
SOLUCION:
Corresponde al diagrama de la opción A
ya que esta expresa de que hay una
parte de la Matemática que no es
aburrida.
Según el diagrama el argumento válido
que lo representa es:
a. todos los estudiantes son
inteligentes, algunos perezosos
son mujeres. Por tanto, algunos
estudiantes y varones son
perezosos.
b. Algunos varones son perezosos.
Algunos estudiantes son varones,
por tanto todos los estudiantes son
perezosos
c. Ningún perezoso es estudiante.
por tanto todos los varones son
perezosos
d. Todos los varones son perezosos.
por tanto hay estudiantes
perezosos que no son varones.
SOLUCIÓN:
Realizando el análisis, la única opción
que guarda relación con el diagrama
es la D.
En : “Ningún adulto es irracional”, las
posibles conclusiones válidas son :
I. Ningún irracional es adulto.
II. Todo adulto es racional.
III. Algunos adultos son irracionales.
SOLUCIÓN
Analizando :
I) Verdadera
II) Verdadera
III) Falso
Si:
- Todo inteligente es hábil.
- Algunos inteligentes son
petulantes.
Entonces:
a) Algunos inteligentes son petulantes
b) Algunos hábiles son petulantes
c) Todo inteligente es petulante
I.
Adulto Irracional
EJEMPLO 3
EJEMPLO 4
EJEMPLO 5

71
Mg. Teodoro Yupa M.
d) Todo hábil es petulante
SOLUCIÓN
Primer método:
Representamos en los diagramas de
Venn:
Analizando, sólo la opción b cumple.
Segundo método:
Identificamos los elementos:
Término mayor: hábil
Término menor: petulante
Término medio: inteligente
Como el término medio no debe
aparecer en las alternativas, la
conclusión será la opción “b”.
Dadas las premisas:
Todos los cerdos vuelan
Ningún cerdo tiene cola
¿Cuáles de las siguientes conclusiones
son verdaderas?
I. No todos los cerdos tienen cola.
II. Ningún animal que vuela tiene
cola.
III. Existen animales sin cola que
vuelan.
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) II y III
SOLUCIÓN
I. (Falsa) la conclusión debe ser
una relación entre los que vuelan
y los que tienen cola.
II. (Falsa), no necesariamente.
III. (Verdadera) esos animales sin
cola, pueden ser los cerdos (ley
del contenido existencial)
Rpta : C
De las premisas:
“Toda acción moral es obligatoria” y
“Algunas acciones morales son justas”
Inferimos:
1) Algunas cosas justas son
obligatorias
2) Algo es justo y no es obligatorio
3) Todo es justo pero no es
obligatorio
4) Ninguna cosa obligatoria es justa
5) Al menos alguna cosa es justa por
obligatoria
Son correctas:
A) 1, 2 y 3 B) 2, 3 y 4
Inteligente
Hábil
Petulante
vuelan
cerdos
cola
EJEMPLO 6
EJEMPLO 7

72
Mg. Teodoro Yupa M.
C) 1 y 5 D) Todas
SOLUCIÓN
Existen 2 posibilidades:
Analizando 1 y 5 son correctas
La expresión: “No hay anfibios”;
equivale a:
1) Todos son anfibios
2) Quienquiera que sea no es
anfibio
3) Ninguno no es anfibio
4) Ni siquiera uno es anfibio
5) Es falso que algunos no sean no
anfibios
Son ciertas:
A) 1, 2 y 4
B) 3, 4 y 5
C) 2, 4 y 5
D) 1, 3 y 5
SOLUCIÓN
La premisa lo dice todo: En ninguna de
las formas podrían existir los anfibios.
Luego se descartan 1 y 3.
Para el caso de 5, buscamos un
enunciado equivalente:
Todos no son anfibios
La opción correcta es la C.
SITUACIONES PREVIAS
I. DEL SIGUIENTE DIAGRAMA
ELIJA LA OPCION QUE
REPRESENTA LOS
ENUNCIADOS.
1) Religiosos, musulmanes, católicos.
A) A B) B C) C D) D
2) Deportistas, beisbolistas,
administradores.
A) A B) B C) C D) E
3) Bachilleres, trabajadores,
desempleados.
A. B.
C. D.
E. F.
G.
EJEMPLO 8
Acción moral
Obligatorio
Justa
Acc. moral
Obligatorio
Justa

73
Mg. Teodoro Yupa M.
A) A B) B C) E D) F
4) Números naturales, números
enteros y números reales.
A) A B) B C) D D) E
5) Jugadores de baloncesto, jugadores
de voleibol, jugadores de futbol.
A) A B) B C) G D) E
6) Autos, alimentos y personas.
A) G B) B C) D D) E
7) Números pares, números reales,
conectivos lógicos.
A) A B) B C) D D) E
8) Estudiantes que viven en Breña,
estudiantes que viven en Miraflores,
estudiantes que viajan en metro.
A) E B) F C) A D) G
9) Todos los científicos están locos.
Algunos locos están en el
manicomio. Lo anterior puede ser
representado por:
A) A. B) B C) C D) E
II. DE LOS DIAGRAMAS
SIGUIENTES ESCOGE UNO
SOLO, TAL QUE REPRESENTE A
LA PREMISA DADA.
1) Algunos estudiantes son
revolucionarios.
2) No es cierto que, todos los indígenas
son de Perú.
3) No es cierto que, todos los
administradores son gerentes.
4) La proposición “algunos profesores
de la universidad son médicos que
se dedican a la investigación”. ¿Cuál
E R
(A)
E
R
(B)
R
E
(C)
R
E
(D)
E R
(A)
E
R
(B)
R
E
(C)
R
E
(D)
I P
(A)
I
P
(B)
P
I
(C)
I P
(A)
I
P
(B)
P
I
(C)
I
P
(D)
A G
(A)
G
A
(B)
A
G
(C)
A G
(A)
G
A
(B)
A
G
(C)
G
A
(D)

74
Mg. Teodoro Yupa M.
de las siguientes figuras representa
esta situación?
III. COMPLETA:
1) El perro es mamífero y
cuadrúpedo
El gato es mamífero y
cuadrúpedo
Por lo tanto los mamíferos
son_______________________
2) Manuel es humano y tiene ojos
Miguel es humano y tiene ojos
Rosa es humana y tiene ojos
Por lo tanto los
humanos___________________
3) El cisne 1 es blanco
El cisne 2 es blanco
Conclusión: Todos los cisnes
__________________________
4) Angela es mayor que Vilma,
Vilma es mayor que Ana.
Conclusión: Angela
es________________________
5) Del siguiente esquema:
todo romano es italiano
todo italiano es europeo
conclusión: todo romano es
europeo
La premisa mayor
es:_____________________
La premisa menor
es:_____________________
El término medio
es:_____________________
6) Del siguiente esquema
Todo metal conduce la
electricidad,
el oro es un metal,
por lo tanto conduce a la
electricidad
La premisa mayor
es:_____________________
La premisa menor
es:_____________________
El término medio
es:_____________________
7) Todo reptil es peligroso
Todo cocodrilo es un reptil
La conclusión es: Todo cocodrilo
_______________________
8) Todas las aves tienen pluma
Toda paloma es ave
La conclusión es: Todas las
___________ tienen plumas
9) Toda la gente buena al morir va
al cielo.
Matías era buena gente y murió
luego:
PU
M
I
(A) (B) (C) (D)
PU M
I
PU M
I
PU
M I
B) (C) (D)
M
I
PU M
I
PU
M I

75
Mg. Teodoro Yupa M.
__________________________
10) La negación de: “ hoy no
estudié”
es:________________________
1. El enunciado “nada es imposible para
el hombre” es equivalente a:
A) todo es imposible para el hombre.
B) algo es imposible para el hombre.
C) todo es posible para el hombre.
D) algo es posible para el hombre
2. La negación de la proposición “todo
número primo es impar” es:
A) Ningún número es primo es
impar.
B) Ningún número primo es par.
C) Existen números primos que son
impares.
D) Existe un número primo que es
par.
3. La negación del enunciado "Algunos
científicos están locos" es equivalente
a decir:
A) Todos los científicos no están
locos.
B) Todos los científicos están locos.
C) Algunos científicos no están
locos.
D) No todos los científicos están
locos
4. La expresión "no es cierto que hay
fantasmas" es equivalente a:
A) Algunos son fantasmas
B) Todos son fantasmas
C) No existen fantasmas.
D) Existen fantasmas.
5. Sean S, P, y M categorías
Ningún M es P
Todo S es M
La única falsa es
A) algún M es S
B) todo P no es S
C) es falso que ningún M es S.
D) algún S es P
6. Todo lo que se aparta de las leyes es
un delito. Todas las cosas que ocurren
por azar se apartan de las leyes.
Deducción:
A) algunas cosas que ocurren por
azar son delitos
B) ninguna cosa que ocurra por azar
es delito
C) ninguna cosa que ocurra por azar
se aparta de la ley
D) todas las cosas que ocurren por
azar son delitos
7. Todos los universitarios son
inteligentes. Ningún león es
inteligente.
Por tanto:
A) todos los leones son
universitarios
B) ningún león es universitario
C) no es cierto que algunos leones
no son universitarios
D) algunos leones son universitarios
8. Todos los remedios son formulados
por el médico. Algunos alimentos no
son formulados por el médico.
Deducción:
A) ningún remedio es alimento
B) algunos alimentos no son
remedios

76
Mg. Teodoro Yupa M.
C) todos los alimentos son
formulados por el medico
D) ningún alimento es remedio
9. Todas las cosas buenas son producto
del alma. Toda la tecnología es una
cosa buena. Deducción:
A) todo lo que es producto del alma
es tecnología
B) ninguna tecnología es producto
del alma
C) todo lo que es producto del alma
es bueno
D) toda la tecnología es producto del
alma
10.¿Cuál es la negación lógica de la
proposición: “Todas estas preguntas
son difíciles”? (NOMBRAMIENTO
2017)
A) Todas estas preguntas son
fáciles.
B) Ninguna de estas preguntas es
difícil.
C) Algunas de estas preguntas no
son fáciles.
D) Algunas de estas preguntas no
son difíciles
11.¿Qué alternativa muestra una
proposición equivalente a: “Ningún
diplomático es descortés“?
(NOMBRAMIENTO 2017)
A) Algún diplomático es cortés.
B) Algún diplomático no es descortés.
C) Ningún cortés es diplomático.
D) Todo diplomático es cortés.
12.Si todos los aviadores son
intrépidos, y ningún intrépido es
fatalista, se deduce que:
(NOMBRAMIENTO 2017)
A) Algún fatalista es aviador.
B) Ningún fatalista es aviador.
C) Algún fatalista no es aviador.
D) Algún aviador no es fatalista.
13.Si todos los limeños son peruanos.
Todo peruano es sudamericano
Entonces se concluye que:
(NOMBRAMIENTO 2017)
A) algún limeño no es sudamericano
B) todos los limeños son
sudamericanos
C) al menos un limeño es
sudamericano
D) no todos los limeños son
sudamericanos
14.Todos los médicos son deportistas.
Los coleccionistas de estampillas son
personas tímidas. Beatriz es médica.
Ninguna persona tímida es deportista.
Deducción:
A) algunas personas tímidas son
deportistas
B) todos los coleccionistas de
estampillas son deportistas
C) Beatriz no colecciona estampillas
D) Algunos médicos coleccionan
estampillas
15.los pastores son perros. Los perros
son mamíferos. Ningún mamífero
pone huevos. Por tanto
A) Todos los pastores no ponen
huevos
B) algunos pastores son mamíferos
C) los pastores son ovíparos
D) algunos mamíferos no ponen
huevos
16. De las siguientes premisas:

77
Mg. Teodoro Yupa M.
“Todas las ciudades o bien son
urbanas o bien son rurales” y
“Lima no es urbana”
Se infiere deductivamente en la
siguiente conclusión:
A) Lima no es rural
B) Lima es una ciudad
C) Lima no es urbana
D) Lima es rural
17. De las premisas:
“Ningún estudiante es malo”
“Todo negligente es malo”
Deducimos:
1) Ningún negligente es estudioso
2) Todo negligente no es estudioso
3) Los negligentes no estudian
4) Cada persona negligente no es
estudiosa
5) Ningún estudioso es negligente
Son correctas:
A) 1, 2 y 3
B) 2, 3 y 4
C) 3, 4 y 5
D) Todas
Perímetro
Es la longitud del contorno de una
figura.
Área
Es la superficie que esta dentro del
perímetro.
Perímetro
Área
ÁREAS Y PERÍMETROS DE
FIGURAS CONOCIDAS:
AREA DEL RECTÁNGULO
El área de un rectángulo se halla
multiplicando la longitud de su base por
la longitud de su altura.
AREA DEL CUADRADO
El área de un cuadrado se halla
elevando al cuadrado la longitud del lado
o multiplicando dos lados.
PERÍMETROS Y ÁREAS

78
Mg. Teodoro Yupa M.
AREA DEL PARALELOGRAMO O
ROMBOIDE
El área del romboide se halla
la longitud de su altura.
AREA DEL ROMBO
El área de un rombo se halla
multiplicando la longitud de la diagonal
mayor por la longitud de la diagonal
menor y después se divide el resultado
entre dos.
AREA DEL TRIANGULO
El área de un triángulo se halla
la longitud de la altura y después el
resultado se divide entre dos.
AREA DEL TRAPECIO
El área del trapecio se halla sumando la
base mayor y la base menor después se
divide entre dos y luego se multiplica por
la altura.
AREAS DE POLIGONOS
REGULARES
El área de un polígono regular se halla
multiplicando su perímetro por su

79
Mg. Teodoro Yupa M.
apotema y después se divide este
resultado entre dos.
LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA
Y AREA DEL CÍRCULO
La longitud de la circunferencia se halla
multiplicando el doble del radio por 3,14
a este número se le conoce con el
nombre de π (pi).
El área del círculo se halla multiplicando
π por el cuadrado del radio.
MÉTODOS DE SOLUCIÓN
MÉTODO DIRECTO
Consiste en la aplicación directa de
la formula. Básicamente funciona
para aquellas figuras no
compuestas, sino más bien para las
figuras geométricas básicas o
comunes.
MÉTODO ADITIVO O DE
PARTICIONES
Consiste en sumar las áreas de las
regiones parciales en las que está
formado una figura poligonal
irregular o compuesta. También es
posible aplicar este método cuando
realizamos particiones a un polígono
compuesto.
MÉTODO DE LA DIFERENCIA
Consiste en determinar el área de
una región especifica restando las
áreas de regiones conocidas. Este
método se aplica cuando no es
posible determinar directamente en
área por el primer método.
MÉTODO DE TRASLACIÓN
Consiste determinar el área de la
figura formada por regiones
parciales que se han movido desde
otra posición a una posición
equivalente. Normalmente la figura
formada debe ser conocida.
PROBLEMAS RESUELTOS
(Método directo)
Determine el área de la región
sombreada de la siguiente figura.
EJEMPLO 1

80
Mg. Teodoro Yupa M.
SOLUCIÓN:
Así como aparece la base es 16m;
pero la altura no es 5, sino 4 como se
aprecia en la figura:
𝐴 =
𝑏. ℎ
2
𝐴 =
16.4
2
= 32
(Método Aditivo)
Determine el área de la región
blanca en el gráfico adjunto.
SOLUCIÓN:
Determinamos las áreas parciales:
Área blanca = 12 +12 + 6 = 30
(Método de la
Diferencia)
Mi abuela contrata un jardinero para
rellenar con césped el jardín mostrado,
¿Cuántos metros cuadrados de césped
necesitará?
SOLUCIÓN:
Determinamos las áreas parciales:
A sombreada = A rectángulo – A blanca
A sombreada = 6x2 – (1x1)/2 - (1x1)/2
A sombreada = 12 – 0,5 – 0,5
A sombreada = 11.
16 m
16 m
5 m
5 m
8 m
4
6m
1m
1m
6 m
1m
1m
1m
1m
1m
4 m
EJEMPLO 2
EJEMPLO 3

81
Mg. Teodoro Yupa M.
(Método de Traslación)
Si ABCD es un cuadrado de 6m de
lado, entonces el área de la región
sombreada mide
SOLUCIÓN:
Realizando traslaciones obtenemos el
área de un triángulo:
A= (6x6)/2 = 18.
La figura muestra un terreno cuyas
medidas están dadas en metros. Si se
desea cercarlo con muros, ¿Cuántos
metros se tendrán que cercar?
SOLUCIÓN:
Si proyectamos todos los lados
parciales sobre el rectángulo mayor,
tenemos:
El
perímetro será: 6+6+8+8= 28.
Una fuente circular está rodeada de un
zócalo de mármol. El diámetro de la
fuente es de 10 metros y el zócalo tiene
un metro de ancho. ¿Cuál es la
superficie recubierta por el mármol?
SOLUCIÓN:
Aplicamos diferencia de áreas:
EJEMPLO 4
EJEMPLO 5
EJEMPLO 6
8
6

82
Mg. Teodoro Yupa M.
SITUACIONES PREVIAS
NES PREVIAS
1) Halla el área:
2) Halla el perímetro y área:
5) Halla el perímetro de un rectángulo
de lados 7cm y 3 cm.
____________________________
________________________
6) Calcula el perímetro de un
pentágono regular de 3 cm de lado.
_____________________________
7) Calcular el área de un rectángulo
cuya altura mide 2 cm y su base
mide 3 veces su altura.
__________________________
__________________________
__________________________
8) Calcula el área de un rombo cuya
diagonal mayor mide 10 cm y cuya
diagonal menor es la mitad de la
mayor.
__________________________
__________________________
__________________________
9) Encuentre el perímetro de la
siguiente figura:
20 cm
10 cm
3cm

83
Mg. Teodoro Yupa M.
10) Calcula el perímetro y el área de la
siguiente figura considerando que
cada cuadrado tiene 1 cm de lado:
1. El perímetro de una parcela
rectangular es de 50 m y el área 150
m2
. Calcula las dimensiones de la
parcela.
A)12m y 13m
B)14m y 11m
C)10m y 15m
D)25m y 6m
2. Determine el área de la región
sombreada.
a) 80 b) 88 c) 96 d) 72
3. Una mascota está atada a un poste
con una cuerda que le permite
pasear hasta 5 metros de distancia.
¿Qué figura representa mejor el área
total donde puede andar?
4. Cuál es el perímetro de la región
sombreada?
15 cm
12 cm

