Ecuaciones de edades

44 5to SECUNDARIA
Razonamiento Matemático
“Nacimos para cosas grandes...”“Señor de la Joya - Juan
Orellana García”
Institución Educativa de Ciencias
ECUACIÓN
Es la igualdad entre dos expresiones algebraicas con por lo menos una incógnita.
PLANTEO DE UNA ECUACIÓN
Es el arte de llevar un lenguaje literal o un lenguaje matemático.
Lenguaje literal Planteo Lenguaje matemático
Por ejemplo:
- Un número ________________________
- El doble de un número ________________________
- El doble de un número más 3 ________________________
- El doble de la suma de un número con 3 ________________________
- La suma de tres números consecutivos ________________________
- El exceso de A sobre B ________________________
Recomendación
Muchos problemas tienen más de un forma de resolverse, te recomiendo que no te
quedes con tu primera resolución, siempre busca si puedes optimizarla.
Trabajando en clase
Integral
1. Un grupo de amigos, en el que
había 3 mujeres, salieron a al-
morzar a un restaurante. El
gasto de S/. 72 se repartió ini-
cialmente entre todos, pero,
después, los hombres dicidie-
ron que las mujeres no debían
pagar, por lo que cada uno tuvo
que aportar S/. 4 más. ¿Cuántas
personas había en el grupo?
San Martín 2012-II
2. Vanessa compró varios aretes
de plata a S/. 3 cada uno, y Es-
ther compró otra cantidad de
aretes a S/. 4 cada uno. Si jun-
tas compraron menos de 17
aretes y gastaron más de S/. 24
cada una, determina el núme-
ro de artes que compró Esther.
Callao 2011-II
3. Pedro tiene el doble que Luis
y Mateo el doble que Pedro y
Luis juntos. Si entre los tres
tienen S/. 32 400, ¿cuánto tie-
ne Luis?
Planteo de ecuaciones

455to SECUNDARIA
“Señor de la Joya - Juan
Orellana García”
“Nacimos para cosas grandes...”
PUCP
4. Pepito tiene libros de ciencias
de cuatro cursos: Biología,
Química, Física y Matemática.
Él dice: “El total de mis libros
menos 36 son de Biología, el
total menos 32 son de Química,
el total menos 29 son de Física
y el total menos 26 son de Ma-
temática”. ¿Cuánto suman los de
Física y Matemática?
Resolución
De los datos planteados, tene-
mos:
Q + F + M = 36
B + F + M = 32
B + Q + M = 29
B + Q + F = 26
3B + 3Q + 3F + 3M = 123
3(B + Q + F + M) = 123
B + Q + F + M = 41
29 + F = 41
F = 12
B + Q + F + M = 41
26 + M = 41
M = 15
F + M = 27.
Hay 27 libros entre Física y
Matemática.
5. En una hacienda hay vacas,
caballos y cerdos. Sin con-
tar las vacas, hay 24 anima-
les; sin contar los caballos,
36 animales; y sin contar los
cerdos, 28 animales. ¿Cuál es
el número de caballos de di-
cha hacienda?
6. Los hermanos Saúl y Sara
conversan. Saúl le dice a Sara:
“Tengo tantas hermanas como
hermanos” y Sara contesta:
“Yo tengo el doble de herma-
nos que de hermanas”. ¿Cuán-
tos hermanos son contando a
Sara y Saúl?
7. Con S/.390 puedo comprar,
tres productos A, B y C cuyos
respectivos precios son S/. 5,
S/. 4 y S/. 3. Las cantidades de
A, B y C suman 100, y la can-
tidad de B es el triple de A y el
resto es C. Calcula C.
UNMSM
8. Juan reparte S/. 24 000 en par-
tes iguales a un grupo de per-
sonas. Si hubiera incluido dos
personas más, la cantidad de
nuevos soles que recibió cada
uno de ellos hubiera dismi-
nuido en S/. 20. ¿Entre cuán-
tas personas repartió Juan los
S/.24 000?
UNMSM 2008 – II
Resolución
Números personas = x
Planteando las ecuaciones,
tendremos:
x x
24000
2
24000 20-
+
=
Trabajamos la ecuación con di-
visores de 24 000 y tendremos:
x = 48
9. Donato fue de compras al
mercado de flores llevando
S/. 1200. Si compró 3 rosas
menos que siempre porque
cada rosa le costó S/. 2 más,
¿cuántas rosas compró?
10. Carlos tiene S/. 110 y le da a
cada sobrino tantos nuevos
soles como sobrinos tiene. Si
el número de hijos es igual al
número de sobrinos, ¿cuántos
sobrinos tiene Carlos?
11. El precio de un cierto número
de caramelos excede en S/. 2 al
precio de una docena de cho-
colates. Si por 50 caramelos y
18 chocolates se paga S/. 45,
¿cuánto se pagará por 25 cara-
melos y 6 chocolates?
UNI
12. En una granja se crían pavos,
gallinas y conejos. El número de
conejos es igual a la mitad del
número de gallinas y si hubiese
2 pavos menos, el número de
pavos sería igual al número de
conejos. Indica la suma total de
animales si se han contado un
total de 104 patas.
UNI 2011-I
Resolución
Núm.
anim.
Núm.
patas
Pavos x + 2 x 2
Gallinas 2x 2
Conejos x 4
–2
2(x + 2) + 2(2x) + 4x = 104
2x + 4 + 4x + 4x = 104
10x = 100
x = 10
Total de animales:
12 pavos + 20 gallinas + 10 co-
nejos = 42
El total de animales es 42.
13. Un granjero tiene, entre pollos
y pavos, en total, 75 aves. Si
tuviera 12 pavos más, 4 patos
más y 7 pollos menos, tendría
la misma cantidad de aves de
cada especie. Calcula el núme-
ro de pollos que tiene.
14. De un grupo de caramelos re-
tiro 5 y el resto lo reparto entre
un grupo de niños, a quienes
les doy 11 caramelos a cada
uno, menos al último, a quien
le doy 15. Si antes de repartir-
los retirase 20 caramelos más,
solo podría darles 9 caramelos
a todos, menos al último, a
quien ahora solo podría darle
5 caramelos. ¿Cuántos niños
hay?

