Límite infinito y limites en el infinito

Límite infinito
Observemos la función f(x)=1/x2
para valores de x positivos
muy grandes.
Si tomamos x cada vez mayor, f(x) está
cada vez más cerca de 0. Si x es
suficientemente grande podemos
conseguir que f(x) se acerque a 0 tanto
como queramos. Decimos que f(x) tiende
a 0 cuando x tiende a infinito.
Veamos a continuación las definiciones precisas de cada uno
de los límites que involucran al infinito.
Definición
Límite infinito
Caso 1:
limx->af(x) = +inf <=> para todo A > 0 existe δ > 0 / para
todo x perteneciente al E*
a,δ f(x) > A.
x f(x)
100 1,0x10-4
1.000 1,0x10-6
10.000 1,0x10-8
100.000 1,0x10-10
1.000.000 1,0x10-12

El límite de f(x) cuando x->a es infinito positivo, si para
cualquier número positivo A (tan grande como se quiera),
podemos encontrar un número δ tal que, para todos los x
dentro del entorno reducido de a de radio δ se cumple que
f(x) es mayor que A.
En otras palabras, si para cualquier número positivo A que
consideremos, existe un entorno reducido de a donde la
función vale más que A, quiere decir que f(x) puede hacerse
mayor que cualquier número, con tal de que x se acerque lo
suficiente a a. Por eso se dice que el límite de f(x) cuando x
tiende a a es +inf.
Caso 2:
limx->af(x) = -inf <=> para todo A > 0 existe δ > 0 / para
a,δ f(x) < -A.

Caso 3:
limx->+inff(x) = +inf <=> para todo A > 0 existe B > 0 / para
todox > B f(x) > A.
Para cualquier número positivo A (por grande que sea), es
posible encontrar un número positivo B tal que para todos los
x mayores que B, f(x) es mayor que A. Es decir que f(x)
puede ser mayor que cualquier número, si x es lo
suficientemente grande.
Caso 4
limx->+inff(x) = -inf <=> para todo A > 0 existe B > 0 / para
todox > B f(x) < -A.
Caso 5:
limx->-inff(x) = +inf <=> para todo A > 0 existe B > 0 / para
todox < -B f(x) > A.

Caso 6:
limx->-inff(x) = -inf <=> para todo A > 0 existe B > 0 / para
todox < -B f(x) < -A.
Caso 7:
limx->+inff(x) = b <=> para todo ε > 0 existe B > 0 / para
todo x > Bf(x) pertenece al Eb,ε.
Caso 8:

limx->-inff(x) = b <=> para todo ε > 0 existe B > 0 / para
todo x < -Bf(x) pertenece al Eb,ε.
Operaciones con límites
Teorema
Límite de la suma
El límite de una suma es igual a la suma de los límites de
cada término, siempre que estos límites sean finitos.
H) limx->af(x)=b, limx->ag(x)=c
T) limx->af(x) + g(x) = b + c
Demostración:
Queremos probar que, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que para
a,δ |(f(x) + g(x)) - (b+c)| < ε.
Sea ε' = ε/2

limx->af(x)=b => (por def. de límite) para todo ε' >
0 existe δ1 > 0 / para todo x perteneciente al E*
a,δ1 |f(x) - b|
< ε'.
limx->ag(x)=c => (por def. de límite) para todo ε' >
0 existe δ2 > 0 / para todo x perteneciente al E*
a,δ2 |g(x) - c|
< ε'.
Sea δ = min {δ1,δ2}
Para todo x perteneciente al E*
a,δ se cumple:
 |f(x) - b| < ε'
 |g(x) - c| < ε'
=> |f(x) - b| + |g(x) - c| < 2ε' = ε
|(f(x) + g(x)) - (b+c)| = |(f(x) - b) + (g(x) - c)| <= (*)|f(x) -
b| + |g(x) - c| < ε
(*) Desigualdad triangular: |a + b| <= |a| + |b|
=> (por def. de límite) limx->af(x) + g(x) = b + c
Ejemplo:
limx->2 x2
= 4
limx->2 x = 2
limx->2 x2
+ x = 6
Teorema