84
Mg. Teodoro Yupa M.
a) 54 cm
b) 27 cm
c) 108 cm
d) 81 cm
5. Según el grafico calcule el área
de la región sombreada.
(NOMBRAMIENTO 2017)
A) 4 cm2
B) 3 cm2
C) 6 cm2
D) 5 cm2
6. Cuántos ladrillos faltan para
completar la pared?
(NOMBRAMIENTO 2015)
A) 27
B) 23
C) 21
D) 25
7. En la figura mostrada, calcular el
área sombreada:
(NOMBRAMIENTO 2015)
a) 176
b) 144
c) 160
d) 164
8. Se tiene la parte frontal de una casa
como se indica en la gráfica. Calcular
el precio que debemos pagar por el
tarrajeo de esta área, si por metro
cuadrado se paga S/. 6.
a) S/. 108
b) S/. 84
c) S/. 94
d) S/. 104
9. En la figura mostrada, cada
“cuadradito” tiene un área de 4cm2
.
¿Cuál es el área de la región
sombreada?
5 m 1m
2m
1m
1m
2 m
10
12
8

85
Mg. Teodoro Yupa M.
a) 23 b) 18 c) 16 d) 20
10.Se tiene un marco cuadrado de
madera de 64 cm de perímetro.
Para calcular el área de una
fotografía que pueda colocarse en
él debemos:
A) Dividir 64 entre 4 y al resultado
multiplicarlo por 2.
B) Dividir 64 entre 4 y al resultado
multiplicarlo por sí mismo.
C) Obtener la raíz cuadrada de 64
y al resultado multiplicarlo por 4.
D) Obtener la raíz cuadrada de 64
y al resultado multiplicarlo por sí
mismo.
11.El profesor Yupa está remodelando
la fachada de su casa y le falta
únicamente pintar la puerta de
ingreso. Para ello tiene que
comprar unas latas de pintura que
cubren solo 2m2
por cada lata.
¿Cuántas latas de pintura tendrá
que comprar para poder pintar
completamente la puerta?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
12.En la figura mostrada está hecha
en base a cuadrados de 2 metros
de lado. ¿Cuál es su perímetro?
a) 30
b) 32
c) 34
d) 38
13.Un corral cuadrado de 15 m por
lado tiene cuatro postes en las
esquinas. Un caballo se ata
durante el día a uno de los postes
con 8 m de cuerda, durante otro
día, a otro de los postes y así a los
otros dos.
¿Cuál de las siguientes figuras
representa mejor la superficie en
que el caballo se puede pasear
durante 4 días?
10 m
5 m 3 m
3m
Tacna Educa

86
Mg. Teodoro Yupa M.
14.Se ha atado una cabra, con una
cuerda de 15 m de longitud, en una
de las esquinas de un prado
rectangular de 20 X 30 m. Calcular
la superficie del prado en el que
puede pastar la cabra.
A) 134 m2
B) 176 m2
C) 158 m2
D) 185 m2
15.Hallar el perímetro de la siguiente
figura:
a) 64
b) 22
c) 44
d) 56
16.Calcula el perímetro de la región
sombreada de la siguiente figura.
a) 66 b) 65 c) 33 d) 64
17.Si el área del cuadrado C es 64
cm2
, hallar la suma de los
perímetros de los cuadrados A y B.
a) 66 b) 65 c) 32 d) 64
18.Un albañil cobra por tarrajear S/.10
por metro cuadrado. Indique
cuánto cobrará por tarrajear una
pared de la forma como muestra la
figura.
A) S/. 140
B) S/. 480
C) S/. 600
D) S/. 720
A
B
C

87
Mg. Teodoro Yupa M.
Este tipo de problemas se reconoce
básicamente por tres palabras que
intervienen en su formulación: “extraer”,
“mínimo” y “seguro”; pudiendo ser estas
palabras o sus equivalentes:
seleccionar, escoger, sacar, la
seguridad, la certeza, etc.
ESTRATEGIA:
Se trata de obtener, entre varias
posibilidades, la solución más óptima,
es decir que con un mínimo
extracciones, podamos determinar con
certeza la solución al problema.
PROBLEMAS RESUELTOS
En una urna depositamos 8 esferas
blancas, 7 rojas y 9 azules. ¿Cuántas
esferas habrá que extraer al azar y
como mínimo para tener la certeza de
haber extraído…
• Un par del mismo color:
• Por lo menos uno de cada
color:
• Tres azules:
• Un color por completo:
• Una azul y tres rojas:
SOLUCION:
8 BLANCAS
7 ROJAS
9 AZULES
Asumiendo siempre el peor de los
casos:
• Un par del mismo
color: Suponiendo que en la
primera extracción obtenemos una
esfera blanca, en la siguiente
extracción también obtengamos
otra blanca; esto sería “pura suerte”
ya que también podría salir una roja
o una azul. Luego asumiendo que
en la primera extracción obtenemos
una esfera blanca, en la segunda y
tercera extracciones tendremos de
obtener una roja y una azul
respectivamente. Hasta aquí
tendríamos ya 3 esferas. Entonces
la menor cantidad de esferas a
extraer para obtener con seguridad
un par del mismo color será:1B +
1R + 1A + 1 cualquiera = 4.
• Por lo menos uno de cada color:
Aclaración: “Por lo menos uno de
cada color” quiere decir que
podríamos incluso obtener más de
una esfera del mismo color.
Suponga que quisiéramos obtener
una esfera de color rojo, observe
que tendríamos que “liar”
primeramente con las esferas que
dificultan tal objetivo, esto es las
esferas blancas y azules. Luego
para obtener con seguridad una
esfera roja tendremos que extraer
todas las esferas blancas y todas
las azules.
Por lo tanto, el número de
extracciones será: 8B + 9A + 1R =
18.
NOTA ACLARATORIA: En la
resolución de este ítem y en los
ejercicios similares a este, primero
EJEMPLO 1
CERTEZAS – MÁXIMOS Y
MINIMOS

88
Mg. Teodoro Yupa M.
siempre se debe extraer todas las
esferas de mayor cantidad (blancas
y azules) porque son las que más
dificultan la extracción de la esfera
objetivo(roja) y luego debemos
sacar la mínima cantidad de esferas
del color que buscamos (una roja).
• Tres azules: Para obtener con
seguridad 3 esferas azules, lo
primero que debemos hacer es
extraer todas las demás esferas;
una vez hecho esto se extrae la
cantidad de esferas que nos pide el
problema; es decir el número
mínimo de extracciones será: 8B +
7R + 3A = 18.
• Un color por completo:
Aclaración: “un color por completo”
quiere decir que debemos extraer
todas las esferas que forman uno
de los colores.
Suponiendo que quisiéramos
extraer todas las esferas de color
rojo (color completo); teóricamente
tendríamos que sacar las esferas
de los demás colores. Pero si esto
sucede, en este proceso ya
habríamos conseguido un color
completo (sean blancas o azules).
Como queremos un color por
completo, lo que debemos hacer es
extraer, independientemente del
color, una unidad menos en cada
color, es decir: 7B + 6R + 8 A + 1
cualquiera = 22.
• Una azul y tres rojas:
Iniciamos extrayendo todas las
esferas de mayor cantidad, esto es,
las de color azul; Luego de esto
extraemos las tres esferas que
faltan (3 rojas). Es decir: 9A + 3R =
12.
En una caja se tienen tres bolitas
negras y cuatro bolitas blancas.
¿Cuántas se debe sacar como mínimo
para tener con certeza una bolita blanca
entre las extraídas?
SOLUCIÓN:
Si en la primera extracción obtenemos
la bolita blanca, estaría resuelto nuestro
problema; pero esto no siempre ocurrirá
pues se trata de pura suerte.
Como se desea tener la seguridad, lo
adecuado es supones el PEOR DE LOS
CASOS , es decir que al extraer salgan
las que nos son blancas y luego de ello
indudablemente saldrá la bolita blanca.
Entonces para obtener con certeza se
debe extraer:
Se debe extraer mínimamente 4 bolitas
para obtener una blanca.
En una caja hay 10 bolas amarillas, 12
negras y 15 verdes. ¿Cuál es el mínimo
número de bolas que se debe extraer al
azar de manera que se obtengan 10 del
mismo color?
SOLUCION:
EJEMPLO 2
EJEMPLO 3
3 negras +1
Será
necesariamente
blanca

89
Mg. Teodoro Yupa M.
SITUACIONES PREVIAS
NES PREVIAS
10 del
mismo color
15
12
10 A
N
V
Analizando le PEOR DE LOS CASOS:
Por consiguiente, se debe extraer 28
bolas.
Dentro de una urna depositamos 6
esferas blancas, 8 negras, 12 rojas y
15 amarillas. ¿Cuántas esferas se
deben extraer al azar y como mínimo
para tener la certeza de haber
obtenido ...
1) Un par de uno de los colores:
a) 2
b) 4
c) 6
d) 5
2) Cinco esferas rojas?
a) 16
b) 30
c) 32
d) 34
3) Dos negras y tres amarillas?
a) 29
b) 30
c) 32
d) 35
4) Dos blancas y cuatro rojas?
a) 33
b) 35
c) 37
d) 39
5) Por lo menos una de cada color?
a) 32
b) 34
c) 36
d) 38
1. De 5 fichas rojas, 4 azules y 9
blancas, ¿Cuál es el mínimo número
de fichas que se deben extraer para
tener la certeza de haber obtenido
un grupo completo del mismo color?
(NOMBRAMIENTO 2017)
A) 15
B) 16
C) 14
D) 9
2. En una urna se tienen 7 bolas
negras, 8 azules y 5 blancas. ¿Cuál
es la mínima cantidad de bolas que
debo sacar para tener la certeza de
haber extraído una bola blanca?
a) 1
b) 15
c) 16
d) 12
3. En una urna se tienen 6 bolas
negras, 10 azules y 9 rojas. ¿Cuál es
la mínima cantidad de bolas que
A N V
negro

90
Mg. Teodoro Yupa M.
debo sacar para tener la certeza de
haber extraído una bola azul?
a) 1
b) 15
c) 16
d) 12
4. En un estuche hay 10 borradores, 16
tajadores y 20 lapiceros. ¿Cuántos
útiles se deben extraer como mínimo
para tener la seguridad de haber
extraído 2 borradores y 3 tajadores?
a) 36
b) 34
c) 38
d) 30
5. Dentro de una caja oscura se tiene 3
fichas rojas, 4 fichas azules y 5
fichas blancas. ¿Cuántas fichas
como mínimo se tendrán que extraer
para estar seguro de haber extraído
al menos una ficha blanca y una
ficha roja?
a) 10
b) 5
c) 8
d) 12
6. En un cajón se tiene guantes de box:
3 pares de guantes rojos, 4 pares de
guantes negros y 2 pares de
guantes blancos. Rocky desea tener
un par de guantes usables del
mismo color. ¿Cuántos guantes
debe extraer al azar y como mínimo
para tener con certeza lo que
quiere?
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
7. En una caja se tiene 4 pares de
guantes rojos 3 pares de guantes
negros y 5 pares de guantes
blancos. José desea tener un par de
guantes usables del mismo color.
¿Cuántos guantes debe extraer al
azar y como mínimo para tener con
certeza lo que quiere?
a) 10
b) 12
c) 13
d) 14
8. En una caja tenemos 5 pares de
medias negras y 5 pares de medias
blancas. Si extraemos de una en
una sin mirar ¿Cuántas como
mínimo debemos sacar para tener la
seguridad de obtener un par del
mismo color?
a) 2
b) 3
c) 5
d) 11
9. Se dispone de 5 candados y sus 5
llaves. ¿Cuántas veces tendrá que
probarse como mínimo las llaves,
para determinar con certeza qué
llave corresponde a qué candado?
a) 16
b) 10
c) 15
d) 13
10. Se tienen 4 candados y 2 llaves;
si sé que cada llave abre solo un
candado, ¿Cuántos intentos como
mínimo se debe realizar, para
determinar con seguridad la llave
correspondiente?
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7

91
Mg. Teodoro Yupa M.
I. CONTEO DE CUBOS
Si se trata de contar cubos, se
recomienda contarlos por bloques o
torres verticales y anotar la cantidad en
la parte superior de estos; finalmente
sumando estas cantidades tendremos
el número total.
Encuentre el número total de cubos
simples que forman el siguiente sólido.
SOLUCION:
El número total de cubos será:
1+1+2+2+2+3+3+4+5+5+6 =34.
Encuentre el número total de cubitos
que no se ven.
SOLUCIÓN:
En las caras superiores de cada torre
anotamos, respectivamente, la cantidad
de cubitos que no se ven.
Asi:
El número de cubos simples que no se
ven será: 5+4+4+3+3+3=22.
¿Cuál es la menor cantidad de cubitos
que se debe añadir a la estructura
mostrada para obtener un cubo mayor?
1
1
2
2
3
4
5
6
5
3
2
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2
EJEMPLO 3
3
3
4
3
4
5
CONTEO DE CUBOS,
CARAS Y VISTAS

92
Mg. Teodoro Yupa M.
SOLUCION:
1º. Para armar un cubo mayor sobre la
base de la estructura mostrada,
primeramente, debemos precisar el
valor de la arista del nuevo cubo.
Esto lo conseguimos mirando la
figura; se observa que el nuevo cubo
tendrá por arista a 4 cubos.
2º. Calculamos el número de cubos que
tendrá nuestro cubo mayor:
Cubos a utilizar = 4x4x4 = 64.
3º. Contamos la cantidad de cubos que
hay en la estructura dada con la
técnica conocida:
Cubos en la estructura = 2x8=16.
4º. Por lo tanto, el número de cubos que
faltan será de 64 – 16 = 48.
II. CONTEO DE CARAS Y VISTAS
Para el conteo de caras de un sólido
debemos tener presente el siguiente
diagrama:
• Para las vistas de un objeto
debemos tomar en cuenta lo
siguiente:
Hallar el número total de superficies que
tiene el sólido de la figura:
4 cubitos de fondo. Lo
que determina el valor
de la arista del cubo a
formar.
EJEMPLO 1

93
Mg. Teodoro Yupa M.
SOLUCIÓN:
Enumeramos las caras visibles y
caras ocultas:
N° de caras visibles = 7(1,2,3,4,5,6,7)
N° de caras ocultas = 3(8,9,10).
Total = 7 + 3 = 10.
¿A cuál figura tridimensional
corresponden las siguientes vistas,
frontal, laterales y superior,
respectivamente?
A) B)
C) D)
SOLUCION:
• Se descartan las opciones C y D
ya que la parte frontal no
corresponde.
• Elegimos la opción A ya que el
agujero de la opción B no
corresponde.
¿Cómo se observaría la siguiente figura
desde la derecha?
SOLUCIÓN:
• Nos solicitan la vista lateral
derecha. En la base de dicha vista
se observarán 2 cuadrados
horizontales y de altura tendrá 3
cuadrados en disposición vertical.
La horizontal y la vertical formaran
una “L”
• Luego la única opción que cumple
es la C.
1
2
3
4 5
6
7
8
9
10
EJEMPLO 2
EJEMPLO 3

94
Mg. Teodoro Yupa M.
SITUACIONES PREVIAS
NES PREVIAS
1. Dado la siguiente estructura
formada por cubos simples.
Determine:
a) El número de cubos que se
pueden contar a simple
vista:_________________
b) El número de cubos simples
“escondidos”:___________
c) El número total de cubos
simples:_______________
2. Considere el siguiente sólido:
Determine:
a) El número de caras a simple
vista:____________
b) El número de caras
ocultas:__________
c) El número total de
caras:___________
1. ¿Cuántos cubitos forman la siguiente
figura? (NOMBRAMIENTO 2017)
A) 17
B) 18
C) 12
D) 16
2. El número total de cubos y los cubos
escondidos es:
a) 12 y 5
b) 11 y 4
c) 12 y 4
d) 13 y 4
3. Si cada cubito tiene 1 cm. de arista.
¿Cuántos cubitos más se
necesitarían si se quiere formar un
cubo compacto de 4 cm. de arista?
a) 45
b) 24
c) 54
d) 60

95
Mg. Teodoro Yupa M.
4. En la figura se tiene una sucesión de
cubos iguales. ¿Cuántas áreas del
cubo 6, están en contacto con los
demás y cuántos cubos escondidos
hay?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 5
5. ¿Cuántos cubos se ven a simple
vista?
a) 33 b) 34 c) 35 d) 37
6. Hallar el número de superficies en el
siguiente sólido:
a) 15
b) 14
c) 18
d) 19
7. ¿Cuántas superficies tiene el sólido?
a) 10
b) 8
c) 14
d) 16
8. Cuántas superficies tiene:
a) 14
b) 12
c) 16
d) 8
9. Hallar el número de cubitos
a) 81
b) 99
1
2
3
4
5
10
18
17
16
15
19
20
21
22

96
Mg. Teodoro Yupa M.
c) 78
d) 77
10.En la figura se tiene una sucesión de
cubos. ¿Cuántas áreas del cubo 4
están en contacto con los demás
cubos?
a) 3 b) 4 c) 2 d) 5
11.Identifique la vista superior que
corresponde a la figura mostrada.
12.Identifique el gráfico que
corresponde a la vista lateral
derecha de la figura bidimensional.
A B C
A B C D

97
Mg. Teodoro Yupa M.
El objetivo del tema es conocer las
relaciones de parentesco entre los
miembros de una familia.
VÍNCULOS CONSANGUÍNIOS
Padres, hijos, hermanos, abuelos,
bisabuelos, nietos, bisnietos, tíos,
sobrinos, primos…
VÍNCULOS LEGALES (AFINIDAD)
Esposos, sueros, yernos, nueras,
cuñados, concuñados, consuegros…
ARBOL FAMILIAR:
* Tatarabuelo
* Abuelo
* Padre
* Hijo
* Nieto
* Bisnieto
* Tataranieto
Además:
Ejemplo de relaciones familiares:
• José y Aurelia son consuegros.
• Zenaida es suegra de Christian.
• Lisbeth y Jéssica son
concuñadas.
• Aurelia es abuela de Maly.
• Alejandra es sobrina de Lisbeth.
• Maly y Gaby son primos.
• Christian es cuñado de Jéssica.
• Zenaida no tiene ninguna
relación de parentesco con
Jéssica.
• Lisbeth es la nuera de Aurelia.
• Álex es el tío de Maly.
TIPOS DE PROBLEMAS
A.PROBLEMAS SOBRE
RELACIONES FAMILIARES
En este tipo de ejercicios, es
necesario reconocer las relaciones
de parentesco que hay entre los
miembros de una familia.
Observación
En los problemas donde se quiere
encontrar la relación de parentesco
entre dos personas, se puede tener
en cuenta lo siguiente:
Zenaida
José Aurelia
Lizbeth Christian
hermanos
Alex Jéssica
Maly Alejandra
hermanas
Gaby
Esposo Esposa
Hijo
Yerno = Nuera
=
Suegro Suegra Suegro Suegra
PARENTESCOS

98
Mg. Teodoro Yupa M.
Lea atentamente e identifique una
relación directa o una persona de
referencia.
… su única hermana.
… la madre de Pedro.
Continúe la lectura, en forma
regresiva, hasta establecer la
relación familiar que tiene con la
persona de referencia.
¡Tenga en cuenta que…!
Otro de los criterios para resolución
de este tipo de problemas es
establecer mediante un gráfico el
árbol genealógico familiar de una
persona de referencia e ir
determinando las relaciones de
parentesco, comenzando por la parte
final del enunciado hasta determinar
la primera persona (relación de
parentesco) ubicada en el enunciado.
B.PROBLEMAS SOBRE CANTIDAD
MÍNIMA DE INTEGRANTES DE
UNA FAMILIA
En este tipo de ejercicios, se debe
tener en cuenta que cada integrante
de la familia puede asumir la mayor
cantidad de roles familiares. Por
ejemplo, una persona al ser abuela ya
es madre.
Observación
En este tipo de problemas, se sugiere
iniciar reconociendo la máxima
cantidad de generaciones que
integran la familia.
• padre – hijo: 2 generaciones
• abuelo – padre – nieto: 3
generaciones
• bisabuelo – abuelo – padre –
bisnieto: 4 generaciones
Y así sucesivamente.
Luego, para que la cantidad de
personas sea la menor posible,
debemos buscar que cada integrante
asuma la mayor cantidad de roles
familiares (por ejemplo: padre, tío,
hijo, hermano, cuñado, esposo, etc.)
¡Tenga en cuenta que…!
En los problemas sobre cantidad
mínima de personas, se sugiere
iniciar reconociendo la cantidad de
generaciones que integran la familia
(2; 3 o más), luego ubicar la cantidad
de integrantes que pertenecen a la
generación de mayor jerarquía
(primera generación) y a la menor
jerarquía (última generación),
completando el resto de las
relaciones de parentesco.
Para estos casos de cantidad mínima
de personas, debe tener en cuenta el
siguiente ejemplo.
Beto es padre, abuelo y suegro.
• Juan es hijo, padre, hermano y
esposo.
• Lilian es madre, nuera, cuñada y
esposa.