46 5to SECUNDARIA
Orellana García”
Sigo practicando
Integral
15. Un comerciante hizo un pedi-
do de cuadernos de 50 y 100
hojas por un valor de S/. m3.
pagando S/. b por cada cua-
derno de 100 hojas y S/. a por
los de 50 hojas. Si recibió el
número pedido de cuader-
nos, pero por un valor de S/. n
(n < m), ¿cuántos cuadernos
de 100 hojas menos ha recibi-
do? (Solo faltaron cuadernos
de 100 hojas).
a)
b
m n- b)
b
m n+
c)
b
m2 d)
b
n2
e) (m + n)b
16. Jonathan compra cierta can-
tidad de polos por S/. 240. Si
hubiera comprado tres polos
más con el mismo dinero, cada
polo le hubiera costado S/. 4
menos. Determina cuánto se
obtendrá al sumar el número
de nuevos soles que costó cada
polo con el número de polos.
a) 37 b) 41 c) 39
d) 32 e) 35
17. Un comerciante compró café
por S/. 1600 y té por S/. 1800,
obteniendo 40 kg más de café
que de té. ¿Cuánto pagó por el
kg de café si un kg de té costó
S/. 50 más que un kg de café?
a) S/. 21 b) S/. 22
c) S/. 23 d) S/. 24
e) S/. 25
18. Un comerciante compró el do-
ble de vicuñas que de llamas.
Por cada vicuña pagó S/. 70 y
por cada llama, S/. 85. Si en to-
tal pagó S/. 2700, ¿cuántos ani-
males de cada tipo compró?
a) 12 y 24 b) 10 y 20
c) 13 y 26 d) 15 y 30
e) 11 y 22
19. Una persona quiere rifar una
calculadora, para lo cual emi-
te cierto número de boletos.
Si vendiera a S/. 2 cada boleto,
perdería S/. 30, pero si los ven-
diera a S/. 3 cada uno, ganaría
S/. 70. ¿Cuánto vale la calcula-
dora?
a) S/. 160 b) S/. 200
c) S/. 240 d) S/. 250
e) S/. 230
PUCP
20. Cuando a Jaimito se le pregun-
ta por el número de sus her-
manos, responde: «El número
de mis hermanos excede al de
mis hermanas en 2, además, si
tuviera una hermana menos,
el número de mis hermanas
sería la mitad del número de
mis hermanos». ¿Cuántas her-
manas tiene Jaimito?
a) 2 b) 3 c) 4
d) 6 e) 5
21. Para elegir a cierta directiva se
realiza una votación con 600
personas, perdiendo la lista A
frente a la lista B. Al realizarse
nuevamente la votación con
las mismas personas, A ganó
la elección por el doble de vo-
tos con que había perdido ini-
cialmente, y la nueva mayoría
con respecto a la anterior es
como 8 es a 7. ¿Cuántas perso-
nas cambiaron de opinión?
a) 100 b) 150 c) 200
d) 250 e) 300
22. Se tienen tres números; el se-
gundo es 5 unidades más que
el primero y el tercero es el do-
ble de la suma de los dos pri-
meros. Si la suma de los tres es
75, ¿cuál es el segundo?
a) 6 b) 10 c) 15
d) 30 e) 50
23. Martín rinde un examen de
admisión en el que por cada
respuesta acertada tiene «a»
puntos y por cada respuesta
errada le quitan «b» puntos. Si
después de haber contestado
«n» preguntas, ha obtenido un
total de «c» puntos, ¿cuántas
respuestas acertó?
a)
a b
an c
-
+
b)
a b
bn c
+
+
c)
a b
bn c
-
+
d)
a b
an c
+
+
e)
a b
bn c
+
-
UNMSM
24. Entre cierto número de per-
sonas compran una compu-
tadora cuyo costo asciende a
S/. 1200. Si el dinero que paga
cada persona excede en 194 al
número de personas, ¿cuántas
personas participaron en la
compra?
a) 18 b) 12 c) 6
d) 20 e) 36
25. Mary compra 136 naranjas a
S/. 0,5 cada una, y se malogran
varias de ellas, por lo cual ven-
de las restantes a S/. 0,8 cada
una y obtiene un beneficio de
S/. 20,8. ¿Cuántas naranjas se
malograron?
a) 10 b) 15 c) 20
d) 25 e) 30
26. Si subo una escalera de 4 en 4,
doy 3 pasos más que si subiera
de 5 en 5. ¿Cuántos pasos da-
ría si subiera de 6 en 6?
a) 8 b) 10 c) 12
d) 15 e) 20

475to SECUNDARIA
Orellana García”
Los problemas sobre edades son básicamente un
tipo de problemas de planteo de ecuaciones, pero se
trabajan aparte porque existe una gran diversidad de
ellos.
Para ver claramente las propiedades que se cumplen,
nos ayudaremos de la siguiente tabla:
Pasado Presente Futuro
Chichi 10 20 35
Jesús 4 14 29
10 años 15 años
Propiedades:
- El tiempo pasa igual para todos
- La diferencia de edades es constante
- La suma cruzada es constante
Otras propiedades:
Para toda persona se cumple lo siguiente:
Año
nacimiento
Edad
actual
Año
actual
+ =
Esto es si la persona ya cumplió años, de lo contrario
el año de referencia saldrá uno menos.
Observación
No existen edades negativas y, por lo
general, se asume que las personas no son
demasiado longevas (no sobrepasan los
100 años).
Trabajando en clase
Integral
1. Si Juan tendrá k2
años dentro
de 12 años a partir de la fecha,
¿cuántos años tuvo hace 13
años?
Villarreal 2012-I
2. Si al doble de la edad de Mer-
cedes se le resta 17 años, re-
sulta menos de 35; pero si a la
mitad de su edad se le suma 3,
el resultado es mayor que 15.
¿Qué edad tiene Mercedes?
3. Sí hace 20 años Andrea tenía
el quíntuple de la edad de Bru-
no y 10 años después tenía el
triple, ¿dentro de cuántos años
tendrá el doble?
PUCP
4. Mauro le dice a Germán: “Yo
tengo tres veces la edad que tú
tenías cuando yo tenía la edad
que tú tienes y cuando tengas
la edad que tengo, la suma de
las dos edades será 70 años.
¿Cuál es la edad de Mauro?
Resolución
Trabajamos los datos en una
tabla:
Pasado Presente Futuro
Mauro 2x 3x 4x
Germán x 2x 3x
4x + 3x = 70
7x = 70 ⇒ x = 10
Edad de Mauro = 3(10) = 30
Mauro tiene 30 años.
5. La edad de Andrea es el quín-
tuple de la edad que tenía Ga-
briela, cuando Andrea tenía la
edad que Gabriela tiene. Si la
diferencia de edades es 8, ¿cuál
será la edad de Gabriela den-
tro de 10 años?
6. LasedadesdeLuisyMiguelestán
en la proporción de 2 a 5. Miguel
tiene más de 40 años, pero toda-
vía no llega a los 70 años. Calcula
la edad de Luis si la suma de sus
edadesesmúltiplode5.
7. Dentro de a + b años tendré
“a” veces la edad que tuve hace
b – a años. ¿Qué edad tengo?
Problemas sobre edades

48 5to SECUNDARIA
Orellana García”
UNMSM
8. Juan triplica en edad a Pedro.
Cuando Pedro tenga el doble
de la edad que tiene, ¿cuál será
la relación entre las edades de
Juan y Pedro?
UNMSM 2005-II
Resolución
Tenemos:
+3x
Presente Futuro
Juan 3x 6x
Pedro x 4x
La relación será =
4
6
x
x
2
3=
9. Hace 7 años mi edad fue a la
tuya como 5 es a 3, pero dentro
de 8 años mi edad será a la tuya
como 5 es a 4. ¿Qué edad tengo?
10. Si Alfredo nació en 19xy y
en el año 19yx cumplió x + y
años, calcula x + y.
11. En octubre de 1972, en un sa-
lón donde había 40 alumnos,
el profesor suma los años del
nacimiento de todos ellos;
además, suma las edades
de todos ellos, luego, suma
los dos resultados y obtiene
78 868. ¿Cuántos alumnos
habían cumplido años a la
fecha?
UNI
12. Una persona nacida en el siglo
XX tuvo en 1988 tantos años
como la suma de cifras del año
de su nacimiento. ¿Qué edad
tuvo en el año 2000?
Resolución
Año de nacimiento = 19ab
Año actual
(o de referencia) = 1988
Edad = 1 + 9 + a + b
Luego:
19ab + 10 + a + b = 1988
11a + 2b = 78
a = 6 ∧ b = 6
Año de nacimiento: 1966
En el 2000 tuvo:
2000 – 1996 = 34 años.
13. En 1996 una persona tenía
años como lo indicaba el nú-
mero formado por las dos úl-
timas cifras del año de su na-
cimiento. ¿Qué edad tenía en
1987?
14. Cuando yo tenga la edad que
él tiene, que es lo que tenías
cuando él tenía lo que yo ten-
go; él tendrá la edad que tienes
y a ti te faltará 15 años para
duplicar la edad que tengo.
¿Cuántos años tengo si hace 10
años tenía la mitad de la edad
que tienes?
Sigo practicando
Integral
15. Tú tienes la mitad menos 5
años de la edad que yo tendré
cuando tú tengas lo que yo
tenía cuando tú tenías la cuar-
ta parte de lo que yo tuviese,
si tuviera 10 años más de los
que tendré; pero si yo tuviese
ahora 10 años más de los que
tendré y tú los que te he di-
cho que tienes, entonces entre
ambos tendríamos 110 años.
¿Qué edad tengo?
a) 30 años b) 45 años
c) 70 años d) 55 años
e) 50 años
16. Si dentro de «m» años tendré el
cuádruple de lo que tuve hace
«n» años, ¿qué edad tengo?
a) m + n
b) m
3
c)
( )m n
2
4+
d)
( )m
4
2+
e)
( )m n
3
4+
17. Yo tengo 4 años menos de lo
que tú tienes< cuando tengas
el doble de lo que tengo, nues-
tras edades sumarán 60 años.
¿Qué edad tengo?
e) 24 años
18. La edad de Víctor es el doble
de la de Pedro, y hace 15 años
la edad de Víctor era el triple
de la de Pedro. ¿Cuál es la edad
actual de Pedro?
e) 30 años
19. La edad de un padre y su hijo
suman 90 años. Si el hijo nació
cuando el padre tenía 36 años,
¿cuántos años deben transcu-
rrir para que la edad del padre
sea el doble de la del hijo?
a) 8 b) 12 c) 9
d) 15 e) 10
PUCP
20. Luis Alberto dice: «Ya no soy
tan joven porque paso los 80;
pero todavía mi edad no llega
a 141 años. Además, cada una
de mis hijas me ha dado tantas
nieta como hermanas tiene,
y mi edad es el cuádruple de
hijas y nietas». ¿Cuántos hijas
tiene Luis Alberto y cuál es su
edad?
a) 5; 95
b) 6; 140
c) 7; 108
d) 5; 100
e) 6; 100