H) limx->af(x) = b, limx->ag(x) = +inf
T) limx->af(x) + g(x) = +inf
Demostración:
limx->af(x)=b => (por def. de límite) para todo Eb,ε existe un
E*a,δ1 / para todo x perteneciente al E*
a,δ1 b - ε < f(x) < b + ε.
limx->ag(x)= +inf => (por def. de límite infinito) para todo A >
0 existe un E*a,δ2 / para todo x perteneciente al E*
a,δ2 g(x) >
A.
a,δ se cumple:
 f(x) > b - ε
 g(x) > A
=> f(x) + g(x) > A + b - ε = K
=> (por def. de límite infinito) limx->a f(x) + g(x) = +inf.
Teorema
H) limx->af(x) = b, limx->ag(x) = -inf
T) limx->af(x) + g(x) = -inf
Demostración:

Análoga a la anterior.
Teorema
H) limx->af(x) = +inf, limx->ag(x) = +inf
T) limx->af(x) + g(x) = +inf
Demostración:
Sea A > 0.
Consideremos A/2.
Por def. de límite infinito, existe δ1 > 0 / para todo x
perteneciente al E*
a,δ1 f(x) > A/2
Por def. de límite infinito, existe δ2 > 0 / para todo x
perteneciente alE*
a,δ2 g(x) > A/2
a,δ f(x) + g(x) > A
=> (por def. de límite infinito) limx->af(x) + g(x) = +inf.
Teorema
H) limx->af(x) = -inf, limx->ag(x) = -inf
T) limx->af(x) + g(x) = -inf

Demostración:
Análoga a la anterior.
Cuando limx->af(x) = -inf y limx->ag(x) = +inf, el limx->af(x) +
g(x) no puede determinarse, se dice que es INDETERMINADO
de la forma inf - inf.
Teorema
Límite del producto
H) limx->af(x) = b, limx->ag(x) = c
T) limx->af(x).g(x) = b.c
Demostración:
Queremos probar que, dado ε > 0, existe δ > 0 / para todo x
perteneciente al E*
a,δ |f(x).g(x) - b.c| < ε.
limx->af(x) = b => (por def. de límite) para todo Eb,ε1 existe
a,δ1 f(x) pertenece al
Eb,ε1.
limx->ag(x) = c => (por def. de límite) para todo Ec,ε2 existe
a,δ2 f(x) pertenece al
Ec,ε2.
limx->af(x) = b => (por teo. de la acotación) existe δ3 > 0 y k
> 0 / para todo x perteneciente al E*
a,δ3 |f(x)| < k.

ε ε
Sea ε1 = --- , ε2 = ---
2|c| 2k
ε ε
|f(x) - b| < --- => |c||f(x) - b| < ---
(1)
2|c| 2
ε ε
|g(x) - c| < --- => k|g(x) - c| < ---
(2)
2k 2
ε
|f(x)| < k => (de 2) |f(x)||g(x) - c| < ---
(3)
2
De 1) y 3): para todo x perteneciente al E*
a,δ
|c||f(x) - b| + |f(x)||g(x) - c| < ε
|f(x)g(x) - bc| = |f(x)g(x) - bc + f(x)c - f(x)c| = |c(f(x) - b) +
f(x)(g(x) - c)| <= (*) |c||f(x) - b| + |f(x)||g(x) - c| < ε
(*) Desigualdad triangular: |a + b| <= |a| + |b|
=> |f(x)g(x) - bc| < ε
=> (por def. de límite) limx->af(x)g(x) = bc
Ejemplo

limx->2 x = 2
limx->2 ex
= e2
limx->2 xex
= 2e2
Teorema
H) limx->af(x) = b, limx->ag(x) = inf
T) limx->af(x)g(x) = inf
Nota: inf denota el infinito, positivo o negativo.
Caso 1:
H) limx->af(x) = b > 0, limx->ag(x) = +inf
T) limx->af(x)g(x) = +inf
Caso 2:
H) limx->af(x) = b > 0, limx->ag(x) = -inf
T) limx->af(x)g(x) = -inf
Caso 3:
H) limx->af(x) = b < 0, limx->ag(x) = +inf
T) limx->af(x)g(x) = -inf
Caso 4:
H) limx->af(x) = b < 0, limx->ag(x) = -inf
T) limx->af(x)g(x) = +inf
Demostración caso 1:
Quiero probar que para todo B > 0 existe δ > 0 / para todo x
perteneciente al E*
a,δ f(x)g(x) > B.