99
Mg. Teodoro Yupa M.
PROBLEMAS RESUELTOS
¿Quién es el único bisnieto del abuelo
del padre de José?
SOLUCION:
Método 1: Método del cangrejo.
Interpretando frases de atrás hacia
adelante:
Respuesta: José.
Método 2: Método gráfico.
Bajo un esquema o grafico adecuado
también se pueden establecer las
relaciones familiares:
Respuesta: José.
¿Qué viene a ser de mí la madre del
hijo de la esposa de mi padre?
SOLUCION:
Método 1: Método del cangrejo.
Respuesta: Es mi madre.
Método 2: Método gráfico.
Respuesta: Es mi madre.
¿Qué parentesco tiene conmigo Elena,
si se sabe que su madre fue la única
hija de mi madre?
SOLUCION:
En el texto encontramos a los
siguientes integrantes.
- Elena; Madre de Elena; Mi madre y
Yo
Respuesta: Es mi sobrina.
n es el único bisnieto del Bisabuelo de José
José
mi mamá
La madre del hijo de la esposa de mi padre.
Yo o mi hermano
La madre del hijo de mi mamá
Mi madre
La madre de yo o mi hermano
Papá Mamá
Yo
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2
EJEMPLO 3

100
Mg. Teodoro Yupa M.
SITUACIONES PREVIAS
NES PREVIAS
En una mesa están sentados 2 padres,
2 hijos y un nieto. ¿Cuántas personas
como mínimo están reunidas?
SOLUCION:
Del enunciado se desprende que
existen tres generaciones. Es decir que
habrá por lo menos un hijo, un padre y
un abuelo.
Para que exista el mínimo número de
personas, 1 persona deberá cumplir 1,
2 o más roles dentro de una familia, así
entonces un hijo puede ser padre a la
vez.
Respuesta: 3 personas.
Una familia está compuesta por un
padre, una madre, un hijo, un suegro,
una suegra, una nuera, dos esposos y
dos esposas. ¿Cuántas personas,
como mínimo, conforman dicha familia?
SOLUCIÓN:
De los datos se deduce que solo hay
dos generaciones en esta familia.
Respuesta el mínimo número de
personas es: 4.
En una familia se notan 2 esposos, 2
hermanos, 3 sobrinas y 3 hermanas.
¿Al menos, cuántas personas
conforman esta familia?
SOLUCION:
"Por lo menos", "Al menos" sirven para
expresar la mínima cantidad.
Respuesta: el menor número de
personas es 6.
I. Responda:
1) ¿Qué es de mí el hermano de mi
padre? ____________________
2) ¿Qué es de mí la madre de mi
madre? ____________________
3) ¿Qué es de mí la esposa de mi
hermano? __________________
4) ¿Qué es de mí el hijo de mi
hermano? __________________
5) ¿Qué es de mí la hermana de mi
tía que no es mi
tía?_____________
II. De acuerdo al esquema
responda.
EJEMPLO 4
EJEMPLO 5
EJEMPLO 6

101
Mg. Teodoro Yupa M.
1) ¿Qué es pablo respecto de Luis y
Ana?_______________________
2) ¿Qué relación existe entre Clara y
Elena?______________________
3) ¿Qué es miguel de Luis?
___________________________
4) ¿Qué es Eva de Ana?
___________________________
5) ¿Qué es Elena de Juan?
___________________________
6) ¿Qué es Isabel respecto de Eva?
___________________________
7) ¿Qué es Carlos de Pablo?
___________________________
1. Carlos es hijo de Juan, Felipe es
hermano de Juan y los dos son hijos
de Pedro. ¿Cuál es el parentesco de
Pedro y Raúl si Raúl es hijo de
Carlos? (NOMBRAMIENTO 2017).
A) Tio abuelo
B) Bisabuelo
C) Abuelo
D) Padre
2. En la familia del Chino Chang hay 7
hijas y cada hija tiene un hermano.
¿Cuántas personas conforman la
familia del chino Chang?:
A) 18
B) 15
C) 10
D) 9
3. ¿Qué parentesco tiene conmigo la
hija de la esposa del único vástago
de mi madre?
A) Hermana
B) Prima
C) Sobrina
D) Hija
4. Si la mamá de Juana es la hermana
de mi hermano gemelo. ¿Qué es
respecto a mí, el abuelo del mellizo
de Juana?
a) Hijo
b) Abuelo
c) Padre
d) Yerno
5. La mamá de Luisa es hermana de mi
Padre. ¿Qué representa para mí el
abuelo materno del mellizo de Luisa?
a) Mi hermano
b) b)Mi sobrino
c) c) Mi tío
d) Mi abuelo
6. Juan es el padre de Carlos, Oscar es
hijo de Pedro y a la vez hermano de
Juan. ¿Quién es el padre del tío del
padre del hijo de Carlos?
a) Carlos
b) Oscar
c) Pedro
d) Juan
7. ¿Qué parentesco tiene conmigo una
mujer que es la hija de la esposa del
único vástago de mi madre?
a) nieta

102
Mg. Teodoro Yupa M.
b) hija
c) hermana
d) sobrina
¿Qué es plantear una ecuación?
El plantear una ecuación es una de las
habilidades más importantes para la
resolución de problemas, para ello
tenemos que traducir un problema
dado en lenguaje convencional, al
lenguaje matemático con ayuda de
símbolos o variables.
Resolver una ecuación no es adivinar
un resultado, es seguir un proceso
lógico y matemático basado
fundamentalmente en las propiedades
de las operaciones básicas, cuyo
objetivo principal va a ser hallar el
valor de la incógnita (variables).
Tomar en cuenta lo siguiente:
1º. Comprender el problema
2º. identificar a la incógnita y los
datos del problema.
3º. Traducir el enunciado, de la
forma verbal a la forma
simbólica.
4º. Resuelve la ecuación y
compruébala si fuese necesario
Algunas expresiones traducidas al
lenguaje simbólico:
PROBLEMAS RESUELTOS
Lourdes y Rosa fueron a Polvos azules
y compraron un número de blusas a
S/.15 cada una y 2 jeans a S/.25 cada
una, gastando en total S/.110.
¿Cuántas blusas compraron?
LENGUAJE
LITERAL
(ENUNCIADO)
LENGUAJE
MATEMÁTICO
(ECUACIÓN)
Traducción
EJEMPLO 1
PLANTEO DE
ECUACIONES

103
Mg. Teodoro Yupa M.
SOLUCION:
• El número de blusas se representa
con la variable: 𝒙
• El costo de las blusas se representa
con: 𝟏𝟓𝒙
• El costo total de las blusas y jeans
lo representamos con: 𝟏𝟓𝒙 + 𝟓𝟎
• Como el gasto total fue S/.110,
formamos la ecuación:
𝟏𝟓𝒙 + 𝟓𝟎 = 𝟏𝟏𝟎
De donde:
𝟏𝟓𝒙 = 𝟔𝟎
Se compraron: 𝒙 = 𝟒
El doble de un número es disminuido en
70 y resulta 48. ¿Cuál es el número?
SOLUCION:
• Sea el número :N
• El doble del numero :2N
• El doble del numero disminuido en
70: 2N-70
Por dato del problema:
El número es 59.
Universitario, Alianza Lima y Cristal, en
cierto momento de un campeonato
ocupaban la primera, segunda y tercera
posición respectivamente, si la
diferencia de puntajes era de una
unidad en cada caso y la suma de sus
puntajes era 78. ¿Cuál es el puntaje de
Cristal?
SOLUCION:
• El puntaje de Cristal: x
• El puntaje de Alianza Lima: x + 1
• El puntaje de Universitario:
(x+1) + 1 = x + 2
• La suma de los puntajes es 78:
x + (x +1) + (x + 2) = 78
3x + 3 = 78
3x = 75
x = 25
El puntaje de Cristal es 25.
Aurora recibió tres dólares, tuvo
entonces cuatro veces de lo que
hubiera tenido si hubiera perdido lo
recibido ¿Cuánto tenia al comienzo?
SOLUCIÓN:
• Tenía : x
• Aurora recibió 3 dólares: x+3
• Lo que hubiera tenido si hubiera
perdido lo recibido : x -3
Planteando la ecuación:
Al principio tenía 5 dólares.
Don Carlos entrega los domingos S/.90
soles de propina a sus 3 hijos Lucho,
EJEMPLO 2
EJEMPLO 3
EJEMPLO 4
EJEMPLO 5

104
Mg. Teodoro Yupa M.
Pepe y Mario. Si al Segundo le da 10
más que el primero y al tercero el doble
del primero. ¿Cuánto recibió el
segundo?
SOLUCION:
• Propina de Lucho: x
• Propina de Pepe: x + 10
• Propina de Mario: 2x
• Total de Propina: S/. 90
x + (x+10) + 2x = 90
4x + 10 = 90
4x = 80
x = 20
Tenía ahorrado cierta cantidad de
dinero que utilicé en un viaje. El primer
día gasté los 4/5 de los que tenía, el
segundo día gasté 2/3 del resto y el
tercer día gasté los últimos S/ 80 que
me quedaba. ¿Cuánto tenia ahorrado?
SOLUCION:
Dinero ahorrado: x
Como el gasto total es en tres días,
entonces:
4𝑥
5
+
2𝑥
15
+ 80 = 𝑥
12𝑥 + 2𝑥 + 1200 = 15𝑥
Tenía ahorrado: 𝑥 = 𝑆/.1 200
En un grupo de conejos y gallinas, el
número de patas excede en 28 al doble,
del número de cabezas. Los conejos
son:
SOLUCION:
• Número de conejos :x
• Número de gallinas :y
• # de patas 2(# de cabezas) 28
− =
4x 2y) 2(x y) 28
+ − + =
4x 2y 2x 2y 28
− − − =
2x 28
=
x = 14
Respuesta: el número de conejos es
14.
PROBLEMAS CON EDADES
En este capítulo evaluaremos
problemas donde los protagonistas son
las edades de uno o más sujetos.
Hay que tomar en cuenta que los
problemas con edades es básicamente
una aplicación del planteo de
ecuaciones.
De acuerdo al número de sujetos
podemos distinguir dos tipos de
problemas:
I. CUANDO INTERVIENE LA EDAD
DE UN SOLO SUJETO.
Si la edad actual de un sujeto es x años,
entonces dentro de “n” años y hace “m”
años, su edad se expresará así:
Gasté Queda
Primer día
4
5
𝑥
1
5
𝑥
Segundo
día
2
3
(
1
5
𝑥)
=
2𝑥
15
80
Tercer día 80 0
EJEMPLO 6
EJEMPLO 7

105
Mg. Teodoro Yupa M.
II.CUANDO INTERVIENEN LAS
EDADES DE DOS O MAS SUJETOS.
Para resolver estos tipos de problemas
es recomendable utilizar un cuadro de
doble entrada con el propósito de
ordenar y relacionar convenientemente
los datos.
OBSERVACIÓN:
Asumiendo que las edades de tres
personas en el pasado, presente y
futuro, sean:
Del cuadro se observa que:
1º.La diferencia de las edades de dos
personas es constante en cualquier
tiempo.
el pasado el presente el
futuro
....13 -11....= ...17-15........= .....24-
22....
2º.La suma en aspa (de valores
ubicados simétricamente) nos da un
mismo resultado
13+15 = 17+11
13+22 = 11+24
IMPORTANTE:
Como observas el tema de edades está
relacionado netamente con el planteo
de ecuaciones, pero debido a la gran
variedad de problemas y métodos
prácticos de resolución, lo hacemos en
un acápite aparte. Es evidente que lo
más importante en el tema es el tiempo
(pasado, presente y futuro) y desde
luego hay que saber interpretar las
siguientes
expresiones:
PROBLEMAS RESUELTOS
A Pedro se le pregunta por su edad,
responde: “Si restas a la edad que
tendré dentro de 10 años, la edad que
tuve hace 10 años, obtendrás mi edad”
¿Cuántos años tiene Pedro?
SOLUCION:
En un cuadro trasladamos los datos:
I. CUANDO INTERVIENE LA EDAD DE UN SOLO SUJETO.
Si la edad actual de un sujeto es x años, entonces dentro de “n” años y hace “m” años,
su edad se expresara así:
m n
Hace “m” años ahora Dentro de “n” años
(Pasado) (Presente) (Futuro)
X
x - m x + n
Hace 4 años Dentro de 7 años
Pasado Presente futuro
yo 13 17 24
tu 11 15 22
el 6 10 17
EJEMPLO 1
CONDICIONES

106
Mg. Teodoro Yupa M.
Según enunciado: (x +10) - (x -10) = x
x + 10 - x + 10 = x
x = 20.
Respuesta: pedro tiene 20 años.
Si a la edad que tendré dentro de 10
años le suman la edad que tenía hace 5
años obtienes lo que me falta para tener
65 años. ¿Cuántos años tengo?
SOLUCIÓN:
Usamos el esquema siguiente:
Planteando:
(x+10) + (x-5) = 65 – x
2x + 5 = 65 – x
x = 20
Respuesta: Tengo 20 años.
Un padre tiene 30 años y su hija 3.
¿Dentro de cuántos años la edad de
padre será el cuádruplo de la edad de
su hija?
SOLUCIÓN:
Colocamos los datos en la tabla:
Según el enunciado, planteamos la
ecuación:
(30 + n) = 4(3 + n)
30 + n = 12 + 4n
n = 6
Respuesta: Dentro de 6 años.
La edad de Aurora es el triple de la
edad de Elías, pero hace 20 años era
el cuádruplo, la suma de sus edades
es:
SOLUCIÓN:
( )
3x 10 4 x 10
3x 10 4x 40
− = −
− = −
x = 30 años
Luego:
Elías=30 años
x-10 x+10
Hace 10
años
Dentro 10
años
Edad
Actual
-10 +10
PASADO(Hace10
años)
PRESENTE
Aurora 3x-20 3x
Elías x-20 x
EJEMPLO 2
EJEMPLO 3
EJEMPLO 4
Hace 5 años Edad actual Dentro de
10 años

107
Mg. Teodoro Yupa M.
SITUACIONES PREVIAS
NES PREVIAS
Aurora=3(30)=90 años
30 90
 + = 120
Respuesta: La suma es 120 años.
Nuestras edades suman 47 años; sin
embargo, cuando tenías 15 años yo
tenía la edad que tendrás dentro de 2
años. ¿Qué edad tienes?
SOLUCIÓN:
Suma en aspa:
(x + 2) + x = (47 – x) + 15
3x = 60
x = 20
Respuesta: 20 años.
John tiene 24 años esta edad es el
doble de la que tenía Pedro cuando
John tenía la misma edad que tiene
Pedro ¿Qué edad tiene Pedro?
SOLUCION:
Tenia Ahora
John x 24
Pedro 12 x
x x 12 24
2x 36
+ = +
=
x = 18
Respuesta: Pedro tiene 18 años
Lucy tiene 24 años, su edad es el
séxtuplo que tenía Mary cuando Lucy
tenía la tercera parte de la edad que
tiene Mary. ¿Qué edad tiene Mary?
SOLUCION:
Sea “x” la edad de Mary.
Pasado Presente
Lucy
x
3
24
Mary 4 x
Luego:
x
4 24 x
3
− = −
x
x 28
3
4x 28 3
+ =
= 
x = 21
Respuesta: Mary tiene 21 años.
1) ¿Cuál es el número que sumado a 10
nos da 28?
_____________________________
YO
PRESENTE FUTURO
TU
x + 2 47 - x
15 x x + 2
PASADO
Suman 47
EJEMPLO 5
EJEMPLO 6
EJEMPLO 7