495to SECUNDARIA
Orellana García”
21. Hace (a + b)años, tu edad era
«a» veces la mía, pero hoy es
solo «b» veces la mía. ¿Cuán-
tos años tenía yo hace (a + b)
años?
a)
( )( )
a b
a b a b
2 -
+ -
b)
( )( )
a b
a b b 1
+
- -
c)
( )( )
a b
a b b 1
+
- -
d)
( )( )
a b
a b b 1
-
+ -
e)
( )( )
a
a b b
1
1
+
- +
22. Hace 28 años, mi edad era los
5/3 de tu edad, y dentro de 16
años tu edad será los 7/8 de la
mía. ¿Cuántos años tengo?
a) 41 b) 40 c) 48
d) 25 e) 37
23. La edad que tendrás dentro
de 5 años será el doble de la
edad que tengo; en cambio, si
hubiéramos nacido 3 años an-
tes, tu edad sería la mitad de la
edad que tendría dentro de 5
años. ¿Cuál es la diferencia de
nuestras edades?
a) 1 b) 3 c) 5
d) 4 e) 2
UNMSM
24. Una persona nació en 19ba y
en 19ab cumplió (a + b) años.
¿En qué año cumplió (3a – b)
años?
a) 1945 b) 1956
c) 1954 d) 1960
e) 1965
25. Don Tomás tiene 6 hijos y
cada uno de ellos le dio tan-
tos nietos como hermanos te-
nían. En el mes de agosto del
año 2000, don Tomás suma los
años de nacimiento de todos
sus nietos e hijos y las edades
de cada uno de llos. Si en total
obtuvo 71 991, ¿cuántos toda-
vía no habían cumplido años?
a) 3 b) 4 c) 8
d) 9 e) 13
26. La edad de un padre es un nú-
mero de dos cifras y la de su
hijo tiene las mismas cifras
pero en orden inverso. Ade-
más, la edad de cada uno de
sus dos nietos es igual a cada
una de las dos cifras. Si el pro-
medio de edades del padre e
hijo es 33, ¿cuál es el promedio
de las 4 edades?
a) 22 b) 18 c) 20
d) 12 e) 16
27. Un hijo decía a su padre, «La
diferencia entre el cuadrado
de mi edad y el cuadrado de la
edad de mi hermano es 95». El
padre le contesta: «Es la mis-
ma diferencia que hay entre
los cuadrados de un edad y la
de tu madre». ¿Qué edad tenía
el padre cuando nació su hijo
mayor?
a) 36 b) 32 c) 38
d) 34 e) 35
UNI
28. Jorge le dice a Luis, «la suma
de nuestras edades es 46 y tu
edad es el triple de la edad que
tenías cuando yo tenía el triple
de la edad que tuviste cuando
yo nací». ¿Qué edad tiene Luis
actualmente?
a) 12 años
b) 34 años
c) 48 años
d) 24 años
e) 22 años
29. Hace a + b años, tu edad era
«a» veces la mía, cuando tu
solo tengas «b» veces mi edad,
habrán transcurrido a partir
de hoy b – a años, entonces yo
tenía (en años):
a)
( )
a b
b a2
+
+
b)
( )( )
b
b a b
9
2 1
-
+ +
c)
( )( )
a b
b b2 2 1
-
+ +
d)
( )
a b
b a a
-
+
e)
a b
a b b22 2
-
+ +

50 5to SECUNDARIA
Orellana García”
Aunque este es un tema que se estudia en física, el
objetivo de abordarlo en Razonamiento Matemático
es trabajar problemas de móviles de una manera
mucho más razonada, dándote, así, herramientas
adicionales para resolver este tipo de problemas.
La fórmula que utilizaremos será la siguiente:
d
v t
d = v . t
Algunas propiedadess adicionales que nos van servir:
- Si dos móviles van uno al encuentro del otro
(sentidos diferentes), las velocidades se suman.
- Si dos móviles van uno al alcance del otro (senti-
dos iguales), las velocidades se restan.
- Para una misma distancia, la velocidad y el tiem-
po son inversamente proporcionales.
Ejemplo:
Si tú de tu casa al colegio demoras normalmente 30
minutos, entonces:
Si vienes Demorarás
El doble de rápido → 15 minutos
El triple de rápido → 10 minutos
A la mitad de velocidad → 60 minutos
Algunas transformaciones:
- Para pasar de km/h a m/s se multiplica por
18
5
- Para pasar de m/s a kmn/h se multiplica por
5
18
Trabajando en clase
Integral
1. Un tren de 180 m de longitud
emplea en pasar por un puente
de 360 m de largo un tiempo
de 6 minutos. ¿Cuál es la velo-
cidad del tren?
2. Dos móviles, que están sepa-
rados 4 600 m, se ponen en
marcha al mismo tiempo y van
al encuentro con velocidades
de 25 m/s y 40 m/s. ¿Dentro
de cuánto tiempo estarían se-
parados por primera vez una
distancia de 700 m?
3. Un niño ha estado caminan-
do durante 7 horas. Si hubie-
ra caminado una hora menos,
con una velocidad mayor en 8
km/h, habría recorrido 4 km
menos. ¿Cuál es su velocidad?
PUCP
4. Una persona dispone de 16
horas para ir a pasear. Si la
ida la hace en auto a 25 km/h
y el regreso en bicicleta a 15
km/h., calcula el espacio total
que recorrió dicha persona.
Resolución
Tenemos:
25 km/h
15 km/h
3t
5t
3t + 5t = 16
8t = 16 ⇒ t = 2
Distancia recorrida:
26 . 6 . 2 = 300 km
El espacio total recorrido es
300 km
5. Una persona dispone de 10 h
para dar un paseo. ¿Hasta qué
distancia podrá conducir su
automóvil que va a 54 km/h si
ha de regresar a pie a una velo-
cidad de 6 km/h?
6. Los 4/5 de un camino se reco-
rrió en bicicleta a 28 km/h y el
resto a pie, a razón de 7 km/h,
tardando en total 6 horas y
media. ¿Cuál fue la longitud
total recorrida en kilómetros?
Problemas con móviles