limx->af(x) = b => (por teo. de la acotación) existe δ1 > 0 y k
> 0 / para todo x perteneciente al E*
a,δ1 f(x) > k.
limx->ag(x) = +inf => (por def. de límite infinito) para todo A
> 0 existeδ2 > 0 / para todo x perteneciente al E*
a,δ2 g(x) >
A.
a,δ
 f(x) > k
 g(x) > A
=> f(x)g(x) > kA > B
Basta elegir A > B/k.
Los demás casos se demuestran en forma análoga.
Si b = 0 el limx->af(x)g(x) no puede determinarse. Se dice que
es una INDETERMINACIóN de la forma 0.inf.
Teorema
Límite del cociente
H) limx->af(x) = b, limx->ag(x) = c (c distinto de 0)
T) limx->af(x)/g(x) = b/c
Demostración:

limx->af(x) = b => (por def. de límite) para todo Eb,ε1 existe un
a,δ1 |f(x) - b| < ε1.
limx->ag(x) = c => (por def. de límite) para todo Ec,ε2 existe
un E*a,δ2 / para todo x perteneciente al E*
a,δ2 |g(x) - c| < ε2.
Quiero probar que limx->af(x)/g(x) = b/c, o sea que para todo
Eb/c,ε existe un E*a,δ / para todo x perteneciente al
E*
a,δ |f(x)/g(x) - b/c| < ε.
|f(x)c - g(x)b| |f(x)c -
g(x)b - bc + bc|
|f(x)/g(x) - b/c| = --------------- = -------------
------------ =
|g(x)c|
|g(x)c|
|c(f(x) - b) + b(c - g(x))| |c||f(x) - b| + |b||c
- g(x)|
--------------------------- <= ---------------------
-------- <
|g(x)c| (*) |g(x)c|
(**)
|c||f(x) - b| + |b||c - g(x)| (1)
-----------------------------
k|c|
(*) Desigualdad triangular: |a + b| <= |a| + |b|.
(**) pues |g(x)|>k por teo. de la acotación.
Sea ε1 = εk/2 y ε2 = εk|c|/2|b|
a,δ1

|f(x) - b| < εk |c||f(x) - b| < εk|c| (2)
--- => ----
2 2
a,δ2
|g(x) - c| < εk|c| |b||g(x) - c| < εk|c|
(3)
----- => ----
2|b| 2
De 2) y 3): para todo x perteneciente al E*
a,δ
|c||f(x) - b| + |b||g(x) - c| < εk|c|
|c||f(x) - b| + |b||c -
g(x)| εk|c|
=> |f(x)/g(x) - b/c| < ---------------------------
-- < ----- = ε
por 1) k|c|
k|c|
Ejemplo
ex 1
lim ----- = --
x->0 x + 2 2
Otros cocientes

Caso 1:
H) limx->af(x) = b > 0, limx->ag(x) = 0+
T) limx->af(x)/g(x) = +inf (-inf si b < 0)
El límite 0+
indica que, en un entorno de a, f(x) se aproxima a
0 por la derecha, es decir, 0 < f(x) < ε.
Caso 2:
H) limx->af(x) = b > 0, limx->ag(x) = 0-
T) limx->af(x)/g(x) = -inf (+inf si b < 0)
Caso 3:
H) limx->ag(x) = b > 0, limx->ag(x) = +inf
T) limx->af(x)/g(x) = 0+
(0-
si b < 0)
Caso 4:
H) limx->af(x) = b > 0, limx->af(x) = -inf
T) limx->af(x)/g(x) = 0-
(0+
si b < 0)
Si limx->af(x) = 0 y limx->ag(x) = 0, limx->af(x)/g(x) no puede
determinarse. Se dice que es INDETERMINADO de la forma
0/0.
Si limx->af(x) = inf y limx->ag(x) = inf, limx->af(x)/g(x) no
puede determinarse. Se dice que es INDETERMINADO de la
forma inf/inf.
Límite exponencial

Caso 1:
H) limx->af(x) = b, limx->ag(x) = c (c≠0)
T) limx->af(x)g(x)
= bc
Caso 2:
H) limx->af(x) = b, limx->ag(x) = 0
T) limx->af(x)g(x)
= 1
Caso 3:
H) limx->af(x) = b, limx->ag(x) = +inf
T) limx->af(x)g(x)
= +inf
Caso 4:
H) limx->af(x) = b, limx->ag(x) = -inf
T) limx->af(x)g(x)
= 0
Si limx->af(x) = 0 y limx->ag(x) = inf, limx->af(x)g(x)
no puede
0inf
.
Si limx->af(x) = 0 y limx->ag(x) = 0, limx->af(x)g(x)
no puede
00
.
Si limx->af(x) = inf y limx->ag(x) = 0, limx->af(x)g(x)
no puede
inf0
.
Si limx->af(x) = 1 y limx->ag(x) = inf, limx->af(x)g(x)
no puede
1inf
.