108
Mg. Teodoro Yupa M.
2) La suma de 2 números es 9. Si uno
de ellos es 5. ¿Cuál es el otro?
_____________________________
3) Enrique gastó S/. 2 por 1 kilo de
azúcar. Si le dieron S/. 8 de vuelto.
¿Cuánto dinero tenía antes de la
compra?
_____________________________
4) El doble de un número es 16. ¿Cuál
es el número?
____________________________
5) El triple de un número es 24. ¿De
qué número se trata?
_____________________________
6) 2 veces mi edad es 18. ¿Qué edad
tengo?
_____________________________
7) Si al doble de un número, se le
añade 4 se obtiene 10. ¿Qué número
es?
____________________________
8) Si al triple de un número, se le quita
9 resulta 18. ¿Cuál es el número?
_____________________________
9) Si al doble del dinero que tienes le
aumentamos S/. 4 resulta S/. 24.
¿Cuánto dinero tienes?
____________________________
10) El exceso de A sobre 7 es 2. ¿cuál
es el valor de A?
____________________________
11) Mi edad aumentada en 3 años da 47
años. ¿Cuál es mi edad?
____________________________
12) Hace 4 años tenía 30 años, ¿Qué
edad tendré dentro de 4 años?
____________________________
1. Un niño tenía S/ 85 soles, si gastó
el cuádruplo de lo que no gastó.
¿Cuánto gasto?
a) 34 soles
b) 92
c) 96
d) 68
2. De los 20 soles que tenía, gaste la
tercera parte de lo que no gaste.
¿Cuánto gaste?
a) s/4
b) s/6
c) s/5
d) s/10
3. Una madre tiene 40 años y su hijo
10. ¿Cuántos años deben
transcurrir para que la edad de la
madre sea el triple del hijo?
a) 5
b) 10
c) 20
d) 12
4. Un niño tiene 8 años y su papá 42.
¿Cuántos años deben transcurrir
para que la edad del padre sea el
triple del hijo?
a) 9
b) 10
c) 20
d) 12
5. Juan le dice a Fidel “préstame 30
soles para tener ambos la misma
cantidad”. Fidel le responde:
“Mejor págame los 10 soles que

109
Mg. Teodoro Yupa M.
me debes y así tendré 9 veces lo
que te queda” Juan tiene:
a) 40 soles
b) 30 soles
c) 20 soles
d) 5 soles
6. En un examen, un alumno ganó 4
puntos, por respuesta correcta, pero
pierde un punto por cada
equivocación. Si después de haber
contestado 60 preguntas obtuvo
140 puntos, ¿cuántas preguntas
contestó correctamente?
A) 40
B) 41
C) 42
D) 43
7. Se tiene 60 monedas, unas de 5
soles y otras de 2 soles, con las
cuales se paga una deuda de 204
soles. ¿Cuántas monedas de cinco
soles hay?
A) 20
B) 28
C) 32
D) 24
8. Gordis reparte chocolates entre
sus amigos, si reparte 8 a cada
uno, le sobran 15. Si reparte 11 a
cada uno, le faltan 3. ¿Cuántos
chocolates tenia?
A)62
B)54
C)48
D)63
9. Se tiene un cartón rectangular de
54 cm2
de área. En cada vértice se
corta un cuadrado de 2 cm de
lado, para luego formar una caja
de 44 cm3
de volumen. Hallar el
perímetro del cartón original.
A) 24
B) 18
C) 30
D) 20
10. En un colegio hay en total 999
alumnos, los cuales están
distribuidos en salones que tienen
capacidad para 37 y 21 alumnos
solamente. Si todos los alumnos
han sido ubicados en los salones.
¿Cuántos salones en total tiene el
colegio?
A) 40
B) 43
C) 55
D) 29
11. David tiene 40 años, su edad es el
doble de la edad que tenía Julio
cuando David tenía la tercera
parte de la edad que tiene Julio.
¿Qué edad tiene Julio?
A) 55 años
B) 45 años
C) 40 años
D) 44 años
12. Si Armando saca del banco 330
soles y el cajero automático solo
le dio 12 billetes algunos de 50
soles y otros de 20 soles.
¿Cuántos billetes eran de 20
soles?
A) 3
B) 4
C) 7
D) 9

110
Mg. Teodoro Yupa M.
I. Magnitudes directamente
proporcionales
Ejemplo:
(A)# de
huevos
8 16 24 32 ...
(B) Costo S/. 2 4 6 8 ...
Observe que si duplicamos el # de
huevos, el costo también se
duplicará. Ocurrirá lo mismo si
triplicamos, cuadriplicamos, etc.
Se cumple:
4
..........
8
32
6
24
4
16
2
8
=
=
=
=
(constante)
Se concluye que: “si dos magnitudes
(A y B) son directamente
proporcionales, el cociente de sus
valores correspondientes es una
constante, llamada constante de
proporcionalidad”.
cte
:
k
;
k
B
A
B
a
D.P.
es
A
Si =

También son magnitudes
directamente proporcionales:
a) El número y su precio cuando se
paga a razón del número.
Así:
• Si: 1 cuaderno cuesta S/.6; 3
cuadernos costarán: 3 x S/.6 )
S/.18.
(Esto quiere decir que a más
cuadernos más dinero).
• Si: 8 caramelos cuestan S/.2; 4
caramelos costarán S/.1.
(Esto quiere decir que a menos
caramelos menos dinero).
b)El tiempo y las unidades de trabajo
realizado.
Así:
• Si: una cuadrilla de obreros hacen
en 3 días 10 metros de una obra,
en 6 días harán 20 metros de dicha
obra.
(Esto quiere decir que más días
harán más metros de obra).
c)El tiempo de trabajo y el salario
percibido.
Así:
• Si: un obrero por 5 días de trabajo
percibe S/.80, por 3 días percibirá
S/.48.
(Esto quiere decir que a menos
días recibirá menos salario).
Dos magnitudes son directamente
proporcionales, si al aumentar o
disminuir una de ellas, entonces la
otra aumenta o disminuye en las
mismas condiciones.
PROPORCIONALIDAD Y
REGLA DE TRES

111
Mg. Teodoro Yupa M.
II. Magnitudes inversamente
proporcionales:
Ejemplo:
(A)# de
obreros
2 4 6 8 ...
(B) # de
días
24 12 8 6 ...
Observe que, si duplicamos el # de
obreros, el # de días se reduce a la
mitad. Ocurrirá lo mismo si
triplicamos, cuadriplicamos, etc.
Se cumple:
2x24 = 4x12 = 6x8....= 48
(constante)
Se concluye que: “Si dos magnitudes
(A y B) son inversamente
proporcionales, el producto de sus
valores correspondientes es una
constante, llamada constante de
proporcionalidad”.
cte.
:
k
k
B.
A.
B
a
I.P.
es
A
Si =

También son magnitudes
inversamente proporcionales.
a) El número de obreros y el tiempo
necesario para hacer una obra.
Así:
• Si: 7 obreros hacen una obra en 4
días; 14 obreros harían la misma
obra en 2 días.
(Esto quiere decir que el doble
número de obreros necesitará la
mitad del tiempo para hacer la
obra).
b) Los días del trabajo y las horas
diarias que se trabajan.
Así:
• Si: trabajando 10 horas diarias se
necesitan 6 días para hacer una
obra, trabajando 5 horas diarias se
terminará la obra en 12 días (esto
quiere decir que menos horas de
trabajo se necesitaría más días
para hacer la obra).
c) La velocidad de un automóvil y el
tiempo empleado en recorrer una
distancia.
Así:
• Si un automóvil a una velocidad de
50 Km/h necesita 8 horas para
recorrer una distancia, a la
velocidad de 100 Km/h necesitaría
4 horas para recorrer la misma
distancia.
(Esto quiere decir que mayor
velocidad necesitaría menos
tiempo),
IMPORTANTE:
a)Una magnitud puede ser directa o
inversamente proporcional a otras
magnitudes. Así:
Dos magnitudes son
inversamente proporcionales, si al
aumentar o disminuir una de ellas,
entonces la otra disminuye o
aumenta en las mismas
condiciones.

112
Mg. Teodoro Yupa M.
REGLA DE TRES
PREVIAS
•El precio de una pieza de tela es
directamente proporcional a su
calidad, longitud y ancho.
•El área de un rectángulo es
directamente proporcional a su base
y altura.
•La velocidad es directamente
proporcional al espacio recorrido e
inversamente proporcional al
tiempo.
b)Las magnitudes directamente
proporcionales van de más a más, o
de menos a menos (+ a +; - a -).
c) Las magnitudes inversamente
proporcionales va de más a menos o
menos a más (+ a -; - a +).
Es una operación donde se trabaja con
la proporcionalidad directa e inversa.
Regla de tres simple
Es aquella donde se comparan dos
magnitudes. Son de dos clases la
directa y la inversa.
A. Regla de tres simple directa
Es cuando las dos magnitudes que
intervienen son directamente
proporcionales.
¿Cuál es su esquema-solución?
Magnitud 1
a
c x
b
Magnitud 2
De donde se consigue
x c
b a
=
Se cumple:
b c
x
a

=
Ejemplo:
Un ciclista ha tardado 20 minutos en
recorrer una distancia de 40 km. ¿Qué
distancia recorrerá el ciclista en 35
minutos?
Solución:
Tiempo(min)
35 x
40
Velocidad(km/h)
20
Si en 20 min su velocidad era de
40km/h, queda claro que en 35 min
recorrerá más distancia. Luego Se trata
de una regla de tres directa.
Se cumple:
35 40
20
35 40
x
x

=

=
2
1
20
35 2
1
70
x
x

=
=
Rpta. El ciclista recorrerá 70km en
35 min.

113
Mg. Teodoro Yupa M.
B. Regla de tres simple inversa
Es cuando las dos magnitudes que
intervienen son inversamente
proporcionales.
Magnitud 1
a
c x
b
Magnitud 2
Se cumple:
a b
x
c

=
Ejemplo:
Si 4 grifos iguales tardan 24 horas en
llenar un depósito, ¿cuánto tardarían
12 grifos iguales a los anteriores en
llenar el mismo depósito?
Solución:
Nº de grifos
12 x
24
Tiempo (horas)
4
Si 4 grifos tardan 24h en llenar el
depósito, queda claro que 12 grifos lo
llenarán en menos tiempo. Luego se
trata de una regla de tres inversa.
Se cumple:
4 24
12
4 24
x
x

=

=
2
1
12
4 2
1
8
x
x

=
=
Rpta. Los 12 caños llenaran el
deposito en 8 horas.
OBSERVACIÓN:
1. Si la primera magnitud aumenta y la
segunda magnitud también aumenta
es una regla de tres directa.
2. Si la primera magnitud disminuye y la
segunda magnitud también
disminuye es una regla de tres
directa.
3. Si la primera magnitud aumenta y la
segunda magnitud disminuye es una
regla de tres inversa.
4. Si la primera magnitud disminuye y la
segunda magnitud aumenta es una
regla de tres inversa.
Ejemplo:
36 señoras tejen 120 chompas, 108
señoras ¿Cuántas chompas tejerán?
señoras
36
108 x
120
chompas
+ +
A mayor cantidad de señoras (+) se
tejerán mayor cantidad de chompas (+).
Por lo tanto, son magnitudes son
directamente proporcionales (D.P.)
36
120
.
108
x =
360 chompas
x =
Ejemplo :
12 obreros hacen un trabajo en 30
días. ¿En cuántos días harán dicho
trabajo 4 obreros?

114
Mg. Teodoro Yupa M.
obreros
12
4 x
30
días
- +
A menor número de obreros(-); la obra
se hará en más días(+). Por lo tanto son
magnitudes son inversamente
proporcionales (I.P.)
4
30
.
12
=
x
90
x días
=
Regla de tres compuesta
Es aquella operación donde intervienen
más de dos magnitudes que pueden ser
directa o inversamente proporcionales.
Lo explicaremos con un ejemplo:
Seis obreros construyen 50m de pared
en 8 días. ¿Cuántos días tardarán ocho
obreros en construir 150m?
Solución:
Se estudia la proporcionalidad entre la
magnitud cuyo dato se desconoce y las
demás magnitudes.
En el ejemplo:
Obreros
inversa
metros Días
6 50
8 150
8
X
directa
Para resolverla se iguala la fracción de
la magnitud cuyo dato se desconoce al
producto de las demás fracciones,
invirtiendo las que correspondan a
magnitudes inversamente
proporcionales.
Del ejemplo anterior:
Si 6 obreros pintan 4 casas en 2 días.
¿Cuántos días se demorarán tres
obreros en pintar 7 casas?
Solución:
Se estudia la proporcionalidad entre la
magnitud cuyo dato se desconoce y las
demás magnitudes.
En el ejemplo:
Obreros
inversa
Nº de casas Días
6 4
3 7
2
X
directa
Para resolverla se iguala la fracción de
la magnitud cuyo dato se desconoce al
producto de las demás fracciones,
invirtiendo las que correspondan a
magnitudes inversamente
proporcionales.
Del ejemplo anterior:
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2
.
18
4
72
9
4
8
900
400
8
150
50
6
8
8
=
→
=
=
→
=

=
x
x
x
x
x

115
Mg. Teodoro Yupa M.
SITUACIONES PREVIAS
NES PREVIAS
OBSERVACIÓN:
1. La eficiencia, habilidad, o
rendimiento del obrero va junto o
multiplicada a él.
2. La oposición o dificultad de la obra
va junto o multiplicada a ella misma.
1) Si 3 cuadernos cuestan S/. 18,
¿cuánto costará un cuaderno?
_____________________________
2) Un árbol tiene una altura de 12m, en
tanto que un hombre tiene una
estatura de 2m. ¿Cuán alto es el
árbol respecto al hombre?
_____________________________
3) En un colegio, 6 de cada 10
estudiantes son mujeres; si el
número de mujeres fuera de 60,
¿Cuántos hombres habrían?
_____________________________
4) La profesora Ana resuelve 8
problemas por hora, ¿Cuánto tardara
en resolver 24 problemas?
_____________________________
5) Jorge realiza un trabajo a razón de 8
horas por día. Si el trabajo lo debe
terminar en tres días, ¿Cuántas
horas de trabajo le habrá tomado a
Jorge?
_____________________________
6) Identifica si los siguientes
problemas corresponden a Regla de
tres DIRECTA O INVERSA.
a) Para construir una casa en ocho
meses han sido necesarios seis
albañiles. ¿Cuántos habrían sido
necesarios para construir la casa
en tan sólo tres meses.
__________________________
b) Después de una fuerte tormenta,
dos autobombas han tardado 6
horas en desaguar un garaje que
se había anegado. ¿Cuántas
horas se hubiera tardado
utilizando sólo 3
autobombas?_______________
c) Si en 5 cajas empaquetan 115
bolígrafos. ¿Cuántos bolígrafos
podrán empaquetar en 8 cajas?
__________________________
d) Si tardamos 3 horas en estudiar
los 5 primeros temas del examen,
¿cuántas horas más necesitamos
para terminar de estudiar si en
total hay 17 temas?
__________________________
e) Cinco operarios tardan 9 horas
en revisar el motor de todos los
trenes de la estación. ¿Cuánto se
tardaría en realizar el mismo
trabajo si se contratan a dos
operarios más?
__________________________
7
2 3 4
6 7
2 12
2 42
42
x
x
= 
= → 
2
12
=
14 2 7.
x
x x

= → =

116
Mg. Teodoro Yupa M.
1. Si un vendedor compra limones a 2
por 5 soles y los vende a 3 por 8
soles, ¿Cuánto ganará si vende 180
limones? (NOMBRAMIENTO 2017)
A) S/. 5
B) S/. 8
C) S/. 12
D) S/. 9
2. La tabla siguiente muestra los
valores de x e y, donde x es
inversamente proporcional a y. El
valor de P es:
X Y
2 18
6 P
A) 54 B) 36 C) 6 D) 22
3. Un árbol de 3m. de altura da una
sombra de 60 cm. Si se mantiene la
razón altura/sombra, la sombra de
un árbol de 3,2 m.será:
60cm
3m
?
3,2m
A) 20 cm. B) 64 cm.
C) 80 cm. D) 106,6 cm.
4. Sofía tiene una fotografía de 9 cm.
por 12 cm. y quiere ampliarla. ¿Cuál
de las siguientes medidas
corresponde a una ampliación
proporcional de la fotografía?
A) 18 cm. por 6 cm.
B) 12 cm. por 16 cm.
C) 11 cm. por 10 cm.
D) 11 cm. por 14 cm.
5. En el cuadrado de la figura, la razón
entre la superficie sombreada y la
superficie en blanco es:
5 5 3 3 1
) ) ) ) )
3 4 4 5 4
A B C D E
6. Si X e Y son magnitudes
inversamente proporcionales.
Respecto a la siguiente tabla de
valores. La constante de
proporcionalidad es:
A) 2
B) 18
C) 6
D) 9
7. La bicicleta de Elena avanza 100cm
por cada vuelta de las ruedas. La
siguiente gráfica muestra la relación
entre el número de vueltas de las
ruedas y la distancia recorrida:

117
Mg. Teodoro Yupa M.
0 1 2
Núm. de
Personas
3 4
m3
250
500
750
Distancia
(cm)
100
0
600
400
700
500
300
200
1 2 4
3 7 8
6
5
Número de Vueltas
Según la información anterior, si la
bicicleta de Elena avanza 450 cm,
¿cuantas vueltas dio las ruedas?
a) 4 b) 4,5 c) 4,6 d) 5
8. En la gráfica se representa el
consumo de agua por persona en
una familia. ¿Cuántos m3
de agua
consumirá una familia formada por 7
personas?
a) 1500
b) 1750
c) 2000
d) 2200
9. Un edificio de 6 m de altura proyecta
una sombra de 8 m; a la misma hora,
un edificio que se encuentra a su
lado proyecta una sombra de 24 m,
como se muestra en la figura:
¿Cuál es la altura (h), en metros, del
segundo edificio?
A) 16 B) 18 C) 30 D) 32
10.El pino de la figura proyecta una
sombra de 3,5 m. A´B´ es una
estaca que mide 1,6 m y la sombra
de ésta es de 0,7 m.
Con toda esta información podemos
determinar que el pino mide:
A) 8 m
B) 10 m
C) 12 m
D) 14 m
11.Si 15 hombres hacen una obra en 5
días. ¿Cuántos hombres, harían
falta para terminarla en 1 día?
A) 3
B) 75
C) 20
D) 60
6m
8m 24m
h
A
B
B´
A´ C´
C