515to SECUNDARIA
Orellana García”
7. Dos ciclistas están separadas
“k” kilómetros en un circuito.
Si parten al mismo tiempo se
encontrarían en “y” horas, via-
jando en el mismo sentido, y
en “s” horas si viajan en sen-
tidos opuestos. Determina la
relación entre la velocidad del
más rápido y la del más lento
en km/h.
UNMSM
8. ¿Cuántas horas emplea un
tren que viaja con una rapidez
de 40 km/h, entre dos paradas,
para recorrer “a” kilómetros, si
hace “n” paradas de “m” minu-
tos cada una?
Resolución
El tren demora entre las dos
paradas principales
t1
= a
40
horas
Pero el tren también hace “n”
paradas de “m” minutos cada
una, entonces el tiempo es:
t2
= m.n minutos
lo pasamos a horas
t2
= mn
60
horas
El tiempo total será:
t = t1
+ t2
= a mn
40 60
+
⇒ a mn
120
3 2+
9. ¿Cuántas horas emplea un tren
que viaja de Máncora a Ilo con
una rapidez de 108 m/s. Si la
distancia entre ambas unida-
des es M kilómetros, y hace
P paradas de Q minutos cada
una?
10. Un corredor da una vuelta com-
pleta a una pista circular cada
40 seg. Otro corredor, que parte
del mismo punto que el prime-
ro, recorre la pista en sentido
contrario y se cruza con él cada
15 seg. ¿Qué tiempo emplea el
segundo corredor en dar una
vuelta completa?
11. Un bote tarda 4 minutos en
recorrer, ida y vuelta, una
distancia de 640 m en un río,
cuya rapidez de la corriente es
la tercera parte de la rapidez
del bote. Calcula la rapidez del
bote en aguas tranquilas.
UNI
12. Un automóvil se desplaza con
rapidez constante de la ciudad
A a la ciudad B. Luego de 3 h
de viaje, se detiene en P du-
rante 20 minutos y continúa
con 1/3 menos de su rapidez
inicial, llegando a B con un
retraso de 50 minutos. Se sabe
que si se hubiera detenido 10
km más delante de P, solo se
hubiera retrasado 45 minutos.
¿Cuál es la distancia entre las
dos ciudades?
Resolución
Nos ayudamos con el siguiente
esquema:
644444474444448
3V
t
d km tiempo
f1
6447448
64748
1442443
1442443
3V
3V
2V
2V
t +
6
5
t +
4
3
x km
(x-10) km
10
km
3 hrs
1/3 hora
3 hrs
f2
f3
De f2
3 +
V
x t
3
1
2 6
5+ = +
⇒
V
x t
2 2
5= - ...................(1)
De f3
3 +
V V
x t
3
10
3
1
2
10
4
3+ - = +
3 +
V V
x
V
t
3
10
2 2
10
4
3+ - = +
Reemplazamos
(1)
3 –
V
t t
6
10
2
5
12
5+ - = +
V2
1
12
5
6
10- =
V = 20 km/h
⇒ de f1
d = 60t
de f2
con f1
60t = 3 . 60 + 40(t –
2
5 )
60t = 180 + 40t – 100
20t = 80
t = 4 horas
13. Un carruaje, en una ciudad
colonial, pasa por un punto
A en dirección a B al mismo
tiempo que dos peatones par-
ten de B en sentidos opuestos.
Si el carruaje los encuentra a
uno en P y al otro en C, cal-
cula la distancia AB, sabiendo
que los dos peatones marchan
a la misma rapidez, ya que la
rapidez del caballo que jala al
carruaje es 4 veces la de los dos
peatones, además, la distancia
PC es 16 km.
14. Si un tren tardó 6 segundos en
pasar por un semáforo y 24 se-
gundos en atravesar un túnel
de 240 m de longitud, ¿cuánto
tardará en cruzar una estación
de 160 m de longitud?

52 5to SECUNDARIA
Orellana García”
Sigo practicando
Integral
15. Un móvil recorre 200 km a
una velocidad constante. Si
aumentara esta velocidad en
10 km/h, el viaje duraría una
hora menos. ¿Cuál es la velo-
cidad del móvil?
a) 45 km/h b) 60 km/h
c) 35 km/h d) 50 km/h
e) 40 km/h
16. Un tren de 200 m de longitud
pasa por un puente de 600 m
de largo a una velocidad de 40
m/s; determina el tiempo que
tardó en hacerlo.
a) 30 s b) 15 s c) 20 s
d) 17,5 s e) 40 s
17. Dos automóviles separados
280 km empiezan a moverse el
uno hacia el otro con rapide-
ces de 30 y 40 km/h. ¿Cuántas
horas demorarán en encon-
trarse?
a) 6 b) 4 c) 5
d) 4,5 e) 8
18. Un ciclista calculó que si via-
jaba a 20 km/h, llegaría a la
meta a las 5 p.m., y si viajaba
a 30 km/h, llegaría a la meta a
las 3 p.m. ¿Qué velocidad debe
tener para llegar a las 4 p.m.?
a) 25 km/h b) 24 km/h
c) 30 km/h d) 26 km/h
e) 28 km/h
19. Dos móviles parten al mismo
tiempo desde los puntos A y B
como se muestra en la figura.
¿En qué tiempo ocurre el en-
cuentro y en qué lado respecto
al punto C, que es punto me-
dio entre A y B?
30 km/h 50 km/h
A B
C
400 m
a) 5 s. y a la derecha de C
b) 5 s. y a la izquierda de C
c) 7 s. y a la derecha de C
d) 7 s. y a la izquierda de C
e) 10 s. y en el mismo punto C
PUCP
20. Los 2/3 de un camino se re-
corrieron en bicicleta a 32 k/h
y el resto a pie, a razón de 4
km/h,tardandoentotal15/2h.
¿Cuál fue la longitud recorri-
da?
a) 120 km
b) 80 km
c) 72 km
d) 96 km
e) 320 km
21. Un móvil cubre una distancia
de «x» km en «t» horas, y llega
retrasado en 2 horas. ¿Cuál se-
ría la velocidad (en km/h) que
permitiría al móvil llegar a su
hora?
a) x/t
b) x/(t – 2)
c) x/(t + 2)
d) xt/(t + 2)
e) xt/(t – 2)
22. Un atleta, que se mueve a una
velocidad de 24 km/h, le da
vuelta a un circuito en un mi-
nuto. ¿Cuánto tiempo demora
en dar 10 vueltas si las cinco
primeras vueltas las da a razón
de 18 km/h y luego para e in-
mediantemente da cinco vuel-
tas, más a razón de 10 km/h?
a) 17’8’’ b) 18’ c) 18’20’’
d) 18’40’’ e) 19’
23. Un auto va de A hacia B con
una velocidad de 200 km/h y
cuando aún le falta recorrer
4/5 de su camino, duplica su
velocidad, lo que le permite
llegar a su destino con 2 h de
anticipación. ¿Qué longitud
tiene el camino?
a) 100 km b) 2000 km
c) 500 km d) 800 km
e) 1000 km
UNMSM
24. Fernando y Carlos están sepa-
rados 200 metros. Si se dirigen
en sentido contrario, se en-
contraran al cabo de 10 segun-
dos, pero si van en el mismo
sentido uno alcanza al otro en
20 segundos. ¿Cuál es la velo-
cidad del más rápido?
a) 8 m/s b) 15 m/s
c) 10 m/s d) 5 m/s
e) 16 m/s
25. Al recorrer la distancia entre
dos puntos (A y B) de un río,
una embarcación se desplaza a
45 km/h a favor de la corriente
y solo a 33 km/h en contra de
la corriente. ¿Cuál es la rapi-
dez de la corriente del río?
a) 5 km/h
b) 6 km/h
c) 7 km/h
d) 8 km/h
e) 10 km/h
26. Alberto y Miguel están sepa-
rados 100 metros; si se dirigen
en sentido contrario se encon-
trarán al cabo de 20 segundos;
si van en el mismo sentido,
uno alcanza al otro en 40 se-
gundos. ¿Cuál es la velocidad
del más rápido?
a) 4,5 m/s
b) 3,75 m/s
c) 3,25 m/s
d) 3 m/s
e) 2,6 m/s

