Este documento presenta un ejemplo de cómo modelar un problema de programación lineal utilizando variables con subíndices dobles. El problema involucra maximizar las ganancias de una empresa que produce tres mezclas de semillas utilizando diferentes ingredientes. Las variables de decisión representan la cantidad de cada ingrediente utilizado en cada mezcla. El documento explica cómo definir las restricciones y función objetivo en términos de estas variables para crear un modelo matemático del problema.

1. Variables con
subíndice
G. Edgar Mata Ortiz
Programación Lineal: Planteamiento de problemas

2. Programación Lineal.
¿Qué es programación lineal?
Es un método para obtener un
resultado óptimo con base en
un modelo matemático en el
que todas las relaciones entre
variables y constantes pueden
expresarse linealmente.

3. Variables de decisión
Reciben el nombre de variables de decisión, las
incógnitas cuyos valores deben ser determinados
para alcanzar el objetivo señalado por la función
objetivo.
𝒙 = 𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒂𝒓𝒕í𝒄𝒖𝒍𝒐𝒔 𝒕𝒊𝒑𝒐 𝟏 𝒒𝒖𝒆 𝒔𝒆 𝒗𝒂𝒏 𝒂 𝒇𝒂𝒃𝒓𝒊𝒄𝒂𝒓
𝒚 = 𝑪𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆𝒍 𝒊𝒏𝒈𝒓𝒆𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝟏 𝒒𝒖𝒆 𝒔𝒆 𝒖𝒕𝒊𝒍𝒊𝒛𝒂𝒓á
𝒙 𝟏 = 𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒔𝒂𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒆𝒃𝒆𝒏 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒓𝒖𝒊𝒓𝒔𝒆

4. Variables de decisión
La elección de las variables de decisión viene
determinada por las características del problema,
generalmente no es sencillo cambiarlas, pero su
representación puede variar considerablemente
según la estrategia de solución. Pueden ser
variables simples, con subíndice sencillo, doble o
triple (o incluso mayor).
𝒙 𝟏

5. Variables de decisión
La representación de las variables de decisión y su
significado pueden aumentar o disminuir el nivel
de dificultad en la resolución de un problema.
Es muy importante definir, por escrito, el
significado de las variables de decisión.

6. Uso de variables de
decisión con subíndices
dobles.
Ejemplo
𝒙𝒊,𝒋 = ⋯

7. Ejemplo
La fábrica “The Barn” produce tres tipos de
combinaciones energéticas de semillas cuyos
precios por libra se muestran en los paquetes.

8. Ejemplo
Las tres mezclas contienen los mismos ingredientes:
maní, pasas y algarrobo, aunque en diferentes
proporciones. Los costos de los ingredientes, por
libra, se muestran en las imágenes
$𝟎. 𝟗𝟎
$𝟏. 𝟔𝟎
$𝟏. 𝟓𝟎

9. Ejemplo
El precio de venta se ve afectado por
las proporciones de los ingredientes
presentes en cada mezcla.
La mezcla normal debe contener, al
menos, 5% de cada ingrediente.

10. Ejemplo
El precio de venta se ve afectado por
las proporciones de los ingredientes
presentes en cada mezcla.
La mezcla especial debe contener, al
menos, 20% de cada ingrediente,
pero no más del 50% de cualquiera
de ellos.

11. Ejemplo
El precio de venta se ve afectado
por las proporciones de los
ingredientes presentes en cada
mezcla.
La mezcla extra debe contener, al
menos, 25% de pasas, y no más del
25% de maní.

12. Ejemplo
Las instalaciones de producción
hacen que haya disponibles, por
semana, un máximo de 1000 libras
de maní, 2000 de pasas, y 3000 de
algarrobo.

13. Ejemplo
Existe un costo fijo de $2000 para la
fabricación de las mezclas.
Por razones de mercado, la mezcla
normal debe limitarse al 20% de la
producción total.
Plantea un modelo de programación
lineal para maximizar las utilidades.

14. Ejemplo: Análisis de la Información
Las variables de decisión serán las cantidades de
ingredientes empleados en la elaboración de las
mezclas.

15. Ejemplo: Análisis de la Información
Lo que debemos decidir ahora es:
¿Cómo identificar las variables de modo que faciliten
el proceso de solución del problema?

16. Ejemplo: Análisis de la Información
Lo que debemos decidir ahora es:
¿Cómo identificar las variables de modo que
faciliten el proceso de solución del problema?
La estrategia consistirá en identificar las variables
mediante dos subíndices, el primero de ellos hará
referencia al ingrediente, y el segundo, a la
mezcla en la que se emplea dicho ingrediente.

17. Ejemplo: Análisis de la
Información
La estrategia consistirá en identificar las
variables mediante dos subíndices, el primero
de ellos hará referencia al ingrediente, y el
segundo, a la mezcla en la que se emplea dicho
ingrediente.
𝒙 𝟏,𝒏 = Maní empleado
en la mezcla…

18. Ejemplo: Análisis de la Información

19. Ejemplo: Análisis de la Información
𝒙 𝟏,𝟏
𝒙 𝟏,𝟐
𝒙 𝟏,𝟑
Maní empleado en la mezcla Normal
Maní empleado en la mezcla Especial
Maní empleado en la mezcla Extra

20. Ejemplo: Análisis de la
Información
La estrategia consistirá en identificar las
variables mediante dos subíndices, el primero
de ellos hará referencia al ingrediente, y el
segundo, a la mezcla en la que se emplea dicho
ingrediente.
𝒙 𝟐,𝒏 = Pasas empleadas
en la mezcla…