118
Mg. Teodoro Yupa M.
12.En un colegio de 800 alumnos, uno
de cada 10 alumnos es zurdo; la
razón entre los alumnos zurdos y el
total de alumnos es:
13.La razón entre los números 8
y
2
1
,
es:
14.Para hacer seis tortas se ocupan 84
huevos. Para hacer 14 tortas se
necesitan:
A) 60 huevos
B) 120 huevos
C) 240 huevos
D) 196 huevos
15.Si 25 operarios producen cierta
cantidad de buzos en 120 horas.
¿Cuántos operarios se necesitan
para confeccionar la misma
cantidad de buzos en 24 horas?
A) 220
B) 350
C) 125
D) 75
16.Un vehículo recorre 150 Km. por
hora. ¿Cuántos kilómetros recorrerá
en 20 minutos?
A) 75
B) 86
C) 64
D) 50
17.Para preparar mermelada, un
cocinero usa por cada kilo de
azúcar, 2 de fruta. ¿Cuántos kilos de
fruta debe usar para 8 kilos de
azúcar?
A) 3
B) 6
C) 8
D) 16
18.Tres llaves llenan una piscina en 14
horas, ¿cuánto tardará en llenarse
la piscina con 7 llaves iguales a
esas?
A) 12 horas
B) 6 horas
C) 10 horas
D) 8 horas
19.Una persona acumula, en promedio,
1 kilo de basura diaria. ¿Cuántos
kilos juntará en 10 días?
A) 14 kg
B) 10 kg
C) 24 kg
D) 12 kg
20.Si 12 campesinos recogen una
cosecha en 9 días, trabajando 6
horas diarias. ¿Cuántos
campesinos serán necesarios para
recoger la cosecha en tres días y
trabajando 8 horas diarias?
A) 15
B) 18
4 1 1 8 16
) ) ) ) )
1 16 4 1 1
A B C D E
10 1 1 80 80
) ) ) ) )
800 800 10 1 10
A B C D E
10 1 1 80 80
) ) ) ) )
800 800 10 1 10
A B C D E

119
Mg. Teodoro Yupa M.
C) 22
D) 27
21.18 máquinas construyen una
represa, en 15 días, trabajando 9
horas diarias ¿en cuántos días
construyen la represa 27 máquinas
del mismo tipo, si trabajan durante
10 horas diarias?
A) 4
B) 9
C) 11,1
D) 18
22.Si 25 ampolletas originan un gasto
de $3.000 mensuales, estando
encendidas 6 horas diarias, ¿qué
gasto originarían 20 ampolletas, si
están encendidas 10 horas diarias?
A) $2.250
B) $3.750
C) $4.000
D) $5.500
23.3 árboles se encuentran alineados
como se muestra en la figura, el más
pequeño mide 2m y el mediano 3 m,
si la distancia entre cada par de
árboles es de 3 m, ¿cuánto mide el
árbol más alto?
A) 4m
B) 6m
C) 8m
D) 5m
DISTRIBUCIÓN.-Tiene por finalidad
desarrollar las habilidades numéricas
mediante ejercicios de percepción
numérica operativa.
Distribuciones paramétricas:
Su relación puede darse vertical u
horizontal dependiendo del ejercicio.
Hallar “x”
4 3 9
3 7 6
8 (x) 5
Solución:
(Horizontalmente)
4 3 9 16
3 7 6 16
+ + =
+ + =
8 (x) 5 16 x
+ + = → = 3 Rpta.
Hallar “x”
15 7 9
6 13 14
4 5 (x)
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2
3m
3m
DISTRIBUCIONES
NUMÉRICAS Y GRÁFICAS

120
Mg. Teodoro Yupa M.
3 (17) 2
4 (27) 7
5 (x) 2
240 (100) 40
560 (250) 60
450 (x) 150
2 (10) 6
7 (10) 3
5 (x) 2
Solución:
(Verticalmente)
x= 2. Rpta.
Analogías numéricas
Ejercicios que constan de premisas de
donde extraemos una ley de formación
y la aplicamos en la condición que
contiene a la incógnita, la relación
generalmente se halla horizontalmente.
¿Qué número falta?.
Solución:
De las premisas extraemos que:
5 3 2 17
5 4 7 27
 + =
 + =
5 5 2 27 x
 + = → = 27 Rpta.
¿ Qué número falta?.
Solución:
De las premisas extraemos que:
200
240 40 100
2
− = =
500
560 60 250
2
− = =
300
450 150
2
− =
De donde: x = 150 Rpta.
¿Qué número falta?
Solución:
6
3
2 64 6 4 10
7 343 3 4 3 10
=  + =
=  + + =
2
5 25 2 5 x
=  + =
Distribuciones graficas:
Son figuras geométricas que contienen
números los cuales están relacionados,
mediante una ley de formación.
Hallar “x”
15 7 9
6 13 14 x
4 5 (x)
25 25 25
+ + +
→ =
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2
EJEMPLO 3
EJEMPLO 1

121
Mg. Teodoro Yupa M.
Solución:
Buscando una relación
2 2 2
2 4 3 29 2 9 11
+ + = → + =
2 2 2
5 1 3 35 3 5 8
+ + = → + =
Luego:
2 2 2
2 4 2 24 2 4 x
+ + = → + =
x
 = 6
Hallar el número que
falta:
Solución:
er
1 círculo : 52 4 13
 =
do
2 círculo : 68 4 17
 =
er
3 c írculo : 78 6 x
 =
¿Qué número falta en?
Solución:
ro
1 (5 4) (3 1) 1 4
+ − + − =
do
2 (6 7) (5 4) 1 3
+ − + − =
ro
3 (3 10) (8 1) 1 x
+ − + − =
¿Qué número falta?
Solución:
ro
1 2 4 1 3 8
+ − + =
do
2 2 2 3 8 8
− + + =
ro
3 6 4 3 5 x
− + + =
x
 = 10 Rpta.
¿Qué número
falta?
Solución:
EJEMPLO 2
EJEMPLO 3
EJEMPLO 4
EJEMPLO 5
11
4 3
2
8
5 1
3
x
2 4
2
4
5 4
3 1
3
6 7
5 4
x
3 10
8 1
4 1
−
2 3
8
2
− 3
2 5
8
4
− 3
6 5
x
52
13
4
68
4
17
78
6
x
6
11 18
27
38
x
2
3

122
Mg. Teodoro Yupa M.
SITUACIONES PREVIAS
NES PREVIAS
Este tipo de ejercicios guarda una
relación:
2 , 3 , 6 , 11 , 18 , 27 , 38 , x
+1 +3 +5 +7 +9 +11 +13
x 38 13 x
= +  = 51 Rpta.
1) Se dan las siguientes relaciones
numéricas:
• Si relacionando 2;4 y 8,
obtenemos 7.
• Si relacionando 5; 3 y 6,
obtenemos 7.
• Si relacionando 1; 7 y 2,
obtenemos 5.
Si relacionamos 7; 6 y 3, bajo el
mismo patrón anterior, ¿Qué número
obtenemos?___________________
2) Encuentre como se relacionan los
números de los vértices con el
número central en cada triangulo y
luego encuentre el número que debe
ocupar el casillero vacío en el cuarto
triángulo a partir del patrón
encontrado.
3) 5 se relaciona con 8; 6 se relaciona
con 7 y 3 se relaciona con 10, ¿Qué
valor debe tomar x para que
relacionándose con 11 obedezca el
mismo patrón anterior?
_____________________________
4) ¿Qué número falta?
________________________
1. Calcula el valor de n:
a) 9
b) 18
c) 64
d) 81
2. Hallar el número que falta:
a) 36 b) 17 c) 9 d) 8
2
4
6 2
5
7 3
6
3
6 7 2
4
7
1
6 2
25
10 2
9
9
n
1
5
41 50
32 14
53 71
44 26
1
9
4
1
x
2

123
Mg. Teodoro Yupa M.
3. Calcular el valor de n, en el siguiente
círculo numérico.
a) 24
b) 32
c) 40
d) 49
4. ¿Qué número falta?
a) 12 b) 14 c) 10 d) 18
5. ¿Qué número falta en la siguiente
distribución gráfica?
(NOMBRAMIENTO 2017)
A) 18 B) 16 C) 14 D) 10
6. Hallar el número que falta:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 8
7. ¿Cuál es el número que falta?
a) 10
b) 12
c) 13
d) 16
8. Escribe el número que falta
a) 52
b) 43
c) 34
d) 28
9. Escribe el número que falta
a) 21
b) 24
c) 30
d) 32
10.Hallar el valor de “x”
31 (11) 25
43 (10) 12
27 (x) 14
a) 14 b) 12 c) 10 d) 17
11. Hallar el valor de “x”
144 (10) 44
46 (6) 10
25 (x) 9
a) 1 b) 4 c) 5 d) 2
6
17 16
15
28 41
x
37 29
7
1
5
8
14
3
20
n

124
Mg. Teodoro Yupa M.
25
S/. 10
S/. 5
S/. 130
–
x –
A. MÉTODO DEL CANGREJO
Este método nos permite encontrar las
soluciones de un problema, en forma
directa; para lo cual se realizan las
operaciones inversas en cada caso,
empezando desde el final hacia el
comienzo.
Ejemplo:
Multiplicando un número por 5, producto
al que luego restamos 2 dividiendo
enseguida el resultado entre 4 con lo
cual obtenemos 12 ¿Cuál era el número
inicial?
Solución:
Primero ordenamos todo el enunciado:
Sea “N” el número:
Luego cambiamos con su operación
opuesta a cada operación y enseguida
operamos por la parte final:
Entonces: N = 10
B. MÉTODO DEL ROMBO
El método del rombo es una regla
práctica del método de FALSA
SUPOSICIÓN.
Veamos...
Donde:
N = # de elementos que intervienen.
M = unidad mayor.
m = unidad menor.
R = Total recaudado o acumulado
Ejemplo:
Para pagar una deuda de S/. 130
empleo billetes de S/. 10 y S/.5
¿cuántos billetes de los 25 con que
pago dicha suma son de S/. 5.?
Solución:
Datos:
Cantidad de billetes = 25.
Total recaudado = 130 soles.
Billete de cantidad mayor = 10 soles.
Billete de cantidad menor = 5 soles.
Luego colocamos los datos en la
figura:
Cantidad de Billetes de:
Número
l
x 5 – 2 4
12
Dato
Incógnita
5 + 2 x 4
12
Dato
Incógnit
a
x 5 – 2 4
48
50
10
#De elementos
de
m
NxM R
M m
=
−
−
N
M
m
R
–
x –
MÉTODOS OPERATIVOS

125
Mg. Teodoro Yupa M.
SITUACIONES PREVIAS
NES PREVIAS
S/. 5 = 24
5
10
130
10
x
25
=
−
−
C. MÉTODO DEL RECTÁNGULO
Se aplica cuando participan dos
cantidades mutuamente excluyentes.
Generalmente donde aparecen los
términos GANA-PIERDE, QUEDA-
SOBRA, GANARIA-GANARIA.
Veamos los siguientes casos :
Caso I: Antagónicos (ejemplo)
# de elementos =
b
a
B
A
−
+
, a>b
Caso II: de la misma índole
Ejemplo:
Un comerciante analiza: si compro a
S/.15 el kilo de carne me faltaría S/.400;
pero si sólo compro de S/.8 el kilo me
sobraría S/.160.
¿Cuántos kilogramos necesita comprar
y de que suma dispone?
Solución:
 Cantidad de carne(Kg) =
Du
Dt
=
7
.
/
560
.
/
S
S
= 80
 Dinero disponible =
80Kg x S/.8 + S/.160 = S/. 800
1) Tengo cierta cantidad de dinero; si
al gastar 30 soles me quedan aún
10 soles, ¿Cuánto tenia al
principio?
__________________________
2) Un tanque de agua en cada hora
que pasa desagua la mitad de su
contenido. Después de dos horas
de haber desaguado quedan 10
litros. ¿Cuántos litros había
inicialmente?
__________________________
3) Si a la cantidad de dinero que tengo
le sumo S/.2 y luego lo triplico la
cantidad resultante, tendría S/. 30.
¿Cuánto tenia al principio?
__________________________
S/. 15
S/. 8
S/. 400
S/. 160
(falta)
(sobra)
7 560
# ;
de elementos
A B
a b
a b
=
−
−

a
–
b
A (Gana, pierde)
+
B (Pierde, gana)
a
–
b
A (Gana, pierde)
–
B (Gana, pierde)

126
Mg. Teodoro Yupa M.
1. Un pozo de agua se vacía en 4
horas. Si en cada hora se va la mitad
que había en esa hora más 1 litro.
¿Cuántos litros tenía inicialmente el
pozo?
a)21 b)27 c)30 d)28
2. Si a la cantidad que tienes lo
multiplicas por 3 y luego la divides
por 12 , el cociente lo multiplicas por
9, luego añades 43 y finalmente
obtendrás 160. ¿Cuál era la
cantidad inicial?
a)56 b)54 c)50 d)52
3. En un teatro las entradas de adultos
costaban S/.5 y la de niños 2; si
concurrieron 110 personas y se
recaudaron S/.370. ¿Cuál es la
diferencia entre niños y adultos?
a)60 b)10 c)12 d)15
4. Debo pagar 205 soles con 28
monedas de 5 y 10 soles. ¿Cuántas
monedas de 10 soles debo
emplear?
a) 15 b) 10 c) 13 d) 14
5. El payaso “Frigolito” quiere repartir
cierto número de caramelos a unos
niños. Si les dá 8 caramelos a cada
uno, le sobran 45 y si les dá 11 a
cada uno, le faltan 27. ¿Cuántos
caramelos quiere repartir?
a) 237 b) 327 c) 273 d) 723
6. Si compro 12 lapiceros me faltaría
260 soles y si compro 8 lapiceros me
sobraría 40 soles. ¿Cuánto dinero
tengo?
a) 840 b) 820 c) 640 d) 780
7. En un teatro las entradas de adultos
costaban S/.5 y la de niños 2; si
concurrieron 110 personas y se
recaudaron S/.370. ¿Cuál es la
diferencia entre niños y adultos?
a)60 b)10 c)12 d)15
8. A la cantidad de soles que tengo le
añado 10; al resultado le multiplico
por 3 y le aumento por 9; al número
así obtenido le extraigo la raíz
cuadrada, al resultado se le suma
12, para finalmente dividirlo entre 3
y obtener 7 soles.
¿Cuánto tenia inicialmente?
a)10 b)12 c)14 d)16
9. Fernando fue de compras llevando
una suma de dinero. Con la cuarta
parte compro una chompa. Con 30
soles compro una pelota, con la
mitad del resto, un libro y se quedó
solo con 18 soles ¿Qué suma llevo?
a)136 b)238 c)264 d)234

127
Mg. Teodoro Yupa M.
ESTADÍSTICA
La Estadística trata del recuento,
ordenación y clasificación de los datos
obtenidos por las observaciones, para
poder hacer comparaciones y sacar
conclusiones.
I. CONCEPTOS BÁSICOS
Población
Una población es el conjunto de todos
los elementos a los que se somete a un
estudio estadístico.
Muestra
Una muestra es un conjunto
representativo de la población de
referencia, el número de individuos de
una muestra es menor que el de la
población.
Variable estadística
Una variable estadística es cada una
de las características o cualidades que
poseen los individuos de una
población.
Variables con las que trabaja la
estadística:
VARIABLE CUALITATIVA
Las variables cualitativas se refieren a
características o cualidades que no
pueden ser medidas con números. Por
ejemplo: nacionalidad, color de la piel,
sexo, etc
VARIABLE CUANTITATIVA
Una variable cuantitativa es la que se
expresa mediante un número, por
tanto se pueden realizar operaciones
aritméticas con ella. Podemos
distinguir dos tipos:
Variable discreta
Una variable discreta es aquella que
toma valores concretos, es decir no
admite valores intermedios entre dos
valores específicos. Por ejemplo:
Ejemplo: El número de hermanos de 5
amigos: 2, 1, 0, 1, 3.
Variable continua
Una variable continua es aquella que
puede tomar valores comprendidos
entre dos números.
Ejemplo: La altura de los 5 amigos:
1.73, 1.82, 1.77, 1.69, 1.75.
En la práctica medimos la altura con
dos decimales, pero también se podría
dar con tres decimales.
II. TABLAS ESTADISTICAS Y
DISTRIBUCION DE
FRECUENCIAS
Cuadro de distribución de frecuencias
La distribución de frecuencias o tabla
de frecuencias es una ordenación en
forma de tabla de los datos
estadísticos, asignando a cada dato
su frecuencia correspondiente.
Tipos de frecuencias

128
Mg. Teodoro Yupa M.
Frecuencia absoluta
La frecuencia absoluta es el número
de veces que aparece un
determinado valor en un estudio
estadístico.
Se representa por fi.
La suma de las frecuencias absolutas
es igual al número total de datos, que
se representa por N.
1 2 3 ... n
f f f f N
+ + + + =
La frecuencia relativa
Es el cociente que se obtiene al
dividir la frecuencia entre el tamaño
de la muestra (n); se representa por
la letra “h”.
Ejemplo: Para obtener información
sobre la edad que tienen los alumnos
del segundo año de secundaria de un
distrito, se ha encuestado a 50
alumnos de segundo año.
TABLA DE FRECUENCIAS
Se le llama también tabla de
frecuencias. Es la presentación
resumida y ordenada de los datos de
la variable estadística y las
frecuencias (absoluta y relativa).
Así datos recogidos de la encuesta
anterior se presentan en la siguiente
tabla de frecuencias.
La suma de las frecuencias relativas
siempre es igual a 1. La frecuencia
relativa, la tabla usualmente se expresa
en porcentajes, para lo cual se
multiplica la frecuencia relativa por el
100%.
Interpretación:
Frecuencia absoluta:
• F1 = 10  hay 10 alumnos que
tienen 11 años
• F3 = 15  hay 15 alumnos que
tienen 13 años
Frecuencia relativa:
• h1 = 1
5
 1 de cada 5 alumnos
tienen 11 años
• h3 = 3
10
 3 de cada 10 alumnos
tienen 13 años
Frecuencia porcentual:
• h1 x 100 = 20%  el 20% de los
encuestados tiene 11 años
• h3 x 100 = 30%  el 30% de los
encuestados tiene 13 años
Edad
(x)
Conteo
de
datos
Frecuen
cias (f)
Frecuenci
a relativa
(h)
11 10 1/5
12 20 2/5
13 15 3/10
14 5 1/10
TOTAL 50 1