Teorema
H) limx->a f(x) = 1, limx->a g(x) = inf
T) limx->a f(x)g(x)
= ek
, k = limf(x)->1, g(x)->inf g(x)(f(x) - 1)
Demostración:
Sea h(x) = f(x) - 1
lim h(x) = 0 por límite de la suma
f(x) = 1 + h(x)
lim (1 + h(x))g(x) = lim (1 + h(x))g(x).(h(x)/h(x)) =
h(x)->0, g(x)->inf h(x)->0, g(x)->inf
h(x)≠0
e
-------^------- (1)
lim (1 + h(x))1/h(x).g(x).h(x) = elim g(x).h(x) =
h(x)->0, g(x)->inf
h(x)≠0
lim g(x)(f(x) - 1)
e g(x)->inf, f(x)->1
1) por límite tipo 2 y límite exponencial.
Función compuesta

Si f es una función tal que f:A->B y g es una función tal que
g:C->D, y B es subconjunto de C (el dominio de g contiene al
rango de f), podemos definir una nueva función h:A->D como
sigue: para cada x en A, se aplica f resultando un valor f(x)
en B. Luego a este valor f(x) se aplica g, obteniéndose
g[f(x)]. Definimos h como la función que mapea x en g[f(x)].
Se dice que h es la composición de g y f: h(x) = (g o f)(x) =
g(f(x))
Teorema
Límite de la función compuesta
H) limx->af(x)=b, limx->bg(x)=c
T) limx->ag[f(x)]=c
Demostración:
Queremos demostrar que limx->a g[f(x)]=c, o sea,
por definición de límite, queremos probar que, dado ε>0
existe δ>0 tal que para todo x perteneciente al E*
a,δ g[f(x)]
perteneciente al Ec,ε.

Por hipótesis limx->bg(x)=c => por def. de límite, dado ε>0
existe δ>0 tal que...
para todo x perteneciente al E*
b,δ g(x) pertenece al Ec,ε (1)
Por hipótesis limx->af(x) = b => por def. de límite si tomamos
el número δ de (1), existe α>0 tal que...
para todo x perteneciente al E*
a,α f(x) pertenece al Eb,δ (2)
De (1) y (2) se deduce que:
Dado ε>0 existe α>0 / para todo x perteneciente al
E*
a,α g[f(x)] pertenece al Ec,ε.

Límites en el infinito
Primero deberías leer límites (una introducción)
El infinito es una idea muy especial. Sabemos que no
podemos alcanzarlo, pero podemos calcular el valor
de funciones que tienen al infinito dentro.
Uno entre infinito
Empecemos por un ejemplo interesante.
Pregunta: ¿Cuál es el valor
de 1
/∞ ?
Respuesta: ¡No lo sabemos!

¿Por qué no lo sabemos?
La razón más simple es que infinito no es un número, es una
idea. Así que 1/∞ es un poco como decir 1/belleza o 1/alto.
A lo mejor podríamos decir que 1/∞ = 0 ... pero eso es un
poco problemático, porque si dividimos 1 en infinitas partes y
resulta que cada una es 0, ¿qué ha pasado con el 1?
De hecho 1/∞ es indefinido.
¡Pero podemos acercarnos a él!
Así que en lugar de intentar calcular con infinito (porque no
sacaremos ninguna respuesta razonable), vamos a probar con
valores de x más y más grandes:
x 1/x
1 1.00000
2 0.50000
4 0.25000
10 0.10000
100 0.01000
1,000 0.00100
10,000 0.00010

Vemos que cuando x crece, 1/x tiende a 0
Ahora tenemos una situación interesante:
 No podemos decir qué pasa cuando x llega a infinito
 Pero vemos que 1/x va hacia 0
Queremos decir que la respuesta es "0" pero no podemos, así
que los matemáticos usan la palabra "límite" para referirse
exactamente a esto
El límite de 1/x cuando x tiende a infinito es 0
Y lo escribimos así:
En otras palabras:
Cuando x va a infinito, 1/x va a 0
Cuando veas "límite", piensa en "acercarse"
Es una manera matemática de decir que "no estamos
hablando de lo que pasa cuando x=∞, pero sabemos que
cuando x crece, la respuesta se acerca más y más a 0".