535to SECUNDARIA
Orellana García”
FRACCIÓN:
División indicada inexacta de la forma:
f =
b
a donde a, b ∈ Z+
y a ≠ b
º
Z Aumentos y decrementos con fracciones
Para muchos problemas es fundamental traba-
jar con aumentos y decrementos con fracciones;
para entender mejor de que se trata, veamos el
siguiente ejemplo:
disminuye tengo aumento tiempo
1/3 → 2/3 1/2 → 3/2
2/5 → 3/5 3/7 → 10/7
3/10 → 7/10 8/3 → 11/3
REDUCCIÓN A LA UNIDAD
Problemas en los cuales se nos presentan caños,
trabajadores, obreros, etc., con un periodo de tiempo
de llamado o trabajo solo y/o en conjunto.
Para entender mejor la resolución de este tipo de
problemas, veamos el siguiente ejemplo:
Ejemplo:
Un caño A puede llenar un tanque en 4 horas, otro
caño B lo puede llenar en 6 horas. Si se abren los dos
caños juntos, ¿en cuánto tiempo llenaron el tanque?
Resolución
Dado que se nos proporcionan como datos 4h y
6h, tomamos al mínimo común múltiplo de dichos
números como la capacidad del tanque.
Capacidad tanque = 12 k
1 hora
Caño A 4 h k
4
12 = 3k
5k
Caño B 6 h k
6
12 = 2k
Los dos juntos en 1 hora llenan 5k, entonces:
1 hora 5k
x 12 k
→ x = h
5
12 2
5
2=
El tanque será llenado en 2h 24 min
Trabajando en clase
Integral
1. Un recipiente está lleno has-
ta un quinto de su capacidad,
luego se le añade cuatro litros
y falta por llenar los 3/5 de su
capacidad. Halla la capacidad
total del recipiente.
2. De un grupo de alumnos la ter-
cer parte no contestaron una
pregunta, y de los que la con-
testaron, 3/5 respondieron mal.
¿Qué parte del total de alumnos
respondieron correctamente?
3. Un tanque tiene agua hasta la
séptima parte de su capacidad
total. Si añadimos 100 litros,
el tanque tiene la quinta parte
de su capacidad total de agua.
¿Cuál es la capacidad total del
tanque?
PUCP
4. La utilidad de un artículo es
2/5 del precio de venta. Halla
la relación entre la ganancia y
el precio de costo.
Resolución:
Sabemos:
5
2
Pv
ganancia
k
k
5
2
$
$=
Pv = Pc + Ganancia
123 1442443
5k = Pc + 2k
Pc = 3k
La relación entre la ganancia y
el precio de costo es:
Pc
ganancia
k
k
3
2
3
2= =
La relación es 2/3.
Problemas con fracciones

54 5to SECUNDARIA
Orellana García”
5. La relación entre el precio de
costo y el precio de venta de
un artículo es como 3/7. Cal-
cula la relación entre la ganan-
cia y el precio de costo.
6. Un trabajador A realiza una
obra en 9 días, otro trabaja-
dor B es
2
1 más eficiente. ¿En
cuánto tiempo lo hará?
7. Un caño A demora 6 horas
en llenar un depósito estando
vacío, mientras que otro B lo
llena en 9 horas. Si se abre A
a las 10 a.m. y luego B a las 11
a.m., ¿a qué hora se llena el de-
pósito?
UNMSM
8. Antes de que empiece una
asamblea, había 690 personas
y por cada 8 varones, había 15
damas. Iniciada la asamblea,
llegaron 30 damas. Halla la
nueva relación de los varones
con respecto a las damas.
UNMSM 2008-II
Resolución
Los varones son a las damas
como:
damas
varones
k
k
1
8
15
8
5$
$=
→8k + 15k = 690
23 k = 690
k = 30
⇒Varones = 8(30) = 240
Damas = 15(30) = 450 + 30
Nueva relación entre varones
y damas:
480
240
2
1=
9. Un chofer, en la primera pa-
rada de su recorrido, descar-
ga 2/3 de las cajas que lleva
su camión. Después descarga
5 cajas en su segunda parada,
quedándole la cuarta parte de
su carga original. Determina
el número de cajas que llevaba
antes de la primera partida.
10. Un tanque puede llenarse por
dos bombas A y B en 20 mi-
nutos; por las bombas A y C
en 30 minutos; y por las bom-
bas B y C en 40 minutos. ¿En
cuántos minutos podrá llenar
el tanque la bomba B?
UNMSM 2008- II
11. Se usa 4/5 de una camionada
de uva para elaborar 1/5 de
la producción anual de vino
en cierto depósito de licor.
¿Cuántas camionadas de uva
se necesitan para elaborar el
total de vino anual?
UNMSM 2005-I
UNI
12. La masa de un péndulo recorre
27 cm. en la oscilación inicial.
Si en cada una de las oscilacio-
nes siguientes la masa recorre
2/3 de la oscilación anterior,
¿cuál será la distancia que ha-
brá recorrido dicha más hasta
el momento de detenerse?
Resolución:
Trabajamos basándonos en la
siguiente formula:
Fracción que recupera =
b
a
27
recorrida
Di
3 2
3 2stancia =
-
+
b l
→ f =
3
2
b
a
3
2 &
=
=
27
recorrida
Di
3 2
3 2stancia =
-
+
b l
Ladistanciarecorridaes135cm.
13. ¿Cuántos kilómetros recorrió
un auto la primera semana,
si cada semana hizo 8/3 de lo
que ha recorrido la semana
anterior y se sabe que duran-
te cuatro semanas recorrió
11 242 kilómetros?
14. Un caño llena un estanque en
“a” horas y un segundo caño
lo hace en “b” horas. ¿Cuán-
tas horas se emplearán para
llenar un estanque vacío si se
usan ambos caños al mismo
tiempo?

555to SECUNDARIA
Orellana García”
Sigo practicando
Integral
15. En un salón de 50 alumnos, la
mitad de los hombres aprobó
Matemática, los 2/3 de los hom-
bres aprobó Literatura y 1/7 de
los hombres aprobó Historia.
¿Cuántas mujeres hay?
UNMSM 2010-I
a) 6 b) 7 c) 4
d) 8 e) 9
16. Se reparten 400 litros de agua
entre 2 tanques, en partes
iguales. El primero se llena
hasta sus 2/5 partes. Si el otro
tanque tiene la mitad de capa-
cidad que el primero, ¿cuántos
litros le faltan para terminar
de llenarse?
a) 250 b) 50 c) 500
d) 200 e) 220
17. Un individuo dispuso de una
cantidad para gastarla en 4
días. El primer día gastó ¼
del total; el segundo día, ¼ del
resto; el tercer día, ¼ del nue-
vo resto; y el último día, los
S/. 54 que le quedaban. ¿Cuál
fue la cantidad disponible?
a) S/. 81 b) S/. 64
c) S/. 130 d) S/. 270
e) S/. 128
18. Si gastara los 2/5 de lo que ten-
go y diera una limosna de S/.
36, me quedaría los 3/7 de lo
que tengo. ¿Cuánto tengo?
a) S/. 210 b) S/. 150
c) S/. 200 d) S/. 240
e) S/. 270
19. Un alumno tiene un cuader-
no de 120 hojas. Si ocupa 1/3
de ellas en Química, 5/12 en
Matemática y el resto en Físi-
ca, ¿cuántas hojas ocupa para
Física?
a) 20 b) 30 c) 60
d) 85 e) 90
PUCP
20. Un depósito puede llenarse
por un tubo en 2 horas y por
otro en 3 horas y vaciarse por
uno de desagüe en 4 horas. El
depósito se llenará con los tres
tubos abiertos en.
a) 1 h b) 12/7 c) 10
d) 11/7 e) 13/7
21. La Sra. Revoredo demora 24
minutos en preparar una fuen-
te con ceviche; la Sra. Dento-
ne demora 30 minutos. Juntas
se ponen a cocinar, pero a los
10 minutos a la Sra. Revore-
do se le rompe una uña y deja
de cocinar, por lo que la Sra.
Dentone tuvo que terminar la
preparación de la fuente con
ceviche. ¿Cuánto demoró toda
la preparación?
a) 18 min
b) 13
3
1 min
c) 17
3
1 min
d) 14
5
1 min
e) 17
2
1 min
22. Se mezclaron 10 litros de ron
con 2 litros de gaseosa, pero
como la mezcla tenía mucha
gaseosa, se consumieron 3 li-
tros y se sustituyeron por ron.
¿Cuál es la fracción de gaseosa
en la nueva mezcla?
a) 2/7 b) 1/7 c) 1/6
d) 2/3 e) 1/8
23. De un depósito que está lleno
1/2 de lo que no está lleno, se
vacía un volumen equivalente
a 1/3 de los que no está lleno.
¿Qué fracción del depósito
quedará con líquido?
a)
9
1 b)
9
2
c)
6
1 d)
27
1
e)
18
1
UNMSM
24. Dos grifos A y B llenan juntos
un estanque en 20 h. Si el grifo
B fuese de desagüe, se tarda-
rían 60 h en llenar el estanque.
¿En cuánto tiempo llenaría la
llave A, el estanque estando
este vacío?
a) 25 h b) 35 h c) 30 h
d) 38 h e) 45 h
25. Se corta una soga en 2 partes,
de modo que 1/5 de la primera
es igual a 1/3 de la segunda. Si
la soga mide 16 cm, ¿cuál es la
diferencia entre las partes?
a) 10 b) 4 c) 6
d) 8 e) 2
26. Al examen de un curso de
Matemática, solo asistieron
3/4 del número total de alum-
nos matriculados. De los que
asistieron, aprobaron los 3/5
y desaprobaron 30. ¿Cuántos
alumnos matriculados hay en
dicho curso?
UNMSM 201-I
a) 75 b) 180 c) 80
d) 120 e) 100