129
Mg. Teodoro Yupa M.
III. DIAGRAMA PARA
REPRESENTAR FRECUENCIAS
A. Diagrama de barras o histograma
de frecuencias
Un diagrama de barras se utiliza para
de presentar datos cualitativos o
datos cuantitativos de tipo discreto.
Se representan sobre unos ejes de
coordenadas, en el eje de abscisas
se colocan los valores de la variable,
y sobre el eje de ordenadas las
frecuencias absolutas o relativas.
Los datos se representan mediante
barras de una altura proporcional a la
frecuencia.
Ejemplo
Un estudio hecho al conjunto de los
20 alumnos de una clase para
determinar su grupo sanguíneo ha
dado el siguiente resultado:
Grupo
sanguíneo
fi
A 6
B 4
AB 1
O 9
20
Diagrama de barras del grupo
sanguíneo
B. Polígonos de frecuencia
Un polígono de frecuencias se forma
uniendo los extremos de las barras
mediante segmentos.
También se puede realizar trazando
los puntos que representan las
frecuencias y uniéndolos mediante
segmentos.
Ejemplo
Las temperaturas en un día de otoño
de una ciudad han sufrido las
siguientes variaciones:
Hora temperatura
6 7º
9 12º
12 14º
15 11º
18 12º
21 10º
24 8º
2
4
6
8
A
10
O
AB
B
1
2
4
5
6
15
15
12
9
11
12
13
14
3
6
7
8
9
10
24
21
18

130
Mg. Teodoro Yupa M.
C. Diagrama de sectores
Un diagrama de sectores se puede
utilizar para todo tipo de variables,
pero se usa frecuentemente para las
variables cualitativas.
Los datos se representan en un
círculo, de modo que el ángulo de
cada sector es proporcional a la
frecuencia absoluta correspondiente.
360º
. i
f
N
 =
El diagrama circular se construye con la
ayuda de un transportador de ángulos.
Ejemplo:
En una clase de 30 alumnos, 12 juegan
a baloncesto, 3 practican la natación, 9
juegan al fútbol y el resto no practica
ningún deporte.
Alumnos Ángulo
Baloncesto 12 144°
Natación 3 36°
Fútbol 9 108°
Sin
deporte
6 72°
Total 30 360°
El diagrama de sectores:
Baloncesto
Natación
Sin
deporte
Futbol
D. Polígono de frecuencia
Para construir el polígono de
frecuencia se toma la marca de clase
que coincide con el punto medio de
cada rectángulo.
Ejemplo
El peso de 65 personas adultas viene
dado por la siguiente tabla:
centro fi
[50, 60) 55 8
[60, 70) 65 10
[70, 80) 75 16
[80, 90) 85 14
[90, 100) 95 10
[100,
110)
110 5
[110,
120)
115 2
65

131
Mg. Teodoro Yupa M.
La gráfica:
Ejercicios de distribución de
frecuencias.
1. El gráfico muestra las ventas de
arroz y azúcar de un almacén, en
cuatro días de la semana. De
acuerdo al gráfico, a medida que
pasan los días:
A) la venta de arroz y de azúcar
aumenta.
B) la venta de arroz y de azúcar
disminuye.
C) la venta de arroz aumenta y la
de azúcar disminuye.
D) la venta de arroz disminuye y la
de azúcar aumenta.
Solución:
Simultáneamente a la disminución
en la venta del arroz, la venta de
azúcar aumenta.
Rpta. D.
2. El siguiente gráfico muestra el
tiempo de viaje de un grupo de
alumnos, de su casa al colegio.
¿Cuántos alumnos demoran más de
10 minutos en el viaje?
A) 5 B) 7 C) 8 D) 15
2
4
50 80
70
60
12
14
6
8
10
110
100
90 120
16
Ventas de arroz y azucar
2
4
6
8
Lunes Jueves
Miércoles
Martes
1
3
7
5
9
Arroz Azucar
Venta(en
miles
de
soles)
Dias
2
4
6
8
0-5 16-20
11-15
6-10
1
3
7
5
9
Nº
de
alumnos)
Tiempo ( en minutos)

132
Mg. Teodoro Yupa M.
SITUACIONES PREVIAS
NES PREVIAS
Solución:
Se contabiliza la cantidad de alumnos
que están en los intervalos 11-15 y 16-
20, es decir 5+2=7.
Rpta B.
IV. MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
Nos indican en torno a qué valor
(centro) se distribuyen los datos. Las
medidas de centralización son:
A. ¿Qué es la Media aritmética?
La media es el valor promedio de la
distribución. También se le llama
simplemente media.
Ejemplo:
Los pesos de seis amigos son: 84,
91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el
peso medio.
84 91 72 68 87 78
80
6
x kg
+ + + + +
= =
B. ¿Qué es la Mediana?
La mediana es la puntación de la
escala que separa la mitad
superior de la distribución y la
inferior, es decir divide la serie de
datos en dos partes iguales.
1º. Ordenamos los datos de menor
a mayor.
2º. Si la serie tiene un número
impar de medidas la mediana es la
puntuación central de la misma.
2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6
Me= 5
3°.Si la serie tiene un número par
de puntuaciones la mediana es la
media entre las dos puntuaciones
centrales.
7, 8, 9, 10, 11, 12
Me= 9.5
C. ¿Qué es la Moda?
La moda es el valor que más se repite
en una distribución.
Ejemplo:
Hallar la moda de la distribución:
2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5
Mo= 4
1) En una clase de una Institución
Educativa hemos medido la altura de
los estudiantes de un aula. Sus
medidas, en cm, se reflejan en la
siguiente tabla agrupados en
intervalos:
Alturas Nº alumnos (fi)
[150,155) 3
[155,160) 7
[160,165) 6
[165,170) 4
[170,175) 5

133
Mg. Teodoro Yupa M.
a) ¿Cuántos alumnos conforman el
aula?_____________________
b) ¿Cuántos alumnos tienen una
estatura mayor o igual a 155 cm,
pero menor a 160 cm?
__________________________
c) ¿Cuántos alumnos presentan
una estatura mayor o igual a 165
cm?
__________________________
2) Un equipo de básquetbol ha
obtenido los siguientes puntajes en
un campeonato:
68 – 72 – 56 – 76 – 84 – 50 – 85 –
72 – 66 – 69 – 59.
¿Cuál es la media aritmética de sus
puntos? ¿Cuál es la mediana?
_____________________________
_____________________________
3) En la serie de datos: 2-7-4-8-2-14-
29, calcular la media, mediana y
moda.
_____________________________
_____________________________
_____________________________
4) Se realizó una encuesta a un grupo
de personas para comprobar si
habían visto la película que obtuvo
más premios ese año. Los
resultados se reflejan en la gráfica:
a) ¿Cuántas personas contestaron
a la encuesta?
__________________________
b) Elabora la tabla de frecuencias
correspondiente.
__________________________
5) A partir de la siguiente gráfica
estadística de gustos deportivos:
a) ¿Cuantos fueron encuestados?
b) ¿A qué porcentaje de las
personas no le gusta el ciclismo?
__________________________
__________________________
6) La siguiente tabla refleja las
calificaciones de los alumnos de un
aula en un examen de Matemáticas:
Nota 12 10 16 20
Nº
alumnos
10 5 8 7
125
175
0
50
100
150
200
SI NO
OPINIÓN
respuestas
Nº
de
0
1
2
3
4
5
6
a
t
l
e
t
i
s
m
o
c
i
c
l
i
s
m
o
b
a
l
o
n
c
e
s
t
o
n
a
t
a
c
i
ó
n

134
Mg. Teodoro Yupa M.
a) ¿Cuántos estudiantes forman el
aula?______________________
b) ¿Cuántos alumnos aprobaron
__________________________
c) ¿Cuántos sacaron una nota
mayor a la aprobatoria?
__________________________
d) ¿Cuántos sacaron una nota
menor a la aprobatoria?
__________________________
e) Calcular la nota media, la moda y
la mediana.
__________________________
__________________________
__________________________
7) En la siguiente tabla se recoge el
número de veces que un grupo de
usuarios de un ambulatorio han
tenido que acudir a su médico en el
último año.
a) ¿Cuántas personas han ido el
médico 7 veces en el último año?
¿Cuántas han ido 4 veces?
__________________________
b) ¿Qué porcentaje de personas ha
ido al médico más de 6 veces?
__________________________
c) Calcular la moda.
__________________________
d) Dibujar un diagrama de barras.
1. En la última práctica calificada de
aritmética se obtuvieron las
siguientes metas de 5 alumnos.
08, 12, 14, 06, 20
Hallar Mediana.
a) 8 b) 6 c) 12 d) 14
2. En un curso, la moda de las notas
de una prueba fue de 5. ¿Qué
significa esto?
A) Que el promedio del curso en la
prueba corresponde a 5.
B) Que la mitad del curso sacó más
de 5, y la otra mitad, sacó menos
de 5.
C) Que la nota con mayor
frecuencia fue un 5.
D) Que la diferencia entre la nota
más alta y la nota más baja fue de
5.
3. En una prueba los alumnos
obtienen los siguientes puntos: 20,
20, 20, 30, 30, 40, 50, 50, 60, 60,
60. La mediana es:
A) 20 B) 40 C)30 D) 50
4. En el último examen se obtuvieron
las siguientes notas de 8 alumnos:
12, 14, 16, 12, 14, 08, 05, 03.
Hallar la Mediana.
a) 8 b) 12 c) 12,5 d) 14
5. De los siguientes datos hallar la
moda:
6, 8, 4, 6, 6, 8, 4, 12, 13, 4, 6
a) 4 b) 6 c) 8 d) 12
Nº de
visitas al
médico
Nº de
personas
1 10
3 25
5 43
7 31
10 12
12 4

135
Mg. Teodoro Yupa M.
6. De los siguientes datos halla la
mediana:
14, 16, 25, 36, 18, 12, 11, 16, 14
a) 12 b) 11 c) 14 d) 16
7. De los siguientes datos no
agrupados hallar la media
aritmética:
26, 34, 24, 16, 14, 12, 16, 18
a) 26 b) 34 c) 20 d) 12
8. El incremento de la población de
un país es el mismo entre el 2010
y el 2020, que entre el 2000 y 2010.
De acuerdo a este gráfico ¿Cuál es
la población aproximada de ese
país el año 2020?
A) 58 millones B) 53 millones
C) 50 millones D) 47 millones
9. Para las Elecciones Municipales y
Regionales 2018, la empresa
DATUM realizó una encuesta a
una muestra de 1500 personas en
la ciudad del Lima, acerca de sus
preferencias electorales para la
Alcaldía del Lima. Se obtuvieron
los siguientes resultados
distribuidos en el gráfico circular
adjunto:
¿Qué cantidad de personas
encuestadas mostraron su
preferencia por el Candidato C?
A) 270
B) 465
C) 345
D) 220
10.Jessica preparó este gráfico para
representar la cantidad de frutas
que cosechó su papá.
Observa el gráfico que hizo Jessica
y marca la afirmación que es
verdadera:
A) Hay más kilogramos de sandías
que de papayas.
Población
en
millones
Años
20
25
30
35
40
45
50
1960 1980 2000 2020
1000
2000
3000
4000
P
a
p
a
y
a
s
M
a
n
g
o
s
S
a
n
d
i
a
s
L
i
m
o
n
e
s
Kg
Frutas
Cosecha de frutas

136
Mg. Teodoro Yupa M.
B) Hay menos kilogramos de
mangos que de limones.
C) Hay más kilogramos de sandías
que de mangos.
D) Hay menos kilogramos de
papayas que de limones.
11.La madre de Roberto le deja coger
un caramelo de una bolsa. Él no
puede ver los caramelos. El
número de caramelos de cada
color que hay en la bolsa se
muestra en el siguiente gráfico.
¿Cuál es la probabilidad de que
Roberto coja un caramelo rojo?
A) 10% B) 20% C) 25%
D) 50%
12.Se tiene la siguiente información
acerca de los postulantes a una
plaza de Contrato Docente:
Entonces, el gráfico que representa
adecuadamente la información
anterior en términos porcentuales
es:
13.EI gráfico muestra la distribución
de edades de 40 estudiantes.
Para un estudio sobre rendimiento
estudiantil, se requiere calcular el
promedio de las edades de estos
estudiantes. ¿Cuál es el valor de este
promedio, en años?
A) 10,40 B) 10,50
C) 10,70 D) 11,00
Cantidad de estudiantes según su edad
9 10 11 12
0
2
4
6
8
10
14
12
16
TOTAL
18
20
Cantidad
de
postulantes
Niveles
50%
30%
20%
50%
30%
20%
50%
40%
10%
50%
35%
15%
A. B.
C. D.
50%
30%
20%
50%
30%
20%
50%
40%
10%
50%
35%
15%
A. B.
C. D.
0
2
4
6
8
Rojo
Naranja
Amarillo
Verde
Azul
Rosa
Violeta
Marrón

137
Mg. Teodoro Yupa M.
CONCEPTOS BASICOS DE
PROBABILIDAD
Experimento aleatorio
Es toda prueba o ensayo cuyo
resultado no se puede predecir con
seguridad antes de realizarlo.
Por ejemplo:
- Lanzar un dado
- Extraer una bola de una caja
Espacio muestral
Es el conjunto de todos los resultados
posibles de un experimento aleatorio.
Ejemplo: Al lanzar un dado puede
obtenerse los siguientes puntos: {1, 2,
3, 4, 5, 6}
¿Qué es un evento?
Se llama evento a cualquier
subconjunto del espacio muestral.
Ejem: Al lanzar un dado
Entonces evento “A” tal que:
A : Resulta un número par
A = {2, 4, 6}
Definición de probabilidad
Cuando se realiza una prueba esta
puede dar varios resultados distintos,
pero todos igualmente probables.
La probabilidad, denotada por P(A), de
un evento A es el cociente entre el
número de casos favorables y el
número de casos posibles.
P(A) = POSIBLES
CASOS
FAVORABLES
CASOS
En una tómbola hay 15 bolitas
iguales, numeradas del 1 al 15. Al
sacar una de ellas ¿Cuál es la
probabilidad de obtener la bolita con
el número 2?
Solución:
El suceso A es: “Sacar una bolita de
la tómbola y obtener un dos”
Los casos favorables son: 1
Los casos posibles son: 15
Aplicando la Regla de Laplace:
( )
15
1
=
A
P
.
……lo que quiere decir que la
posibilidad de obtener la bolita con el
nro. dos es de una en quince.
¿Cuál es la probabilidad de que al
lanzar un dado se obtenga un número
par?
Solución:
Suceso A: “Lanzar un dado y obtener
un número par”
Casos favorables: {2,4,6}
Casos posibles: {1,2,3,4,5,6}
Aplicando la Regla de Laplace
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2

138
Mg. Teodoro Yupa M.
( )
2
1
6
3
=
=
A
P .
En una caja hay 3 bolitas azules, 2
bolitas rojas y 1 bolita verde. Al sacar
una de ellas al azar ¿Cuál es la
probabilidad de obtener una bolita
roja?
Solución:
Suceso A: “Sacar una bolita roja de
una caja que contiene 6 bolitas”
Casos favorables: 2
Casos posibles: 6
Aplicando la Regla de
Laplace
( )
3
1
6
2
=
=
A
P .
En la I.E. “Jorge Martorell ” se ha
clasificado a 1 000 estudiantes según
su edad y sexo, mujeres(M) y
hombres(H). Los datos se muestran
en la siguiente tabla de doble
entrada:
Calcule la probabilidad de que al elegir
aleatoriamente un estudiante éste sea:
A) Hombre C) Menor de 14 años
B) Mujer D) De 14 a más años
Solución:
Antes de calcular estas probabilidades,
tenemos que definir cada uno de los
sucesos:
A: “El estudiante seleccionado es un
hombre”.
B: “El estudiante seleccionado es
una mujer”.
C: “El estudiante seleccionado
menor de 14”.
D: “El estudiante seleccionado es de
14 años a más”.
Una vez definidos los sucesos, la
probabilidad de que cada una de
ellas ocurra se calcula aplicando la
fórmula de probabilidad.
Observemos:
• ( ) ( ) 7
,
0
1000
700
=
→
= A
P
A
P
• ( ) ( ) 3
,
0
1000
300
=
→
= A
P
A
P
• ( ) ( ) 35
,
0
1000
350
=
→
= A
P
A
P
• ( ) ( ) 65
,
0
1000
650
=
→
= A
P
A
P
Sexo
Edad
M H Total
Menores
de 14
años
100 250 350
De 14 a
más
200 450 650
Total 300 700 1 000
EJEMPLO 3
EJEMPLO 4
Casos:
A) Para eventos Mutuamente
excluyentes:
( ) ( ) ( );
P A B P A P B A B
 = +  = 
B) Para eventos Independientes
(ocurrencia simultanea):
( ) ( ) ( )
P A B P A P B
 = 

139
Mg. Teodoro Yupa M.
SITUACIONES PREVIAS
NES PREVIAS
1) Una urna tiene ocho bolas rojas, 5
amarilla y siete verdes. Si se extrae
una bola al azar calcular la
probabilidad de:
a)Sea roja.________________
b)Sea verde._______________
c) Sea amarilla._____________
d)No sea roja.______________
e)No sea amarilla.___________
2) Se lanza una moneda y un dado
común, halle la probabilidad que
salga:
a) Cara y 6________________
b) Sello y 1________________
c) Sello y 7________________
3) Se lanzan dos dados comunes, cual
es la probabilidad de obtener:
a) Suma 12________________
b) Un 2 y un 4______________
c) Una suma mayor a 8_______
1. En una urna hay 3 bolas blancas, 2
rojas y 4 azules. Calcula la
probabilidad de que al extraer una
bola al azar, ésta sea roja.
A) 2/3
B) 2/9
C) 1/3
D) 4/5
2. Calcular la probabilidad de aprobar
un examen de matemáticas si la
probabilidad de no aprobar es 0,4.
A) 0,4
B) 0,7
C) 1
D) 0,6
3. Al lanzar un dado de 6 caras ¿Cuál
es la probabilidad de obtener 7
puntos?
a) 1/2
b) 7/6
c) 0
d) No tiene caso
4. En el experimento “Lanzar un
dado”, calcula la probabilidad de
obtener un número mayor que 4.
a) 1
b) 1/2
c) 2/3
d) 1/3
5. En una bolsa hay 12 fichas,
numeradas del 1 al 12. Rocío saca
una ficha de la bolsa sin mirar.
¿Cuál es la probabilidad de que
Rocío saque una ficha que sea
múltiplo de 4?
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que
la ficha extraída sea un divisor de
12?
a) 1/4; 1/2
b) 1/2 ; 2/3
c) 1/4; 1
d) 1/2 ;3/4
6. ¿Cuál es la probabilidad de obtener
3 o 4 al lanzar un dado?
a)1
b) 1/2
c)2/3
d)1/3
7. Se lanza un dado y una moneda
simultáneamente, ¿Cuál es la
probabilidad de obtener un número
primo y un sello?
a)1/4
b) 1/2
c) 2/3
d)1/3

