Espero que pueda ser útil esta información de cuantificador existencial y universal

1. Cuantificador existencial
Cuantificador universal
y
Reforzamiento académico "Fibonacci"
Realizado por: C. Paredes

2. La expresión 𝑝(𝑥):5+x=8 No es un proposición lógica por que no le se le puede asignar
un valor de verdad.
Cuando yo le asigne un valor a “x” se podrá determinar su valor de verdad
Para 𝑥 = 1 𝑝(1):5+1=8 … Falso
Para 𝑥 = 3 𝑝(3):5+3=8 … Verdadero

3. Existe al menos un elemento 𝑥 ∈ 𝐴 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑝 𝑥 𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜
∃ 𝑥 ∈ 𝐴 / 𝑝(𝑥)
EJEMPLO : Sea el conjunto N, indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
𝑎) ∃ 𝑥 ∈ 𝑁 / 3 + 𝑥 > 5
𝑏) ∃ 𝑥 ∈ 𝑁 /3 + 𝑥 < 2
Verdadero
Falso 𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑥 ∈ 𝑁 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒3 + 𝑥 < 2 𝑠𝑒𝑎 𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑎
𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑥 ∈ 𝑁 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 3 + 𝑥 > 5 𝑠𝑒𝑎 𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑎

4. Para todo 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑠𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑝 𝑥
∀ 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑝(𝑥)
EJEMPLO : Sea el conjunto N, indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
a) ∀ 𝑥 ∈ 𝑁, 𝑥 + 1 > 𝑥
𝑏)∀ 𝑥 ∈ 𝑁, 𝑥 + 2 = 10
Verdadero 𝑆𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑞𝑢𝑒 ∀𝑥 ∈ 𝑁, 𝑥 + 1 > 𝑥
Falso 𝑁𝑜 𝑒𝑠 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 𝑞𝑢𝑒 ∀𝑥 ∈ 𝑁, 𝑥 + 2 = 10
𝑆𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = 8 , 𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑛 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠

5. ~[ ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 / 𝑝(𝑥)] ≡ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 , ~ 𝑝(𝑥)
~ [∀ 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝑝 𝑥 ] ≡ ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 / ~ 𝑝(𝑥)
Negación del proposiciones con cuantificador existencial
Negación del proposiciones con cuantificador universal

6. Ejemplo: Negar las siguiente proposiciones:
𝑎) ∀𝑥 ∈ 𝑍+, 𝑥 + 2 𝑥 − 3 = 0
~[ ∀𝑥 ∈ 𝑍+
, 𝑥 + 2 𝑥 − 3 = 0]
∃ 𝑥 ∈ 𝑍+/ 𝑥 + 2 𝑥 − 3 ≠ 0
𝑏) ∃ 𝑥 ∈ 𝑁/ 𝑥+21 > 23
~[ ∃ 𝑥 ∈ 𝑁/ 𝑥+21 > 23]
∀ 𝑥 ∈ 𝑁, 𝑥+21 ≤ 23
Nota: La negación afecto solo a lo que esta resaltado de color rojo

7. Negar la siguiente proposición
∃ 𝑥 ∈ 𝐴 / ∀ 𝑥 ∈ 𝐵, (𝑝 𝑥 ∧ 𝑞(𝑥))
~[∃ 𝑥 ∈ 𝐴 / ∀ 𝑥 ∈ 𝐵, (𝑝 𝑥 ∧ 𝑞 𝑥 )]
∀ 𝑥 ∈ 𝐴 , ∃ 𝑥 ∈ 𝐵/ ~(𝑝 𝑥 ∧ 𝑞(𝑥))
∀ 𝑥 ∈ 𝐴 , ∃ 𝑥 ∈ 𝐵/ ~𝑝 𝑥 ∨ ~𝑞(𝑥)