56 5to SECUNDARIA
Orellana García”
PORCENTAJE
Cantidad con respecto de 100, de la forma:
a% = a
100
= a por 100
VARIACIÓN PORCENTUAL
La diferencia de dos números con respecto a donde
parte o valor de referencia, multiplicado por 100.
Ejemplo:
20 25
5
Variación = 5
100 25%
porcentual
Variacion
20
5 #= =
l
25 20
5
Variación = 5
100 20%
porcentual
Variacion
25
5 #= =
l
AUMENTOSYDESCUENTOSSUCESIVOS
Z Para dos aumentos sucesivos (a% y b%)
aumento = %a b ab
100
+ +< F
Z Para dos descuentos sucesivos (a% y b%)
descuento = %a b ab
100
+ -< F
APLICACIONES COMERCIALES
Pv = Pc + g
Pv = Pc – perd.
Pv = PL
– desc.
Pv = precio de venta Pc = precio de costo
g = ganancia Pérd. = pérdida
desc. = descuento
Trabajando en clase
Integral
1. Un anciano dispone en su
testamento la repartición de
su fortuna entre sus 3 hijos.
El primero recibirá el 36%; el
segundo, el 24%; y el tercero,
el resto. Si la fortuna asciende
a $75 000, ¿cuánto recibirá el
tercer hijo?
2. La base de un rectángulo au-
menta en 20% y la altura dis-
minuye en 10%. ¿Qué porcen-
taje de variación tiene el área?
3. ¿Cuántos litros de agua deben
añadirse a 10 litros de alco-
hol que es 95% puro, para te-
ner una solución que sea 50%
puro?
PUCP
4. De un total de personas, se sabe
que el 44% son mujeres y que
hay 252 hombres más que mu-
jeres. Halla el total de personas.
Resolución
Total de personas = 100 k
Mujeres =
100
44 (100 k) = 44 k
Problemas con porcentajes

575to SECUNDARIA
Orellana García”
Hombres = 100 k – 44 k = 56 k
56 k – 44 k = 252
12 k = 252
k = 21
Total de personas:
⇒ 100(21) = 2100
Hay 2100 personas.
5. En una reunión de 300 perso-
nas, las mujeres constituyen el
60% de los presentes. ¿Cuántas
parejas deben llegar a esta re-
unión para que el número de
hombres constituya el 45% del
total de asistentes?
6. Un alumno de la PUCP pro-
grama 3 h 20 min para estu-
diar 2 cursos. Si el 25% del
tiempo lo dedica al primer
curso, ¿cuánto tiempo le dedi-
ca al segundo curso?
7. Si el valor de «x» aumenta en
su 40% y el de «y» en 30%.
¿En qué porcentaje aumenta el
producto «xy»?
UNMSM
8. En una empresa, el 40% del
personal masculino y el 30%
del femenino asisten a la es-
cuela nocturna. Si el 20% del
personal es femenino, ¿qué
porcentaje del personal asiste
a la escuela nocturna?
Resolución
Tomamos un total de 100 y
nos ayudamos con el diagra-
ma del árbol:
TOTAL: 100
Hombres: 80
Asisten:
00
0
0
1
4
8 32=_ i
No asisten: 80 – 32 = 48
Mujeres: 20
Asisten:
100
30 20 6=_ i
No asisten: 20 – 6 = 14
Asisten a la escuela nocturna:
Asisten =
00
.100 %
1
32 6 38+ =
9. La mano de obra y las indem-
nizaciones suman el 40% del
valor de una obra. Si las in-
demnizaciones representan el
60% del importe de la mano
de obra, ¿qué tanto por ciento
del valor de dicha obra repre-
sentan la mano de obra?
10. Juan decide ir al billar; en la
primera mesa, pierde el 20% de
su dinero; en la segunda mesa,
pierde el 30% de lo que le que-
daba; y en la tercera mesa, para
variar, pierde el 40% de lo que
le quedaba, quedándose al fi-
nal con tan solo S/. 84. ¿Cuán-
to tenía Juan inicialmente?
11. De cierta cantidad de dinero,
pierdo el 30%; del resto gano
el 20%. Si en toda la operación
pierdo S/. 32, ¿cuánto tenía
originalmente?
UNI
12. Si la suma de los cuadrados
de 2 números positivos es a
la diferencia de los cuadrados
de los mismos números, como
29 es a 21, ¿qué porcentaje del
mayor es el número menor?
UNI 2005-II
Resolución
Planteando los datos
a b
a b
21
29
2 2
2 2
-
+ =
21a2
+ 21b2
= 29a2
– 29b2
50b2
= 8a2
2
5
b
a
b k
a k
4
25
2
2
&=
=
=
⇒ . %
k
k
5
2
100 40=
El porcentaje es 40%
13. Si el 40% de A, el 50% de B y el
50% de C son proporcionales
a 6; 4 y 5, ¿qué porcentaje de
(A + C) es B?
14. En una batalla participan 800
soldados, sobreviviendo el
75% de ellos. De los sobrevi-
vientes quedaron ilesos el 60%,
y de estos últimos el 80% son
menores de 25 años. ¿Cuántos
soldados menores de 25 años
que participaron en la batalla
resultaron ilesos?
Sigo practicando
Integral
15. Para fijar el precio de un artí-
culo, se aumentó su costo en
300 soles, pero en el momento
de realizar la venta se rebajó en
30% y aún así se vendió ganan-
do el 20% del costo. ¿Cuál es el
precio de costo del artículo?
a) S/. 420 b) S/. 400
c) S/. 450 d) S/. 480
e) S/. 360
16. Siendo desaprobados el 30%
de los alumnos de un curso,
fueron 238 los que aprobaron.
¿Cuántos rindieron el exa-
men?
a) 340 b) 350
c) 400 d) 2500
e) 600
17. ¿En qué porcentaje varía el
área de un rectángulo cuando
su largo aumenta en un 20% y
su ancho disminuye en 40%?
a) 12% b) 30%
c) 25% d) 26%
e) 28%