140
Mg. Teodoro Yupa M.
PROBLEMAS
COMPLEMENTARIOS
1. Determina el número total de
segmentos en el siguiente gráfico:
A)12
B)10
C)15
D)9
2. ¿Cuántos triángulos hay en la
siguiente figura?
A) 6
B) 7
C) 12
D) 9
3. Hallar el total de cuadrados en la
figura:
A) 48 B) 50 C) 55 D) 42
4.¿Cuántas pirámides de base cuadrada
hay en el sólido mostrado?
A) 63
B) 70
C) 77
D) 98
5.De cuántas formas se puede leer la
palabra “MINEDU”
A) 128 B) 16 C) 32 D) 64
6.De cuántas formas se puede leer la
palabra “EDUCA”
A) 128 B) 16 C) 32 D) 64
7.Calcule el total de cubos simples en la
siguiente figura.
A) 48
B) 70
C) 90
D) 100
P R O F E
M
I I
N N N
E E E E
D
U
D D D D
U U U U U
E
D D
U U U
C C C C
A A A A A

141
Mg. Teodoro Yupa M.
8.Indicar la figura que corresponde al
plegado de la figura adjunta.
(A) (B) (C) (D)
9.Indique la figura que se forma al
doblar la figura dada.
(A) (B) (C) (D)
10.Se define:
= (m+n)(m-n) + m.n
Halle:
a) 15 b) 30 c) 45 d) 60
11.Sean las operaciones definidas:
a  b = 2a – b
a  b = a2
– 3ab + 1
Hallar el valor de:
R = (1  2)  2
a) 1 b) –1 c) 2 d) 0
12.Se define la operación triangulo como
sigue:
3x+1 =
x
2
A partir de esto halle: 13
a) 2 b) 1 c) 1/2 d) 1/4
13.Si se define la operación siguiente:
X = X + 1
Según esto, determinar el valor de
la siguiente expresión:
14. Se define la operación ♥ de la forma
siguiente:
5
a) 3
b) 4
c) 8
d) 12

142
Mg. Teodoro Yupa M.
3 2
a b a b
 = −
Hallar:
(27 6)
(12 2)


a) 1 b) 2 c) 3 d) 0
15.Se practican agujeros centrales
completos, retirando cubitos del
sólido mostrado, ¿Cuántos cubitos
quedan?
A) 18 B) 16 C) 25 D) 20
16.En la boleta de notas de un alumno
se observó:
Curso Nota Peso
Matemáticas
Lenguaje
Física
12
14
15
5
4
1
¿Cuál es su promedio ponderado del
alumno?
a) 13 b) 13,1 c) 13,6 d) 13,3
17.Si un reloj se refleja en el espejo
como se observa en la figura. ¿Qué
hora marca?
A) 10:15 am B) 10:45 am
C) 9:45 am D) 10:15 am
18.¿Cuál de los siguientes cubos se
puede formar con el desarrollo de la
figura superior?
(a) (b) (c) (d)
19.Las caras opuestas de un dado
siempre suman 7. El dado rueda en
un circuito como se presenta en la
figura. Inicialmente, la cara superior
es un 3. ¿Cuál será la cara superior
al final del recorrido?(en la figura se
ha citado como ejemplo una rotación)

143
Mg. Teodoro Yupa M.
a ) 2 b ) 6 c ) 4 d ) 5
20.Observa la siguiente serie:
¿Qué figura continúa?
d)
21.Un pedazo de papel se corta como
muestra la figura y se dobla a lo largo
de las líneas punteadas para formar
una caja abierta. Si la caja se coloca
en una mesa de manera que la parte
abierta quede hacia arriba. ¿Cuál es
la base de la caja?
a) A b) B c) C d) E
22.En la figura, si se pinta todo el
sólido.
¿Cuántos cubos tienen 4 caras
pintadas?
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
23.Si se cumple la siguiente analogía
gráfica:
D
E
C B
A

144
Mg. Teodoro Yupa M.
24.Indique la figura que se forma al
doblar la figura dada.
A D
C
B
25.Para tomar el tren a las 7H:15M,
salgo de mi casa a las 6H:50M y llego
a la estación 5 minutos antes de la
salida del tren. ¿Cuánto tiempo
empleo en ir de mi casa a la estación?
a) 20 min
b) 30 min
c) 35 min
d) 45 min
26.Un aeroplano va de Habana a Miami
y regresa en 100 minutos. A causa
del viento el viaje de ida demora 12
minutos más que el de regreso.
¿Cuántos minutos demora cada
viaje?
a) 44 y 56
b) 50 y 62
c) 40 y 52
d) NA.
27.En un colegio para pasar de año debe
tener un promedio superior o igual a
18 en el semestre. Si Juan tiene las
siguientes notas: 1era: 20, 2da: 15,
3era: 20, 4ta: 20. Si el total de notas
son cinco. ¿Cuál debería ser la nota
mínima que tiene que sacar Juan en
la 5ta nota si es que quiere pasar el
año?
a) 14
b) 18
c) 20
d) 15
28.Gladis como administradora de un
colegio tiene que organizar deportes
en enero, marzo y mayo;
exposiciones en febrero, abril y junio;
encuentros en enero, mayo y junio; y
visitas en febrero y marzo. Si se le
asigna dinero para dos actividades
por mes; ¿En qué mes le sobra
dinero?
a) Enero
b) Febrero
c) Marzo
d) Abril
29.El término que continúa en la serie
15R, 11P, 7N; ..., es:
A. 3M
B. 4N
C. 4L
D. 3L

145
Mg. Teodoro Yupa M.
PRUEBA UNICA
NACIONAL 2018
30.En Estados Unidos el 1 de enero el
sol sale a las 5h33min y se oculta a
las 18h55min. ¿Cuál es la duración
del día?.
A) 800 min
B) 802 min
C) 13 h
D) 780 min
31.Cinco postes telefónicos están
separados entre sí 25 metros. ¿Cuál
es la distancia entre el primero y el
último?
A) 75
B) 100
C) 125
D) 150
32.Un cuaderno y un lápiz cuestan
S/2.40; el cuaderno cuesta S/.1.20
más que el lápiz. ¿Cuánto cuesta el
cuaderno?
A) S/.1.40
B) S/.1.50
C) S/.1.80
D) S/.1.90
33.En el catálogo de cierto
supermercado se registra la siguiente
oferta: por la compra de dos botellas
de aceite te llevas tres, la unidad te
sale S/. 4.66. ¿Cuál será el precio real
de una botella de aceite?
A) S/. 4.66
B) S/. 5.88
C) S/. 6.99
D) S/. 7.33
SOLUCIONARIO RAZONAMIENTO
LÓGICO
1. A un taller de capacitación asistieron
80 docentes peruanos. Además, se
sabe que:
• 44 de ellos eran de Comunicación y
los restantes eran de Matemática.
•18 docentes de Comunicación
nacieron en Lima y 21 docentes de
Matemática,nacieron en una región
diferente de Lima.
Del total de asistentes al taller,
¿cuántos docentes nacieron en una
región diferente de Lima?
A) 47
B) 33
C) 21
SOLUCION: (Tema: Diagrama de
Carroll)
Distribuimos los datos en el
diagrama:
2. Juan decide preparar un flan para la
cena. Según las indicaciones de una
receta, se necesitan 6 huevos, 240 g
de azúcar y 540 mL de leche. Juan
desea obtener más porciones,
manteniendo la misma proporción de
los ingredientes de la receta. Si tiene
Comunicación
Matemática
Lima Otra Región
18 26 44
36
80
47
21
15
33
Rpta. a.

146
Mg. Teodoro Yupa M.
pensado usar 8 huevos, ¿qué
cantidad de azúcar y de leche
necesitará?
A) 242 g de azúcar y 542 mL de
leche.
B) 320 g de azúcar y 720 mL de
leche.
C) 480 g de azúcar y 1080 mL de
leche.
SOLUCIÓN: (Tema: Proporcionalidad)
Como debe mantenerse la misma
proporción de cada ingrediente, la
lista anterior equivale a:
• 1 huevo
• 40g de azucar
• 90 ml de leche
(hemos sacado la sexta parte a cada
ingrediente dela lista anterior).
Por lo tanto, al usar 8 huevos debe
usar 320g de azucar y 720 mL de
leche. (Se ha multiplicado por 8 la
última lista)
Respuesta b.
3. Cinthya es 3 cm más alta que su
madre y su madre es 5 cm más baja
que su abuela. Si se sabe que la
estatura de Cinthya es 1,65 m, ¿cuál
de las siguientes afirmaciones es
verdadera?
A) La estatura de la abuela de
Cinthya es 1,67 m.
B) Cinthya es 2 cm más alta que su
abuela.
C) La madre de Cinthya mide 1,68
m.
SOLUCIÓN: (Tema: Orden de
Información).
Disponemos los datos de menor a
mayor estatura sobre una recta:
C = Cinthya
M = madre
A = abuela
Respuesta a.
4. Se ha formado una secuencia de
figuras con palitos de helado de la
siguiente manera:
• En la primera figura, se usan
cuatro palitos para formar un
cuadrado.
• En la segunda figura, se usan
siete palitos para formar dos
• En la tercera figura, se usan diez
palitos para formar tres
¿Cuántos palitos se usarán para
formar la figura 12?
A) 48
B) 40
C) 37
SOLUCIÓN: (Tema:
Proporcionalidad)
Del enunciado, representamos en
problema gráficamente:
Solución:
Receta:
• 6 huevos.
• 240g de azucar.
• 540 mL de leche.
M C
1 cm
A

147
Mg. Teodoro Yupa M.
Respuesta c.
Hay otro método que consiste en
seguir la secuencia que avanza de
tres en tres y así llegar hasta la figura
12 que tendrá 37 palitos.
5. Una carretera pasa por las ciudades
P, Q, R y S, pero no necesariamente
en ese orden. Su recorrido es de sur
a norte y viceversa. Si se sabe que la
ciudad S está al norte de Q y R, la
ciudad Q está al sur de P y la ciudad
S está entre P y R, ¿cuál de estas
ciudades está más al norte?
A) P
B) Q
C) R
Información).
Ubicamos las ciudades sobre la recta
según los datos del problema En la
figura tenemos una representación
de dicha situación.
Respuesta a.
6. En una maratón de baile, gana la
pareja que logre bailar sin descanso
por más tiempo. Si la pareja ganadora
empezó a bailar a las 17:36 h y paró
a las 20:14 h del mismo día, ¿cuánto
tiempo estuvo bailando?
A) 3 h 38 min
B) 3 h 22 min
C) 2 h 38 min
SOLUCIÓN: (Tema: Operaciones
con cantidades).
PRIMER MÉTODO:
Si contamos 3h a partir de 17:30 h
tendremos 20:36 h horas, pero aquí
nos hemos pasado 36-14=22min; por
lo que el tiempo que paso bailando
será: 3h - 22min = 2:38h.
SEGUNDO MÉTODO:
Para restar adecuadamente los
tiempos la hora de 20:14h se puede
escribir equivalentemente como 19 :
74 h
Restando:
Respuesta c.
7. Si se organiza un concurso entre
cinco equipos de tal manera que cada
equipo compite con otro una sola vez,
¿cuántos encuentros se deben
programar?
A) 10
B) 20
C) 25
SOLUCIÓN: (Tema: Técnicas de
Conteo).
• El primer equipo compite con
otros 4 equipos.
• El segundo equipo compite con
los 3 equipos que quedan.
• El tercer equipo compite con los
2 equipos que quedan.
• El cuarto equipo compite con 1
equipo que queda.
4; 7; 10; ; …. 37
2 cuadrados 3 cuadrados 12 cuadrados
1 cuadrado
x
3
+
1
x
3
+
1
x
3
+
1
x
3
+
1
Sur Norte
S
R
Q P
19:74
17:36
2:38 h

148
Mg. Teodoro Yupa M.
• El quinto equipo no compite,
porque ya compitió en los
anteriores encuentros.
Por lo tanto, el número total de
encuentros es: 4+3+2+1 = 10.
Respuesta a.
8. Lucas está de vacaciones en Europa.
De los 100 dólares que tiene, gasta
30 dólares en una tienda y el
equivalente a 40 euros en otra.
Sabiendo que un dólar equivale a
3,25 soles y un euro equivale a 3,80
soles, ¿a cuántos soles equivale el
monto que le sobra?
A) 75,50 soles.
B) 97,50 soles.
C) 114,00 soles.
SOLUCIÓN: (Tema: Operaciones
con cantidades).
• Tenía al principio: 100 D x 3, 25
soles = 325 soles.
• Primer gasto: 30 D x 3, 25 soles
= 97,5 soles.
• Segundo gasto: 40 E x 3, 25
soles = 152 soles.
• Gasto total =97,5 + 152 = 249,5
soles.
• Lo que queda = 325 – 249,5 =
75, 50 soles.
Respuesta a.
9. En una biblioteca, por cada tres libros
leídos, el lector recibe dos pulseras
amarillas; por cuatro pulseras
amarillas, recibe tres pulseras rojas;
y, por cada seis pulseras rojas, recibe
dos pulseras verdes.
Si Jaime tiene seis pulseras verdes,
¿cuál de las siguientes afirmaciones
es verdadera?
A) Por las seis pulseras verdes,
Jaime tuvo que leer nueve libros.
B) Jaime leyó ocho libros para
obtener dos pulseras verdes.
C) Por cada pulsera roja, Jaime tuvo
que leer dos libros.
SOLUCIÓN: (Tema: Regla
Conjunta).
Ya que 6 pulseras rojas equivalen a
2 pulseras verdes, esto implica que
6 pulseras rojas equivalen a 12
libros.
Por lo tanto, por cada pulsera roja,
Jaime recibe 2 libros.
Respuesta c.
10.Ante la cercanía de un encuentro
deportivo internacional, el dueño de
una tienda comercial de venta de
artefactos eléctricos decide
incrementar en 25% el precio de
venta de los televisores.
Si uno de los televisores se vendió
a S/ 2000 con el incremento, ¿cuál
era el precio de venta
inicial?
A) S/ 1500
Disponemos las equivalencias:
3 libros
4 pulseras amarillas
6 pulseras rojas
6 pulseras verdes
2 pulseras amarillas
3 pulseras rojas
2 pulseras verdes
x libros
3.4.6.6 = 2.3.2.x
De donde x = 36
«Por 6 pulseras verdes recibe 36 libros»
Ósea que por una pulsera verde recibe 6
libros.

149
Mg. Teodoro Yupa M.
B) S/ 1600
C) S/ 1975
SOLUCIÓN: (Tema: Porcentajes y regla de
tres).
Respuesta b.
11.Un estudiante emplea ocho horas
del día en dormir, seis horas en sus
labores académicas y tres horas en
alimentarse. ¿Qué parte del día le
queda para realizar otras
actividades?
A) 7/24
B) 9/24
C) 17/24
SOLUCIÓN: (Tema: Fracciones).
Respuesta a.
12.Una heladería ofrece los siguientes
sabores de helado: vainilla, fresa,
chocolate y lúcuma acompañados
de un tipo de recubrimiento que
puede ser mermelada, pecanas o
frutas confitadas.
Si solo se puede elegir un sabor de
helado y un tipo de recubrimiento,
¿cuántas combinaciones
diferentes se pueden pedir?
A) 7
B) 12
C) 24
SOLUCIÓN: (Tema: Técnicas de
conteo).
• El helado de sabor vainilla puede
ir acompañado por mermelada,
pecanas o frutas confitadas. Total
3 combinaciones.
• El helado de sabor fresa puede ir
acompañado por mermelada,
3 combinaciones.
• El helado sabor chocolate puede
ir acompañado por mermelada,
3 combinaciones.
• Finalmente, el helado sabor
lúcuma puede ir acompañado por
mermelada, pecanas o frutas
confitadas. Total 3
combinaciones.
Por lo tanto, el número de
combinaciones posibles es
3+3+3+3 = 12.
Otro método:
N° de combinaciones = N° de
sabores del helado x N°de
recubrimiento que acompaña.
N° de combinaciones = 4 x 3 = 12.
13.Adrián, Bruno y Cristian viven en un
edificio de tres pisos, cada uno en un
piso distinto. Uno de ellos es
dentista, otro es profesor y el otro es
taxista.
Se sabe que:
Dormir 8 H
Lab. Académicas 6 H
Alimentarse 3 H
17 H
Otras Actividades 24 H – 17 H = 7H
Fracción =
7
24
S/. 2000
X
125%
100%
X =
2000 x 100%
125%
X = 1600

150
Mg. Teodoro Yupa M.
• El dentista vive inmediatamente
debajo de Cristian.
• Adrián vive entre el profesor y
Bruno.
¿Cuál de las siguientes
afirmaciones es verdadera?
A) El taxista vive en el segundo
piso.
B) El dentista vive en el primer piso.
C) Bruno es el taxista.
Información).
Disponemos los datos en el cuadro
siguiente:
Por lo tanto, Bruno es el taxista.
Respuesta c.
14.Dada la siguiente secuencia:
RUSIA2018RUSIA2018RUSIA2018…
Considerando el orden de izquierda
a derecha, ¿cuál es la letra o cifra
que ocupa el lugar 100?
A) R
B) 8
C) A
SOLUCIÓN: (Tema: Razonamiento
Inductivo).
• Contamos los elementos de la
palabra RUSIA2018:
• Ahora averiguamos cuántas de
esas expresiones se repiten en
100 elementos.
• Dividiendo 100 entre 9
obtenemos por cociente 11 y
residuo 1.
• El "11" nos indica las veces que
aparece la expresión "RUSIA
2018" y el residuo "1" nos dice
que sobra un elemento y ese
elemento la letra R.
• Por consiguiente, el elemento
que ocupa la posición 100 es la
letra R.
Respuesta a.
15.Lea con atención las siguientes
premisas:
• Todos los trabajadores de la
empresa E han estudiado en el
instituto T.
• Todos los que han estudiado en
el instituto T han llevado un
curso de reciclaje.
A partir de las premisas anteriores,
¿qué se puede inferir?
A) Todos los que han llevado un
curso de reciclaje trabajan en la
empresa E.
B) Todos los trabajadores de la
empresa E han llevado un curso
de reciclaje.
C) Solo los que trabajan en la
empresa E han llevado un curso
de reciclaje.
SOLUCIÓN: (Tema: Premisas y
conclusiones).
Cristian
Adrián
Bruno
Profesor
Taxista
Dentista
Personas Profesiones
1°
2°
3°
RUSIA2018RUSIA2018RUSIA2018...
9 elementos 9 elementos 9 elementos