21. Ejemplo: Análisis de la Información

22. Ejemplo: Análisis de la Información
𝒙 𝟐,𝟏
𝒙 𝟐,𝟐
𝒙 𝟐,𝟑
Pasas empleadas en la mezcla Normal
Pasas empleadas en la mezcla Especial
Pasas empleadas en la mezcla Extra

23. Ejemplo: Análisis de la
Información
La estrategia consistirá en identificar las
variables mediante dos subíndices, el primero
de ellos hará referencia al ingrediente, y el
segundo, a la mezcla en la que se emplea dicho
ingrediente.
𝒙 𝟑,𝒏 =Algarrobo empleado
en la mezcla…

24. Ejemplo: Análisis de la Información

25. Ejemplo: Análisis de la Información
𝒙 𝟑,𝟏
𝒙 𝟑,𝟐
𝒙 𝟑,𝟑
Algarrobo empleado en la mezcla Normal
Algarrobo empleado en la mezcla Especial
Algarrobo empleado en la mezcla Extra

26. Ejemplo: Variables de decisión
𝒙 𝟏,𝟏 𝒙 𝟏,𝟐 𝒙 𝟏,𝟑
𝒙 𝟐,𝟏 𝒙 𝟐,𝟐 𝒙 𝟐,𝟑
𝒙 𝟑,𝟏 𝒙 𝟑,𝟐 𝒙 𝟑,𝟑

27. Ejemplo: Variables de decisión

28. Ejemplo: Variables de decisión

29. Ejemplo: Variables de decisión

30. Ejemplo: Variables de decisión

31. Ejemplo: Variables de decisión

32. Ejemplo: Variables de decisión
𝒙 𝟏,𝟏 𝒙 𝟏,𝟐 𝒙 𝟏,𝟑
𝒙 𝟐,𝟏 𝒙 𝟐,𝟐 𝒙 𝟐,𝟑
𝒙 𝟑,𝟏 𝒙 𝟑,𝟐 𝒙 𝟑,𝟑
Una vez identificadas
claramente las
variables de decisión,
se plantean las
restricciones indicadas
por el problema.

33. Ejemplo: Restricciones.
En este problema existen diferentes restricciones.
Vamos a identificar las restricciones siguiendo el
orden establecido en el problema.

34. Ejemplo: Restricciones.
En este problema existen diferentes restricciones.
Vamos a identificar las restricciones siguiendo el
orden establecido en el problema:

35. Ejemplo: Restricciones.
En primer lugar veamos cómo se representa,
algebraicamente, el contenido de la mezcla normal.
Debe ser el maní empleado en la mezcla normal, más
las pasas empleadas en la mezcla normal, más el
algarrobo empleado en la mezcla normal.
Al menos 5% de
cada ingrediente

36. Ejemplo: Restricciones.
Debe ser:
El maní empleado en la mezcla normal,
Más las pasas empleadas en la mezcla normal,
Más el algarrobo empleado en la mezcla normal.
Al menos 5% de
cada ingrediente

37. Ejemplo: Restricciones.
Mezcla normal:
Al menos 5% de
cada ingrediente

38. Ejemplo: Restricciones.
Al menos 5% de
cada ingrediente

39. Ejemplo: Restricciones.
Cada ingrediente debe representar, al menos, el 5% de
esta mezcla.
Al menos 5% de
cada ingrediente

40. Ejemplo: Restricciones.
Cada ingrediente debe representar, al menos, el 5% de esta mezcla.
Al menos 5% de
cada ingrediente

41. Ejemplo: Restricciones.
Al menos 20% de cada
ingrediente, pero no más
del 50% de cualquiera

42. Ejemplo: Restricciones.
Mezcla especial:
Al menos 20% de cada
ingrediente, pero no más
del 50% de cualquiera

43. Ejemplo: Restricciones.
Mezcla especial:
Al menos 20% de cada ingrediente,
pero no más del 50% de cualquiera

44. Ejemplo: Restricciones.
Mezcla especial:
Al menos 20% de cada ingrediente,
pero no más del 50% de cualquiera

45. Ejemplo: Restricciones.
Mezcla especial:
Al menos 20% de cada ingrediente,
pero no más del 50% de cualquiera

46. Ejemplo: Restricciones.
Mezcla especial:
Al menos 20% de cada ingrediente,
pero no más del 50% de cualquiera

47. Ejemplo: Restricciones.
Mezcla extra:
Al menos 25% de pasas,
y no más del 25% de
maní

48. Ejemplo: Restricciones.
Mezcla extra:
Al menos 25% de pasas, y no
más del 25% de maní

49. Ejemplo: Restricciones.
Mezcla extra:
Al menos 25% de pasas, y no
más del 25% de maní

50. Ejemplo: Restricciones.
Ingredientes:
Maní
Pasas
Algarrobo
Disponible máximo: 1000 de maní,
2000 de pasas, y 3000 de algarrobo

51. Ejemplo: Restricciones.
La cantidad de mezcla normal no debe
exceder del 20% de la producción total.

52. Ejemplo: Función Objetivo.
Costo total

53. Ejemplo: Función Objetivo.
Ingresos

54. Ejemplo: Función Objetivo.
Ganancia = Ingresos – Costos
–

55. Ejemplo: Restricciones.
Ganancia = Ingresos – Costos
Al igual que con las restricciones, es necesario simplificar algebraicamente la
función objetivo para poder utilizar algún software que resuelva el modelo.

56. Por su atención
Gracias
Fuentes de información en línea:
http://licmata-math.blogspot.mx/
http://www.scoop.it/t/mathematics-learning
https://www.facebook.com/licemata
https://www.linkedin.com/in/licmata
http://www.slideshare.net/licmata
Twitter @licemata