58 5to SECUNDARIA
Orellana García”
18. Si al lado mayor de un rectán-
gulo se le aumenta en 40%, y al
lado menor se le disminuye el
40%, ¿qué pasa con el área?
a) Aumenta 16%
b) Disminuye 16%
c) Aumenta 61%
d) Disminuye 61%
e) Disminuye 4%
19. Al precio de un carro se le
hace un descuento del 10% y
luego se le hace otro descuento
del 20%, pagando por el carro
$10 800. ¿Cuál era el precio
original del carro?
a) $17 200
b) $16 000
c) $12 000
d) $14 400
e) $15 000
PUCP
20. Si P aumenta en 60%, se iguala
a Q, ¿qué porcentaje de Q es lo
que aumenta P?
a) 37,5 %
b) 25%
c) 42,5%
d) 27,5%
e) 30%
21. Si «b» aumenta en su 30%, ¿en
qué porcentaje aumenta «b»?
a) 30% b) 60%
c) 69% d) 78%
e) 65%
22. El costo de un artículo produ-
cido en los EE.UU. ha aumen-
tado en un 20% y el precio del
dólar se ha incrementado en
un 25%. Si antes de los incre-
mentos un comerciante im-
portaba 600 artículos, ahora,
con la misma cantidad de di-
nero, ¿cuántos artículos podrá
importar?
a) 100 b) 300
c) 200 d) 400
e) 500
23. El presidente de un club ve
que por partido, en promedio,
un tercio de las entradas se
quedan sin vender. Si el precio
de las entradas se rebajasen en
30%, todas se venderían. Seña-
la la afirmación correcta:
a) La recaudación aumentaría
en 5%.
b) La recaudación será la mis-
ma
c) La recaudación disminuiría
en 5%.
d) La recaudación aumenta en
10%
e) Faltan datos
UNMSM
24. Un jugador apostó todo el di-
nero que tenía y ganó el 10%,
esta nueva cantidad la apostó
y perdió el 80%. Si apostó la
cuarta parte de lo que queda
y ganó su 15%, calcula cuánto
dinero tenía al principio si se
sabe que le queda S/. 9130.
a) S/. 10 000
b) S/. 20 000
c) S/. 30 000
d) S/. 40 000
e) S/. 36 000
25. Si este mes pierdo el 15% de
mi capital y el próximo mes
gano el 20% de lo que me que-
dó, ganaré S/. 3000. ¿Cuánto
tengo?
a) S/. 200 000
b) S/. 300 000
c) S/. 150 000
d) S/. 175 000
e) S/. 180 000
26. Tengo «a» hectáreas de terre-
no cultivadas con papas y «b»
hectáreas cultivadas con maíz.
¿Qué porcentaje del total he
cultivado con papas?
a) %
b
a100
b) %
a b
a
+
c) %
b
a
d) %
a b
a100
+
e)
( )
%
a b
a
100 +
27. El precio de un artículo au-
menta en enero en 25%, dis-
minuye en febrero en 20% y
aumenta en marzo en 12%.
¿Cuál es la variación del precio
en ese trimestre?
a) Aumenta en 17%
b) Aumenta en 12%
c) Aumenta en 117%
d) Aumenta en 112%
e) No varía
UNI
28. Una fábrica tiene fabricados
800 artículos; el 55% de ellos
han sido fabricados por la má-
quina A, y el resto, por la má-
quina B. Si el 25% de los fabri-
cados por A son defectuosos y
el 20% de los fabricados por B
también son defectuosos, cal-
cula cuántos de los 800 no son
defectuosos.
a) 600 b) 540 c) 618
d) 590 e) 556
29. El a2
% más el b2
% de 9000 es
2250. Sabiendo que el (a x b)%
excede al (a + b)% de la can-
tidad original en 450, halla el
(a – b)% de esta.
a) 60 b) 70 c) 90
d) 85 e) 89

595to SECUNDARIA
Orellana García”
I. PROPOSICIÓN CATEGÓRICA
Enunciado o proposición que afirma o niega que
un conjunto o clase está incluido en otro, total o
parcialmente.
II. CUANTIFICADOR
Son determinadas expresiones que indican canti-
dad.
III.CLASIFICACIÓN DE LOS CUANTI-
FICADORES:
64444444744444448
Por
calidad
Por cantidad
14243
Particular Universal
Afirmativo Algunos Todos
Negativo Algunos ….. no Ninguno
IV.DIAGRAMAS DE VENN
Para poder trabajar los problemas de lógica de
clases, debemos saber cómo se representan los
diferentes tipos de conjuntos.
A
Vacío No vacío
Indeterminado
A
A
U U
U
X
Sobre la base de estos diagramas trabajamos las
frases más comunes:
• Todo A es B • Ningún A es B
A B
U
A B
U
• Algún A no es B • Algún A es B
A
X
B
U
X
A B
U
V. NEGACIÓN
Todos ↔ Algunos …. No
Ninguno ↔ Algunos
Caso particular
Cuando tenemos un cuantificador universal y la
negación está antes del verbo copulativo, la negación
pasa adelante.
Ejemplo:
Todas las alumnas no son bonitas
Cuantificador
universal
Verbo copulativo
Equivalentes
- No todas las alumnas son bonitas
- Algunas alumnas no son bonitas
VI.EQUIVALENTES
Todo A es no B ≡ Ningún A es B
Algún A es no B ≡ Algún A no es B
Lógica de clases

60 5to SECUNDARIA
Orellana García”
Trabajando en clase
Integral
1. ¿Cuál es la negación de «todos
los alumnos no son responsa-
bles»?
a) Algunos alumnos son irres-
ponsables
b) Todos los irresponsables
son alumnos
c) Ningún alumno es irres-
ponsable
d) Todos los alumnos son res-
ponsables
e) Todos los alumnos son
irresponsables
2. Si se sabe que: Ningún delfín
es depredador y todos los ti-
burones son depredadores, se
concluye:
a) Ningún delfín es tiburón
b) Ningún depredador es tibu-
rón
c) ningún tiburón es delfín
d) a y b
e) a y c
3. Se sabe que: Algunos niños
son precoces y ningún niño
es obediente. ¿Cuál de las si-
guientes afirmaciones se infie-
re necesariamente?
a) Algunos precoces no son
obedientes
b) Algunos precoces son obe-
dientes
c) Algunos obedientes no son
precoces
d) Algunos obedientes son
precoces
e) Ningún precoz es obediente
PUCP
4. Si todos los bailarines son ági-
les y algún bailarín no es des-
envuelto, entonces, ¿cuál es la
conclusión válida?
a) Algún ágil es desenvuelto
b) Algún ágil no es bailarín
c) Algún bailarín es desen-
vuelto
d) Algún ágil no es desenvuel-
to
e) Todo ágil es desenvuelto
Resolución:
Trabajamos las proposiciones
en diagramas de Venn:
x
bailarines ágiles
desenvueltos U
De las alternativas, conclui-
mos que:
Algún ágil no es desenvuelto
5. Si sabemos que todos los poli-
cías son comprados y algunos
policías son justos, ¿cuál es co-
rrecta?
I. Todos los justos son com-
prados
II. Algunos policías son com-
prados
III. Algunos justos son com-
prados
a) I y II b) I y III c) II y III
d) Solo II e) Todas
6. Del siguiente gráfico:
x
A B
C
Se concluye válidamente que:
I. Algún A es B
II. Ningún B es C
III. Algún B no es C
a) I y II b) II y III
c) I y III d) Ninguna
e) Todas
7. Niega: «Ningún alumno pue-
de resolver este problema»
a) Al menos un átomo no pue-
de resolver este problema
b) Todos los alumnos pueden
resolver este problema
c) No existen alumnos que
puedan resolver este pro-
blema
d) Al menos un alumno puede
resolver este problema
e) Algunos alumnos no pue-
den resolver este problema
UNMSM
8. Mafer escucha que todos los
enamorados son felices y lue-
go ella averigua que es cierta
dicha afirmación, entonces
podemos concluir que:
I. Si Roby está enamorado,
no es feliz
II. Si Roby está enamorado,
es feliz
III. Todos los felices son ena-
morados
a) Solo I b) Solo II
c) Solo III d) I y II
e) II y III
Resolución
Nos ayudamos con el gráfico
Roby
enamorados felices