151
Mg. Teodoro Yupa M.
Utilizando conjuntos con la operación
de inclusión:
Sólo cumple la opción B.
Respuesta b.
16.Si se sabe que:
• Relacionando 1, 8 y 2, se obtiene
4.
6.
8.
Si se mantiene la misma relación,
¿cuánto se obtiene al relacionar 4,
12 y 6?
A) 8
B) 10
C) 12
SOLUCIÓN: (Tema: Distribuciones
numéricas).
Los números se relacionan bajo las
operaciones sucesivas de
multiplicación y división:
Respuesta a.
17.En una región del Perú, se realizan
trueques entre los pobladores de
una comunidad. Dichos pobladores
intercambian una olla de barro por
1/2 kg de zanahorias y 1 kg de
alverjas. Por otro lado, 1 kg de
alverjas se puede intercambiar por 2
kg de zanahorias. ¿Cuántas ollas de
barro se pueden intercambiar por 20
kg de alverjas?
A) 8 ollas de barro.
B) 16 ollas de barro.
C) 25 ollas de barro.
SOLUCIÓN: (Tema: Variación de
Regla Conjunta).
• Del enunciado:
1 olla = 1/2 kg de zanahorias + 1
kg de arveja.
• Esto equivale a:
• Entonces: 8 ollas = 10 kg de
arvejas.
• De esto último se concluye que
20 kg de arveja equivalen a 16
ollas.
Respuesta b.
18.En una ciudad, hay tres tipos de
monedas: kina, soti y lets; los
cambios monetarios se
realizanentre kinas y sotis, y entre
sotis y letses.
Si se sabe que dos kinas equivalen
a tres sotis y un soti equivale a tres
letses, ¿cuál es el precio en kinas de
un artefacto que cuesta 54 letses?
A) 12 kinas.
Curso de Reciclaje
E
T
1 x 8 : 2 = 4
2 x 16 : 4 = 8
2 x 9 : 3 = 6
4 x 12 : 6 = 8
8 ollas = 4 kg de zanahorias + 8 kg de arveja.
2kg de arverjas (dato)

152
Mg. Teodoro Yupa M.
B) 27 kinas.
C) 36 kinas.
SOLUCIÓN: (Tema: Regla conjunta).
Disponemos las equivalencias
correctamente, según el esquema:
Respuesta a.
19.En un cuadrado de 10 cm de lado,
cada vértice está representado por
las letras J, K, L y M, en ese orden y
de forma consecutiva.
Si un punto móvil inicia su recorrido
en el vértice J, luego se dirige al
vértice K, luego a L, después a M y
continúa hacia J, y vuelve a repetir
sucesivamente el mismo trayecto,
¿en qué vértice se encontrará el
punto móvil cuando recorra 370 cm?
A) J
B) K
C) L
SOLUCIÓN: (Tema: Razonamiento
Inductivo).
• Nos ayudamos de un gráfico:
• Nótese que partiendo del vértice
J, cada vuelta corresponde a un
recorrido de 40 cm.
• N° de vueltas desde y hasta el
vértice «J» = 9; sobrando 10 cm,
según la división:
• Por lo tanto, avanzará 10 cm
más y se ubicará en el vértice K.
Respuesta b.
20.Año bisiesto es aquel que tiene 366
días, es decir, un día más que un
año común.
Además, se sabe que:
• Si un año es bisiesto, será
múltiplo de cuatro.
• Si un año es múltiplo de cuatro,
será un número par.
De lo anterior, se puede inferir lo
siguiente:
A) Si un año es múltiplo de cuatro,
ese año será bisiesto.
B) Si un año es un número par, ese
año será bisiesto.
C) Si un año es bisiesto, ese año
será un número par.
conclusiones).
Realizamos la siguiente notación:
Extraemos conclusiones:
2 K
1 S
54 L
3 S
3 L
x K
108 9 x
=
x = 12
J
K L
M
10
cm
10 cm
10
cm
10 cm
370 40
10 9

153
Mg. Teodoro Yupa M.
Del último grafico se infiere: «si un
año es bisiesto, ese año será
numero par»
Otro método:
Que se traduce como la opción «c».
Respuesta c.
21.Los tiempos (en segundos) de los
concursantes de una competencia
de natación estilo mariposa en la
prueba de 100 m son los siguientes:
• Roger: 50,6
• Daniel: 50,788
• Ernesto: 50,42
¿Quién llegó primero?
A) Roger
B) Daniel
C) Ernesto
SOLUCIÓN: (Tema: Operaciones con
cantidades).
Quien llega primero será aquel que
hace menos tiempo en la
competencia. En este caso el menor
decimal es 50, 420, que
corresponde a Ernesto.
Respuesta c.
22.Alicia, Bianca, Charo, Dafne y Elena
se sientan alrededor de una mesa
circular con seis asientos
distribuidos simétricamente.
Se observa que:
• Elena se sienta junto a Charo y
frente a Bianca.
• Alicia se sienta frente a Dafne.
Entonces, se puede afirmar que
necesariamente el asiento vacío se
encuentra:
A) junto a Alicia.
B) junto a Dafne.
C) junto a Bianca.
Información).
Del enunciado se desprenden las
siguientes posibilidades.
• De la primera
premisa:
Q
P
• De la segunda
premisa:
R
Q
• De ambas
premisa:
R
Q
P
P incluye a Q
Q incluye a R
si P Q y Q R, entonces: P R
Completando los decimales:
Roger : 50, 6
Daniel : 50, 788
Ernesto : 50, 42
50, 600
50, 788
50, 420
E
B
A
D
Ch
E
B
D
A
Ch
E
B
Ch
A
D
E
B
Ch
D
A

154
Mg. Teodoro Yupa M.
Observamos que en el asiento
vacío siempre al costado de
Bianca.
Respuesta c.
23.Melina, Nancy, Olivia y Paola
compitieron en una carrera en la que
no hubo empates. Más tarde,
Rodrigo le preguntó a cada una
cómo le fue y ellas respondieron lo
siguiente:
• Melina: “Yo gané”.
• Nancy: “Yo quedé última”.
• Olivia: “Yo no quedé última”.
• Paola: “Yo no quedé primera ni
última”.
Diego, quien presenció la carrera,
le dijo a Rodrigo los puestos de
llegada de cada una. Así
Rodrigo descubrió que una de las
cuatro competidoras le había
mentido.
¿Quién ganó la carrera?
A) Melina
B) Olivia
C) Paola
SOLUCIÓN: (Tema: Verdades y
Mentiras).
Construimos el cuadro mostrado e
insertamos los datos del problema:
COMENTARIO:Del cuadro, la única
que miente es Melina. Además no
se puede precisar exactamente el
orden de llegada de las cuatro
personas. Melina puede llegar 2°
como 3°, así como Paola que puede
llegar 3° o 2°. Pero esto no latera la
respuesta.
Respuesta b.
24.A partir de las siguientes premisas:
• Todos los exalumnos del colegio C
son norteños, a excepción de uno
que es pelirrojo.
• Ningún pelirrojo es músico.
¿Cuál de los siguientes
razonamientos es correcto?
A) Adrián es un norteño pelirrojo;
por lo tanto, estudió en el colegio
C.
B) Claudio es músico y estudió en
el colegio C; por lo tanto, es
norteño.
C) Bonifacio no es pelirrojo y
estudió en el colegio C; por lo
tanto, es músico.
conclusiones).
Primera premisa:
Asociando la Segunda premisa:
Pelirojos
Ex alumnos de C
Norteños
Ex alumnos de C
Pelirojos
Músico
Claudio
Norteños

155
Mg. Teodoro Yupa M.
De la figura se observa que solo
cumple la opción b.
Respuesta b.
25.En la ciudad de Nairobi amanece
antes que en la ciudad de Kinshasa
y, además, hay dos horas de
diferencia entre ambas ciudades. El
vuelo entre estas dos ciudades dura
3 horas y 15 minutos. Si un avión
parte al mediodía de la ciudad de
Nairobi (hora de Nairobi),
¿a qué hora llegará a la ciudad de
Kinshasa (hora de Kinshasa)?
A) 17:15 h
B) 15:15 h
C) 13:15 h
SOLUCIÓN: (Tema: Operaciones con
Cantidades).
• Dado que en Nairobi amanece
antes que Kinshasa, en esta
última ciudad la hora será
siempre 2 horas más temprano.
• A mediodía, 12h en Nairobi,
corresponde las 10h en
Kinshasa.
• Luego la hora de llegada del
vuelo a Kinshasa será:
10h + 3h 15 min = 13h 15min .
Respuesta c.
CLAVE DE RESPUESTAS
I. SITUACIONES PREVIAS
1. REGLA CONJUNTA
1) 2
2) 6
3) 10
4) 2
5) 2
6) 1
7) 2
2. ORDEN DE INFORMACION
1) Anibal
2) Juan; Pedro o Beto
3) C
4) Carlos
3. SUCESIONES
1) I.
2) 13.
3) 15.
4) .
5) 35.
6) 10.
7) C.
4. RAZONAMIENTO INDUCTIVO
NUMERICO Y GRAFICO
1) a)16; b)25; c)7.
2) a) 8; b)12; c)12.
3) a) 16; b)22; c)10.
4) a) cuadrado; b) cuadrado.
5. ANALISIS COMBINATORIO
1) 3.
2) 3.

156
Mg. Teodoro Yupa M.
3) 2.
4) 2.
5) 7.
6) 4.
7) 3.
6. VERDADES Y MENTIRAS
1) Carlos y María.
2) Juan y Pablo.
3) No estudia muchas horas
durante el dia.
4) Lunes o martes.
5) Aprobaré el examen
6) Rosa y Marleni.
7) Boris y Daniel.
7. FRACCIONES
1)
2)
3)
4) 1/4.
5) 3/2.
6) 1/4.
7) El mayor.
8) 40 litros.
9) 64.
10) 1/6.
8. PORCENTAJES
1) 8.
2) 50%.
3) 50%.
4) 75.
5) S/.640.
6) 70%.
7) 110%.
8) 20%.
9) 3/4.
10) 20.
9. TEORIA DE CONJUNTOS -
DIAGRAMA DE CARROLL
1) No tienen elementos
comunes.
2) Los elementos de A son
también elementos de B.
3) Intersección.
4) Inclusión.
5) Disjuntos.
6) a) A; b) B y D; c) E; d) D; e)
B y C; f) B.
7) a) 10; b) 30; c) 40; d) 50; e)
40.
10. INFERENCIA CON PREMISAS
I.
1) D
2) B
3) D
4) A
5) C
6) G
7) B
8) B
9) D
II.
1/3 1/3 1/3
La mitad de 1/3
2/3
La mitad de 2/3 son honestos.
4/5 de álbumes de futbol

157
Mg. Teodoro Yupa M.
1) A
2) A
3) A
4) C
III.
1) Cuadrúpedos.
2) Tienen ojos.
3) Son blancos.
4) Mayor que Ana.
5) PM: Todo romano es
italiano; Pm: Todo italiano
es europeo; TM: italiano.
6) PM: Todo metal conduce la
electricidad; Pm: el oro es
un metal; TM: metal.
7) Es peligroso.
8) Palomas.
9) Matías va al cielo.
10)Hoy estudié.
11. PERIMETROS Y ÁREAS
1) 100 cm2
.
2) Perim: 60 cm; Área: 120
cm2.
3) Perim: 30 cm; Área: 18 cm2
4) Perim: 75, 36 cm; Area:
452,16 cm2
5) 23 cm.
6) 15 cm.
7) 12 cm2
8) 25 cm2
9) 680 m.
10)Perim: 18 cm; Área: 12 cm2
12. CERTEZAS
1) D
2) D
3) D
4) C
5) C
13. CONTEO DE CUBOS, CARAS Y
VISTAS
1)
a) 12
b) 4
c) 16
2)
a) 5
b) 4
c) 9
14. PARENTESCOS
I. Responda:
1) mi tío
2) mi abuela
3) mi cuñada
4) mi sobrino
5) mi mamá
II. De acuerdo al esquema
responda:
1) hijo
2) cuñados
3) nuero
4) nieta
5) tía
6) Prima
7) sobrino
15. PLANTEO DE ECUACIONES
1) 18
2) 4
3) 10
4) 8
5) 8
6) 9 años

158
Mg. Teodoro Yupa M.
7) 3
8) 9
9) 10
10)9
11)44
12)38
16. PROPORCIONALIDAD Y
REGLA DE TRES
1) 6 s/
2) Es 6 veces mayor
3) 40
4) 3H
5) 24
a) inversa
b) inversa
c) directa
d) directa
e) inversa
17. DISTRIBUCIONES NUMERICAS
Y GRAFICAS
1) 8
2) 6
3) 2
4) 3
18. METODOS OPERATIVOS
(CANGREJO, ROMBO,
RECTANGULO)
1) 40
2) 40
3) 8
19. ESTADISTICA
1)
a) 25
b) 7
c) 9
2)
Media = 68,82
Mediana = 69
3)
Media = 9,43
Mediana = 7
Moda = 2
4)
a) 300
b) …
5)
a) 10
b) 50%
6)
a) 30
b) 25
c) 25
d) 5
e)
Media = 14,6
Moda = 12
Mediana = 14
7)
a) 31
b) 37%
c) Moda = 5
d)
20. PROBABILIDAD
1)
a) 2/5
b) 7/20
c) 1/4
d) 3/5
e) 3/4
2)
a) 1/12

159
Mg. Teodoro Yupa M.
b) 1/12
c) 0
3)
a) 1/36
b) 1/18
c) 5/18
II. PROBLEMAS PROPUESTOS
1. REGLA CONJUNTA
1. D
2. C
3. A
4. A
5. B
6. B
7. C
8. B
9. C
10.C
2. ORDEN DE INFORMACION
• ORDENAMIENTO LINEAL:
1. B
2. D
3. A
4. A
5. D
6. D
7. B
8. C
• ORDENAMIENTO
CIRCULAR
9. D
10.B
11.D
12.D
13.C
14.A
• CUADRO DE DECISIONES
15.B
16.A
17.D
18.C
19.B
3. SUCESIONES
1. D
2. A
3. D
4. C
5. B
6. B
7. A
8. A
9. D
10.D
11.A
12.C
13.C
14.B
15.C
16.C
17.D
18.C
19.B
4. RAZONAMIENTO INDUCTIVO
NÚMERICO Y GRÁFICO
1. D
2. C
3. C
4. B
5. C
6. B
7. A

160
Mg. Teodoro Yupa M.
8. A
9. A
10.D
11.C
12.D
13.B
14.A
5. ANÁLISIS COMBINATORIO
1. D
2. C
3. D
4. B
5. A
6. C
7. D
8. D
9. C
10.C
11.D
12.D
6. VERDADES Y MENTIRAS
1. D
2. B
3. D
4. B
5. B
6. C
7. C
8. C
9. B
7. FRACCIONES
1. D
2. D
3. A
4. C
5. A
6. C
7. A
8. B
9. B
10.D
11.B
12.A
13.B
14.B
15.D
16.B
8. PORCENTAJES
1. A
2. C
3. A
4. B
5. D
6. B
7. B
8. C
9. C
10.C
11.B
12.C
13.A
14.C
9. TEORÍA DE CONJUNTOS -
DIAGRAMA DE CARROLL
1. C
2. C
3. C
4. B
5. A
6. B
7. C
8. B
9. B

161
Mg. Teodoro Yupa M.
10.B
11.C
10. INFERENCIA CON PREMISAS
1. C
2. D
3. A
4. C
5. D
6. D
7. B
8. B
9. D
10.D
11.B
12.B
13.B
14.C
15.A
16.D
17.D
11. PERÍMETROS Y ÁREAS
1. C
2. A
3. D
4. A
5. D
6. B
7. A
8. B
9. D
10.B
11.D
12.B
13.B
14.B
15.D
16.A
17.C
18.A
12. CERTEZAS
1. B
2. C
3. C
4. C
5. A
6. D
7. C
8. B
9. B
10.B
13. CONTEO DE CUBOS, CARAS Y
VISTAS
1. B
2. C
3. C
4. D
5. A
6. B
7. C
8. B
9. B
10.B
11.C
12.C
14. PARENTESCOS
1. B
2. C
3. D
4. C
5. D
6. C
7. B

162
Mg. Teodoro Yupa M.
15. PLANTEO DE ECUACIONES
1. D
2. C
3. A
4. A
5. C
6. A
7. B
8. D
9. A
10.B
11.B
12.D
16. PROPORCIONALIDAD Y
REGLA DE TRES
1. C
2. C
3. B
4. B
5. D
6. B
7. B
8. B
9. B
10.A
11.B
12.C
13.B
14.D
15.D
16.D
17.D
18.B
19.B
20.D
21.B
22.C
23.A
17. DISTRIBUCIONES NÚMERICAS
Y GRÁFICAS
1. D
2. D
3. C
4. A
5. C
6. D
7. D
8. C
9. A
10.A
11.B
18. MÉTODOS OPERATIVOS
(CANGREJO, ROMBO,
RECTANGULO)
1. C
2. D
3. B
4. C
5. A
6. C
7. B
8. C
9. C
19. ESTADÍSTICA
1. C
2. C
3. B
4. B
5. B
6. D
7. C

163
Mg. Teodoro Yupa M.
8. C
9. A
10.A
11.B
12.C
13.C
20. PROBABILIDAD
1. B
2. D
3. D
4. D
5. A
6. D
7. A
21. PROBLEMAS
COMPLEMENTARIOS
1. B
2. C
3. C
4. D
5. C
6. B
7. A
8. D
9. D
10.B
11.A
12.A
13.A
14.A
15.D
16.B
17.C
18.D
19.B
20.D
21.C
22.A
23.B
24.A
25.A
26.A
27.D
28.D
29.D
30.B
31.B
32.C
33.C

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