Resumen
A veces podemos no usar infinito directamente, pero sí
podemos usar un límite.
Lo que
pasa en ∞ es indefinido...
1/∞
... pero sabemos que 1/x
va hacia 0 cuando x va
hacia infinito
Límites al ir a infinito
¿Cuál es el límite de esta función? y = 2x
Está claro que cuando "x" se hace más grande, le pasa lo
mismo a "2x":
x y=2x
1 2
2 4
4 8
10 20
100 200

... ...
Así que cuando "x" va a infinito, "2x" también va a infinito. Lo
escribimos así:
Pero no te dejes engañar por el signo "=".
No podemos llegar a infinito, pero en el
lenguaje de los "límites", el límite es
infinito (lo que quiere decir en realidad
que la función no tiene límite).

Infinito y grado
Hemos visto dos ejemplos, uno va a 0, el otro a infinito.
De hecho muchos límites en el infinito son muy fáciles de
calcular, si consigues saber "hacia dónde van", así:
Las funciones como 1/x van
hacia 0 cuando x va hacia infinito. Esto
pasa también con 1/x2
etc.
Una función como 2x va hacia infinito,
porque tiene "x" dentro.
Igualmente, funciones
como x2
o x3
también van hacia infinito
Pero ten cuidado, una función como "-x" va
hacia "-infinito", así que hay que fijarse en
los signos.
De hecho, si miramos el grado de la función (el
mayor exponente (o potencia) en la función)
podemos saber qué va a pasar.

Si el grado es:
 mayor que 0, el límite es infinito (o -
infinito)
 menor que 0, el límite es 0
Pero si el grado es 0 o desconocido entonces
tenemos que trabajar más para calcular el límite
Funciones racionales
Una función racional es el cociente de dos
polinomios:
Por ejemplo, aquí tenemos P(x)=x3
+2x-1,
y Q(x)=6x2
:
Siguiendo con nuestra idea del grado de una función, el
primer paso para calcular el límite es ...
Comparar el grado de P(x) con el grado de
Q(x):
Si el grado de P es menor que el grado de Q ...
... el límite es 0.

Si el grado de P y de Q son iguales ...
... divide los coeficientes de los términos del grado más
grande, así:
Si el grado de P es mayor que el grado de Q ...
... entonces el límite es infinito positivo ...
... o quizás infinito negativo. ¡Tienes que
mirar los signos!
Puedes calcular el signo (positivo o negativo) mirando los
signos de los términos de máximo exponente, como hicimos
arriba:
Por ejemplo esta va a infinito positivo, porque
los dos ...
 x3
(el término de mayor exponente
arriba) y

 6x2
(el término de mayor exponente
abajo)
... son positivos.
Pero esta va hacia infinito negativo, porque -
2/5 es negativo.
Un ejemplo más difícil: Calcular "e"
Hay una fórmula para el valor de e (el número de
Euler) que se basa en infinito y en esta fórmula:
(1+ 1/n)n
En el
infinito:
(1+1/∞)∞
= ??? ... ¡no lo
sabemos!
Así que en vez de intentar calcularlo para infinito (porque no
llegaremos a ninguna respuesta razonable), probemos valores
de n más y más grandes:

n
(1 +
1/n)n
1 2.00000
2 2.25000
5 2.48832
10 2.59374
100 2.70481
1,000 2.71692
10,000 2.71815
100,000 2.71827
Se estabiliza en un valor (2.71828... que es el número
mágico e)Así que tenemos aquí otra situación extraña:
 No sabemos cuál es el valor cuando n=infinito
 Pero vemos que va hacia 2.71828...
Así que escribimos la respuesta con límites:
Es una manera matemática de decir "no estamos hablando de
lo que pasa cuando n=∞, pero sabemos que cuando n crece,
la respuesta se acerca más y más al valor de e".

¡No te equivoques al escribirlo... !
Puedes ver en el gráfico y la tabla que cuando n crece la
función se acerca a2.71828....
¡Pero al intentar usar infinito como si fuera un "número real
muy grande" (¡no lo es!) sale esto:
(1+1/∞)
∞
= (1+0)
∞
= (1)
∞
= 1
Así que no hagas operaciones coninfinito como si fuera un
número real, ¡te saldránrespuestas equivocadas!
Los límites son la manera correctade hacerlo.

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