615to SECUNDARIA
Orellana García”
I. Falso
II.Verdadero
III. Falso
Solo II
9. Si ningún deportista es des-
cortés, entonces:
a) Si Micaela es cortes, no es
deportista
b) Si Micaela es deportista, es
descortés
c) Si Micaela es deportista, es
cortes
d) Si Micaela no es deportista,
es cortes
e) Si Micaela no es deportista,
es descortés
10. Si averiguo que ningún avia-
dor es imprudente y algunos
aprendices son imprudentes,
luego:
a) Algunos aprendices son
aviadores
b) Todos los aprendices son
imprudentes
c) Algunos aprendices no son
aviadores
d) Algunos aprendices no son
imprudentes
e) Ningún aprendiz llegará a
ser aviador
11. De la negación de las siguien-
tes proposiciones:
- Algunas cocineras no son
panaderas
- Todas las comerciantes
son panaderas
Podemos concluir:
a) Ninguna comerciante es pa-
nadera
b) Algunas comerciantes no
son cocineras
c) Algunas cocineras son pa-
naderas
d) Todas las panaderas son co-
merciantes
e) Ninguna cocinera es co-
merciante
UNI
12. De las siguientes premisas:
- Todos los ingenieros son
personas cultas
- Algunos ingenieros no son
científicos
Se concluye que:
a) Algunas persona cultas no
son científicos
b) Todos los científicos son in-
genieros
c) Todos los científicos son
cultos
d) Todas las personas cultas
son ingenieros
e) Los que no son científicos
no son cultos
Resolución
Trabajando en diagramas de
Venn:
x
ingenieros cultos
científicos U
De las proposiciones que se nos
presentan, concluimos que:
Algunas personas cultas no
son científicos
13. Si:
- Todos los payasos trabajan
en el circo:
- Algunos payasos son có-
micos
Se concluye:
a) Todos los cómicos trabajan
en el circo
b) Algunos cómicos no traba-
jan en el circo
c) Algunos cómicos trabajan
en el circo
d) Todos los que trabajan en el
circo son payasos
e) Todos los cómicos son pa-
yasos.
14. «Algunos ejecutivos son ambi-
ciosos».
«Todos los ambiciosos triun-
fan»
«Ninguno de los que triunfa
bebe».
Entonces:
a) Algunos ambiciosos son
triunfadores
b) Todos los ambiciosos beben
c) Algunos ejecutivos no be-
ben
d) Ningún ejecutivo bebe
e) Todos los ejecutivos beben
Sigo practicando
Integral
15. Niega la siguiente proposi-
ción: «Todos los tutores no
son respetuosos»
a) Ningún tutor no es respe-
tuoso
b) Todos los tutores son respe-
tuosos
c) Algunos tutores no son res-
petuosos
d) No existen tutores respe-
tuosos
e) Por lo menos un tutor no es
respetuoso
16. Niega: «Los mamíferos son
carnívoros».
a) Ningún mamífero es carní-
voro.
b) Algún mamífero es carní-
voro.
c) Es imposible que algún ma-
mífero sea carnívoro.
d) Algún mamífero no es car-
nívoro.
e) No existen mamíferos car-
nívoros.

62 5to SECUNDARIA
Orellana García”
17. Si se sabe que:
- Ningún hombre trabaja en
el mundo.
- Algunos hombres son res-
ponsables.
Se concluye:
a) Ningún hombre es respon-
sable.
b) Todos los que trabajan en el
mundo son responsables.
c) Al menos un hombre no es
responsable.
d) Al menos un responsable
trabaja en el mundo.
e) Al menos un responsable
no trabaja en el mundo.
18. - Todas las alumnas son sabias
- Algunas alumnas son ale-
gres.
Se concluye entonces:
a) Toda sabia es alegre.
b) Toda alegre es sabia.
c) Ninguna alegre es sabia.
d) Por lo menos una alegre no
es sabia.
e) Por lo menos una alegre es
sabia.
19. Del siguiente diagrama lógico,
se concluye válidamente:
I. Ningún X es Y.
II.Todo Z es X.
III.Ningún Z es Y.
x y
z
a) Solo I
b) Solo II
c) Solo II y III
d) Solo I y II
e) I, II y III
PUCP
20. Analizar el gráfico y concluir
válidamente
I. Ningún A es B.
II. Ningún A es C.
III. Algún B no es A.
IV. Algún B no es C.
A
x
B
C
a) Solo I y III
b) Solo II y III
c) Solo III y IV
d) Solo I, II y III
e) Solo III
21. Niega: «Algunas películas no
son divertidas»
a) Ningunapelículaesdivertida.
b) Todas las películas son di-
vertidas.
c) Al menos una película no es
divertida.
d) Alguna película es divertida.
e) No todas las películas son
divertidas.
22. Si: «Ningún hombre es no
mortal» «Todo racional es
hombre», entonces:
a) Ningún racional es no mortal.
b) Todo racional es hombre.
c) Algunos mortales son ra-
cionales.
d) Algunos racionales son
mortales.
e) c y d son correctas.
23. -Todoslosartistassonególatras.
-Algunosartistassonindigentes
Podemos afirmar:
a) Algunos ególatras son indi-
gentes.
b) Todos los artistas son indi-
gentes.
c) Algunos indigentes no son
artistas.
d) Ningún ególatra es indigente.
e) Algunos artistas no son
ególatras.
UNMSM
24. Todos los filósofos y todos
los matemáticos son teóricos.
Descartes fue filósofo. Luego,
se deduce necesariamente que:
I. Descartes fue teórico.
II.Descartes fue matemático.
III.Algunos matemáticos no
son teóricos.
c) Solo III d) I y II
e) Ninguna
25. De la negación de las siguien-
tes proposiciones:
- Algunos malos son angelitos
- Ningún malo es bebe
Podemos concluir:
I. Algunos angelitos no son
malos.
II.Algunos malos no son an-
gelitos.
III.Algunos bebés no son ange-
litos.
a) Solo I b) I y II
c) I y III d) II y III
e) I, II y III
26. Si la proposición: «Las herma-
nas de Robert son celosas», es
falsa; lo verdadero es:
I. Al menos una hermana de
Robert no es celosa.
II.Alguna hermana de Robert
no es celosa.
III.Una hermana de Robert no
es celosa.
c) Solo I y II d) Solo II y III
e) Todas

635to SECUNDARIA
Orellana García”
Trabajando en clase
1. De:
- Algunos abogados son ho-
nestos.
- Todo honesto es justo.
Se deduce:
a) Ningún abogado es justo.
b) Todo abogado es injusto.
c) Muchos abogados son jus-
tos.
d) Todo abogados es justo.
e) Nadie que sea justo es abo-
gado.
2. Si «Ningún investigador es
acrítico» y «Ciertos investi-
gadores son racionalistas», en
consecuencia:
a) Ningún crítico es investiga-
dor.
b) Algunos racionalistas son
críticos.
c) Algunos críticos no son fi-
lósofos.
d) Algunos críticos son filóso-
fos.
e) Algunos acríticos son ra-
cionalistas.
3. Dos autos pasan a la misma
hora por dos ciudades A y
B, en sentido opuesto, uno al
encuentro del otro y a veloci-
dades de 80 km/h y 70 km/h.
Si las ciudades distan entre
sí 1500 km, ¿cuánto tiempo
transcurrirá para que ambos
autos estén separados entre sí
450 km por segunda vez?
a) 11 hrs.
b) 10 hrs.
c) 13 hrs.
d) 15 hrs.
e) 7 hrs.
4. Carlitos compra cierta canti-
dad de caramelos; 1/3 de ellos
regaló a su hermanito menor,
los 2/5 del resto, a su primo
Juan; y 1/4 del último resto, a
su prima Marilú, quedándose
únicamente con 3 caramelos.
¿Cuántos caramelos compró
Carlitos?
a) 5 b) 60 c) 20
d) 10 e) 15
5. Un tren tarda 8 segundos en
pasar delante de un poste. Para
pasar completamente un túnel
de 300 m, tarda 24 segundos.
¿Cuál es la longitud del tren?
a) 100 m
b) 125 m
c) 150 m
d) 250 m
e) 200 m
6. Se contrató a un profesor por
un año y al final del cual se le
tenía que abonar S/. 24 000 y
un reloj. Al cabo de 5 meses
fue despedido, por lo que reci-
be solo 3700 y el reloj. ¿Cuánto
vale el reloj?
a) 11 000
b) 5 300
c) 10 800
d) 12 500
e) 11 500
7. Si el radio de un cilindro recto
se reduce en un 50%, ¿en qué
porcentaje se debe aumentar
la altura del cilindro para que
su volumen permanezca inva-
riable?
a) 50%
b) 100%
c) 150%
d) 200%
e) 300%
8. En la expresión: E = a2
b, «a»
aumenta en 20% y «b» 25%.
¿Cuánto aumneta E?
a) 20%
b) 45%
c) 60%
d) 75%
e) 80%
9. Subiendo la escalera de 2 en 2,
doy 9 pasos más que subiendo
de 5 en 5. ¿Cuántos peldaños
tiene la escalera?
a) 20
b) 24
c) 30
d) 60
e) 36
Repaso

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